Вращая треугольник вокруг катета

Конус — это объемное тело, которое получается при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов.

Возьмем прямоугольный треугольник АВС. Будем вращать этот треугольник вокруг катета АС.

Прямая АС — ось косинуса.

Отрезок АС — высота конуса.

Основание конуса — круг, образованный при вращении катета ВС.

Коническая поверхность (или боковая поверхность конуса) — поверхность, образованная при вращении гипотенузы АВ и состоящая из отрезков с общим концом А.

Образующие конуса — отрезки, из которых составлена боковая поверхность конуса (на рисунке выше указаны образующие АВ, АВ₁ и АВ₂).

Определение

Объем конуса

Доказательство

Дано: конус с площадью основания S, высотой h и объемом V.

Доказать: V = Sh.

Доказательство:

Воспользуемся принципом Кавальери. Рассмотрим конус и пирамиду с площадями оснований S и высотами ЕН = h и РО = h соответственно, «стоящие» на одной плоскости .

Проведем секущую плоскость , параллельную плоскости и пересекающую высоты ЕН и РО в точках Н₁ и О₁ соответственно. В сечении конуса плоскостью получится круг радиуса Н₁А₁.

ЕН₁А₁ подобен ЕНА по двум углам (Е — общий, ЕН₁А₁ = ЕНА = 90 0 , т.к. в противном случае прямые НА и Н₁А₁, а значит, и плоскости и пересекались бы, что противоречит условию). Поэтому , откуда и площадь сечения конуса равна .

Площадь сечения пирамиды равна . По условию ЕН = РО = h, значит, ЕН₁ = РО₁ (т.к. ЕН₁ = h — НН₁ и РО₁ = h — ОО₁, параллельные плоскости отсекают одинаковые отрезки НН₁ и ОО₁ от отрезков ЕН и РО, т.е. НН₁ = ОО₁).

Следовательно, площадь сечения конуса равна площади сечения пирамиды. Поэтому и его объем равен объему пирамиды, т.е. V = Sh. Что и требовалось доказать.

Площадь боковой поверхности конуса

Рассмотрим конус с радиусом основания и образующей .

Представим, что его боковую поверхность разрезали по одной из образующих и развернули так, что получился круговой сектор.

Радиус этого сектора равен образующей конуса, т.е. равен , а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса, т.е. равна 2, — градусная мера дуги сектора, тогда площадь данного сектора: . (1)

Длина дуги окружности с градусной мерой и радиусом равна . С другой стороны, длина этой дуги равна 2, поэтому учитывая (1), получим: .

Площадь боковой поверхности конуса равна площади ее развертки, т.е. .

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Решите, пожалуйста, задачу. Нужно решение.

Прямоугольный треугольник с катетами 11 см и 60 см вращают

вокруг меньшего катета. Найдите поверхность полученного тела.

Объяснение:

При вращении прямоугольного треугольника вокруг катета (11 см) получим конус, причём высота конуса Н=11 см, а радиус основания R=60 см.

см³.

Поверхность — конус высотой 11 см, и радиусом основания 60 см.

Площадь боковой поверхности конуса найдем по соответствующей формуле:

где R = 60 см, L — гипотенуза исходного прямоугольного треугольника, то есть L = √(11² + 60²) = √(121 + 3600) = √(3721) = 61 см.

Sосн. = πR² = π*60² см²,

S = π*60*61 + π*60² = π*60*(61+60) = π*60*121 = 7260π см²

Прямоугольный треугольник с катетами 3см и 4см вращается вокруг большого катета?

Математика | 10 — 11 классы

Прямоугольный треугольник с катетами 3см и 4см вращается вокруг большого катета.

Найти площадь боковой поверхности и объем получившегося тела.

Тело вращения — прямой конус, где больший катет — высота (Н)конуса, меньший катет — радиус (R)основания конуса, гипотенуза треугольника — образующая (L) конуса

По теореме Пифагора

Площадь боковой поверхности конусаравна произведению числа π на радиус окружности основания и на длину образующейконуса

S = π * 3 * 5 = 15π≈ 47, 1 (см²)

Объем конусаравен одной трети произведения числаπна квадрат радиуса основания на высоту.

V = 1 / 3 * π * R² * H

V = 1 / 3 * π * 3² * 4 = 1 / 3 * 9 * 4 * π = 12π≈ 37, 7 (см³).

Прямоугольный треугольник с катетом 3см и 4см вращают вокруг большего катета?

Прямоугольный треугольник с катетом 3см и 4см вращают вокруг большего катета.

Чему равна площадь боковой поверхности полученного тела вращения.

Как найти гипотенузу прямоугольного треугольника, если известен катет и площадь треугольника?

Как найти гипотенузу прямоугольного треугольника, если известен катет и площадь треугольника?

Найдите объем тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетом 3см противолежащим углом 30° вокруг меньшего катета, а так же площадь осевого сечения тела?

Найдите объем тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетом 3см противолежащим углом 30° вокруг меньшего катета, а так же площадь осевого сечения тела.

Прошу, помогите пожалуйста!

Найдите объем тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетом 6 см?

Найдите объем тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетом 6 см.

И гипотенузой 10 см.

Вокруг большого катета.

Найдите площадь полной поверхности тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетами 3 см и 4 см вокруг большего катета?

Найдите площадь полной поверхности тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетами 3 см и 4 см вокруг большего катета.

Прямоугольный равнобедренный треугольник с гипотенузой 6 вращается вокруг одного из кастетов?

Прямоугольный равнобедренный треугольник с гипотенузой 6 вращается вокруг одного из кастетов.

Найти площадь поверхности( полную) полученного тела вращения.

Найдите объем тела полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетом 3 см?

Найдите объем тела полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетом 3 см.

И прилежащим углом 30 градусов вокруг меньшего катета.

Прямоугольный треугольник с катетами 3см 4см в первый раз вращается вакруг большого катета а во второй — вокруг меньшего?

Прямоугольный треугольник с катетами 3см 4см в первый раз вращается вакруг большого катета а во второй — вокруг меньшего.

Определите полученые геометрические тела и сравните площади их боковых поверхностей.

Найдите объем конуса полученного вращением прямоугольного треугольника вокруг катета равного 5 см?

Найдите объем конуса полученного вращением прямоугольного треугольника вокруг катета равного 5 см.

Найти площадь прямоугольного треугольника, если один из катетов равен 7 / 8 от 32, а второй катет в полтора раза больше?

Найти площадь прямоугольного треугольника, если один из катетов равен 7 / 8 от 32, а второй катет в полтора раза больше.

Вопрос Прямоугольный треугольник с катетами 3см и 4см вращается вокруг большого катета?, расположенный на этой странице сайта, относится к категории Математика и соответствует программе для 10 — 11 классов. Если ответ не удовлетворяет в полной мере, найдите с помощью автоматического поиска похожие вопросы, из этой же категории, или сформулируйте вопрос по-своему. Для этого ключевые фразы введите в строку поиска, нажав на кнопку, расположенную вверху страницы. Воспользуйтесь также подсказками посетителей, оставившими комментарии под вопросом.

1). 3х250гр = 750гр (3 пакета умножаешь на 250 гр получается 750 гр) 2). 2250гр — 750гр = 1500гр (от общую массы кефира т. Е. 2250гр отнимаешь найденные граммы из трех пакетов по 250гр получается 1500гр) 3). 1500гр : 500гр = 3пакета (1500гр делишь..

Упрощаем : 20, 67х + 3, 48 при х = 0, 05 20, 67 * 0, 05 + 3, 48 = 1, 0335 + 3, 48 = 4, 5135.