Вероятность что треугольник остроугольный (2 видео)

∀ x, y, z

Главная ≫ Форум ≫ Математика ≫ Разбираемся и решаем ≫ Олимпиадные и нестандартные задачи ≫ Какова вероятность того, что треугольник ABC остроугольный?

Видео:Геометрическая вероятность. С какой вероятностью можно составить треугольникСкачать

Какова вероятность того, что треугольник ABC остроугольный?

Сообщения: 1 🔎

# 15 Авг 2016 13:12:45
Evgeniy

Вероятность что треугольник остроугольный

На окружности случайным образом выбрано три точки . Какова вероятность того, что треугольник остроугольный?

Считаем, что выбор точек определяется соответствующим углом и распределение равномерное.

Пусть выбрана первая точка . Не важно, где она выбрана, т.к. окружность инвариантна относительно поворотов. Без ограничения общности можно считать, что точка соответствует углу . Пусть далее выбрана точка и ей соответствует угол . Углы будем измерять от до . Для того, чтобы треугольник получился отсроугольным, нужно, чтобы точка попала в сектор, образованный диаметрами, проведенными через точки и , лежащий напротив точек и . Если обозначить соответствующий точке угол через , то геометрически картинка будет выглядеть так:

Видео:Теория вероятностей | Математика TutorOnlineСкачать

Теория вероятностей (стр. 2 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

При втором способе выбора k элементов из совокупности n различных элементов а1, а2,…, аn однажды выбранный элемент удаляется из совокупности, так что выборка без возвращения не содержит повторяющихся элементов. Очевидно, что в этом случае объем выборки k не может превысить объем данной совокупности из n элементов. При таком способе выбора первый член выборки может быть выбран n способами, второй – n — 1, третий – n — 2, последний – n — (k — 1). Согласно формуле (1.2), общее число выборок N равно: N = n(n — 1)(n — 2)…(n – k + 1).

Подобное произведение встречается довольно часто, поэтому оказывается удобным ввести следующее обозначение:

(1.4)

Так как, по определению, группы элементов, состоящие из k элементов в каждой и отличающиеся друг от друга либо самими элементами, либо их порядком, называются размещениями из n элементов по k, то очевидно, что всякое размещение есть выборка без возвращения.

Так как, по определению, группы, состоящие из одного и того же числа элементов и отличающиеся друг от друга только порядком элементов, называются перестановками (Pn), то при k = n число размещений совпадает с числом перестановок из n элементов

Пример 2. Группа студентов из 7 человек садится в пригородный поезд, насчитывающий 10 вагонов. Предположим, что каждый из студентов выбирает свой вагон случайно. Какова вероятность того, что все студенты попадут в разные вагоны?

Решение. Всего существует 107 способов размещения студентов по вагонам. Событию А – все студенты попадут в разные вагоны – благоприятствуют случаев. Поэтому .

Группы, состоящие из k элементов в каждой группе и отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом, называются сочетаниями.

Число всех сочетаний из n элементов по k элементов в каждом обозначается . Если в каждом сочетании из n элементов по k (их всего ) сделать всевозможные перестановки его элементов (число таких перестановок равно Pk), то получатся все размещения из n элементов по k. Поэтому , откуда следует:

(1.6)

Пример 3. Из колоды в 36 карт наудачу извлекаются три карты. Определить вероятность р того, что сумма очков этих карт равна 21, если валет составляет два очка, дама – три, король – четыре, туз – одиннадцать, а остальные карты соответственно – шесть, семь, восемь, девять и десять очков.

Решение. Общее число исходов

Благоприятствующие комбинации: 1) (7, 7, 7); 2) (9, 9, 3), (6, 6, 9);

3) (2, 8, 11), (2, 9, 10), (3, 7, 11), (3, 8, 10), (6, 4, 11), (10, 7, 4), (9, 8, 4) и (8, 7, 6), поэтому

р = 0,079.

Пример 4. В партии из N деталей M деталей бракованных. Из партии наугад выбирается n деталей. Определить вероятность того, что среди отобранных деталей будет ровно m бракованных.

Решение. Общее число случаев, очевидно, равно . Благоприятствующими случаями окажутся все те, при которых среди n отобранных деталей окажется m бракованных и, следовательно, ровно (n — m) стандартных. Так как в партии число бракованных деталей ровно М, то выбрать из них m штук можно способами, а ( n — m) стандартных деталей из (N — M) стандартных можно способами. Тогда по формуле (1.2) общее число благоприятствующих случаев будет равно: , откуда

. (1.7)

Формулу (1.6) обобщим следующей теоремой:

. (1.8)

Заметим, что порядок групп существенен в том смысле, что разбиения (k1 = 3, k2 = 2) и (k1 = 2, k2 = 3) различны; порядок элементов в каждой группе не учитывается. Так, например, если множество, состоящее из 4 элементов , разбить случайным образом на две группы по два элемента в каждой, то таковыми являются следующие разбиения:

Доказательство. Сначала выберем первую группу, состоящую из k1 элементов. Это можно осуществить способами. Затем из оставшихся (n — k1) элементов выберем вторую группу, состоящую из k2 элементов. Это можно осуществить способами и т. д. После образования (m — 1)-й группы останется n — k1 — k2 -…- km-1 = km элементов, которые и составляют последнюю группу. По формуле (1.2) определим число способов, посредством которых n элементов могут быть разбиты на m групп:

. Применяя к каждому множителю правой части этого равенства формулу (1.6), легко его привести к виду (1.8).

Решение. Общее число элементарных исходов равно 66 = 46656.

Число исходов, благоприятствующих событию А, определим по формуле (1.8) при n = 6, k1 = 3, k2 = 2, k3 = 1.

= 60. Тогда Р(А) =.

Очевидно, что число случаев, благоприятствующих событию В, равно 6! = 720.

Поэтому .

Число случаев, благоприятствующих событию С, равно .

Таким образом, .

Схема выбора, приводящая к сочетаниям с повторениями

Если опыт состоит в выборе с возвращением m элементов множества Е<l1, l2, l3,…ln>, но без последующего упорядочивания, то различными исходами такого опыта будут всевозможные m-элементные наборы, отличающиеся составом. При этом отдельные наборы могут содержать повторяющиеся элементы. Например, при m = 4 наборы <l1, l1, l2, l1> и <l1, l1, l1, l2> неразличимы для данного эксперимента, а набор <l1, l3, l2, l1> отличен от любого из предыдущих. Получающиеся в результате данного опыта комбинации называются сочетаниями с повторениями, а их общее число N определяется формулой:.

1.3. Статистическое определение вероятности события

Формула (1.1) для непосредственного подсчета вероятностей непригодна, если опыт, в результате которого может появиться интересующее нас событие, не обладает симметрией возможных исходов, то есть, не сводится к схеме урн. Так, например, если игральная кость выполнена неправильно, то вероятность выпадения определенной грани не будет равна . Вместе с этим ясно, что выпадение той или иной определенной грани обладает некоторой вероятностью, указывающей, насколько часто в среднем должна появиться данная грань при многократном бросании. Очевидно, что вероятности таких событий, как попадание в цель при выстреле, перегорание электрической лампы за сутки ее работы, всхожесть семян пшеницы того или иного сорта и т. д. также не могут быть вычислены по формуле (1.1). Для таких событий применяются другие способы определения вероятностей, связанные с опытом, наблюдением, экспериментом.

Если производится серия из n опытов, в каждом из которых могло появиться или не появиться событие А, то частотой события А в данной серии опытов называется отношение числа опытов, в которых появилось событие А, к общему числу произведенных опытов.

Длительные наблюдения над появлением или непоявлением события А при большом числе повторных испытаний показывают, что частота события А при достаточно большом числе опытов в каждой серии опытов сохраняет почти постоянную величину.

Впервые такого рода устойчивость частот была подмечена на явлениях демографического характера. Так, уже в древности было замечено, что отношение числа родившихся мальчиков к числу всех рождений остается из года в год почти неизменным для целых государств и любых народов. Имеется огромный опытный материал по проверке этого факта. Так, проводились бросания монеты, игральных костей и др. В качестве примера ограничения рассмотрим эксперименты с бросанием монеты.