Цели и задачи: 1) Познакомить учащихся с одним из возможных способов задания
2) Повторение пройденного и закрепление навыков формализации
текстовых вероятностных задач с помощью геометрических фигур.
1) Знать определение геометрической вероятности выбора точки
внутри фигуры на плоскости и прямой;
2) Уметь решать простейшие задачи на геометрическую вероятность,
зная площади фигур или умея их вычислять.
I. Выбор точки из фигуры на плоскости.
Пример 1. Рассмотрим мысленный эксперимент: точку наудачу бросают на квадрат, сторона которого равна 1. Спрашивается, какова вероятность события, которое состоит в том, что расстояние от этой точки до ближайшей стороны квадрата не больше чем ?
В этой задаче речь идет о так называемой геометрической вероятности.
Рассмотрим более общие условия опыта.
Точку наудачу бросают в фигуру F на плоскости. Какова вероятность того, что точка попадает в некоторую фигуру G, которая содержится в фигуре F.
Ответ зависит от того, какой смысл мы вкладываем в выражение «бросить точку наудачу».
Обычно это выражение трактуют так:
1. Брошенная точка может попасть в любую часть фигуры F.
2. Вероятность того, что точка попадает в некоторую фигуру G внутри фигуры F, прямо пропорциональна площади фигуры G.
Подведем итог: пусть и — площади фигур F и G . Вероятность события А «точка Х принадлежит фигуре G, которая содержится в фигуре F», равна
.
Заметим, что площадь фигуры G не больше, чем площадь фигуры F, поэтому
Вернемся к нашей задаче. Фигура F в этом примере квадрат со стороной 1. Поэтому =1.
Точка удалена от границы квадрата не более чем на , если она попала в заштрихованную на рисунке фигуру G. Чтобы найти площадь , нужно из площади фигуры F вычесть площадь внутреннего квадрата со стороной .
Тогда вероятность того, что точка попала в фигуру G, равна
Пример 2. Из треугольника АВС случайным образом выбирается точка Х. Найти вероятность того, что она принадлежит треугольнику, вершинами которого являются середины сторон треугольника.
Решение: Средние линии треугольника разбивают его на 4 равных треугольников. Значит,
Вероятность того, что точка Х принадлежит треугольнику KMN, равна:
Вывод. Вероятность попадания точки в некоторую фигуру прямо пропорциональна площади этой фигуры.
Задача. Нетерпеливые дуэлянты.
Дуэли в городе Осторожности редко кончаются печальным исходом. Дело в том, что каждый дуэлянт прибывает на место встречи в случайный момент времени между 5 и 6 часами утра и, прождав соперника 5 минут, удаляется. В случае же прибытия последнего в эти 5 минут дуэль состоится. Какая часть дуэлей действительно заканчивается поединком?
Решение: Пусть х и у обозначают время прибытия 1-го т 2-го дуэлянтов соответственно, измеренное в долях часа начиная с 5 часов.
Дуэлянты встречаются, если , т. е. x —
Видео:Геометрическая вероятностьСкачать
Геометрическое определение вероятности
Геометрическое определение вероятности применимо для несовместных событий, в которых число равновозможных исходов бесконечно, например, попадания точки на участок отрезка, плоскости, пространства, объёма.
Общая формула для определения геометрической вероятности:
Отношение меры области g, благоприятствующей событию А, к мере всей области G.
Формула геометрической вероятности попадания точки на участок отрезка L для одномерного пространства равна:
Формула геометрической вероятности попадания точки в область пространства S для фигур в двухмерном пространстве равна:
Формула геометрической вероятности попадания точки в заданный объём для фигур в трёхмерном пространстве V равна:
Пример 1
Решение
Пример 2
Решение
Аналогично первому примеру, вероятность равна:
P(A)=l/L=10/20=1/2
Пример 3
В круг радиуса R помещен меньший круг радиуса r. Найти вероятность того, что точка, наудачу брошенная в большой круг, попадет также и в малый круг. Предполагается, что вероятность попадания точки в круг пропорциональна площади круга и не зависит от его расположения.
Пример 4
Быстро вращающийся диск разделен на четное число равных секторов, попеременно окрашенных в белый и черный цвет. По диску произведен выстрел. Найти вероятность того, что пуля попадет в один из белых секторов. Предполагается, что вероятность попадания пули в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры
Решение
P(A)=0.5·πr 2 /πr 2 =0.5
Пример 5
Два студента условились встретиться в определенном месте между 12 и 13 часами дня. Пришедший первым ждет второго в течение 1/4 часа, после чего уходит. Найти вероятность того, что встреча состоится, если каждый студент наудачу выбирает момент своего прихода (в промежутке от 12 до 13 часов).
Видео:Теория вероятностей | Математика TutorOnlineСкачать
Алгебра и начала математического анализа. 11 класс
Конспект урока
Алгебра и начала математического анализа, 11 класс
Урок №37. Геометрическая вероятность.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
- Геометрическая вероятность
- Задачи на геометрическую вероятность
Глоссарий по теме
Испытанием называется осуществление определенных действий.
Под событием понимают любой факт, который может произойти в результате испытания.
Любой результат испытания называется исходом.
Достоверным называют событие, которое в результате испытания обязательно произойдёт.
Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдёт в результате испытания.
Геометрической вероятностью некоторого события называется отношение P(A) = g/G, где G – геометрическая мера, выражающая общее число всех равновозможных исходов данного испытания, а g – мера, выражающая количество благоприятствующих событию A исходов
Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И. Под ред. А.Б. Жижченко. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. Уровни. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 336 с.: ил. – ISBN 978-5-09-022250
Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О. С., Шварцбурд С. И. Алгебра и математический анализ для 11 класса: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики. — 4-е изд. — М.: Просвещение, 1995. — 288 с.: ил. — ISBN 5-09-0066565-9. сс.253-259.
Открытые электронные ресурсы:
Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/.
Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ, Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей, базовый уровень. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Базовый уровень. http://ege.fipi.ru/.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Вероятность наступления некоторого события A в испытании равна P(A) = g/G, где G – геометрическая мера, выражающая общее число всех равновозможных исходов данного испытания, а g – мера, выражающая количество благоприятствующих событию A исходов.
Пусть на плоскости задана некоторая область D, площадь которой равна S(D), и в ней содержится область d, площадь которой равна s(d). В области D наудачу ставится точка. Тогда вероятность события А – «точка попадает в область d» равна числу P(A) = s(d)/S(D).
Рисунок 1 — иллюстрация геометрической вероятностей
Пусть отрезок l составляет часть отрезка L. На отрезок L наудачу поставлена точка. Вероятность попадания точки на отрезок l равна P(A) = |l|/|L|.
Пусть пространственная фигура d составляет часть фигуры D. В фигуру D наудачу ставится точка. Вероятность попадания точки в фигуру d равна P(A) = V(d)/V(D).
Пример использования геометрического определения вероятности при решении задачи.
Два друга договорились встретиться в определенном месте между 12 и 13 часами. Пришедший первым ждет другого в течении 20 минут, после чего уходит. Чему равна вероятность встречи друзей, если приход каждого из них может произойти
наудачу в течении указанного часа и моменты прихода независимы?
х — момент прихода первого друга
y — момент прихода второго друга
Рисунок 2 — Иллюстрация к задаче
S=60 2 –2·1/2·40 2 =2000
P(A) = 2000/60 2 = 5/9.
Ответ: вероятность встречи 5/9.
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
Пример 1. Метровый шнур случайным образом разрезают ножницами. Найти вероятность того, что длина обрезка составит не менее 80 см.
Общему числу исходов соответствует длина шнура 1 м. Чтобы длина обрезка составила не менее 0,8 м, можно отрезать не более 0,2 м. Такие отрезы можно выполнить с любой стороны шнура, их суммарная длина равна 0,2+0,2=0,4 м. По геометрическому определению:
Пример 2. В шар брошена случайная точка.
2а) С какой вероятностью она попадёт в центр шара?
Объём одной точки (центра шара) равен нулю, значит и искомая вероятность равна 0
2б) С какой вероятностью она попадёт на какой-нибудь диаметр шара?
Любая точка шара всегда попадает на какой-нибудь диаметр. Поэтому вероятность равна единице.
2в) С какой вероятностью она попадёт в одно, определённое, полушарие?
При решении этой задачи используем отношение объемов фигур. Пусть весь объём шара равен V. Все точки шара — трёхмерная фигура Ω. Искомая вероятность равна отношению объёма полушария V(A) к объёму шара V:
Пример 3. В круг радиуса см вписан равнобедренный прямоугольный треугольник. В круг наудачу ставится точка. Найдите вероятность того, что она не попадёт в данный треугольник. При необходимости в расчетах используйте значение π с точностью до целых.
Площадь круга равна
Гипотенуза прямоугольного треугольника, вписанного в круг, равна диаметру круга (прямой угол опирается на диаметр), то есть .
Поскольку треугольник равнобедренный, его катеты равны между собой, и по теореме Пифагора каждый катет равен . Площадь такого треугольника будет равна (можно найти площадь треугольника, не вычисляя длины катета: рассмотрим квадрат со стороной, равной гипотенузе нашего треугольника, площадь такого квадрата в четыре раза больше площади треугольника
Вероятность попадания точки в треугольник равна отношению площадей треугольника и круга:
🔍 Видео
Геометрическая вероятность. С какой вероятностью можно составить треугольникСкачать
Математика без Ху!ни. Теория вероятностей, комбинаторная вероятность.Скачать
Сферические треугольники и теория вероятностейСкачать
Функция распределения непрерывной случайной величины. Вероятность попадания в интервалСкачать
Геометрическая вероятностьСкачать
С какой вероятностью получится треугольник?Скачать
Теория вероятностей #8: формула Бернулли и примеры ее использования при решении задачСкачать
Комбинаторика: перестановка, размещение и сочетание | Математика | TutorOnlineСкачать
Математика без Ху!ни. Теория вероятностей. Схема БернуллиСкачать
Как решать задачи о выстрелах и попаданиях?Скачать
Задача о встречеСкачать
Что скрывает фрактальный треугольник? // Vital MathСкачать
Геометрическая вероятностьСкачать
Геометрическая вероятностьСкачать
Теория вероятностей на пальцахСкачать
Геометрическая вероятностьСкачать
Теория вероятностей #18: системы двух случайных величин, двумерное распределениеСкачать
Алгебра 11 класс (Урок№37 - Геометрическая вероятность.)Скачать