Внешняя нормаль к окружности как найти

Видео:Математика Без Ху!ни. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.Скачать

VMath

Инструменты сайта

Основное

Навигация

Информация

Действия

Содержание

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение касательной.Скачать

Касательная, нормальная плоскость, соприкасающаяся плоскость, бинормаль, главная нормаль, репер Френе

Видео:Уравнение касательной в точке. Практическая часть. 1ч. 10 класс.Скачать

Краткие теоретические сведения

Кривая в пространстве

Рассмотрим в пространстве гладкую кривую $gamma$.

Пусть точка $M$ принадлежит данной кривой и отвечает значению параметра $t=t_0$. Тогда радиус-вектор и координаты данной точки равны:

begin vec =vec (t_0), quad x_0=x(t_0),, y_0=y(t_0), , z_0=z(t_0). end

Пусть в точке $M$ $ vec (t_0)neqvec $, то есть $M$ не является особой точкой.

Касательная к кривой

Касательная к кривой, проведенная в точке $M$, имеет направляющий вектор коллинеарный вектору $vec (t_0)$.

Пусть $vec $ — радиус-вектор произвольной точки касательной, тогда уравнение этой касательной имеет вид

Здесь $lambdain(-infty,+infty)$ — параметр, определяющий положение точки на касательной (то есть разным значениям $lambda$ будут соответствовать разные значения $vec $).

Если $vec = $, $M = (x(t_0), y(t_0), z(t_0))$, то можно записать уравнение касательной в каноническом виде:

Нормальная плоскость

Плоскость, проходящую через данную точку $M$ кривой $gamma$ перпендикулярно касательной в этой точке, называют нормальной плоскостью.

Пусть $vec $ — радиус-вектор произвольной точки нормальной плоскости, тогда ее уравнение можно записать в векторном виде через скалярное произведение векторов $vec -vec (t_0)$ и $vec (t_0)$:

Если расписать покоординатно, то получим следующее уравнение:

begin x'(t_0)cdot(X-x(t_0))+y'(t_0)cdot(Y-y(t_0))+z'(t_0)cdot(Z-z(t_0))=0. end

Соприкасающаяся плоскость

Плоскость, проходящую через заданную точку $M$ кривой $gamma$ параллельно векторам $vec (t_0)$, $vec (t_0)$, когда они неколлинеарны, называют соприкасающейся плоскостью кривой.

Если $vec $ — радиус-вектор произвольной точки соприкасающейся плоскости, то ее уравнение можно записать через смешанной произведение трех компланарных векторов $vec -vec (t_0)$, $vec (t_0)$, $vec (t_0)$:

Зная координаты точки и векторов, определяющих плоскость, запишем смешанное произведение через определитель. Получим следующее уравнение соприкасающейся плоскости:

Бинормаль и главная нормаль

Прямая, проходящая через точку $M$ кривой $gamma$ перпендикулярно касательной к кривой в этой точке, называется нормалью.

Таких кривых можно провести бесконечно много, все они образуют нормальную плоскость. Мы выделим среди нормалей две — бинормаль и главную нормаль.

Нормаль, перпендикулярную соприкасающейся плоскости, называют бинормалью.

Нормаль, лежащую в соприкасающейся плоскости, называют главной нормалью.

Из определения бинормали (перпендикулярна касательной и перпендикулярна соприкасающейся плоскости) следует, что в качестве ее направляющего вектора мы можем взять векторное произведение $ vec (t_0)timesvec (t_0)$, тогда ее уравнение можно записать в виде:

Как и раньше, $vec $ — радиус-вектор произвольной точки бинормали. Каноническое уравнение прямой:

Из определения главной нормали (перпендикулярна касательной и перпендикулярна бинормали) следует, что в качестве ее направляющего вектора можно взять векторное произведение $vec (t_0) timesleft[vec (t_0),vec (t_0)right]$:

Уравнение в каноническом виде распишите самостоятельно.

Спрямляющая плоскость

Плоскость, проходящую через заданную точку $M$ кривой $gamma$ перпендикулярно главной нормали, называют спрямляющей плоскостью.

Другое определение: Плоскость, определяемую касательной к кривой и бинормалью в той же точке, называют спрямляющей плоскостью.

Второе определение позволяет записать уравнение спрямляющей плоскости через смешанное произведение трех компланарных векторов, определяющих эту плоскость $vec -vec (t_0)$, $vec (t_0)$, $vec (t_0)timesvec (t_0)$: begin left(vec -vec (t_0),, vec (t_0),, vec (t_0)timesvec (t_0)right)=0. end Зная координаты соответствующих векторов, можно легко записать это смешанное произведение через определитель, раскрыв который, вы получите общее уравнение спрямляющей плоскости.

Репер Френе

Орт (то есть единичный вектор) касательной обозначим: $$ vec =frac (t_0)> (t_0)|>. $$ Орт бинормали: $$ vec =frac (t_0)timesvec (t_0)> (t_0)timesvec (t_0)|>. $$ Орт главной нормали: $$ vec =frac (t_0) times[vec (t_0),,vec (t_0)]> (t_0) times [vec (t_0),,vec (t_0)]|>. $$

Правая тройка векторов $vec $, $vec $, $vec $ называется репером Френе.

Видео:Как написать уравнения касательной и нормали | МатематикаСкачать

Решение задач

Задача 1

Кривая $gamma$ задана параметрически:

Точка $M$, принадлежащая кривой, соответствует значению параметра $t=0$. Записать уравнения касательной, бинормали, главной нормали, нормальной плоскости, соприкасающейся плоскости и спрямляющей плоскости, проведенных к данной кривой в точке $M$. Записать векторы репера Френе.

Решение задачи 1

Задачу можно решать разными способами, точнее в разном порядке находить уравнения прямых и плоскостей.

Начнем с производных.

begin 1cdot X+0cdot Y+1cdot (Z-1)=0,, Rightarrow ,, X+Z=1. end

begin 1cdot X-4cdot Y-1cdot (Z-1)=0,, Rightarrow ,, X-4Y-Z+1=0. end

Поскольку направляющий вектор главной нормали у нас был найден как векторное произведение направляющих векторов касательной и бинормали, тройка $vec $, $vec $, $vec $ не будет правой (по определению векторного произведения вектор $vec timesvec $ направлен так, что тройка векторов $vec $, $vec $, $vec =vec timesvec $

— правая). Изменим направление одного из векторов. Например, пусть

Теперь тройка $vec $, $vec $, $vec >$ образует репер Френе для кривой $gamma$ в точке $M$.

Задача 2

Написать уравнение соприкасающейся плоскости к кривой $$ x=t,,, y=frac ,,, z=frac , $$ проходящей через точку $N(0,0,9)$.

Решение задачи 2

Нетрудно заметить, что точка $N$ не принадлежит заданной кривой $gamma$. Следовательно соприкасающаяся плоскость проведена в какой-то точке $M(t=t_0)ingamma$, но при этом плоскость проходит через заданную точку $N(0,0,9)$.

Найдем значение параметра $t_0$.

Для этого запишем уравнение соприкасающейся плоскости, проведенной в произвольной точке $M(t=t_0)$. И учтем, что координаты $N$ должны удовлетворять полученному уравнению.

Соприкасающаяся плоскость определяется векторами $vec (t_0)$, $vec (t_0)$, поэтому записываем определитель begin left| begin X-t_0 & Y-t_0^2/2 & Z-t_0^3/3 \ &&\ 1 & t_0 & t^2_0 \ &&\ 0 & 1 & 2t_0 end right|=0 quad Rightarrow end

begin (X-t_0)cdot t_0^2 — (Y-t_0^2/2)cdot 2t_0 + (Z-t_0^3/3)=0. end Подставляем вместо $X$, $Y$, $Z$ координаты точки $N$: $X=0$, $Y=0$, $Z=9$, упрощаем и получаем уравнение относительно $t_0$: begin 9-t_0^3/3=0 quad Rightarrow quad t_0=3. end Подставив найденное $t_0$ в записанное ранее уравнение, запишем искомое уравнение соприкасающейся плоскости: $$ 9X-6Y+Z-9=0. $$

Задача 3

Через точку $Pleft(-frac45,1,2right)$ провести плоскость, являющуюся спрямляющей для кривой: $$ x=t^2,,, y=1+t,,, z=2t. $$

Решение задачи 3

Как и в предыдущей задаче нам неизвестны координаты точки, в которой проведена спрямляющая плоскость к заданной кривой. Найдем их.

Спрямляющая плоскость определяется касательной и бинормалью, то есть векторами $vec (t_0)$ и $vec (t_0)timesvec (t_0)$.

Раскрываем определитель. Подставляем в уравнение координаты точки $P$: $X=-4/5$, $Y=1$, $Z=2$. Упрощаем и получаем уравнение для нахождения $t_0$: begin 5t_0^2-8t_0-4=0 ,, Rightarrow ,, t_ =2,, t_ =-frac25. end

Уравнения соприкасающихся плоскостей к заданной кривой, проходящих через $P$, принимают вид: begin & 5X-4Y-8Z+24=0,\ & 25X+4Y+8Z=0. end

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Окружность. Форма и положение.

Окружность — это замкнутая плоская линия, всякая точки которой равноудалена от одной и той же точки (O), называемой центром.

Прямые (OA, OB, OС. . . ), соединяющие центр с точками окружности — это радиусы.

Бесконечная прямая (MN), прочерченная через какие-нибудь две точки окружности – секущая. а часть ее (EF), заключенная между этими точками, называется хордой.

Всякая хорда (AD), прочерченная через центр — диаметр.

Диаметр представляет наибольшую из хорд..Всякий диаметр делит окружность и круг пополам. Таким образом, всякий диаметр разделит окружность на две полуокружности, а круг на два полукруга.

Какая-нибудь часть окружности (напр. EmF ) называется дугой.

О хорде (EF), соединяющей концы дуги, говорят, что она стягивает эту дугу.

Для определения дуги иногда применяют знак È ; напр., пишут так: ÈEmF.

Часть плоскости, ограниченная окружностью, именуют кругом.

Часть круга (напр., СOB, заштрихованная на чертеже), ограниченная дугой и двумя радиусами, проведенными к концам дуги, обозначают как сектор.

Часть круга, (напр., EmF), ограниченная дугой и стягивающей ее хордой, обозначают как сегмент.

Из этого получаем:

1. Все радиусы одной окружности равны.

2. Два круга с одинаковыми радиусами будут равны.

3. Диаметр равен двум радиусам.

4. Точка, лежащая внутри круга, ближе к центру, а точка, лежащая вне круга, дальше от центра, чем точки окружности.

5. Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и обе стягиваемые ею дуги пополам.

6. Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны.

При работе с окружностями применяют следующие теоремы:

1. Теорема. Прямая и окружность не могут иметь более двух общих точек.

Из этой теоремы получаем два логично вытекающих следствия:

Никакая часть окружности не может совместиться с прямой, потому что в противном случае окружность с прямой имела бы более двух общих точек.

Линия, никакая часть которой не может совместиться с прямой, называется кривой.

Из предыдущего следует, что окружность есть кривая линия.

2. Теорема. Через всякие три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность и только одну.

Как следствие данной теоремы получаем:

Три перпендикуляра к сторонам треугольника вписанного в окружность проведенные через их середины, пересекаются в одной точке, которая является центром окружности.

Решим задачу. Требуется найти центр предложенной окружности.

Отметим на предложенной три любые точки A, B и С , начертим через них две хорды, например, AB и СB, и из середины этих хорд укажем перпендикуляры MN и PQ. Искомый центр, будучи одинаково удален от A, B и С, должен лежать и на MN, и на PQ, следовательно, он находится на пересечении этих перпендикуляров, т.е. в точке O.

Видео:10 класс, 43 урок, Уравнение касательной к графику функцииСкачать

Как найти нормаль окружности

Пусть независимая переменная в точке ( ) получает приращение (Delta x.) Соответствующее приращение функции (Delta y) выражается формулой [Delta y = fleft( + Delta x> right) — fleft( > right).] На рисунке (1) точка ( ) имеет координаты (left( + Delta x, + Delta y> right).) Построим секущую (M .) Ее уравнение имеет вид [y — = kleft( > right),] где (k) − угловой коэффициент, зависящий от приращения (Delta x) и равный [k = kleft( right) = frac > >.] При уменьшении (Delta x) точка ( ) стремится к точке (M:) ( to M.) В пределе (Delta x to 0) расстояние между точками (M) и ( ) стремится к нулю. Это следует из непрерывности функции (fleft( x right)) в точке ( 🙂 [ Delta y = 0,>;; left| > right| > = sqrt right)>^2> + right)>^2>> = 0.> ] Предельное положение секущей (M ) как раз и представляет собой касательную прямую к графику функции (y = fleft( x right)) в точке (M.)

Возможны два вида касательных − наклонные и вертикальные .

Определение (1) .
Если существует конечный предел (limlimits_ kleft( right) = ,) то прямая, имеющая уравнение [y — = kleft( > right),] называется наклонной касательной к графику функции (y = fleft( x right)) в точке (left( , > right).)

Определение 2 .
Если предельное значение (k) при (Delta x to 0) является бесконечным: (limlimits_ kleft( right) = pm infty,) то прямая, имеющая уравнение [x = ,] называется вертикальной касательной к графику функции (y = fleft( x right)) в точке (left( , > right).)

Важно отметить, что [ = limlimits_ kleft( right) > = frac > > > = > right),> ] то есть угловой коэффициент касательной равен значению производной функции (fleft( > right)) в точке касания ( .) Поэтому уравнение наклонной касательной можно записать в таком виде: [ = f’left( > right)left( > right);;text >;; > right)left( > right) + fleft( > right).> ] Поскольку угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона (alpha,) который прямая образует с положительным направлением оси абсцисс, то справедливо следующее тройное равенство: [k = tan alpha = f’left( > right).]

Прямая, перпендикулярная касательной и проходящая через точку касания (left( , > right),) называется нормалью к графику функции (y = fleft( x right)) в этой точке (рисунок (2)).

Из геометрии известно, что произведение угловых коэффициентов перпендикулярных прямых равно (-1.) Поэтому, зная уравнение касательной в точке (left( , > right):) [y — = f’left( > right)left( > right),] можно сразу записать уравнение нормали в виде [y — = — frac > right)>>left( > right).]

Тангенс угла (beta) вычисляется по формуле [tan beta = frac >>.] Угол, образованный нормалью с продолженным радиусом-вектором, равен (beta + largefrac normalsize.) По формуле приведения получаем: [ > right) > = > > = >> .> ]

Видео:Математический анализ, 33 урок, Касательная плоскость и нормаль к поверхностиСкачать

Поверхности

Видео:8 класс, 32 урок, Касательная к окружностиСкачать

Простые поверхности.

Будем говорить, что функция (f(u, v)) непрерывно дифференцируема на замкнутом множестве (E subset boldsymbol^), если она определена и имеет непрерывные частные производные (partial f/partial u) и (partial f/partial v) на открытом множестве (G), содержащем замкнутое множество (E).

Пусть (Omega) — ограниченная область в (boldsymbol^), а функции (varphi(u, v)), (psi(u, v)) и (chi(u, v)) непрерывно дифференцируемы на замкнутом множестве (overline = Omega cup partial Omega), где (partial Omega) — граница области (Omega). Тогда отображение (F: overline rightarrow boldsymbol^), определяемое формулами
$$
x = varphi(u, v),quad y = psi(u, v),quad z = chi(u, v),quad (u, v) in overline,label
$$
называется непрерывно дифференцируемым.

Если при этом в каждой точке ((u, v) in Omega) ранг функциональной матрицы
$$
beginvarphi_(u, v)&psi_(u, v)&chi_(u, v)\varphi_(u, v)&psi_(u, v)&chi_(u, v)endlabel
$$
равен двум, то отображение (F: rightarrow boldsymbol^) называется гладким.

Если (overline) есть замкнутое ограниченное множество в (boldsymbol^), a (F: overline rightarrow boldsymbol^) есть такое гладкое отображение, что соответствие между множествами (overline) и (Sigma = F(overline)) является взаимно однозначным, то будем множество (Sigma) называть простой поверхностью в (boldsymbol^), а уравнения eqref будем называть параметрическими уравнениями простой поверхности (Sigma).

Пусть область (Omega) ограничена простым гладким или кусочно гладким контуром (gamma). Образ кривой (gamma) при гладком отображении (F: overline rightarrow boldsymbol^) будем называть краем простой поверхности (Sigma) и обозначать через (partial Sigma).

Если уравнение кривой (gamma) имеет вид
$$
u = u(t),quad v = v(t),quad alpha leq t leq beta,nonumber
$$
то уравнение (partialSigma) задается следующими формулами:
$$
x = varphi(u(t), v(t)),quad y = psi(u(t), v(t)),quad z = chi(u(t), v(t)),quad alpha leq t leq beta.label
$$

График функции (z = f(x, y)), непрерывно дифференцируемой на замкнутом ограниченном множестве (overline subset boldsymbol^), есть простая поверхность, определяемая параметрическими уравнениями
$$
x = u,quad y = v,quad z = f(u, v),quad (u, v) in overline.label
$$

В этом случае матрица (beginx_&x_\x_&y_end) является единичной, а поэтому ранг матрицы eqref равен двум.

Например, график функции (z = x^ + y^), ((x, y) in overline), где (overline = <(x, y): x^+ y^ leq 1>), есть простая поверхность. Окружность, получаемая при пересечении параболоида вращения (z = x^ + y^) и плоскости (z = 1), является краем рассматриваемой простой поверхности.

Уравнения eqref простой поверхности можно записать и в векторной форме:
$$
boldsymbol = boldsymbol(u, v),quad (u, v) in overline,quad boldsymbol(u, v) = varphi(u, v) boldsymbol + psi(u, v) boldsymbol + chi(u, v) boldsymbol.label
$$

С механической точки зрения формулы eqref определяют гладкую (без разрывов и изломов) деформацию плоской области (Omega) в множество (Sigma) (простую поверхность в пространстве (boldsymbol^)). Для практических целей только простых поверхностей недостаточно. Например, сфера (x^ + y^ + z^ = a^) не является простой поверхностью в (boldsymbol^). Интуитивно ясно, что сферу нельзя получить никакой гладкой деформацией плоской области.

Имея в виду приложения теории поверхностных интегралов, введем в рассмотрение класс почти простых поверхностей.

Пусть (Omega) — плоская область и (F: overline rightarrow boldsymbol^) — непрерывно дифференцируемое отображение. Будем множество (Sigma = F(overline)) называть почти простой поверхностью в (boldsymbol^), если найдется расширяющаяся последовательность ограниченных областей (<Omega_>) таких, что (overline_ subset Omega_), (Omega = displaystylebigcup_^Omega_) и поверхности (Sigma_ = F(overline_)) простые.

Сфера (S = <(x, y, z): x^+ y^ + z^ = a^>) есть почти простая поверхность.

(vartriangle) Введем сферические координаты. Тогда сфера (S) есть образ прямоугольника (overline = displaystyleleft<(varphi, psi): 0 leq varphi leq 2pi, -frac leq psi leq fracright>) при непрерывно дифференцируемом отображении (F: overline rightarrow S), определяемом формулами
$$
x = a cos varphi cos psi,qquad y = a sin varphi cos psi,qquad z = a sin psi.nonumber
$$

Образами отрезков (varphi = varphi_), (displaystyle-frac leq psi leq frac) являются меридианы, а при (displaystyle|psi_| Рис. 52.1

Конус (K = <(x, y, z): x^+ y^ = z^>) есть почти простая поверхность.

(vartriangle) Введем цилиндрические координаты. Тогда конус (K) есть образ полуполосы
$$
overline = <(r, varphi): 0 leq r Рис. 52.2

Легко проверить, что (overline_ subset Omega_), (Omega = displaystylebigcup_^Omega_) и что поверхности (Sigma_ = F(overline_)) являются простыми. Поэтому конус (K) — почти простая поверхность. (blacktriangle)

Если (Sigma) есть простая поверхность, заданная векторным уравнением eqref, а непрерывно дифференцируемые функции
$$
u = u(u’, v’), v = v(u’, v’), (u’, v’) in Omega’nonumber
$$
задают взаимно однозначное отображение замыкания области (Omega’) на замыкание ограниченной области (Omega), причем якобиан отображения
$$
frac = begindisplaystylefrac&displaystylefrac\displaystylefrac&displaystylefracendnonumber
$$
отличен от нуля в (overline’), то уравнение
$$
boldsymbol = boldsymbol (u(u’, v’), v(u’, v’)) equiv boldsymbol(u’, v’);quad (u’, v’) in Omega’,label
$$
определяет ту же простую поверхность, что и уравнение eqref. Уравнения eqref и eqref называют различными параметризациями поверхности (Sigma).

Как и в случае кривых, можно расширить класс параметризаций, допуская и такие замены параметров, при которых непрерывная дифференцируемость, взаимная однозначность и необращение в нуль якобиана отображения нарушаются на границе области. Тогда можно получить такие параметризации простой поверхности, задаваемые функциями, непрерывная дифференцируемость которых не имеет места на границе области (Omega).

(vartriangle) Переход от уравнений eqref к уравнениям eqref задается формулами
$$
u = a cos varphi cos psi,quad v = a sin varphi cos psi,quad (varphi, psi) in Omega’.label
$$

Якобиан отображения eqref равен (a^ sin varphi cos psi) и обращается в нуль при (psi = 0), то есть на части границы области (Omega’). Это приводит к тому, что при переходе к параметризации eqref частные производные функции (z = sqrt<a^-u^-v^>) стремятся к бесконечности при приближении точки (u, v) к окружности (u^ + v^ = a^). (blacktriangle)

Как правило, в дальнейшем для простых поверхностей будут рассматриваться только такие параметризации, которые задаются непрерывно дифференцируемыми на замкнутом ограниченном множестве функциями.

Видео:Уравнение окружности (1)Скачать

Криволинейные координаты на поверхности.

Пусть простая поверхность (Sigma) задана векторным уравнением eqref. Предположим, что область (Omega) выпукла, ([a, b]) есть проекция области (Omega) на ось (u). Если (u_ = in (a, b)), то прямая (u = u_) будет пересекаться с областью (Omega) по отрезку (u = u_), (alpha leq v leq beta) (рис. 52.3). Образ этого отрезка при отображении eqref есть кривая
$$
boldsymbol = boldsymbol (u_, v), alpha leq v leq beta,label
$$
лежащая на поверхности (Sigma). Будем называть ее координатной кривой (u = u_). Придавая (u_) все значения из отрезка ([a, b]), получим семейство координатных кривых (u = operatorname). Аналогично строится и семейство координатных кривых (v = operatorname).

Рис. 52.3

В силу взаимной однозначности отображения eqref каждая точка (A) поверхности (S) однозначно определяется как пересечение двух координатных кривых, (u = u_) и (v = v_). Пара чисел ((u_, v_)) называется криволинейными координатами точки (A) поверхности. Запись (A(u_, v_)) означает, что точка (A) поверхности (Sigma) задана криволинейными координатами ((u_, v_)).

Например, в сферических координатах часть сферы (x^ + y^ + z^ = a^), ограниченная двумя меридианами и двумя параллелями, задается в криволинейных координатах (varphi), (psi) следующим образом:
$$
varphi_ leq varphi leq varphi_,quad psi_ leq psi leq psi_.nonumber
$$

На сфере координатные кривые (varphi = operatorname) — меридианы, а координатные кривые (psi = operatorname) — параллели.

На прямом круговом цилиндре координатными линиями будут образующие цилиндра и окружности, получающиеся при пересечении цилиндра плоскостями, перпендикулярными образующей.

Вектор-функция (boldsymbol (u_, v)) есть непрерывно дифференцируемая функция параметра (v), и, следовательно, координатная кривая (u = u_), определяемая равенством eqref, является непрерывно дифференцируемой. Вектор (boldsymbol_ (u_, v_)) является касательным к этой кривой в точке (A(u_, v_)). Аналогично, вектор (boldsymbol_ (u_, v_)) касателен к координатной кривой (v = v_) в точке (A(u_, v_)). Заметим, что векторы (boldsymbol_ (u_, v_)) и (boldsymbol_ (u_, v_)) не могут обратиться в нуль, так как в этом случае ранг матрицы eqref будет меньше двух. Следовательно, для простой поверхности координатные кривые являются гладкими.

Если область (Omega) не является выпуклой, а точка ((u_, v_)) лежит внутри (Omega), то нужно взять выпуклую окрестность точки ((u_, v_)), лежащую внутри (Omega). Тогда образ этой выпуклой окрестности будет куском поверхности (Sigma) и координатные кривые можно строить на этом куске поверхности (локально).

Видео:3. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной и нормали.Скачать

Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Пусть (Sigma) есть простая поверхность, заданная уравнениями eqref или векторным уравнением eqref. Рассмотрим точку (A(u, v)) на поверхности (Sigma), где ((u, v)) — внутренняя точка области (Omega). Построим координатные линии (u = operatorname) и (v = operatorname), проходящие через точку (A(u, v)). Векторы (boldsymbol_ (u, v)) и (boldsymbol_ (u, v)) будут касательными к соответствующим координатным линиям.

В любой точке (A(u, v)) простой поверхности (Sigma) векторы (boldsymbol_ (u, v)) и (boldsymbol_(u, v)) неколлинеарны. Направление вектора (N = [boldsymbol_, boldsymbol_]) при изменении способа параметризации или не меняется, или изменяется на противоположное.

(circ) Рассмотрим вектор (N = [boldsymbol_, boldsymbol_]) во всех точках поверхности (Sigma). Тогда
$$
boldsymbol=beginy_&z_\y_&z_endboldsymbol + beginz_&x_\z_&x_endboldsymbol + beginx_&y_\x_&y_endboldsymbol.nonumber
$$
Если (boldsymbol = boldsymbol), то все компоненты вектора (boldsymbol) равны нулю, и ранг матрицы eqref будет меньше двух, что невозможно для простой поверхности. Пусть поверхность (Sigma) параметризована двумя способами, eqref и eqref. Тогда, воспользовавшись правилом нахождения частных производных сложной функции и аддитивностью и кососимметричностью векторного произведения, получаем
$$
boldsymbol’ = [boldsymbol_, boldsymbol_] = [boldsymbol_ frac + boldsymbol_ frac, boldsymbol_ frac + boldsymbol_ frac] =\= [boldsymbol_, boldsymbol_] left(fracfrac-fracfracright) = [boldsymbol_, boldsymbol_] frac,nonumber
$$
то есть
$$
boldsymbol’ = boldsymbol frac.label
$$
Так как якобиан (J = displaystylefrac) не обращается в нуль в области (Omega’), то векторы (boldsymbol’) и (boldsymbol) коллинеарны. Эти векторы сонаправлены, если (J > 0), и противоположно направлены, если (J Лемма 2.

Вектор нормали к простой поверхности (Sigma) в точке (A(u_, v_)) ортогонален ко всем гладким кривым, лежащим на поверхности и проходящим через точку (A(u_, v_)).

(circ) В самом деле, такая кривая есть образ при отображении eqref некоторой гладкой кривой, лежащей в области (Omega) и задаваемой уравнениями (u = u(t)), (v = v(t)), (alpha leq t leq beta).

Уравнение кривой на поверхности тогда имеет вид
$$
boldsymbol = boldsymbol(u(t), v(t)), alpha leq t leq beta, u(t_) = u_, v(t_) = v_.
$$

Касательный вектор (boldsymbol) к этой кривой в точке (A) есть
$$
boldsymbol = frac

.nonumber
$$

Итак, (boldsymbol) есть линейная комбинация векторов (boldsymbol_ (u_, v_)) и (boldsymbol_(u_, v_)). Так как вектор (boldsymbol) ортогонален (boldsymbol_ (u_, v_)) и (boldsymbol_(u_, v_)), то он ортогонален и вектору (boldsymbol), то есть вектор нормали к поверхности в точке (A) ортогонален к любой гладкой кривой, лежащей на поверхности и проходящей через точку (A). (bullet)

Плоскость, проходящая через точку (A(u, v)) поверхности и ортогональная вектору (boldsymbol), называется касательной плоскостью к поверхности в точке (A). Пусть ((X, Y, Z)) — декартовы координаты точки касательной плоскости и пусть (boldsymbol = Xboldsymbol + Yboldsymbol + Zboldsymbol). Тогда векторы (boldsymbol-boldsymbol(u, v), boldsymbol_(u, v), boldsymbol_(u, v)) параллельны касательной плоскости, следовательно, их смешанное произведение равно нулю. Поэтому векторное уравнение касательной плоскости имеет вид
$$
(boldsymbol-boldsymbol(u, v), boldsymbol_(u, v), boldsymbol_(u, v)) = 0.nonumber
$$

В силу равенства eqref форма этого уравнения не зависит от выбора параметризации поверхности. Уравнение касательной плоскости в координатах имеет следующий вид:
$$
beginX-x(u, v)&Y-y(u, v)&Z-z(u, v)\x_(u, v)&y_(u, v)&z_(u, v)\x_(u, v)&y_(u, v)&z_(u, v)end = 0.nonumber
$$

Нормалью к поверхности в точке (A(u, v)) называется прямая, проходящая через точку (A) и параллельная вектору нормали в точке (A). Так как при изменении параметризации вектор нормали не меняет своего направления или изменяет его на противоположное в каждой точке поверхности, то нормаль не зависит от параметризации. Ее векторное уравнение имеет вид
$$
boldsymbol-boldsymbol(u, v) = k[boldsymbol_, boldsymbol_], -infty

Видео:Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и ОкружностьСкачать

Кусочно гладкие поверхности.

Из определения простой поверхности, данного в п. 1, следует, что она есть гладкий и взаимно однозначный образ некоторой плоской области, то есть получается из этой области при помощи гладких (без изломов) деформаций (отображений). Ясно, что многие объекты, которые мы привыкли называть поверхностями, не будут простыми поверхностями. Так, сфера не может быть непрерывным образом деформирована в плоскую область. Коническая поверхность не может быть получена гладкой деформацией плоской области.

Попытки дать общую классификацию поверхностей увели бы нас далеко в область высшей геометрии. Замечательным классом поверхностей в (boldsymbol^) являются гладкие многообразия размерности 2, то есть связные множества, которые локально (в окрестности каждой своей точки) устроены, как простая гладкая поверхность. Например, сфера будет гладким многообразием. Если (A) есть точка сферы радиуса (a), то шар (S_(A)) при (varepsilon Рис. 52.4

Из гладких кусков можно склеивать не только гладкие многообразия, но и связные поверхности, имеющие ребра и вершины (например, поверхности многогранников) (рис. 52.5).

Рис. 52.5

Мы не станем тут заниматься математической формализацией таких понятий, как разрезание и склеивание поверхностей, и тем более основанной на этом классификации поверхностей. Заметим только, что трудности возникают при построении общих теорий. В любом разумном частном случае нет проблем с разрезанием поверхности на простые куски. Поверхность, которую можно разрезать на конечное число простых кусков, будем называть кусочно гладкой.

Видео:Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность S (нормаль внешняя).Скачать

Ориентируемые поверхности.

Будем говорить, что гладкая поверхность ориентируема, если можно построить на этой поверхности непрерывное поле единичных нормальных векторов. Говорят, что это поле единичных нормалей определяет ориентацию (или сторону) поверхности. Меняя направление всех единичных нормалей на противоположное, получим опять непрерывное поле единичных нормальных векторов. Говорят, что оно определяет противоположную ориентацию (другую сторону) поверхности. На простой гладкой поверхности всегда определено непрерывное поле единичных нормальных векторов
$$
boldsymbol = frac<[boldsymbol_, boldsymbol_]><|[boldsymbol_, boldsymbol_]|>.label
$$

Произвольные гладкие поверхности могут быть как ориентируемыми (двусторонними), так и неориентируемыми (односторонними).

Торы, изображенные на рис. 52.4, ориентируемы; бутылка Клейна — неориентируемая (односторонняя) поверхность. Легко построить лежащий на этой поверхности замкнутый гладкий контур такой, что, выбирая в какой-то точке контура вектор единичной нормали к поверхности и непрерывно изменяя его при движении по контуру, мы придем к начальной точке с противоположным направлением нормали. Следовательно, на бутылке Клейна построить непререрывное поле единичных нормальных векторов невозможно.

Заметим еще, что сфера, тор, тор с двумя дырами (рис. 52.4) делят пространство на ограниченную и неограниченную области, общей границей которых они являются. Бутылка Клейна таким свойством не обладает.

Можно доказать, что гладкая поверхность, являющаяся границей области в (boldsymbol^), ориентируема. Ее внутренняя сторона задается нормальными векторами, направленными внутрь области (внутренними нормалями), внешняя сторона определяется внешними нормалями. Очевидно, что для построения поля внутренних нормалей к границе области достаточно построить внутреннюю нормаль к какой-то одной точке границы.

Рис. 52.6

Каждая плоскость делит пространство (boldsymbol^) на два полупространства. Если плоскость рассматривать как границу полупространства, то внутренняя нормаль определяется естественным образом как направленная внутрь полупространства (рис. 52.6). Если (partial G) есть гладкая граница области (G), то касательная плоскость в точке (x in partial G) называется опорной, если область лежит по одну сторону от касательной плоскости, то есть в одном из полупространств, определяемых этой плоскостью. В точке (x in partial G) определена внутренняя нормаль (рис. 52.7).

Рис. 52.7

Границу области (G), ориентированную внешними нормалями, будем обозначать через (partial G), а внутренними — через (partial G^).

Несколько более сложно определяется ориентация кусочно гладких поверхностей.

Рис. 52.8

Пусть (Sigma) — простая поверхность (рис. 52.8), то есть гладкий и взаимно однозначный образ замыкания плоской области (Omega). В декартовых координатах отображение задается равенствами eqref. Прообразом гладкого простого контура (Gamma subset Sigma) будет простой гладкий контур (gamma subset Omega). Будем говорить, что контур (Gamma) ориентирован положительно, если его прообраз (gamma) ориентирован в плоскости ((u, v)) положительно (рис. 52.9), то есть при обходе контура (gamma) область, им ограничиваемая, остается слева (вектор касательной и вектор внутренней нормали образуют правую пару векторов в ориентированной плоскости ((u, v))). Будем говорить, что ориентация простой поверхности (Sigma), задаваемая полем единичных нормалей
$$
boldsymbol = frac<[boldsymbol_, boldsymbol_]><|[boldsymbol_, boldsymbol_]|>,nonumber
$$
согласована с положительной ориентацией простых контуров, лежащих на поверхности (Sigma).

Рис. 52.9

Покажем, что предложенное правило согласования ориентации поверхности с ориентациями простых контуров, лежащих на поверхности, совпадает с известным правилом правого винта. Пусть (A(u_, v_) in Sigma), то есть ((u_, v_) in Omega). Без ограничения общности можно считать, что (u_ = 0), (v_ = 0). Построим в точке (A)(0,0) касательную плоскость и ориентируем ее вектором нормали (boldsymbol) или, что то же самое, парой векторов ((boldsymbol_)(0, 0), (boldsymbol_)(0,0)). Возьмем в плоскости переменных (u), (v) окружность радиуса (varepsilon) с центром в точке (0,0):
$$
u = varepsilon cos t, v = varepsilon sin t, 0 leq t leq 2pi.nonumber
$$

Ее образ на поверхности есть простой замкнутый контур (Gamma):
$$
boldsymbol = boldsymbol (varepsilon cos t, varepsilon sin t), 0 leq t leq 2pi.nonumber
$$

С точностью до (boldsymbol(varepsilon)) при (varepsilon rightarrow 0) получаем, что
$$
boldsymbol = boldsymbol(0,0) + varepsilon boldsymbol_(0,0)cos t + varepsilon boldsymbol_(0,0)sin t + boldsymbol(varepsilon).nonumber
$$

С точностью до (boldsymbol(varepsilon)) кривая (Gamma) есть эллипс в касательной плоскости, ориентированной парой векторов ((boldsymbol_)(0, 0), (boldsymbol_)(0,0)).

Ориентация эллипса положительна (рис. 52.10). Если смотреть на касательную плоскость со стороны вектора нормали (boldsymbol), то движение по эллипсу происходит против часовой стрелки, от вектора (boldsymbol_)(0, 0) к вектору (boldsymbol_)(0, 0) (область, ограничиваемая эллипсом, остается слева).

Рис. 52.10

Пусть кусочно гладкая поверхность (Sigma) склеена из гладких простых кусков (Sigma_, Sigma_, ldots, Sigma_). Если склеивание происходит вдоль кривой (gamma), то после удаления концов кривой (gamma) она входит в края двух и только двух поверхностей (Sigma_). Кусочно гладкая поверхность (Sigma) называется ориентируемой, если можно так ориентировать гладкие куски (Sigma_), (i = overline) что после согласования ориентации (Sigma_) с ориентациями (partial Sigma_) любая кривая склейки будет входить в состав краев соответствующих двух поверхностей с противоположными ориентациями (рис. 52.11).

Рис. 52.11

Можно показать, что кусочно гладкая поверхность, являющаяся границей ограниченной области, ориентируема, при этом каждый ее гладкий кусок можно ориентировать внутренними нормалями. В дальнейшем мы будем рассматривать только ориентируемые гладкие и кусочно гладкие поверхности.

Видео:Уравнения касательной и нормали к кривой, заданной в неявном видеСкачать

VMath

Инструменты сайта

Основное

Навигация

Информация

Действия

Содержание

Видео:9 класс, 6 урок, Уравнение окружностиСкачать

Касательная, нормальная плоскость, соприкасающаяся плоскость, бинормаль, главная нормаль, репер Френе

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Краткие теоретические сведения

Кривая в пространстве

Рассмотрим в пространстве гладкую кривую $gamma$.

Пусть точка $M$ принадлежит данной кривой и отвечает значению параметра $t=t_0$. Тогда радиус-вектор и координаты данной точки равны:

begin vec=vec(t_0), quad x_0=x(t_0),, y_0=y(t_0), , z_0=z(t_0). end

Пусть в точке $M$ $ vec(t_0)neqvec$, то есть $M$ не является особой точкой.

Касательная к кривой

Касательная к кривой, проведенная в точке $M$, имеет направляющий вектор коллинеарный вектору $vec(t_0)$.

Пусть $vec$ — радиус-вектор произвольной точки касательной, тогда уравнение этой касательной имеет вид

Здесь $lambdain(-infty,+infty)$ — параметр, определяющий положение точки на касательной (то есть разным значениям $lambda$ будут соответствовать разные значения $vec$).

Если $vec=$, $M = (x(t_0), y(t_0), z(t_0))$, то можно записать уравнение касательной в каноническом виде:

Нормальная плоскость

Плоскость, проходящую через данную точку $M$ кривой $gamma$ перпендикулярно касательной в этой точке, называют нормальной плоскостью.

Пусть $vec$ — радиус-вектор произвольной точки нормальной плоскости, тогда ее уравнение можно записать в векторном виде через скалярное произведение векторов $vec-vec(t_0)$ и $vec(t_0)$:

Если расписать покоординатно, то получим следующее уравнение:

begin x'(t_0)cdot(X-x(t_0))+y'(t_0)cdot(Y-y(t_0))+z'(t_0)cdot(Z-z(t_0))=0. end

Соприкасающаяся плоскость

Плоскость, проходящую через заданную точку $M$ кривой $gamma$ параллельно векторам $vec(t_0)$, $vec(t_0)$, когда они неколлинеарны, называют соприкасающейся плоскостью кривой.

Если $vec$ — радиус-вектор произвольной точки соприкасающейся плоскости, то ее уравнение можно записать через смешанной произведение трех компланарных векторов $vec-vec(t_0)$, $vec(t_0)$, $vec(t_0)$:

Зная координаты точки и векторов, определяющих плоскость, запишем смешанное произведение через определитель. Получим следующее уравнение соприкасающейся плоскости:

begin left| begin X-x(t_0) & Y-y(t_0) & Z-z(t_0) \ x'(t_0) & y'(t_0) & z'(t_0)\ x»(t_0) & y»(t_0) & z»(t_0) \ end right|=0 end

Бинормаль и главная нормаль

Прямая, проходящая через точку $M$ кривой $gamma$ перпендикулярно касательной к кривой в этой точке, называется нормалью.

Таких кривых можно провести бесконечно много, все они образуют нормальную плоскость. Мы выделим среди нормалей две — бинормаль и главную нормаль.

Нормаль, перпендикулярную соприкасающейся плоскости, называют бинормалью.

Нормаль, лежащую в соприкасающейся плоскости, называют главной нормалью.

Из определения бинормали (перпендикулярна касательной и перпендикулярна соприкасающейся плоскости) следует, что в качестве ее направляющего вектора мы можем взять векторное произведение $ vec(t_0)timesvec(t_0)$, тогда ее уравнение можно записать в виде:

Как и раньше, $vec$ — радиус-вектор произвольной точки бинормали. Каноническое уравнение прямой:

Из определения главной нормали (перпендикулярна касательной и перпендикулярна бинормали) следует, что в качестве ее направляющего вектора можно взять векторное произведение $vec(t_0) timesleft[vec(t_0),vec(t_0)right]$:

Уравнение в каноническом виде распишите самостоятельно.

Спрямляющая плоскость

Плоскость, проходящую через заданную точку $M$ кривой $gamma$ перпендикулярно главной нормали, называют спрямляющей плоскостью.

Другое определение: Плоскость, определяемую касательной к кривой и бинормалью в той же точке, называют спрямляющей плоскостью.

Второе определение позволяет записать уравнение спрямляющей плоскости через смешанное произведение трех компланарных векторов, определяющих эту плоскость $vec-vec(t_0)$, $vec(t_0)$, $vec(t_0)timesvec(t_0)$: begin left(vec-vec(t_0),, vec(t_0),, vec(t_0)timesvec(t_0)right)=0. end Зная координаты соответствующих векторов, можно легко записать это смешанное произведение через определитель, раскрыв который, вы получите общее уравнение спрямляющей плоскости.

Репер Френе

Орт (то есть единичный вектор) касательной обозначим: $$ vec=frac<vec(t_0)><|vec(t_0)|>. $$ Орт бинормали: $$ vec=frac<vec(t_0)timesvec(t_0)><|vec(t_0)timesvec(t_0)|>. $$ Орт главной нормали: $$ vec=frac<vec(t_0) times[vec(t_0),,vec(t_0)]><|vec(t_0) times [vec(t_0),,vec(t_0)]|>. $$

Правая тройка векторов $vec$, $vec$, $vec$ называется репером Френе.

Видео:Уравнение касательнойСкачать

Решение задач

Задача 1

Кривая $gamma$ задана параметрически:

Точка $M$, принадлежащая кривой, соответствует значению параметра $t=0$. Записать уравнения касательной, бинормали, главной нормали, нормальной плоскости, соприкасающейся плоскости и спрямляющей плоскости, проведенных к данной кривой в точке $M$. Записать векторы репера Френе.

Решение задачи 1

Задачу можно решать разными способами, точнее в разном порядке находить уравнения прямых и плоскостей.

Начнем с производных.

begin 1cdot X+0cdot Y+1cdot (Z-1)=0,, Rightarrow ,, X+Z=1. end

begin left| begin X-0 & Y-0 & Z-1 \ 1 & 0 & 1\ 0 & 2 & 1 \ end right|=0 end Раскрываем определитель, получаем уравнение: begin -2X-Y+2Z-2=0 end

begin 1cdot X-4cdot Y-1cdot (Z-1)=0,, Rightarrow ,, X-4Y-Z+1=0. end

Поскольку направляющий вектор главной нормали у нас был найден как векторное произведение направляющих векторов касательной и бинормали, тройка $vec$, $vec$, $vec$ не будет правой (по определению векторного произведения вектор $vectimesvec$ направлен так, что тройка векторов $vec$, $vec$, $vec=vectimesvec$

— правая). Изменим направление одного из векторов. Например, пусть

Теперь тройка $vec$, $vec$, $vec<tilde>$ образует репер Френе для кривой $gamma$ в точке $M$.

Задача 2

Написать уравнение соприкасающейся плоскости к кривой $$ x=t,,, y=frac,,, z=frac, $$ проходящей через точку $N(0,0,9)$.

Решение задачи 2

Нетрудно заметить, что точка $N$ не принадлежит заданной кривой $gamma$. Следовательно соприкасающаяся плоскость проведена в какой-то точке $M(t=t_0)ingamma$, но при этом плоскость проходит через заданную точку $N(0,0,9)$.

Найдем значение параметра $t_0$.

Для этого запишем уравнение соприкасающейся плоскости, проведенной в произвольной точке $M(t=t_0)$. И учтем, что координаты $N$ должны удовлетворять полученному уравнению.

Соприкасающаяся плоскость определяется векторами $vec(t_0)$, $vec(t_0)$, поэтому записываем определитель begin left| begin X-t_0 & Y-t_0^2/2 & Z-t_0^3/3 \ &&\ 1 & t_0 & t^2_0 \ &&\ 0 & 1 & 2t_0 end right|=0 quad Rightarrow end

begin (X-t_0)cdot t_0^2 — (Y-t_0^2/2)cdot 2t_0 + (Z-t_0^3/3)=0. end Подставляем вместо $X$, $Y$, $Z$ координаты точки $N$: $X=0$, $Y=0$, $Z=9$, упрощаем и получаем уравнение относительно $t_0$: begin 9-t_0^3/3=0 quad Rightarrow quad t_0=3. end Подставив найденное $t_0$ в записанное ранее уравнение, запишем искомое уравнение соприкасающейся плоскости: $$ 9X-6Y+Z-9=0. $$

Задача 3

Через точку $Pleft(-frac45,1,2right)$ провести плоскость, являющуюся спрямляющей для кривой: $$ x=t^2,,, y=1+t,,, z=2t. $$

Решение задачи 3

Как и в предыдущей задаче нам неизвестны координаты точки, в которой проведена спрямляющая плоскость к заданной кривой. Найдем их.

Спрямляющая плоскость определяется касательной и бинормалью, то есть векторами $vec(t_0)$ и $vec(t_0)timesvec(t_0)$.

Записываем уравнение спрямляющей плоскости: begin left| begin X-t_0^2 & Y-1-t_0 & Z-2t_0 \ 2t_0 & 1 & 2\ 0 & 4 & -2 end right|= 0 end

Раскрываем определитель. Подставляем в уравнение координаты точки $P$: $X=-4/5$, $Y=1$, $Z=2$. Упрощаем и получаем уравнение для нахождения $t_0$: begin 5t_0^2-8t_0-4=0 ,, Rightarrow ,, t_=2,, t_=-frac25. end

Уравнения соприкасающихся плоскостей к заданной кривой, проходящих через $P$, принимают вид: begin & 5X-4Y-8Z+24=0,\ & 25X+4Y+8Z=0. end

📽️ Видео

Репетитор по математике ищет нормаль к плоскостиСкачать

Что такое касательная | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин |Скачать

14.1. Касательная к параметрически заданной функцииСкачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать