Вписанные и описанные треугольники конспект (7 видео)

Вписанные и описанные треугольники. Еще две формулы площади треугольника. Теорема синусов

Вписанный треугольник — треугольник, все вершины которого лежат на окружности. Тогда окружность называется описанной вокруг треугольника.

Очевидно, расстояние от центра описанной окружности до каждой из вершин треугольника одинаково и равно радиусу этой окружности.

Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну.

Окружность вписана в треугольник, если она касается всех его сторон. Тогда сам треугольник будет описанным вокруг окружности. Расстояние от центра вписанной окружности до каждой из сторон треугольника равно радиусу этой окружности.

В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну.

Попробуйте сами описать окружность вокруг треугольника и вписать окружность в треугольник.

Как вы думаете, почему центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис треугольника, а центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам?

В задачах ЕГЭ чаще всего встречаются вписанные и описанные правильные треугольники.

Есть и другие задачи. Для их решения вам понадобятся еще две формулы площади треугольника, а также теорема синусов.

Вот еще две формулы для площади.
Площадь треугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

— радиус окружности, вписанной в треугольник.

Есть и еще одна формула, применяемая в основном в задачах части :

где — стороны треугольника, — радиус описанной окружности.

Для любого треугольника верна теорема синусов:

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен . Найдите гипотенузу c этого треугольника. В ответе укажите .

Треугольник прямоугольный и равнобедренный. Значит, его катеты одинаковы. Пусть каждый катет равен . Тогда гипотенуза равна .

Запишем площадь треугольника АВС двумя способами:

Приравняв эти выражения, получим, что . Поскольку , получаем, что . Тогда .

В ответ запишем .

. Сторона АС треугольника АВС с тупым углом В равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.

По теореме синусов,

Получаем, что . Угол — тупой. Значит, он равен .

. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны , основание равно . Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Углы треугольника не даны. Что ж, выразим его площадь двумя разными способами.

, где — высота треугольника. Ее найти несложно — ведь в равнобедренном треугольнике высота является также и медианой, то есть делит сторону пополам. По теореме Пифагора найдем . Тогда .

Задачи на вписанные и описанные треугольники особенно необходимы тем, кто нацелен на решения задания .

Содержание

План-конспект урока в 9 классе по теме «Треугольник и окружность»
Инструкция-комментарий по выставлению баллов в оценочный лист.
Произвольный треугольник
Прямоугольный треугольник
Вариант 2
Описанная и вписанная окружность
теория по математике 📈 планиметрия
Описанная окружность
Вписанная окружность
Вписанный и описанный треугольники
Вписанный и описанный четырехугольники
🎬 Видео

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

План-конспект урока в 9 классе по теме «Треугольник и окружность»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Тема урока: Вписанные и описанные треугольники.

9 класс, геометрия.

Дата проведения: 03.02.2010 г.

Тип урока: урок обобщения

«Считай несчастным тот день или тот час, в котором, ты не усвоил ничего нового, ничего не прибавил к своему образованию»

Ян Амос Каменский.

обобщить и систематизировать знания учащихся по теме «Вписанные и описанные треугольники».

совершенствовать навыки решения задач по данной теме.

способствовать развитию умений сравнивать, выявлять закономерности, обобщать.

способствовать созданию условий для самоконтроля усвоения знаний и умений.

содействовать развитию логического мышления, внимания, речи, повышению познавательной активности детей

способствовать воспитанию наблюдательности, самостоятельности, чувства ответственности, повышению уровня мотивации обучения.

Организационный момент (1 мин.)

Проверка домашнего задания (3 мин)

Теоретическая разминка. (3мин)

Запись основных формул на доске (3 мин)

Разгадывание кроссворда. (3мин)

Нахождение ошибки в теоретических положениях Саши Иванова (5 мин)

Устное решение задач на готовых чертежах (10 мин)

Минутка отдыха (физкультминутка) (1 мин)

Письменное решение задач в тетрадях и на доске. (8 мин)

Домашнее задание (2 мин)

Подведение итогов, выставление оценок. (3 мин)

Рефлексия. (3 мин)

Сегодня у нас необычный урок, на нём присутствуют гости, учителя математики нашей школы

Цель нашего с вами урока повторить, обобщить систематизировать свои знания по теме «Вписанные и описанные треугольники»,

совершенствовать навыки решения задач по данной теме.

В процессе решения этих задач мы будем стараться пояснять их решения грамотно и красиво, и этим развивать своё мышление и речь. Также мы будем стараться думать и анализировать, добросовестно выполнять каждое задание.

Эпиграфом сегодняшнего урока мы возьмём слова Яна Амоса Каменского

Чем же мы будем заниматься на уроке?

Проверка домашнего задания

Запись основных формул на доске

Нахождение ошибок в теоретических положениях Саши Иванова

Устное решение задач на готовых чертежах

Минутка отдыха (физкультминутка)

Письменное решение задач в тетрадях и на доске.

Подведение итогов, выставление оценок.

Чтобы легче было подвести итоги урока, мы будем использовать оценочные листы, которые у вас на партах.

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Инструкция-комментарий по выставлению баллов в оценочный лист.

Ученикам отвечающим по домашнему заданию у доски ставится по 3 балла, если нет замечаний, остальным правильно выполнившим домашнее задание – 2 балла

За правильный ответ – 1 балл.

За правильный ответ на вопрос кроссворда ученик получает 1 балл.

Нахождение ошибок в теоретических положениях Саши Иванова.

За исправление ошибки – 1 балл.

Устное решение задач на готовых чертежах

За полное решение задачи по готовому чертежу –2 балла.

Письменное решение задач в тетрадях и на доске.

За решённую задачу ученик получает 2 балла.

Ученик, набравший 14 и более баллов, получает отметку – 10, от 10 до 14 – отметку 9, от 8 до 11 – отметку 8, 7 баллов — отметка 7, 6 балов — отметка 6 и т.д.

2 . Проверка домашнего задания.

Два ученика вызываются к доске для записи и объяснения домашних задач №10 и №12. (Геометрия. 10 кл. В.В. Шлыкова)

№ 10. Найдите радиус окружности вписанной в прямоугольный треугольник с катетами 8 и 15 см.

№ 12. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 12 см. Радиус вписанной в него окружности равен 5 см. Найти периметр треугольника.

После объяснения учащиеся класса задают вопросы отвечающим.

3. Теоретическая разминка

Дайте определение окружности, вписанной в треугольник.

Какую из замечательных точек треугольника называют центром вписанной окружности?

Чему равен радиус вписанной окружности?

Дайте определение описанной около треугольника окружности.

Какую из замечательных точек треугольника называют центром описанной окружности?

Чему равен радиус описанной окружности?

Где находится центр окружности, описанной возле прямоугольного треугольника?

Чему равен её радиус?

Как найти радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности, зная гипотенузу и полупериметр?

Как найти радиус описанной возле треугольника окружности, зная сторону и противолежащий угол?

Как найти площадь треугольника ( три формулы)

4. Запись основных формул на доске

Произвольный треугольник

Прямоугольный треугольник

r = c-p

Равносторонний треугольник

R =2 r

Окружность, которая касается всех сторон треугольника.

Где лежит центр вписанной окружности

Что нужно знать для нахождения площади

Окружность, вершины которой лежат на окружности

В каком треугольнике радиус описанной окружности равен половине большей стороны

Где лежит центр описанной окружности около прямоугольного треугольника

Расстояние от центра окружности до любой точки на окружности

(ок. 570-ок. 500 гг. до н.э.)

Письменных документов о Пифагоре Самосском не осталось, а по более поздним свидетельствам трудно восстановить подлинную картину его жизни и достижений. Известно, что Пифагор покинул свой родной остров Самос в Эгейском море у берегов Малой Азии в знак протеста против тирании правителя и уже в зрелом возрасте (по преданию в 40 лет) появился в греческом городе Кротоне на юге Италии. Пифагор и его последователи — пифагорейцы — образовали тайный союз, игравший немалую роль в жизни греческих колоний в Италии. Пифагорейцы узнавали друг друга по звездчатому пятиугольнику — пентаграмме.

На учение Пифагора большое влияние оказала философия и религия Востока. Он много путешествовал по странам Востока: был в Египте и в Вавилоне. Там Пифагор познакомился и с восточной математикой. Математика стала частью его учения, и важнейшей частью.

Пифагорейцы верили, что в числовых закономерностях спрятана тайна мира. Мир чисел жил для пифагорейца особой жизнью, числа имели свой особый жизненный смысл. Числа, равные сумме своих делителей, воспринимались как совершенные (6, 28, 496, 8128); дружественными называли пары чисел, из которых каждое равнялось сумме делителей другого (например, 220 и 284). Пифагор впервые разделил числа на четные и нечетные, простые и составные, ввел понятие фигурного числа. В его школе были подробно рассмотрены пифагоровы тройки натуральных чисел, у которых квадрат одного равнялся сумме квадратов двух других. Пифагору приписывалось высказывание: «Все есть число» К числам он хотел свести весь мир, и математику в частности. Но в самой школе Пифагора было сделано открытие, нарушавшее эту гармонию.

Было доказано, что не является рациональным числом, т.е. не выражается через натуральные числа.

Естественно, что геометрия Пифагора была подчинена арифметике, это ярко проявилось в теореме носящей его имя и ставшей в дальнейшем основой применения численных методов в геометрии. По-видимому, пифагорейцы знали правильные тела: тетраэдр, куб и додекаэдр.

Пифагору приписывают систематическое введение доказательств в гео метрию, создание планиметрии прямолинейных фигур, учения о подобии.

С именем Пифагора связывают учение об арифметических, геометрических и гармонических пропорциях, средних.

Нахождение ошибок в теоретических положениях Саши Иванова

1 . Окружность называется вписанной в треугольник, если её вершины лежат на окружности.

2. Центр окружности вписанной в треугольник лежит на пересечении серединных перпендикуляров

3. В прямоугольном треугольнике

4. Центр окружности описанной около равнобедренного треугольника лежит на середине большей стороны.

5. В равнобедренном треугольнике радиус описанной окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности.

Вариант 2

1. Окружность называется описанной около треугольника, если она касается всех сторон окружности.

2. Центр окружности описанной около треугольника лежит на пересечении биссектрис

3.В равнобедренном треугольнике

4. Радиус окружности, описанной около прямоугольного равен половине гипотенузы.

5. 6.

7. Устное решение задач на готовых чертежах

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Описанная и вписанная окружность

теория по математике 📈 планиметрия

Видео:Тема 7. Вписанные и описанные окружности треугольникаСкачать

Описанная окружность

Окружность называется описанной вокруг многоугольника, если все вершины многоугольника принадлежат этой окружности. Многоугольник в этом случае называется вписанным в окружность.

Любой правильный многоугольник можно вписать в окружность. На рисунке описанная окружность проходит через каждую вершину правильного шестиугольника.

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная окружность

Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон. Многоугольник в этом случае называется описанным около окружности.

В любой правильный многоугольник можно вписать окружность. На рисунке окружность вписана в правильный шестиугольник, она касается всех его сторон.

Вписанный и описанный треугольники

Центр описанной около треугольника окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника.

В любой треугольник можно вписать окружность: Центр вписанной окружности

Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении его биссектрис.

Вписанный и описанный четырехугольники

Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность. Например, в прямоугольник нельзя вписать окружность. По рисунку видно, что окружность касается только трех его сторон, что не соответствует определению.

Условие вписанной в 4-х угольник окружности

Окружность является вписанной в четырехугольник, если суммы длин противоположных сторон равны.

На рисунке выполняется данное условие, то есть AD + BC=DC + AB

Окружность является описанной около четырехугольника, если суммы противоположных углов равны 180 градусов.

На рисунке окружности описана около четырехугольника, следовательно выполнено условие, что сумма углов А и С равна сумме углов B и D и равна 180 градусов.