Вращая треугольник вокруг катета

Конус — это объемное тело, которое получается при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов.

Возьмем прямоугольный треугольник АВС. Будем вращать этот треугольник вокруг катета АС.

Прямая АС — ось косинуса.

Отрезок АС — высота конуса.

Основание конуса — круг, образованный при вращении катета ВС.

Коническая поверхность (или боковая поверхность конуса) — поверхность, образованная при вращении гипотенузы АВ и состоящая из отрезков с общим концом А.

Образующие конуса — отрезки, из которых составлена боковая поверхность конуса (на рисунке выше указаны образующие АВ, АВ₁ и АВ₂).

Определение

Объем конуса

Доказательство

Дано: конус с площадью основания S, высотой h и объемом V.

Доказать: V = Sh.

Доказательство:

Воспользуемся принципом Кавальери. Рассмотрим конус и пирамиду с площадями оснований S и высотами ЕН = h и РО = h соответственно, «стоящие» на одной плоскости .

Проведем секущую плоскость , параллельную плоскости и пересекающую высоты ЕН и РО в точках Н₁ и О₁ соответственно. В сечении конуса плоскостью получится круг радиуса Н₁А₁.

ЕН₁А₁ подобен ЕНА по двум углам (Е — общий, ЕН₁А₁ = ЕНА = 90 0 , т.к. в противном случае прямые НА и Н₁А₁, а значит, и плоскости и пересекались бы, что противоречит условию). Поэтому , откуда и площадь сечения конуса равна .

Площадь сечения пирамиды равна . По условию ЕН = РО = h, значит, ЕН₁ = РО₁ (т.к. ЕН₁ = h — НН₁ и РО₁ = h — ОО₁, параллельные плоскости отсекают одинаковые отрезки НН₁ и ОО₁ от отрезков ЕН и РО, т.е. НН₁ = ОО₁).

Следовательно, площадь сечения конуса равна площади сечения пирамиды. Поэтому и его объем равен объему пирамиды, т.е. V = Sh. Что и требовалось доказать.

Площадь боковой поверхности конуса

Рассмотрим конус с радиусом основания и образующей .

Представим, что его боковую поверхность разрезали по одной из образующих и развернули так, что получился круговой сектор.

Радиус этого сектора равен образующей конуса, т.е. равен , а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса, т.е. равна 2, — градусная мера дуги сектора, тогда площадь данного сектора: . (1)

Длина дуги окружности с градусной мерой и радиусом равна . С другой стороны, длина этой дуги равна 2, поэтому учитывая (1), получим: .

Площадь боковой поверхности конуса равна площади ее развертки, т.е. .

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Видео:Геометрия 11 класс (Урок№7 - Конус.)Скачать

Решите, пожалуйста, задачу. Нужно решение.

Прямоугольный треугольник с катетами 11 см и 60 см вращают

вокруг меньшего катета. Найдите поверхность полученного тела.

Объяснение:

При вращении прямоугольного треугольника вокруг катета (11 см) получим конус, причём высота конуса Н=11 см, а радиус основания R=60 см.

см³.

Поверхность — конус высотой 11 см, и радиусом основания 60 см.

Площадь боковой поверхности конуса найдем по соответствующей формуле:

где R = 60 см, L — гипотенуза исходного прямоугольного треугольника, то есть L = √(11² + 60²) = √(121 + 3600) = √(3721) = 61 см.

Sосн. = πR² = π*60² см²,

S = π*60*61 + π*60² = π*60*(61+60) = π*60*121 = 7260π см²

Видео:Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать

Прямоугольный треугольник с катетами 3см и 4см вращается вокруг большого катета?

Математика | 10 — 11 классы

Прямоугольный треугольник с катетами 3см и 4см вращается вокруг большого катета.

Найти площадь боковой поверхности и объем получившегося тела.

Тело вращения — прямой конус, где больший катет — высота (Н)конуса, меньший катет — радиус (R)основания конуса, гипотенуза треугольника — образующая (L) конуса

По теореме Пифагора

Площадь боковой поверхности конусаравна произведению числа π на радиус окружности основания и на длину образующейконуса

S = π * 3 * 5 = 15π≈ 47, 1 (см²)

Объем конусаравен одной трети произведения числаπна квадрат радиуса основания на высоту.

V = 1 / 3 * π * R² * H

V = 1 / 3 * π * 3² * 4 = 1 / 3 * 9 * 4 * π = 12π≈ 37, 7 (см³).

Видео:№565. Прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см вращается вокруг меньшего катета.Скачать

Прямоугольный треугольник с катетом 3см и 4см вращают вокруг большего катета?

Прямоугольный треугольник с катетом 3см и 4см вращают вокруг большего катета.

Чему равна площадь боковой поверхности полученного тела вращения.

Видео:Как найти гипотенузу в прямоугольном треугольнике, минуя теорему Пифагора?Скачать

Как найти гипотенузу прямоугольного треугольника, если известен катет и площадь треугольника?

Как найти гипотенузу прямоугольного треугольника, если известен катет и площадь треугольника?

Видео:#Проекция катета на гипотенузуСкачать

Найдите объем тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетом 3см противолежащим углом 30° вокруг меньшего катета, а так же площадь осевого сечения тела?

Найдите объем тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетом 3см противолежащим углом 30° вокруг меньшего катета, а так же площадь осевого сечения тела.

Прошу, помогите пожалуйста!

Видео:КАТЕТЫ И ВЫСОТА В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #Shorts #геометрияСкачать

Найдите объем тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетом 6 см?

Найдите объем тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетом 6 см.

И гипотенузой 10 см.

Вокруг большого катета.

Видео:Как сделать вращающийся треугольник. (Вращение фигур вокруг центра тяжести)Скачать

Найдите площадь полной поверхности тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетами 3 см и 4 см вокруг большего катета?

Найдите площадь полной поверхности тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетами 3 см и 4 см вокруг большего катета.

Видео:Найдите площадь прямоугольного треугольника, если сумма его катетов равна 15, а гипотенуза равна 13Скачать

Прямоугольный равнобедренный треугольник с гипотенузой 6 вращается вокруг одного из кастетов?

Прямоугольный равнобедренный треугольник с гипотенузой 6 вращается вокруг одного из кастетов.

Найти площадь поверхности( полную) полученного тела вращения.

Видео:КонусСкачать

Найдите объем тела полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетом 3 см?

Найдите объем тела полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетом 3 см.

И прилежащим углом 30 градусов вокруг меньшего катета.

Видео:Запомни: все формулы для площади треугольникаСкачать

Прямоугольный треугольник с катетами 3см 4см в первый раз вращается вакруг большого катета а во второй — вокруг меньшего?

Прямоугольный треугольник с катетами 3см 4см в первый раз вращается вакруг большого катета а во второй — вокруг меньшего.

Определите полученые геометрические тела и сравните площади их боковых поверхностей.

Видео:Решение задач на конусСкачать

Найдите объем конуса полученного вращением прямоугольного треугольника вокруг катета равного 5 см?

Найдите объем конуса полученного вращением прямоугольного треугольника вокруг катета равного 5 см.

Видео:2 задание ЕГЭ профиль стереометрияСкачать

Найти площадь прямоугольного треугольника, если один из катетов равен 7 / 8 от 32, а второй катет в полтора раза больше?

Найти площадь прямоугольного треугольника, если один из катетов равен 7 / 8 от 32, а второй катет в полтора раза больше.

Вопрос Прямоугольный треугольник с катетами 3см и 4см вращается вокруг большого катета?, расположенный на этой странице сайта, относится к категории Математика и соответствует программе для 10 — 11 классов. Если ответ не удовлетворяет в полной мере, найдите с помощью автоматического поиска похожие вопросы, из этой же категории, или сформулируйте вопрос по-своему. Для этого ключевые фразы введите в строку поиска, нажав на кнопку, расположенную вверху страницы. Воспользуйтесь также подсказками посетителей, оставившими комментарии под вопросом.

1). 3х250гр = 750гр (3 пакета умножаешь на 250 гр получается 750 гр) 2). 2250гр — 750гр = 1500гр (от общую массы кефира т. Е. 2250гр отнимаешь найденные граммы из трех пакетов по 250гр получается 1500гр) 3). 1500гр : 500гр = 3пакета (1500гр делишь..

Упрощаем : 20, 67х + 3, 48 при х = 0, 05 20, 67 * 0, 05 + 3, 48 = 1, 0335 + 3, 48 = 4, 5135.

💡 Видео

Лайфхак нахождения катета в прямоугольном треугольникеСкачать

Гипотенуза больше катетаСкачать

Определение натуральной величины треугольника АВС методом вращения вокруг горизонтали или фронталиСкачать

Построение натуральной величины треугольника методом вращенияСкачать

Способы вращения. Учебный фильм по начертательной геометрииСкачать

Конус. Урок 18. Геометрия 9 классСкачать

Свойства прямоугольного треугольника. 7 класс.Скачать

🍦 Конус в геометрии: не перевернутое мороженое! 😄Скачать