Векторы коллинеарные биссектрисам треугольника (5 видео)

Векторы: третий уровень сложности

Знакомимся с коллинеарностью.

Для большинства людей искусственный интеллект — это нечто сложное и таинственное. А для математиков это синоним фразы «перемножение матриц». С точки зрения человека, который владеет линейной алгеброй, в искусственном интеллекте нет ничего загадочного.

Мы хотим, чтобы вы тоже смогли понять искусственный интеллект на уровне математики. Для этого у нас идёт цикл статей про линейную алгебру:

Сама тема несложная, но конкретно этот шаг вам ничего не даст в практическом смысле. Но если вам хватит терпения, на базе этих знаний мы уже перейдём к матрицам.

Содержание

Что за коллинеарность
Сложение коллинеарных и неколлинеарных векторов
Как определять неколлинеарность
Что из этого нужно запомнить
Что дальше
Коллинеарные векторы
Условия коллинеарности векторов
Примеры задач
Координаты точки на прямой
💡 Видео

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Что за коллинеарность

Представьте два вектора, которые находятся в одной плоскости и располагаются параллельно друг другу. При этом у них может быть разная длина. Такое расположение делает связку векторов коллинеарными, или, по-простому, линейно зависимыми.

И наоборот: если вектора находятся в одной плоскости и располагаются не параллельно друг относительно друга, то их считают линейно независимыми — неколлинеарными. Пока что ничего сложного.

Коллинеарные векторы Неколлинеарные векторы

Видео:Задача о векторах, построенных на медиане, биссектрисе и высоте треугольникаСкачать

Сложение коллинеарных и неколлинеарных векторов

Очевидно, что сложить два коллинеарных вектора очень легко: откладываем второй вектор от начала первого, получится новый вектор. Он будет коллинеарным своим слагаемым, они все будут лежать, грубо говоря, на одной линии.

Можно представить, что вы идёте прямо: каждый ваш шаг — это вектор. Каждый новый шаг — новый вектор. Но если все их сложить, получится один большой прямой вектор длиной как все ваши шаги.

Теперь попробуем сложить пару неколлинеарных векторов. Это как если бы мы сначала сделали шаг немного правее, а потом сделали бы шаг влево. Шага два, но если соединить начало и конец пути, он не будет совпадать с траекториями наших шагов. Появится какой-то новый вектор, с новым направлением, и он будет неколлинеарным по отношению к своим слагаемым.

Также пару неколлинеарных векторов из одной плоскости можно растянуть и развернуть в пространстве. Если их сложить, также появится новый вектор.

У математиков такой вектор называют базисом. Когда базис находится на плоскости или в пространстве, то он может единственным образом превращаться обратно в пару неколлинеарных векторов, которые его сформировали.

Правило работает, когда мы масштабируем и меняем расположение векторов в пространстве. Если мы изменим направление исходных векторов, то получим новый базис.

Базис — понятие из высшей математики, поэтому, если сейчас сложно, не отчаивайтесь. Студенты-математики когда-то тоже отчаивались.

Мы изменили пару неколлинеарных векторов и сформировали из них базис — получили новый фиолетовый вектор с собственной системой координат Теперь мы изменили исходные неколлинеарные векторы и получили новый базис — это оранжевый вектор

Видео:Работаем с векторами, биссектриса. АНГЕМСкачать

Как определять неколлинеарность

Когда мы работаем с короткими векторами, всё очевидно: нарисовали систему координат, отложили на ней векторы, они либо совпали, либо не совпали. Если совпали — коллинеарные, если нет — неколлинеарные.

А теперь представьте, что вектора настолько огромные, что мы физически не можем их нарисовать и сопоставить. Например,

Как такое нарисовать? Как проверить коллинеарность? Вот тут начинается магия алгебры.

Есть три способа проверки линейной зависимости векторов. Для простоты вычислений проверим эти три способа на вот этих всё ещё простых векторах:

По этим координатам ответим на два вопроса: являются ли предложенные вектора линейно зависимыми (то есть коллинеарными) и можно ли их раскладывать по базису.

Первый способ. Запишем простую систему уравнений: возьмём первую координату каждого вектора и приравняем её ко второй координате каждого вектора, умноженной на неизвестное число λ. Вычислим λ и сравним результаты.

👉 Знак λ здесь по традиции и для удобства. На самом деле это просто некое неизвестное число. Вместо этой буквы могли быть X, Y, Z или N, но так как у нас вектора уже называются X и Y, а N в математике используется для других целей, возьмём λ — это греческая буква «лямбда», давний предок нашей русской буквы «Л».

Составляем систему уравнений:

Вычисляем значение λ:

Сравниваем результат и делаем вывод:

Мы получили разное значение для неизвестного числа λ и поэтому наши векторы будут считаться линейно независимыми. Из них можно получить базис.

Если бы значение λ совпало, то мы бы имели дело с линейно зависимыми векторами.

Второй способ. Проверяем координаты векторов на пропорциональность: берём первую координату первого вектора, делим её на первую координату второго вектора. Повторяем это же действие со вторыми координатами: берём вторую координату первого вектора и делим её на вторую координату второго вектора.

Получаем такую пропорцию:

Считаем значение и сравниваем результат:

Равенство не выполняется, и поэтому между векторами нет зависимости.

Третий способ. Используем четыре элемента наших координат для поиска определителя — скалярной величины, с которой мы подробно познакомимся в следующих статьях во время решения матричных уравнений. Сейчас нам не нужны подробности, и для проверки линейной зависимости достаточно формулы.

Записываем в две строки координаты наших векторов:

Переводим координаты векторов в определитель — добавляем с двух сторон вертикальную черту и получаем простую квадратную матрицу размером 2 на 2:

В полученной матрице две диагонали. Числа −6 и −1 образуют главную диагональ; числа −4 и 5 — вторую диагональ. Чтобы найти определитель, нам нужно умножить числа главной и второй диагонали, а затем вычесть их разницу.

Если из координат вектора мы получили определитель и он не равен нулю, то векторы считаются линейно независимыми и подходят для разложения по базису.

И наоборот: нулевой определитель указывает на линейную зависимость векторов.

Видео:Коллинеарные векторы.Скачать

Что из этого нужно запомнить

С точки зрения векторов важно, они сонаправленные или нет. По-другому — они коллинеарны или нет.
Коллинеарность влияет на то, что можно делать с этими векторами. Например, неколлинеарные векторы можно разложить по базису.
Базис — это вектор, который можно разложить на те самые неколлинеарные векторы.
Коллинеарность легко проверяется через уравнения. Строить векторы на координатной плоскости необязательно.

Видео:Формула для биссектрисы треугольникаСкачать

Что дальше

Следующий шаг — матрицы. Это те самые, которые лежат в основе всех нейронок и искусственного интеллекта. Матрица — это таблица чисел, с которыми можно проводить различные вычисления.

Видео:Понятие вектора. Коллинеарные вектора. 9 класс.Скачать

Коллинеарные векторы

В данной публикации мы рассмотрим, какие векторы называются коллинеарными и перечислим условия, при которых они являются таковыми. Также разберем примеры решения задач по этой теме.

Видео:Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать

Условия коллинеарности векторов

Векторы, лежащие на одной или нескольких параллельных прямых, называются коллинеарными.

Два вектора коллинеарны, если выполняется одно из условий ниже:

1. Существует такое число n, при котором .

2. Отношения координат векторов равны. Но данное условие не может применяться, если одна из координат равняется нулю.

3. Векторное произведение равно нулевому вектору (применимо только для трехмерных задач).

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

Примеры задач

Задание 1
Даны векторы , и . Определим, есть ли среди них коллинеарные.

Решение:
У заданных векторов нет нулевых координат, значит мы можем применить второе условие коллинеарности.

Следовательно, коллинеарными являются только векторы a и c .

Задание 2
Выясним, при каком значении n векторы и коллинеарны.

Решение:
Т.к. среди координат нет нулей, согласно второму условию мы можем составить их соотношение, чтобы рассчитать недостающий элемент.

Видео:КАК РЕШАТЬ ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ? | МатематикаСкачать

Координаты точки на прямой

1. Координаты точки на прямой.

1. Положение точки, равномерно движущейся по прямой, дается для любого момента времени t формулой: , где x — координата точки, v — скорость движения, с — начальное положение точки. Отметить на чертеже положение точки в начальный момент и в конце каждой из пяти секунд, если закон движения задан в виде .

2. Даны точки: А(+9), В(+5), С(-3), D(-8) и M(x). Определить координаты этих же точек при условии, что единица длины будет взята: втрое больше первоначальной; вдвое меньше первоначальной.

3. Проверка термометра обнаружила, что ртуть поднимается до +96о при измерении температуры кипения воды и опускается только до +1 при измерении температуры таяния льда. Как вычислить истинную температуру в градусах Цельсия, пользуясь показаниями этого термометра?

4. Как преобразовать систему координат, чтобы все точки, координаты которых х -7, получили координаты отрицательные?

5. Если даны любые три точки А, В, С на прямой, то независимо от их расположения между величинами отрезков АВ, ВС и АС существует соотношение: АВ+ВС=АС. Проверить справедливость этого равенства для точек: 1) А(-3), В(+5), С(+12); 2) А(+4), В(+1), С(+6); 3) А(+3), В(-7), С(-2); 4) А(х1), В(х2), С(х3).

6. Стержень длиной 60 см подвешен за концы на двух веревках. Одна из этих веревок не может выдержать натяжения, превышающего 20 кГ. На каком расстоянии от соответствующего конца стержня можно прикрепить к нему груз в 96 кГ?

2. Аналитическая геометрия на плоскости.

1. Дана точка М(+3,+2). Построить точки, симметричные с ней относительно: оси абсцисс; оси ординат; начала координат. Определить координаты этих точек.

2. Какое соотношение существует между координатами точки, лежащей на одной из биссектрис координатного угла?

3. Сторона квадрата равна 1. Определить координаты его вершин, приняв за оси координат: 1) две непараллельные стороны его; 2) две диагонали; 3) прямые, параллельные сторонам квадрата и пересекающиеся в его центре.

4. Сведения о возрасте студентов, принятых на первый курс некоторого вуза, даны в следующей таблице:

Возраст в годах

Составить график возрастного состава первокурсников этого вуза, соединив ломаной линией все полученные точки.

5. Даны вершины треугольника: А(+3, +2), В(-1,-1), С(+11,-6). Определить длину его сторон.

6. Доказать, что треугольник с вершинами А(0,0), В(+3,+1), С(+1,+7) прямоугольный.

7. Зная вершины треугольника Р(-2,+1), Q(+4,+8), R(+10,+6), проверить, нет ли тупого угла среди внутренних углов этого треугольника.

8. На биссектрисах координатных углов найти точки, расстояние которых от точки М(-2,0) равно 10.

9. Какому условию должны удовлетворять координаты точки М(x,y), если она одинаково удалена от точек А(+7,-3) и В(-2,+1)?

10. Найти точку, равноудаленную от трех данных точек: А(+2,+2), В(-5,+1), С(+3,-5).

11. Найти центр окружности, проходящей через точку А(-4,+2) и касающейся оси абсцисс в точке В(+2,0).

12. Вычислить площадь треугольника, вершинами которого являются точки А(+4,+2), В(+9,+4), С(+7,+5).

13. Проверить, лежат ли на одной прямой три данных точки: 1) (0,+5), (+2,+1), (-1,+7); 2) (+3,+1), (-2,-9), (+8,+11); 3) (0,+2), (-1,+5), (+3,+4).

14. Найти точку пересечения медиан треугольника, зная координаты его вершин: (+1,+4), (-5,0), (-2,-1).

15. Как расположены точки, полярные координаты которых удовлетворяют одному из следующих уравнений: 1) ρ = 1; 2) ρ =5; 3) ρ = а; 4) φ = ; 5) φ = ; 6) φ = ; 7) φ = const?

16. Вычислить площадь треугольника, одна из вершин которого находится в полюсе, а две другие имеют полярные координаты (4,) и (1,).

17. Написать уравнение прямой, проходящей через начало координат и наклоненной к оси х под углом: 1) 45о;о; 3) 30о;о. Система координат прямоугольная.

18. Найти скорость равномерного движения, зная. что график его пересекает ось абсцисс в точке А( и ось ординат в точке В(0,+8). Масштаб выбран так, что на оси х единица длины соответствует одному часу, а на оси y — одному километру.

19. Написать уравнения сторон квадрата, диагонали которого служат осями координат. Длина стороны квадрата равна а.

20. Луч света направлен по прямой ; дойдя до оси абсцисс, он отразился от нее. Определить точку встречи луча с осью и уравнение отраженного луча. Система координат прямоугольная.

21. Найти отрезки, отсекаемые на осях координат прямыми: 1) 3x – 2y +12 = 0; 2) y = 4x – 2; 3) 5x + 2y + 20 = 0.

22. Определить площадь треугольника, заключенного между осями координат и прямой x + 2y -6 = 0. Система координат прямоугольная.

23. Вычислить углы треугольника, стороны которого относительно прямоугольной системы координат заданы уравнениями: 18x + 6y -17 = 0, 14x – 7y +15 = 0, 5x + 10y -9 = 0.

24. Даны уравнения сторон треугольника: , , . Вычислить координаты его вершин.

25. Вычислить координаты точки пересечения срединных перпендикуляров к сторонам треугольника, вершинами которого служат точки А(+2,+3), В(0,-3), С(+5,-2). Система координат прямоугольная.

26. Записать уравнение окружности, имеющей центр в точке (+2,-5) и радиус, равный 4.

27. Найти уравнение окружности, если известны координаты концов одного из ее диаметров АВ: А(+1,+4), В(-3,+2).

28. Написать уравнение касательной к окружности в точке (+1,-2).

29. Составить простейшее уравнение эллипса, зная, что: 1) полуоси его соответственно равны 4 и 2; 2) расстояние между фокусами равно 6 и большая полуось равна 5; 3) большая полуось равна 10 и эксцентриситет е = 0,8; 4) сумма полуосей равна 8 и расстояние между фокусами тоже равно 8.

30. Написать уравнение прямой, касающейся эллипса в точке (+2, -3).

31. Эллипс касается двух прямых: и . Найти уравнение этого эллипса при условии, что оси его совпадают с осями координат.

32. Составить уравнение гиперболы, имеющей общие фокусы с эллипсом при условии, что эксцентриситет ее е = 1,25.

33. Дана гипербола . Требуется: 1) вычислить координаты фокусов; 2) вычислить эксцентриситет; 3) написать уравнения асимптот и директрис; 4) написать уравнение сопряженной гиперболы и вычислить ее эксцентриситет.

34. Написать уравнение прямой, которая касается гиперболы в точке (+5,-4).

35. На параболе найти точку, фокальный радиус-вектор которой равен 20.

36. Вычислить длину сторон правильного треугольника, вписанного в параболу .

37. Найти точки пересечения параболы со следующими прямыми: 1) 6x + y – 6 = 0; 2) 9x – 2y + 2 = 0; 3) 4x – y + 5 = 0; 4) y – 3 = 0.

38. Струя воды, выбрасываемая фонтаном, принимает форму параболы. параметр которой р = 0,1 м. Определить высоту струи, если известно, что она падает в бассейн на расстоянии 2 м от места выхода.

3. Векторная алгебра на плоскости.

1. В параллелограмме АВСD обозначены: а и b. Выразить через а и b векторы , где М — точка пересечения диагоналей параллелограмма.

2. Какой особенностью должны обладать векторы а и b, чтобы имело место соотношение: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6)

3. Каким условием должны быть связаны векторы p и q, чтобы вектор p + q делил угол между ними пополам? Все три вектора отнесены к общему началу.

4. Три вектора с, а, b cлужат сторонами треугольника. С помощью а, b и с выразить векторы, совпадающие с медианами треугольника .

5. Проверить, что векторы, совпадающие с медианами любого треугольника, могут в свою очередь служить сторонами другого треугольника.

6. Зная векторы, служащие сторонами треугольника с, а, b, найти векторы, коллинеарные биссектрисам углов этого треугольника.

7. Доказать что сумма векторов, соединяющих центр правильного треугольника с его вершинами, равна нуль-вектору. Останется ли справедливым это утверждение, если треугольник заменить правильным n-угольником?

8. Можно ли говорить о скалярном произведении трех векторов? о скалярном кубе вектора? о кубе скаляра вектора?

10. В прямоугольном равнобедренном треугольнике проведены медианы из вершин острых углов. Найти угол между ними.