Вершина основания равнобедренного треугольника

§ 9. Равнобедренный треугольник и его свойства

Треугольник, у которого две стороны равны, называют равнобедренным.

На рисунке 153 изображён равнобедренный треугольник ABC , у которого AB = BC .

Равные стороны треугольника называют боковыми сторонами, а третью сторону — основанием равнобедренного треугольника.

Вершиной равнобедренного треугольника называют общую точку его боковых сторон (точка B на рис. 153). При этом угол B называют углом при вершине , а углы A и C — углами при основании равнобедренного треугольника.

Треугольник, у которого все стороны равны, называют равносторонним.

На рисунке 154 изображён равносторонний треугольник ABC . Равносторонний треугольник — частный случай равнобедренного треугольника.

В равнобедренном треугольнике: 1) углы при основании равны; 2) биссектриса треугольника, проведённая из угла при вершине, является медианой и высотой.

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC , у которого AB = BC , отрезок BL — его биссектриса (рис. 155). Требуется доказать, что ∠ A = ∠ C , AL = LC , BL ⊥ AC .

В треугольниках ABL и CBL сторона BL — общая, ∠ ABL = ∠ CBL , так как по условию BL — биссектриса угла ABC , стороны AB и BC равны как боковые стороны равнобедренного треугольника. Следовательно, ∆ ABL = ∆ CBL по первому признаку равенства треугольников. Отсюда можно сделать такие выводы: 1) ∠ A = ∠ C ; 2) AL = LC ; 3) ∠ ALB = ∠ CLB .

Так как отрезки AL и LC равны, то BL — медиана треугольника ABC .

Углы ALB и CLB −смежные, следовательно, ∠ ALB + ∠ CLB = 180°. Учитывая, что ∠ ALB = ∠ CLB , получаем: ∠ ALB = ∠ CLB = 90°. Значит, отрезок BL — высота треугольника ABC .

Из теоремы 9.1 следует, что:

1) в треугольнике против равных сторон лежат равные углы ;

2) в равнобедренном треугольнике биссектриса, высота и медиана, проведённые из его вершины, совпадают ;

3) в равностороннем треугольнике все углы равны ;

4) в равностороннем треугольнике биссектриса, высота и медиана, проведённые из одной вершины, совпадают.

Если в треугольнике длины всех сторон различны, то такой треугольник называют разносторонним.

Задача. Отрезок AD — медиана равнобедренного треугольника ABC , проведённая к основанию. На сторонах AB и AC отмечены соответственно точки M и K так, что BM = CK . Докажите равенство треугольников AMD и AKD .

Решение. Точка M принадлежит отрезку AB , а точка K — отрезку AC , следовательно, AB = AM + BM , AC = AK + CK (рис. 156).

Так как AB = AC и BM = CK , то AM = AK .

Углы BAD и CAD равны, поскольку медиана равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является его биссектрисой.

Заметим, что AD — общая сторона треугольников AMD и AKD .

Следовательно, ∆ AMD = ∆ AKD по двум сторонам и углу между ними.

1. Какие существуют виды треугольников в зависимости от количества равных сторон?
2. Какой треугольник называют равнобедренным? Равносторонним? Разносторонним?
3. Какие стороны равнобедренного треугольника называют боковыми?
4. Какую сторону равнобедренного треугольника называют основанием?
5. Сформулируйте свойство углов равнобедренного треугольника.
6. Сформулируйте свойство биссектрисы равнобедренного треугольника, проведённой к основанию.
7. Каким свойством обладают углы треугольника, лежащие против его равных сторон?
8. Сформулируйте свойство углов равностороннего треугольника.
9. Каким свойством обладают биссектриса, высота и медиана равностороннего треугольника, проведённые из одной вершины?

1) разносторонний остроугольный треугольник;

2) равнобедренный прямоугольный треугольник;

3) равнобедренный тупоугольный треугольник.

1) разносторонний прямоугольный треугольник;

2) разносторонний тупоугольный треугольник.

198. Начертите равнобедренный треугольник с боковой стороной, равной 3 см, так, чтобы его угол при вершине был: 1) острым; 2) прямым; 3) тупым. В построенных треугольниках проведите высоты к боковым сторонам.

199. 1) Найдите периметр равнобедренного треугольника, основание которого равно 13 см, а боковая сторона — 8 см.

2) Периметр равнобедренного треугольника равен 39 см, а основание — 15 см. Найдите боковые стороны треугольника.

200. Периметр равнобедренного треугольника равен 28 см, а боковая сторона — 10 см. Найдите основание треугольника.

201. Найдите стороны равнобедренного треугольника, периметр которого равен 32 см, а основание на 5 см больше боковой стороны.

202. Найдите стороны равнобедренного треугольника, периметр которого равен 54 см, а основание в 4 раза меньше боковой стороны.

203. В равнобедренном треугольнике ABC сторона AC — основание, ∠ BCA = 40°, ∠ ABC = 100°, BD — медиана. Найдите углы треугольника ABD .

204. На рисунке 157 AB = BC , BD — медиана треугольника ABC , ∠ ABD 53°. Найдите ∠ ABC и ∠ ADE .

205. На рисунке 158 MK = KE , OE = 6 см, ∠ MKE = 48°, ∠ POE = 90°. Найдите сторону ME и угол MKO .

206. На рисунке 159 AB = BC , ∠ 1 = 140°. Найдите ∠ 2.

207. Угол, вертикальный углу при вершине равнобедренного треугольника, равен 68°. Найдите угол между боковой стороной треугольника и медианой, проведённой к основанию.

208. Угол, смежный с углом при вершине равнобедренного треугольника, равен 76°. Найдите угол между боковой стороной треугольника и высотой, опущенной на основание.

209. На рисунке 160 AB = BC , DC = DE . Докажите, что ∠ A = ∠ E .

210. Прямая пересекает стороны угла A в точках B и C так, что AB = AC (рис. 161). Докажите, что ∠ 1 = ∠ 2.

211. На рисунке 162 AO = CO , ∠ AOB = ∠ COB . Докажите, что ∆ ABC — равнобедренный.

212. Треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC , BD — его биссектриса, DM — биссектриса треугольника BDC . Найдите угол ADM .

213. Один ученик утверждает, что треугольник ABC — равнобедренный, а другой ученик — что треугольник ABC равносторонний.

1) Могут ли оба ученика быть правыми?

2) В каком случае прав только один ученик и какой именно?

214. Иcпользуя признаки равенства треугольников, докажите признак равенства равнобедренных треугольников по боковой стороне и углу при вершине.

215. Иcпользуя признаки равенства треугольников, докажите признак равенства равнобедренных треугольников по основанию и прилежащему к нему углу.

216. На основании AC равнобедренного треугольника ABC отмечены точки M и K так, что точка M лежит между точками A и K , причём AM = CK . Докажите, что ∆ MBK — равнобедренный.

217. В треугольнике MKE известно, что MK = ME . На стороне KE отмечены точки F и N так, что точка N лежит между точками F и E , причём ∠ KMF = ∠ EMN . Докажите, что ∠ MFN = ∠ MNF .

218. На боковых сторонах CA и CB равнобедренного треугольника ABC отложены равные отрезки CK и CM . Докажите, что: 1) ∆ AMC = ∆ BKC ; 2) ∆ AMB = ∆ BKA .

219. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC на медиане BD отметили произвольную точку M . Докажите, что: 1) ∆ AMB = ∆ CMB ; 2) ∆ AMD = ∆ CMD .

220. Докажите, что биссектрисы равнобедренного треугольника, проведённые из углов при основании, равны.

221. Докажите, что медианы равнобедренного треугольника, проведённые к боковым сторонам, равны.

222. Докажите, что середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами равнобедренного треугольника.

223. Найдите третью сторону равнобедренного треугольника, если две другие его стороны равны 7 см и 4 см. Сколько решений имеет задача?

224. Одна из сторон равнобедренного треугольника равна 4 см. Найдите две другие стороны, если периметр треугольника равен 14 см.

225. Верно ли утверждение:

1) биссектриса равнобедренного треугольника является его высотой и медианой; 2) биссектриса равностороннего треугольника является его высотой и медианой; 3) если периметр треугольника в 3 раза больше одной из его сторон, то этот треугольник равносторонний?

226. На сторонах равностороннего треугольника ABC (рис. 163) отметили точки M , K и D так, что AD = BM = CK . Докажите, что ∆ MKD — равносторонний.

227. На продолжениях сторон AB , BC , AC равностороннего треугольника ABC (рис. 164) за точки A , B и C соответственно отложили равные отрезки AD , BK и CE . Докажите, что ∆ DEK — равносторонний.

228. Основание равнобедренного треугольника равно 20 см, а его медиана разбивает данный треугольник на два треугольника так, что периметр одного из них на 6 см меньше периметра другого. Найдите боковую сторону данного треугольника. Сколько решений имеет задача?

Упражнения для повторения

229. На рисунке 165 a ⊥ b , ∠ 1 = 35°. Найдите ∠ 2, ∠ 3, ∠ 4.

Видео:7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать

Равнобедренный треугольник. Онлайн калькулятор

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти неизвестные элементы (стороны, углы) а также периметр, площадь, высоты равнобедренного треугольника. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Видео:№238. Докажите, что в равнобедренном треугольнике отрезок, соединяющий любую точку основания,Скачать

Определение равнобедренного треугольника

Определение 1 (Евклид). Треугольник, в котором длины двух сторон равны между собой называется равнобедренным треугольником.

Равные стороны равнобедренного трекугольника называются боковыми сторонами. Третья сторона равнобедренного треугольника называется основанием треугольника (Рис.1).

Угол между боковыми сторонами равнобедненного треугольника (( small angle A ) ) называется вершинным углом. Углы между основанием и боковыми сторонами (( small angle B, angle C ) ) называются углами при основании.

Существует более общее определение равнобедненого треугольника:

Определение 2 (Современная трактовка). Треугольник, в котором длины хотя бы двух сторон равны между собой называется равнобедренным треугольником.

Из определения 2 следует, что равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного треугольника. Действительно, в качестве равных сторон можно взять любые две стороны равностороннего треугольника, а третья сторона будет основанием.

Видео:№261. Докажите, что в равнобедренном треугольнике высоты, проведенные из вершин основания, равны.Скачать

Теорема о равнобедренном треугольнике

Теорема 1. Углы, прилежащие к основанию равнобедренного треугольника равны.

Доказательство (доказательство Прокла). Пусть задан равнобедренный треугольник ABC, где AB=AC (Рис.2). Докажем, что ( small angle B= angle C. ) Возьмем любую точку D на стороне AC и точку E на стороне AB так, чтобы AD=AE. Проведем отрезки DE, CE, BD. Треугольники ABD и ACE равны по двум сторонам и углу между ними: AE=AD, AC=AB, угол ( small angle A ) общий (см. статью на странице Треугольники. Признаки равенства треугольников). Отсюда следует:

Из ( small AB=AC) и ( small AD=AE ) следует:

Рассмотрим треугольники CBE и BCD. Они равны по трем сторонам: ( small CE=BD,) ( small CD=BE ,) сторона ( small BC ) общая. Отсюда следует, что

Из (2) и (4) следует, что ( small angle B= angle C. )

Доказательство (Вариант 2). Пусть задан равнобедренный треугольник ABC, где AB=AC (Рис.3). Проведем биссектрису ( small AH ) треугольника. Тогда ( small angle CAH=angle BAH. ) Докажем, что ( small angle B= angle C. ) Треугольники AHB и AHC равны по двум сторонам и углу между ними: AC=AB, сторона ( small AH ) общая, ( small angle CAH=angle BAH. ) Отсюда следует: ( small angle B= angle C. )

Видео:№234. Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен 115°. Найдите углы треугольника.Скачать

Свойства равнобедренного треугольника

Теорема 2. В равнобедренном треугольнике биссектриса проведенная к основанию является медианой и высотой.

Доказательство. Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, где AB=AC, а AH− биссектриса треугольника (Рис.3). Треугольники AHB и AHC равны по двум сторонам и углу между ними: AC=AB, сторона ( small AH ) общая, ( small angle 1=angle 2. ) Тогда ( small CH=HB, ) ( small angle 3=angle 4. ) Равенство ( small CH=HB ) означает, что ( small AH ) является также медианой треугольника ABC. Углы ( small angle 3) и ( angle 4 ) смежные. Следовательно их сумма равна 180° и, поскольку эти углы равны, то каждый из этих углов равен 90°. Тогда ( small AH ) является также высотой треугольника ( small ABC. ) Поскольку высота ( small AH ) перпендикулярна к ( small BC ) и ( small CH=HB, ) то ( small AH ) является также серединным перпендикуляром к основанию равнобедренного треугольника.

Мы доказали, что биссектриса, медиана, высота и серединный перпендикуляр равнобедренного треугольника, проведенные к основанию совпадают.

Исходя из теоремы 2 можно сформулировать следующие теоремы, доказательство которых аналогично доказательству теоремы 2:

Теорема 3. В равнобедренном треугольнике медиана проведенная к основанию является биссектрисой и высотой.

Теорема 4. В равнобедренном треугольнике высота проведенная к основанию является биссектрисой и медианой.

Видео:Геометрия. 7 класс. Теоремы. Т5. Первое свойство равнобедренного треугольника.Скачать

Признаки равнобедренного треугольника

Признак 1. Если в треугольнике две стороны равны, то треугольник является равнобедренным.

Признак 1 следует из определения 1.

Признак 2. Если в треугольнике два угла равны, то треугольник является равнобедренным.

Доказательство признака 2 смотрите в статье Соотношения между сторонами и углами треугольника (Следствие 2. Признак равнобедренного треугольника).

Признак 3. Если в треугольнике высота проведенная к одной стороне совпадает с медианой проведенной к этой же стороне, то треугольник является равнобедренным.

Доказательство. Пусть в треугольнике ( small ABC ) ( small AH ) является высотой и медианой (Рис.4). Тогда ( small angle 3=angle4=90°, ) ( small CH=HB. ) Треугольники ( small AHC ) и ( small AHB ) равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников): ( small AH ) − общая сторона, ( small CH=HB, ) ( small angle 3=angle4. ) Следовательно ( small AB=AC. )

Признак 4. Если в треугольнике высота проведенная к одной стороне совпадает с биссектрисой проведенной к этой же стороне, то треугольник является равнобедренным.

Доказательство. Пусть в треугольнике ( small ABC ) ( small AH ) является высотой и биссектрисой (Рис.4). Тогда ( small angle 3=angle4=90°, ) ( small angle 1=angle2. ) Треугольники ( small AHC ) и ( small AHB ) равны по стороне и прилежащим двум углам (второй признак равенства треугольников): ( small AH ) − общая сторона, ( small angle 1=angle 2, ) ( small angle 3=angle4. ) Следовательно ( small AB=AC. )

Признак 5. Если в треугольнике биссектриса проведенная к одной стороне совпадает с медианой проведенной к этой же стороне, то треугольник является равнобедренным.

Доказательство (Вариант 1). Пусть в треугольнике ( small ABC ) ( small AH ) является биссектрисой и медианой (Рис.5). Тогда

Применим теорему синусов для треугольника ( small AHC ):

Применим теорему синусов для треугольника ( small AHB ):

тогда, из (5), (6), (7) получим:

Следовательно ( small sin angle C= sin angle B. ) Поскольку сумма всех углов треугольника равна 180°, то нам интересует синус углов от 0 до 180°. Учитывая это получим, что синусы углов равны в двух случаях: 1) ( small angle C= angle B, ) 2) ( small angle C= 180° — angle B. ) Поскольку сумма двух углов треугольника меньше 180°: ( small angle C + angle B Доказательство (Вариант 2). Пусть в треугольнике ( small ABC ) ( small AH ) является биссектрисой и медианой, т.е. ( small angle 1=angle 2, ) ( small CH=HB ) (Рис.6). На луче ( small AH ) отложим отрезок ( small HD ) так, чтобы ( small AH=HD. ) Соединим точки ( small C ) и ( small D. )

Треугольники ( small AHB ) и ( small DHC ) равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников). Действительно: ( small AH=HD, ) ( small CH=HB, ) ( small angle 4=angle 5 ) (углы 4 и 5 вертикальные). Тогда ( small AB=CD, ) ( small angle 6=angle 2. ) Отсюда ( small angle 6=angle 1. ) Получили, что треугольник ( small CAD ) равнобедренный (признак 2). Тогда ( small AC=CD. ) Но ( small AB=CD ) и, следовательно ( small AB=AC. ) Получили, что треугольник ( small ABC ) равнобедренный.

Видео:№233. Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника,Скачать

1. Признак равенства равнобедренных треугольников по основанию и боковой стороне

Если основание и боковая сторона одного равнобедренного треугольника соответственно равны основанию и боковой стороне другого равнобедненного треугольника, то эти треугольники равны.

Действительно. Поскольку треугольник равнобедренный, то боковые стороны равны. То есть три стороны одного равнобедренного треугольника соответственно равны трем сторонам другого равнобедненного треугольника. А по третьему признаку равенства треугольников, эти треугольники равны.

Видео:Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать

2. Признак равенства равнобедренных треугольников по боковой стороне и углу при вершине

Если боковая сторона и угол при вершине одного равнобедренного треугольники соответственно равны боковой стороне и углу при вершине другого равнобедренного треугольника, то такие треугольники равны.

Действительно. Так как боковые стороны равнобедненного треугольника равны, то имеем: две стороны и угол между ними одного треугольника соотвественно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника. Тогда по первому признаку равенства треугольников, эти реугольники равны.

Видео:Равнобедренный треугольник. 7 класс.Скачать

3. Признак равенства равнобедренных треугольников по основанию и углу при основании

Если основание и угол при основании равнобедренного треугольника соответственно равны основанию и углу при основании другого равнобедренного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. тогда имеем: основание и две углы одного равнобедненного треугольника равны основанию и двум углам другого равнобедненного треугольника. Тогда эти треугольники равны по второму признаку равенства треугольников.

Видео:№163. Докажите, что середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами другого равнобедСкачать

Задачи и решения

Задача 1. Известны основание ( small a=5 ) и высота ( small h=6 ) равнобедренного треугольника. Найти углы, боковые стороны, периметр, площадь.

Решение. Найдем боковые стороны ( small b ) и ( small c ) равнобедренного треугольника. Воспользуемся теоремой Пифагора:

(9)

Подставляя значения ( small a ) и ( small h ) в (9), получим:

Боковая сторона ( small c ) равнобедренного треугольника равна:

Найдем периметр треугольника. Периметр треугольника равен сумме длин его сторон:

(10)

Подставляя значения ( small a=5, ) ( small b=6.5 ) и ( small c=6.5 ) в (10), получим:

Найдем угол ( small B ) равнобедренного треугольника:

(11)

Подставляя значения ( small a=5, ) ( small h=6 ) в (11), получим:

Тогда угол ( small C ) равнобедренного треугольника равен:

Поскольку сумма всех углов треугольника равна 180°, то имеем:

,

Площадь треугольника можно вычислить из формулы:

(12)

Подставляя значения ( small a=5, ) ( small h=6 ) в (12), получим:

Видео:№259. Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 120°. Высота, проведеннаяСкачать

Равнобедренный треугольник: свойства, признаки и формулы

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:Свойства равнобедренного треугольника. 7 класс.Скачать

Определение равнобедренного треугольника

Какой треугольник называется равнобедренным?

Давайте посмотрим на такой треугольник:

На рисунке хорошо видно, что боковые стороны равны. Это равенство и делает треугольник равнобедренным.

А вот как называются стороны равнобедренного треугольника:

AB и BC — боковые стороны,

AC — основание треугольника.

Для понимания материала нам придется вспомнить, что такое биссектриса, медиана и высота, если вы вдруг забыли.

Биссектриса — луч, который исходит из вершины угла и делит этот угол на два равных угла.

Даже если вы не знаете определения, то про крысу, бегающую по углам и делящую их пополам, наверняка слышали. Она не даст вам забыть, что такое биссектриса. А если вам не очень приятны крысы, то вместо нее бегать может кто угодно. Биссектриса — это киса. Биссектриса — это лИса. Никаких правил для воображения нет. Все правила — для геометрии.

Обратите внимание на рисунок. В представленном равнобедренном треугольнике биссектрисой будет отрезок BH.

Медиана — отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Для медианы не придумали веселого правила, как с биссектрисой, но можно его придумать. Например, буддийская запоминалка: «Медиана — это Лама, бредущий из вершины треугольника к середине его основания и обратно».

В данном треугольнике медианой является отрезок BH.

Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или на прямую, содержащую сторону треугольника.

Высотой в представленном равнобедренном треугольнике является отрезок BH.

Видео:Геометрия Основание равнобедренного треугольника равно a а противолежащий ему угол равен α НайдитеСкачать

Признаки равнобедренного треугольника

Вот несколько нехитрых правил, по которым легко определить, что перед вами не что иное, как его величество равнобедренный треугольник.

1. Если у треугольника два угла равны, то этот треугольник — равнобедренный.
2. Если высота треугольника совпадает с его медианой, проведенной из того же угла, то такой треугольник — равнобедренный.
3. Если высота треугольника совпадает с его биссектрисой, проведенной из того же угла, то такой треугольник — равнобедренный.
4. Если биссектриса треугольника совпадает с его медианой, проведенной из того же угла, то такой треугольник снова равнобедренный!

Видео:Построение равнобедренного треугольникаСкачать

Свойства равнобедренного треугольника

Чтобы понять суть равнобедренного треугольника, нужно думать как равнобедренный треугольник, стать равнобедренным треугольником — и выучить 4 теоремы о его свойствах.

Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Пусть AС — основание равнобедренного треугольника. Проведем биссектрису DK. Треугольник ADK равен треугольнику CDK по двум сторонам и углу между ними (AD = DC, DK — общая, а так как DK — биссектриса, то угол ADK равен углу CDK). Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов, значит угол A равен углу C. Изи!

Теорема 2: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Δ ABH = Δ CBH по двум сторонам и углу между ними (углы ABH и CBH равны, потому что BH биссектриса, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

Значит, во-первых, AH = HC и BH — медиана.

Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит, они равны по 90 градусов и BH — высота.

Теорема 3: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Δ ABH = Δ CBH по трём сторонам (AH = CH равны, потому что BH медиана, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.

Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит они равны по 90 градусов и BH — высота.

Теорема 4: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

Δ ABH = Δ CBH по признаку прямоугольных треугольников, равенство гипотенуз и соответствующих катетов (AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.

Во-вторых, AH = HC и BH — медиана.

Видео:Нахождение площади равнобедренного треугольника при помощи теоремы Пифагора | Геометрия | АлгебраСкачать

Примеры решения задач

Нет ничего приятнее, чем поупражняться и поискать углы и стороны в равнобедренном треугольнике. Ну… почти ничего.

Задачка раз. Дан ΔABC с основанием AC: ∠C = 80°, AB = BC. Найдите ∠B.

Поскольку вы уже знакомы с различными теоремами, то для вас не секрет, что углы при основании в равнобедренном треугольнике равны, а треугольник ABC — равнобедренный, так как AB = BC.

Значит, ∠A = ∠C = 80°.

Не должно вас удивить и то, что сумма углов треугольника равна 180°.

∠B = 180° − 80° − 80° = 20°.

Задачка два. В треугольнике ABC провели высоту BH, угол CAB равен 50°, угол HBC равен 40°. Найдите сторону BC, если BA = 5 см.

Сумма углов треугольника равна 180°, а значит в Δ ABH мы можем узнать угол ABH, который будет равен 180° − 50° − 90° = 40°.

А ведь получается, что углы ABH и HBC оба равны по 40° и BH — биссектриса.

Ну и раз уж BH является и биссектрисой, и высотой, то Δ ABC — равнобедренный, а значит BC = BA = 5 см.

Изучать свойства и признаки равнобедренного треугольника лучше всего на курсах по математике с опытными преподавателями в Skysmart.

🎦 Видео

угол при вершине противолежащей основанию равнобедренного треугольника равен 150Скачать

Вариант 28, № 4. Равнобедренный треугольник. Угол при вершинеСкачать

1839 угол при вершине противолежащей основанию равнобедренного треугольникаСкачать

Равнобедренный треугольник: боковые стороны, основание, угол при вершине, углы при основанииСкачать

Задача 6 №27900 ЕГЭ по математике. Урок 128Скачать

№158. Основание равнобедренного треугольника равно 8 см. Медиана, проведенная к боковой сторонеСкачать