Задание:
Укажите номера верных утверждений.
1) Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, равен $90^$.
2) Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом.
3) Длина вектора равна квадратному корню из суммы его координат.
4) Гипотенуза длиннее катета.
5) Подобные треугольники равны.
Номера запишите в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение:
1) Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, равен $90^$
Утверждение верное, так как диаметр окружности стягивает дугу в $180^$, а вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то есть $90^$.
2) Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом.
Утверждение верное.
3) Длина вектора равна квадратному корню из суммы его координат.
Утверждение неверное, длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов его координат.
4) Гипотенуза длиннее катета.
Утверждение верное, так как гипотенуза лежит напротив угла равного 90 градусов, то есть большего угла в треугольнике. А в любом треугольнике: против большего угла лежит большая сторона.
5) Подобные треугольники равны.
Утверждение неверное, подобные треугольники не равны.
Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать
Вписанный угол, опирающийся на диаметр
Вписанный угол, опирающийся на диаметр, обладает полезным свойством, вытекающим из теоремы о вписанном угле.
Свойство вписанного угла, опирающегося на диаметр
(следствие из теоремы о вписанном угле)
Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой.
Дано:
Так как AC- диаметр, то ∠AOC=180º.
∠AOC — центральный, ∠ABC — соответствующий ему вписанный угол.
Следовательно, по теореме о вписанном угле,
Что и требовалось доказать.
Из этого следует, например, что если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника, то угол напротив этой стороны — прямой.
Если центр описанной окружности лежит на диагонали четырехугольника, то угол напротив этой диагонали — прямой.
Другой вариант формулировки следствия:
Диаметр виден из любой точки окружности под углом 90º.
Если вписанный угол связать с дугой, то следствие из теоремы о вписанном угле звучит так:
Вписанный угол, опирающийся на полуокружность — прямой.
Видео:Задача 6 №27859 ЕГЭ по математике. Урок 104Скачать
Центральные и вписанные углы
О чем эта статья:
Видео:Вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружностиСкачать
Центральный угол и вписанный угол
Окружность — замкнутая линия, все точки которой равноудалены от ее центра.
Определение центрального угла:
Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.
На рисунке: центральный угол окружности EOF и дуга, на которую он опирается EF
Определение вписанного угла:
Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности.
Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.
На рисунке: вписанный в окружность угол ABC и дуга, на которую он опирается AC
Видео:🔴 Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 15 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
Свойства центральных и вписанных углов
Углы просты только на первый взгляд. Свойства центрального угла и свойства вписанного угла помогут решать задачки легко и быстро.
- Вписанный угол в два раза меньше, чем центральный угол, если они опираются на одну и ту же дугу:
Угол AOC — центральный, угол ABC — вписанный. Оба угла опираются на дугу AC, в этом случае центральный угол равен дуге AC, а угол ABC равен половине угла AOC.
- Теорема о центральном угле: центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается:
- Вписанные углы окружности равны друг другу, если опираются на одну дугу:
ㄥADC = ㄥABC = ㄥAEC, поскольку все три угла, вписанные в окружность, опираются на одну дугу AC.
- Вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, — всегда прямой:
ㄥACB опирается на диаметр и на дугу AB, диаметр делит окружность на две равные части. Значит дуга AB = 180 ํ, ㄥCAB равен половине дуги, на которую он опирается, значит ㄥCAB = 90 ํ.
Если есть вписанный, обязательно найдется и описанный угол. Описанный угол — это угол, образованный двумя касательными к окружности. Вот так:
На рисунке: ㄥCAB, образованный двумя касательными к окружности. AO — биссектриса ㄥCAB, значит центр окружности лежит на биссектрисе описанного угла.
Для решения задачек мало знать, какой угол называется вписанным, а какой — описанным. Нужно знать, что такое хорда и ее свойство.
Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!
Хорда — отрезок, соединяющий две точки на окружности.
- Если две хорды в окружности пересекаются, то произведения отрезков одной равно произведению отрезков другой.
AB * AC = AE * AD
Получается, что стороны вписанного в окружность угла — это хорды.
- Если вписанные углы опираются на одну и ту же хорду — они равны, если их вершины находятся по одну сторону от хорды.
ㄥBAC = ㄥCAB, поскольку лежат на хорде BC.
- Если два вписанных угла опираются на одну и ту же хорду, то их суммарная градусная мера равна 180°, если их вершины находятся по разные стороны от хорды.
ㄥBAC + ㄥBDC = 180°
Видео:Вписанный угол, который опирается на диаметрСкачать
Примеры решения задач
Центральный, вписанные и описанные углы, как и любые другие, требуют тренировок в решении. Рассмотрите примеры решения задач и потренируйтесь самостоятельно.
Задачка 1. Дана окружность, дуга AC = 200°, дуга BC = 80°. Найдите, чему равен вписанный угол, опирающийся на дугу AB. ㄥACB = ?
Как решаем: окружность 360° − AC − CB = 360° − 200° − 80° = 80°
По теореме: вписанный угол равен дуге ½.
ㄥACB = ½ AB = 40°
Задачка 2. Дана окружность, ㄥAOC = 140°, найдите, чему равна величина вписанного угла.
Мы уже потренировались и знаем, как найти вписанный угол.
На рисунке в окружности центральный угол и дуга AC = 140°
Мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального, то ㄥABC = ½ AC = 140/2 = 70°
Задачка 3. Чему равен вписанный в окружность угол, опирающийся на дугу, если эта дуга = ⅕ окружности?
СB = ⅕ от 360° = 72°
Вписанный угол равен половине дуги, поэтому ㄥCAB = ½ от CB = 72° / 2 = 36°
📺 Видео
Задача 6 №27857 ЕГЭ по математике. Урок 103Скачать
Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
Вписанные и центральные углы #огэ #огэматематика #математикаСкачать
ОГЭ 2019. Задание 17. Разбор задач. Геометрия. Окружность.Скачать
Чему равен острый вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности?Скачать
Угол, опирающийся на диаметр окружности, прямой. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном углеСкачать
Задача 6 №27862 ЕГЭ по математике. Урок 105Скачать
ЗАДАНИЕ 1| ЕГЭ ПРОФИЛЬ|Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет 1/5 окружностСкачать
Вписанный угол, опирающийся на диаметр. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугуСкачать
Всё про вписанные и центральные углы за 4 минуты | Борис Трушин |Скачать
Свойство вписанного угла, опирающегося на диаметрСкачать
Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСССкачать
Вписанный угол, опирающийся на хорду, равную r окрСкачать
Вписанный угол, опирающийся на диаметр (полуокружность). Геометрия 8-9 классСкачать
