Вектор в прямоугольном треугольнике

Сумма и разность векторов

В данной публикации мы рассмотрим, как найти сумму и разность векторов, приведем геометрическую интерпретацию, а также формулы, свойства и примеры этих действий.

Видео:Сложение векторов. 9 класс.Скачать

Сложение векторов. 9 класс.

Сумма векторов

Сложение векторов выполняется по правилу треугольника.

Вектор в прямоугольном треугольнике

Геометрическая интерпретация:

Суммой a и b является вектор c , начало которого совпадает с началом a , а конец – с концом b . При этом конец вектора a должен совпадать с началом вектора b .

Для сложения векторов также используется правило параллелограмма.

Вектор в прямоугольном треугольнике

Два неколлинеарных вектора a и b можно привести к общему началу, и в этом случае их суммой является вектор c , совпадающий с диагональю параллелограмма и берущий начало в той же точке, что и исходные векторы.

Формула сложения векторов

Элементы вектора c равняются попарной сумме соответствующих элементов a и b .

<table data-id="250" data-view-id="250_55602" data-title="Формулы сложения векторов" data-currency-format="$1,000.00" data-percent-format="10.00%" data-date-format="DD.MM.YYYY" data-time-format="HH:mm" data-features="["after_table_loaded_script"]" data-search-value="" data-lightbox-img="" data-head-rows-count="1" data-pagination-length="50,100,All" data-auto-index="off" data-searching-settings="» data-lang=»default» data-override=»» data-merged=»[]» data-responsive-mode=»2″ data-from-history=»0″>

Для плоских задач

<td data-cell-id="B1" data-x="1" data-y="1" data-db-index="1" data-cell-type="text" data-original-value=" a + b = <ax + bx; ay + by> » data-order=» a + b = <ax + bx; ay + by> » style=»min-width:55.0847%; width:55.0847%;»> a + b = <ax + bx; ay + by>Для трехмерных задач

<td data-cell-id="B2" data-x="1" data-y="2" data-db-index="2" data-cell-type="text" data-original-value=" a + b = <ax + bx; ay + by; az + bz> » data-order=» a + b = <ax + bx; ay + by; az + bz> «> a + b = <ax + bx; ay + by; az + bz>Для n-мерных векторов

<td data-cell-id="B3" data-x="1" data-y="3" data-db-index="3" data-cell-type="text" data-original-value=" a + b = <a1 + b1; a2 + b2; . an + bn> » data-order=» a + b = <a1 + b1; a2 + b2; . an + bn> «> a + b = <a1 + b1; a2 + b2; . an + bn>

Свойства сложения векторов

1. Коммутативность: a + b = b + a

2. Ассоциативность: ( a + b ) + c = a + ( b + c )

3. Прибавление к нулю: a + 0 = a

4. Сумма противоположных векторов: a + (- a ) = 0

Примечание: Вектор – a коллинеарен и равен по длине a , но имеет противоположное направление, из-за чего называется противоположным.

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

Разность векторов

Для вычитания векторов также применяется правило треугольника.

Вектор в прямоугольном треугольнике

Если из вектора a вычесть b , то получится c , причем должно соблюдаться условие:

Формула вычитания векторов

Элементы вектора c равны попарной разности соответствующих элементов a и b .

<table data-id="251" data-view-id="251_83403" data-title="Формулы вычитания векторов" data-currency-format="$1,000.00" data-percent-format="10.00%" data-date-format="DD.MM.YYYY" data-time-format="HH:mm" data-features="["after_table_loaded_script"]" data-search-value="" data-lightbox-img="" data-head-rows-count="1" data-pagination-length="50,100,All" data-auto-index="off" data-searching-settings="» data-lang=»default» data-override=»» data-merged=»[]» data-responsive-mode=»2″ data-from-history=»0″>

Для плоских задач

<td data-cell-id="B1" data-x="1" data-y="1" data-db-index="1" data-cell-type="text" data-original-value=" a — b = <ax — bx; ay — by> » data-order=» a — b = <ax — bx; ay — by> » style=»min-width:55.0847%; width:55.0847%;»> a — b = <ax — bx; ay — by>Для трехмерных задач

<td data-cell-id="B2" data-x="1" data-y="2" data-db-index="2" data-cell-type="text" data-original-value=" a — b = <ax — bx; ay — by; az — bz> » data-order=» a — b = <ax — bx; ay — by; az — bz> «> a — b = <ax — bx; ay — by; az — bz>Для n-мерных векторов

<td data-cell-id="B3" data-x="1" data-y="3" data-db-index="3" data-cell-type="text" data-original-value=" a — b = <a1 — b1; a2 — b2; . an — bn> » data-order=» a — b = <a1 — b1; a2 — b2; . an — bn> «> a — b = <a1 — b1; a2 — b2; . an — bn>

Видео:СУММА ВЕКТОРОВ правило треугольникаСкачать

СУММА ВЕКТОРОВ правило треугольника

Примеры задач

Задание 1
Вычислим сумму векторов и .

Задание 2
Найдем разность векторов и .

Видео:Координаты вектора. 9 класс.Скачать

Координаты вектора. 9 класс.

Векторы. Операции с векторами.

Видео:Разложение вектора по базису. 9 класс.Скачать

Разложение вектора по базису. 9 класс.

Векторы. Операции с векторами.

Математические или физические величины могут быть представлены как скалярными величинами (численным значением), так и векторными величинами (величиной и направлением в пространстве).

Вектор представляет собой направленный отрезок прямой, для которого указано, какая из его граничных точек является началом, а какая — концом. Таким образом, в векторе присутствует две составляющих – это его длина и направление.

Вектор в прямоугольном треугольнике

Рис.1. Изображение вектора на чертеже.

При работе с векторами часто вводят некоторую декартову систему координат в которой определяют координаты вектора, раскладывая его по базисным векторам:

— для вектора, расположенного в пространстве координат (x,y) и выходящего из начала координат

Вектор в прямоугольном треугольнике

— для вектора, расположенного в пространстве координат (x,y,z) и выходящего из начала координат

Вектор в прямоугольном треугольнике

Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной, а для обозначения длины вектора (его абсолютной величины) пользуются символом модуля.

Векторы расположенные либо на одной прямой, либо на параллельных прямых называются коллинеарными. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. Среди коллинеарных векторов различают одинаково направленные (сонаправленные) и противоположно направленные векторы. Векторы называются компланарными, если они лежат либо на одной плоскости, либо на прямых, параллельных одной и той же плоскости.

1.Длина вектора (модуль вектора)

Длина вектора определяет его скалярное значение и зависит от его координат, но не зависит от его направления. Длина вектора (или модуль вектора) вычисляется через арифметический квадратный корень из суммы квадратов координат (компонент) вектора (используется правило вычисления гипотенузы в прямоугольном треугольнике, где сам вектор становится гипотенузой).

Через координаты модуль вектора вычисляется следующим образом:

— для вектора, расположенного в пространстве координат (x,y) и выходящего из начала координат

Вектор в прямоугольном треугольнике

— для вектора, расположенного в пространстве координат (x,y,z) и выходящего из начала координат, формула будет аналогична формуле диагонали прямоугольного параллелепипеда, так как вектор в пространстве принимает такое же положение относительно осей координат.

Вектор в прямоугольном треугольнике

2. Угол между векторами

Углом между двумя векторами, отложенными от одной точки, называется кратчайший угол, на который нужно повернуть один из векторов вокруг своего начала до положения второго вектора. Угол между векторами определяется с использованием выражения для определения скалярного произведения векторов

Вектор в прямоугольном треугольнике

Вектор в прямоугольном треугольнике

Таким образом, косинус угла между векторами равен отношению скалярного произведения к произведению длин или модулей векторов. Данной формулой можно пользоваться в случае, если известны длины векторов и их скалярное произведение, либо векторы заданы координатами в прямоугольной системе координат на плоскости или в пространстве в виде: Вектор в прямоугольном треугольникеи Вектор в прямоугольном треугольнике.

Если векторы A и B заданы в трехмерном пространстве и координаты каждого из них заданы в виде: Вектор в прямоугольном треугольникеи Вектор в прямоугольном треугольнике, то угол между векторами определяется по следующему выражению:

Вектор в прямоугольном треугольнике

Следует отметить, что угол между векторами Вектор в прямоугольном треугольникеи Вектор в прямоугольном треугольникеможно также определить применяя теорему косинусов для треугольника: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Вектор в прямоугольном треугольнике

где AB, OA, OB – соответствующая сторона треугольника.

Вектор в прямоугольном треугольнике

Рис.2. Теорема косинусов для треугольника

Применительно к векторным исчислением данная формула перепишется следующим образом:

Вектор в прямоугольном треугольнике

Таким образом, угол между векторами Вектор в прямоугольном треугольникеи Вектор в прямоугольном треугольникеопределяется по следующему выражению:

Вектор в прямоугольном треугольнике

где Вектор в прямоугольном треугольникеи Вектор в прямоугольном треугольнике— модуль (длина) вектора, а Вектор в прямоугольном треугольнике— модуль (длина) вектора, который определяется из разности двух векторов. Неизвестные входящие в уравнение определяются по координатам векторов Вектор в прямоугольном треугольникеи Вектор в прямоугольном треугольнике.

3.Сложение векторов

Сложение двух векторов Вектор в прямоугольном треугольникеи Вектор в прямоугольном треугольнике(сумма двух векторов) — это операция вычисления вектора Вектор в прямоугольном треугольнике, все элементы которого равны попарной сумме соответствующих элементов векторов Вектор в прямоугольном треугольникеи Вектор в прямоугольном треугольнике. В случае если вектора заданы в прямоугольной системе координат сумму векторов Вектор в прямоугольном треугольникеи Вектор в прямоугольном треугольникеможно найти по следующей формуле:

Вектор в прямоугольном треугольнике

В графическом виде, сложение двух свободных векторов можно осуществлять как по правилу треугольника, так и по правилу параллелограмма.

Вектор в прямоугольном треугольнике

Рис.3. Сложение двух векторов

Сложение двух скользящих векторов определено лишь в случае, когда прямые, на которых они расположены, пересекаются. Сложение двух фиксированных векторов определено лишь в случае, когда они имеют общее начало.

Правило треугольника.

Для сложения двух векторов Вектор в прямоугольном треугольникеи Вектор в прямоугольном треугольникепо правилу треугольника оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы начало одного из них совпадало с концом другого. Тогда вектор суммы задаётся третьей стороной образовавшегося треугольника, причём его начало совпадает с началом первого вектора, а конец с концом второго вектора.

Модуль (длину) вектора суммы определяют по теореме косинусов:

Вектор в прямоугольном треугольнике

где Вектор в прямоугольном треугольнике— угол между векторами, когда начало одного совпадает с концом другого.

Правило параллелограмма.

Для сложения двух векторов Вектор в прямоугольном треугольникеи Вектор в прямоугольном треугольникепо правилу параллелограмма оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы их начала совпадали. Тогда вектор суммы задаётся диагональю построенного на них параллелограмма, исходящей из их общего начала.

Модуль (длину) вектора суммы определяют по теореме косинусов:

Вектор в прямоугольном треугольнике

где Вектор в прямоугольном треугольнике— угол между векторами выходящими из одной точки.

Как видно, в зависимости от того какой угол выбирается, изменяется знак перед косинусом угла в формуле для определения модуля (длины) вектора суммы.

4.Разность векторов

Разность векторов Вектор в прямоугольном треугольникеи Вектор в прямоугольном треугольнике(вычитание векторов) — это операция вычисления вектора Вектор в прямоугольном треугольнике, все элементы которого равны попарной разности соответствующих элементов векторов Вектор в прямоугольном треугольникеи Вектор в прямоугольном треугольнике. В случае если вектора заданы в прямоугольной системе координат разность векторов Вектор в прямоугольном треугольникеи Вектор в прямоугольном треугольникеможно найти по следующей формуле:

Вектор в прямоугольном треугольнике

В графическом виде, разностью векторов Вектор в прямоугольном треугольникеи Вектор в прямоугольном треугольникеназывается сумма вектора Вектор в прямоугольном треугольникеи вектора противоположного вектору Вектор в прямоугольном треугольнике, т.е. Вектор в прямоугольном треугольнике

Вектор в прямоугольном треугольнике

Рис.4. Разность двух свободных векторов

Разность двух свободных векторов в графическом виде может быть определена как по правилу треугольника, так и по правилу параллелограмма. Модуль (длина) вектора разности определяется по теореме косинусов. В зависимости от используемого угла в формуле изменяется знак перед косинусом (рассматривалось ранее).

5.Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними. Скалярное произведение векторов Вектор в прямоугольном треугольникеи Вектор в прямоугольном треугольникеобозначается одним из следующих обозначений Вектор в прямоугольном треугольникеили Вектор в прямоугольном треугольникеили Вектор в прямоугольном треугольникеи определяется по формуле:

Вектор в прямоугольном треугольнике

гдеВектор в прямоугольном треугольнике— длины векторов Вектор в прямоугольном треугольникеи Вектор в прямоугольном треугольникесоответственно, а Вектор в прямоугольном треугольнике— косинус угла между векторами.

Вектор в прямоугольном треугольнике

Рис.5. Скалярное произведение двух векторов

Скалярное произведение также можно вычислить через координаты векторов в прямоугольной системе координат на плоскости или в пространстве.

Скалярным произведением двух векторов на плоскости или в трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат называется сумма произведений соответствующих координат векторов Вектор в прямоугольном треугольникеи Вектор в прямоугольном треугольнике.

Таким образом, для векторов Вектор в прямоугольном треугольникеи Вектор в прямоугольном треугольникена плоскости в прямоугольной декартовой системе координат формула для вычисления скалярного произведения имеет следующий вид:

Вектор в прямоугольном треугольнике

Для трехмерного пространства формула для вычисления скалярного произведения векторов Вектор в прямоугольном треугольникеи Вектор в прямоугольном треугольникеимеет следующий вид:

Вектор в прямоугольном треугольнике

Свойства скалярного произведения.

1.Свойство коммутативности скалярного произведения

Вектор в прямоугольном треугольнике

2.Свойство дистрибутивности скалярного произведения

Вектор в прямоугольном треугольнике

3.Сочетательное свойство скалярного произведения (ассоциативность)

Вектор в прямоугольном треугольнике

где Вектор в прямоугольном треугольнике— произвольное действительное число.

Следует отметить, что в случае:

— если скалярное произведение положительно, следовательно, угол между векторами – острый (менее 90 градусов);

— если скалярное произведение отрицательно, следовательно, угол между векторами – тупой (больше 90 градусов);

— если скалярное произведение равно 0, следовательно, вектора являются ортогональными (которые лежат перпендикулярно друг к другу);

— если скалярное произведение равно произведению длин векторов, следовательно, данные векторы коллинеарные между собой (параллельные).

6.Векторное произведение векторов

Векторным произведением двух векторов Вектор в прямоугольном треугольникеи Вектор в прямоугольном треугольникеназывается вектор Вектор в прямоугольном треугольникедля которого выполняются следующие условия:

1. вектор Вектор в прямоугольном треугольникеортогонален (перпендикулярен) плоскости векторов Вектор в прямоугольном треугольникеи Вектор в прямоугольном треугольнике;

2. направление вектора Вектор в прямоугольном треугольникеопределяется по правилу правой руки (вектор Вектор в прямоугольном треугольникенаправлен так, что из конца вектора Вектор в прямоугольном треугольникекратчайший поворот от вектора Вектор в прямоугольном треугольникек вектору Вектор в прямоугольном треугольникевиден происходящим против часовой стрелки);

Вектор в прямоугольном треугольнике

Рис.6. Нахождение направления векторного произведения с помощью правила правой руки.

3. длина вектора Вектор в прямоугольном треугольникеравняется площади параллелограмма, образованного векторами, и может быть определена из выражения, равного произведению длин умножаемых векторов на синус угла между ними.

Векторное произведение векторов Вектор в прямоугольном треугольникеи Вектор в прямоугольном треугольникеобозначается следующим образом Вектор в прямоугольном треугольнике(или Вектор в прямоугольном треугольнике), а длина (модуль) векторного произведения определяется по формуле:

Вектор в прямоугольном треугольнике

гдеВектор в прямоугольном треугольнике— длины векторов Вектор в прямоугольном треугольникеи Вектор в прямоугольном треугольникесоответственно, а Вектор в прямоугольном треугольнике— синус угла между векторами.

Векторное произведение векторов отличается от скалярного произведения тем, что оно представляет собой не просто число, а вектор, имеющий свое собственное направление (направление обуславливает трехмерность системы). Таким образом, векторное произведение векторов по определению возможно только в трехмерном пространстве, где у каждого вектора указаны три координаты (i,j,k). Векторное произведение не обладает свойствами коммутативности в отличие от скалярного произведения векторов.

Вектор в прямоугольном треугольнике

Рис.7. Векторное произведение двух векторов

Векторное произведение также можно вычислить через координаты векторов в прямоугольной системе координат в пространстве.

Вектор в прямоугольном треугольнике

Свойства векторного произведения.

1.Свойство антикоммутативности векторного произведения

Вектор в прямоугольном треугольнике

2.Свойство дистрибутивности векторного произведения

Вектор в прямоугольном треугольнике

3.Сочетательное свойство векторного произведения (ассоциативность)

Вектор в прямоугольном треугольнике

где Вектор в прямоугольном треугольнике— произвольное действительное число.

Следует отметить, что в случае:

— если векторное произведение равно 0, следовательно, вектора являются коллинеарными (вектора параллельны друг другу);

— если векторное произведение равно произведению длин векторов, следовательно, вектора являются ортогональными (которые лежат перпендикулярно друг к другу).

Для того, чтобы добавить Ваш комментарий к статье, пожалуйста, зарегистрируйтесь на сайте.

Видео:Угол между векторами. 9 класс.Скачать

Угол между векторами. 9 класс.

Сложение и вычитание векторов

Вектор в прямоугольном треугольнике

Теорема 1 От любой точки ( K ) можно отложить вектор единственный ( overrightarrow ) .

Существование: Имеем два следующих случая:

Здесь получаем, что искомый нами вектор совпадает с вектором ( overrightarrow ) .

Вектор в прямоугольном треугольнике

Из данного выше построения сразу же будет следовать единственность данного вектора.

Видео:Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТСкачать

Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТ

Сумма векторов. Сложение векторов. Правило треугольника

Сложение векторов выполняется по правилу треугольника или по правилу параллелограмма.

Вектор в прямоугольном треугольнике

Суммой нескольких векторов ( vec ) , ( vec ) , ( vec,;ldots ) называется вектор ( vec ) , получающийся в результате последовательного сложения данных векторов.

Такая операция выполняется по правилу многоугольника.

Вектор в прямоугольном треугольнике

Сумма векторов в координатах
При сложении двух векторов соответствующие координаты складываются.
( vec + vec = left( <+ , + , + > right) )

Отметим несколько свойств сложения двух векторов:

Для произвольного вектора ( overrightarrow ) выполняется равенство

Для произвольных точек ( A, B и C ) справедливо следующее равенство

Замечание Таким способом также можно строить сумму любого числа векторов. Тогда оно будет носить название правила многоугольника.

Вектор в прямоугольном треугольнике

Разность векторов. Вычитание векторов

Вектор в прямоугольном треугольнике

Разность двух одинаковых векторов равна нулевому вектору :
( vec — vec = vec )

Длина нулевого вектора равна нулю:
( left| vec right| = 0 )

Разность векторов в координатах
При вычитании двух векторов соответствующие координаты также вычитаются.
( vec — vec = left( <- , — , — > right) )

Видео:#635 НАУКА Структура вакуума. Устройство Мироздания: версия Межзвездного Союза. Юмор в разных мирах.Скачать

#635 НАУКА Структура вакуума. Устройство Мироздания: версия Межзвездного Союза. Юмор в разных мирах.

Умножение вектора на число

Пусть нам дан вектор ( overrightarrow ) и действительное число ( k ) .

Определение Произведением вектора ( overrightarrow ) на действительное число ( k ) называется вектор ( overrightarrow ) удовлетворяющий следующим условиям:

Длина вектора ( overrightarrow ) равна ( left|overrightarrowright|=left|kright||overrightarrow| ) ;

Векторы ( overrightarrow ) и ( overrightarrow ) сонаправлены, при ( kge 0 ) и противоположно направлены, если ( kle 0 )

Обозначение: ( overrightarrow=koverrightarrow ) .

🌟 Видео

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Скалярное произведение векторов. 9 класс.Скачать

Скалярное произведение векторов. 9 класс.

Сложение векторов. Правило параллелограмма. 9 класс.Скачать

Сложение векторов. Правило параллелограмма. 9 класс.

КАТЕТЫ И ВЫСОТА В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #Shorts #геометрияСкачать

КАТЕТЫ И ВЫСОТА В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #Shorts #геометрия

Математика | Метрические соотношения в прямоугольном треугольникеСкачать

Математика | Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике

18+ Математика без Ху!ни. Векторное произведение.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Векторное произведение.

ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать

ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | Математика

Выразить векторы. Разложить векторы. Задачи по рисункам. ГеометрияСкачать

Выразить векторы. Разложить векторы. Задачи по рисункам. Геометрия

9 класс, 1 урок, Разложение вектора по двум неколлинеарным векторамСкачать

9 класс, 1 урок, Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

ЛОВИ ПРОДОЛЖЕНИЕ 😉 СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ЧАСТЬ II #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэСкачать

ЛОВИ ПРОДОЛЖЕНИЕ 😉 СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ЧАСТЬ II #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэ
Поделиться или сохранить к себе: