В треугольнике диагонали перпендикулярны

Видео:№478. В выпуклом четырехугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что площадьСкачать

Источник задания: Решение 2555. ОГЭ 2018 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов.

Задание 20. Какое из следующих утверждений верно?

1) Все равнобедренные треугольники подобны.

2) Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны.

3) Сумма углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.

1) Нет, из условий подобия следует, что все стороны и углы треугольников пропорционально больше или меньше друг друга.

2) Да, диагонали взаимно перпендикулярны у квадрата, это частный случай прямоугольника.

3) Нет, сумма углов в любом треугольнике 180 градусов.

Видео:В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Найти ее среднюю линиюСкачать

Диагональ треугольника – формула

Очень часто в начале изучения фигуры ученики путают значение диагонали прямоугольника и треугольника. Поэтому, чтобы не путаться в обозначениях, лучше разобраться в тематике раз и навсегда.

Видео:В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции равна 12. Найдите ее среднюю лиСкачать

Треугольник

Треугольник – это фигура, состоящая из трех сторон и трех углов. Треугольник имеет три характеризующих отрезка:

Треугольник не может иметь диагональ в принципе. Дело в том, что диагонали могут быть проведены только в многоугольниках, количество сторон которых больше 3.

Почему так? Потому что диагональ это отрезок, соединяющий противоположные вершины. В треугольнике противоположных вершин нет и быть не может. Существует сторона, противоположная вершине, но сами по себе вершины всегда смежные, т.е. соединенные одной стороной. Значит, диагонали треугольника не существует

Рис. 1. Три медианы в треугольнике.

Видео:№520. Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны, а сумма ее оснований равна 2аСкачать

Прямоугольник

Прямоугольник – это первая фигура школьного курса математики, которая имеет диагональ. Так же, как диагональ имеет и квадрат.

Диагональ прямоугольника или квадрата всегда:

• Делит фигуру на две равных прямоугольных треугольника.
• В полученных треугольниках диагональ будет являться гипотенузой
• Диагональ будет равняться корню квадратному из суммы квадратов катетов согласно теореме Пифагора

Диагоналей в любом четырехугольнике 2, а в квадрате и прямоугольнике обе диагонали равны между собой.

При этом правило не касается других четырехугольников. Например, диагонали параллелограмма всегда неравны между собой. Запомните, если перед вами произвольный четырехугольник использовать утверждение о равенстве диагоналей без доказательства нельзя. Любое утверждение в геометрии, кроме аксиом должно быть доказано.

Кроме прямоугольника и квадрата равными диагоналями обладает ромб. При этом диагонали ромба перпендикулярны друг другу и, так же, как и диагонали квадрата и прямоугольника, точкой пересечения делятся пополам.

Видео:Если в четырёхугольнике диагонали перпендикулярны ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Многоугольник

На самом деле, многоугольником может называться любая фигура с количеством углов, больше 2. По факту, любая фигура может называться многоугольником, поскольку 2 угла у замкнутой фигуры быть не может.

Рассмотрим многоугольники с количеством углов больше 4, поскольку четырехугольники мы уже рассмотрели.

Рис. 2. Диагонали многоугольника.

В многоугольнике, если он не является правильным, не получится решить задачу нахождения диагонали без дополнительных построений. В правильном многоугольнике все диагонали равны между собой и точкой пересечения делятся пополам.

Правильным многоугольником зовется фигура, все стороны и углы которой соответственно равны между собой.

Количество диагоналей можно посчитать, прикинув количество смежных и несмежных вершин. Смежными зовутся вершины, соединенные одним отрезком.

Например, в четырехугольнике у любой вершины есть две смежные вершины. Значит, для каждой вершины есть только одна диагональ. Диагональ соединяет две противоположные вершины, всего вершин 4, значит 4:2=2 – в любом четырехугольнике 2 диагонали.

Но этот способ не подойдет, если в задаче требуется подсчитать количество диагоналей у многоугольника с 5989 сторонами. Такая фигура вполне возможна в теории. На практике начертить ее весьма утомительно, как и подсчитать диагонали на чертеже. Поэтому была выведена формула числа диагоналей многоугольника:

$P=<n(n-3)over>$ – где n это число сторон многоугольника.

Проверим для квадрата:

Рис. 3. Диагонали квадрата.

Видео:Геометрия Признак ромба Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм ромбСкачать

Что мы узнали?

Мы узнали, почему не существует формулы диагонали треугольника. Поговорили о том, что диагонали в принципе нет, и не может быть в многоугольниках с количеством сторон, меньше 3. Обсудили различные свойства диагоналей в различных фигурах.

Видео:В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции равна 12.Скачать

Свойства и признаки диагоналей прямоугольника — формулы и примеры расчетов

Видео:Геометрия Доказательство Диагонали ромба перпендикулярны и являются биссектрисами его угловСкачать

Общая информация

В задачах по геометрии и физике приходится находить некоторые параметры прямоугольника: углы, стороны, периметр, площадь и диагонали. Все эти величины связаны между собой некоторыми соотношениями. Каждый должен уметь их рассчитывать, поскольку это необходимо не только для решения математических задач, но и в жизни. Например, при укладке керамзитной плитки на пол.

Используя свойство диагоналей, можно определить метод ее укладки. Кроме того, в физике иногда требуется рассчитать площадь поперечного сечения, а необходимая формула неизвестна. Во время планирования покупки строительных материалов нужно вычислить их количество, произведя вычисление площади или периметра помещения.

Однако формул для ведения расчетов недостаточно, поскольку нужно идентифицировать геометрическую фигуру. Для каждой из них применяются разные соотношения. В случае неверного определения вычисления окажутся недостоверными, а это негативно сказывается не только на экзаменах или контрольных, но и в финансовой сфере.

Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Сведения о прямоугольнике

Прямоугольником называется фигура с прямыми внутренними углами между смежными сторонами, у которой противоположные стороны равны. Его частным случаем, как говорят математики, является квадрат. У него все стороны равны, а углы также являются прямыми. Не каждый может правильно определить тип фигуры, поскольку от этого шага зависит правильность вычислений какого-либо параметра.

Для каждого геометрического тела существуют определенные критерии, по которым можно узнать его принадлежность. Эти критерии называются признаками. Некоторые новички путают признаки и свойства, но существует главное отличие, которое заключено в определении терминов «признак» и «свойство». Кроме того, специалисты предлагают простой способ, позволяющий избежать путаницы между терминами.

Идентификация или признаки

Признак — некоторые критерии, по которым можно отнести фигуру к определенному типу. Свойствами называются некоторые аксиомы и утверждения, полученные при доказательстве теорем. Идентифицировать прямоугольник можно с помощью теоремы из эвклидовой геометрии. Она имеет такую формулировку: если три угла фигуры являются прямыми, то она является прямоугольником. Для доказательства нужно выполнить такие действия:

• Вычислить значение четвертого угла: D = 360 — (90 * 3) = 90 (градусов).
• Сопоставить сведения, полученные при вычислении, с определением.

Существуют также и другие признаки, по которым можно идентифицировать фигуру. По одному из них можно определить ее принадлежность к прямоугольнику. К признакам можно отнести такие:

• Равенство сторон, которые противоположны между собой.
• Внутренние углы между собой равны, а их градусная мера соответствует 90 градусам.
• Диагонали равны между собой.
• Сумма квадратов двух сторон, которые не противоположны, равна квадрату одной диагонали. Это следует из теоремы Пифагора, по которой находится одна из сторон прямоугольного треугольника.
• Если прямоугольник не является квадратом, то его стороны не равны одному значению.

Первый и второй признаки получаются из основного определения фигуры. Третий признак является следствием доказательства теоремы, формулировка которой является следующей: диагонали прямоугольника равны. Она еще называется теоремой о диагоналях прямоугольника.

Для ее доказательства нужно начертить произвольный прямоугольник ABCD и провести в нем диагонали AC и BD. Они будут пересекаться в некоторой точке X. Они образуют прямоугольные треугольники ABC и ABD. В этом случае нужно доказать равенство треугольников. Они равны между собой: сторона АВ — общая, угол А равен В и сторона BC = AD (по равенству противоположных сторон). Из этого следует, что треугольники равны. Следовательно, их гипотенузы, которые также являются и диагоналями, равны.

Четвертый признак также доказывается. Следует рассматривать прямоугольный треугольник ABC. Используя теорему Пифагора, нужно выразить гипотенузу, которая является диагональю фигуры, через катеты (стороны фигуры): AC 2 = AB 2 + BC 2 . Таким способом доказывается данный признак. Последнее утверждение получается из частного случая: если у прямоугольника все стороны равны, то он является квадратом.

Свойства фигуры

Необходимо отметить, что квадрат — правильный четырехугольник, поскольку у него все стороны равны. Результирующая формула диагонали прямоугольника будет выглядеть таким образом: d = (AB 2 + BC 2 )^(½). При решении задач применяются свойства прямоугольника:

• Каждый из углов равен 90 градусам.
• Стороны, которые являются противолежащими и параллельными, равны.
• Сумма углов внутри фигуры составляет 360.
• Пересечение диагоналей в точке, которая делит их пополам, также является центром окружности, описанной вокруг фигуры и центром симметрии.
• Треугольники, полученные в результате проведения диагоналей, равны.
• Суммарное значение квадратичных значений всех сторон эквивалентно двойному квадрату диагонали.
• Большой и маленький треугольники, образованные диагоналями, подобны. Следует обратить внимание на коэффициент подобия.
• Диагональ эквивалентна диаметру окружности, описанной около фигуры.
• Геометрическая характеристика фигуры (сумма противоположных углов составляет 180) позволяет описать вокруг нее окружность.
• Вписать круг в прямоугольник можно тогда, когда он является правильным, т. е. ширина эквивалентна длине (квадрат).
• Угол между смежными сторонами равен 90.
• В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны, когда он является квадратом.
• Диагонали, пересекаясь между собой, образуют не разносторонние, а прямоугольные и равносторонние треугольники.
• Половина диагонали, проведенная из любой вершины фигуры, является медианой и высотой.
• Диагональ является биссектрисой (прямоугольник — квадрат).
• Средняя линия прямоугольника проходит через точку пересечения диагоналей.

Однако при решении задач свойств недостаточно. Для этого применяются специальные соотношения и формулы. Некоторые из них были получены из свойств фигуры. Во всех формулах будет браться радиус описанной окружности — R и ее диаметр — D, а также функция «sqrt», которая эквивалентна квадратному корню (x^(1/2) = x^(0.5)).

Периметр и площадь

Для удобства необходимо ввести некоторые обозначения. Диагонали следует обозначить литерой d, а противолежащие стороны — a и b, соответственно. Периметр — характеристика, соответствующая суммарному значению сторон фигуры. Очень часто ее обозначают литерой P. Существует также базовая формула: Р = 2а + 2b. Соотношение можно править таким способом: Р = 2 (a + b). Кроме того, существуют другие соотношения для определения P, когда известны некоторые параметры:

• Величина площади и сторона, которая известна: P = (2S + 2a 2 ) / a или P = (2S + 2b 2 ) / b.
• Диагональ и a (b): P = 2(a + (d 2 — a 2 )^(0.5)) = 2(b + (d 2 — b 2 )^(0.5)).
• a (b) и R: P = 2(a + (4 * R 2 — a 2 )^(0.5)) = 2(b + (4 * R 2 — b 2 )^(0.5)).
• D и a (b): P = 2(a + sqrt(D 2 — a 2 )) = 2(b + sqrt(D 2 — b 2 )).

Площадь — характеристика размерности двумерной фигуры. Ее обозначают литерой S, и измеряют в метрических единицах в квадрате (мм 2 , см 2 , м 2 и т. д.). Следует отметить, что она вычисляется интегральным методом. Однако для частных случаев существуют соотношения. Формула, которая является основанием для всех остальных соотношений, называется базовой. Она имеет такой вид: S = a * b. Площадь находится в зависимости от параметров, которые известны:

P и a (b): S = [(P * a) — 2a 2 ] / 2 = [(P * b) — 2b 2 ] / 2.

a (b) и d: S = a * sqrt[d 2 — a 2 ] = b * sqrt[d 2 — b 2 ].

Синус острого угла (Y) между двумя d и d: S = d 2 * sin (Y) / 2.

R и a (b): S = a * sqrt[4 * R 2 — a 2 ] = b * sqrt[4 * R 2 — b 2 ].

D и a (b): S = a * sqrt[D 2 — a 2 ] = b * sqrt[D 2 — b 2 ].

Для решения различных задач также могут быть полезны и другие соотношения, позволяющие найти не только диагонали, но и стороны прямоугольника.

Диагонали и стороны

Для оптимизации решения нужно знать формулы, с помощью которых можно находить одну из сторон или диагональ прямоугольника. Необходимо разобрать основные соотношения, по которым находятся стороны фигуры, когда известны следующие параметры:

• d и a (b): a = sqrt[d 2 — b 2 ] и b = sqrt[d 2 — a 2 ].
• S и a (b): a = S / b и b = S / a.
• P и a (b): a = (P — 2b) / 2 и b = (P — 2a) / 2.

Для нахождения диагонали также есть некоторые формулы. Для их применения следует знать такие параметры фигуры:

a и b: d = [a 2 + b 2 ]^(1/2).

S и a (b): d = (S 2 + a 4 )^(1/2) / a= (S 2 + b 4 )^(1/2) / b.

P и a (b): d = (P 2 — 4Pa + 8a 2 )^(1/2) / 2 = (P 2 — 4Pb + 8b 2 )^(1/2) / 2.

Однако это не все соотношения. В некоторых случаях разрешается описывать окружность вокруг фигуры. С помощью такого «геометрического хода» можно существенно упростить решение задачи. Это позволяет воспользоваться другими формулами.

Другие соотношения

Для решения задач используются и другие соотношения, которые позволяют найти параметры окружности, которая описана. Пусть дана окружность с радиусом R и диаметром D. Кроме того, известны некоторые параметры фигуры (a, b, d, P и S). С помощью формул можно найти D и R окружности при известных некоторых величинах:

a и b: R = (a 2 + b 2 )^(1/2) / 2.

P и a (b): R = (P 2 — 4Pa + 8a 2 )^(1/2) / 4 = (P 2 — 4Pb + 8b 2 )^(1/2) / 4.

S и a (b): R = (S 2 + a 4 )^(1/2) / 2a = (S 2 + b 4 )^(1/2) / 2b.

Для нахождения угла F следует воспользоваться такой формулой: sin (F) = a / d и cos (F) = b / d. Острый угол между двумя диагоналями определяется при помощи такого соотношения: sin (Y) = 2S / d 2 .

Видео:Геометрия Докажите, что если диагонали равнобокой трапеции перпендикулярны, то ее высота равнаСкачать

Пример решения

Пусть дана некоторая фигура, диагонали которой равны, а ее периметр равен 50. Одна из сторон a = 10. Следует провести идентификацию, а также найти такие параметры:

• Другие стороны.
• Значения диагоналей.
• Площадь.
• R описанной окружности через площадь и периметр.
• Выяснить возможность укладки плитки в форме квадрата на такую поверхность.
• Вычислить значения всех углов между смежными сторонами.

Данная задача является типом сложного класса, поскольку название фигуры не упоминается. Ее следует идентифицировать, а затем применить некоторые формулы для решения. Кроме того, необходимо верно выполнить 5 пункт. Однако не следует углубляться в строительную сферу. Бывают два метода укладки плитки: обычный — форма помещения является прямоугольником или квадратом, и с центра — другая фигура.

У фигуры диагонали равны, значит по третьему признаку она является прямоугольником. К нему можно применять вышеописанные формулы. Для нахождения другой стороны следует составить уравнение 2x + 2 * 10 = 50. Затем нужно перенести все известные значения в правую часть: 2х = 50 — 20. Далее можно найти переменную: х = 30 / 2 = 15 (ед.). Следует обратить внимание на написание единицы измерения. Если в условии задачи она не указана, то пишется единица измерения, которая заключается в круглые скобки. Достаточно найти только одну сторону, поскольку у прямоугольника существует свойство равенства противоположных сторон.

Значение диагоналей находится по формуле: d = [a 2 + b 2 ]^(1/2) = (15 2 + 10 2 )^(1/2) = (225 +100)^(1/2) = (325)^(1/2). Площадь можно найти таким образом: S = a * b = 15 * 10 = 150 [(ед.)^2]. Радиус вычисляется так:

R = (P 2 — 4Pa + 8a 2 )^(1/2) / 4 = (50 2 — 4 * 50 * 10 + 8 * 10 2 )^(1/2) / 4 = (1300)^(1/2) / 4 (ед.).

R = (S 2 + a 4 )^(1/2) / 2a = (150 2 + 100 4 )^(1/2) / (2 * 10) = (1300)^(1/2) / 4 (ед.).

Плитку можно укладывать обыкновенным способом, начиная не с центра, поскольку поверхность является прямоугольником. Все углы между сторонами равны между собой. Их градусная мера по 12 свойству соответствует 90.

Таким образом, при решении задач рекомендуется идентифицировать геометрическую фигуру, а затем применять к ней формулы.

💥 Видео

Все про РОМБ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия 8 классСкачать

№157. Прямая ОК перпендикулярна к плоскости ромба ABCD, диагонали которого пересекаются вСкачать

Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то это ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Площадь равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналямиСкачать

В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

(Атанасян, 478. Геометрия 7-9) В выпуклом четырёхугольнике диагонали взаимно перпендикулярны.Скачать

Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Диагонали ромба перпендикулярны. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

25 задание ОГЭ ✧ В ∆ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и ... #огэ #егэ #геометрияСкачать