В треугольник авс вписана окружность которая касается стороны ас

Геометрия | 5 — 9 классы

Помогите пожалуйста в треугольнике ABC AB = 12 AC = 16 BC = 10 вписана окружность касающаяся стороны AC в точке B1.

Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны))).

Видео:🔴 В угол C, равный 79°, вписана окружность ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 15 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон в точках M, K и P?

Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон в точках M, K и P.

Найдите углы треугольника ABC, если углы треугольника MKP равны 52, 56 и 72.

Видео:Геометрия В треугольник ABC вписана окружность радиуса R, касающаяся стороны AC в точке D, причёмСкачать

Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 12?

Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 12.

Окружность радиуса 8 с центром вне этого треугольника касается продолжений боковых сторон треугольника и касается основания AC.

Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Видео:№692. В треугольник ABC вписана окружность, которая касается сторон АВ, ВС и СА в точках Р, Q и RСкачать

Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон в точках M, K и P?

Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон в точках M, K и P.

Найдите углы треугольника ABC, если углы треугольника MKP равны 44, 70 и 66 градусам.

Видео:Задача про вписанную в треугольник окружность, из учебника Атанасяна номер 692Скачать

Окружность, вписанная в треугольник ABC касается его сторон в точках М К Р?

Окружность, вписанная в треугольник ABC касается его сторон в точках М К Р.

Найдите углы треугольника АВС, если углы треугольника МКР равны 42, 62 и 76.

Видео:Окружность вписанная в прямоугольный треугольник АВС касается катетов АС и ВС в точках М и N соответСкачать

В треугольник ABC со сторонами AB = 5 BC = 8 AC = 9, вписана окружность, касающиеся стороны АС в точке К?

В треугольник ABC со сторонами AB = 5 BC = 8 AC = 9, вписана окружность, касающиеся стороны АС в точке К.

Найдите расстояние от точки К до точки М биссектрисы BM.

Видео:№639. Прямая АВ касается окружности с центром О радиуса r в точке В. Найдите АВСкачать

Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 18?

Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 18.

Окружность радиуса 12 с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания AC в его середине.

Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

В равнобедренный треугольник ABC с основанием АС вписана окружность, которая касается боковой стороны BА в точке K?

В равнобедренный треугольник ABC с основанием АС вписана окружность, которая касается боковой стороны BА в точке K.

Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что BK = 2, KА = 8.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

В треугольник ABC вписана окружность, касающаяся его в точках L, M и N?

В треугольник ABC вписана окружность, касающаяся его в точках L, M и N.

Докажите, что треугольник KLM — всегда остроугольный.

Видео:Треугольник ABC вписан в окружность с центром O Угол BAC равен 32°Скачать

Помогите?

Дан треугольнис ABC.

Окружность вписана в треугольник и касается стороны AC в точке М.

Докажите, что BM меньше утроенного радиуса окружности.

Видео:ОГЭ, геометрия, задачи повышенной сложности. Часть 3Скачать

Помогите?

Дан треугольнис ABC.

Окружность вписана в треугольник и касается стороны AC в точке М.

Докажите, что BM меньше утроенного радиуса окружности.

Вы перешли к вопросу Помогите пожалуйста в треугольнике ABC AB = 12 AC = 16 BC = 10 вписана окружность касающаяся стороны AC в точке B1?. Он относится к категории Геометрия, для 5 — 9 классов. Здесь размещен ответ по заданным параметрам. Если этот вариант ответа не полностью вас удовлетворяет, то с помощью автоматического умного поиска можно найти другие вопросы по этой же теме, в категории Геометрия. В случае если ответы на похожие вопросы не раскрывают в полном объеме необходимую информацию, то воспользуйтесь кнопкой в верхней части сайта и сформулируйте свой вопрос иначе. Также на этой странице вы сможете ознакомиться с вариантами ответов пользователей.

Угол 1 = 180 — 170 = 10 получается угол 2 = углу 1 = 10 углы 3 и 4 = 180 — 10 * 2 = 160 угол 3 = углу 4 = 160 / 2 = 80 сумма смежных углов равна 180пусть один угол х, тогда второй — х + 33 получили уравнение х + х + 33 = 180 2х = 147 х = 73, 5 послед..

Не люблю геометрию 4, 1.

2) Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует.

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

16. Планиметрия

Формат ответа: цифра или несколько цифр, слово или несколько слов. Вопросы на соответствие «буква» — «цифра» должны записываться как несколько цифр. Между словами и цифрами не должно быть пробелов или других знаков.

Примеры ответов: 7 или здесьисейчас или 3514

В треугольнике ABC угол ABC равен 60°. Окружность, вписанная в треугольник, касается стороны AC в точке M.

а) Докажите, что отрезок BM не больше утроенного радиуса вписанной в треугольник окружности.

б) Найдите sin∠BMC, если известно, что отрезок BM в 2,5 раза больше радиуса вписанной в треугольник окружности.

а) Проведем радиусы $OHperp BC$ и $OMperp AC$ с длинной $R.$ Так как центр вписанной окружности находится в точке пересечения биссектрис, то $angle OBH=30^.$ Катет, лежащий против угла в $30^$ равен половине гипотенузы $Rightarrow OB=2OH=2R.$ По неравенству треугольника для $OBM$ имеем $BM &lt OM+OB=3R.$

б) Запишем теорему косинусов для треугольника $OBM:$

$OB^=OM^-2OMcdot BMcos angle BMO,$

cos$angle BMO=displaystyle frac=0,65.$

Так как $angle OMC=90^,$ то $sin angle BMC=sin (90^+angle BMO)=cos angle BMO=0,65.$

Точка B лежит на отрезке AC. Прямая, проходящая через точку A, касается окружности с диаметром BC в точке M и второй раз пересекает окружность с диаметром AB в точке K. Продолжение отрезка MB пересекает окружность с диаметром AB в точке D.

а) Докажите, что прямые AD и MC параллельны.

б) Найдите площадь треугольника DBC, если AK=3 и MK=12.

а) Треугольники $ABD$ и $BMC$ — прямоугольные, так как опираются на диаметры окружностей. Тогда $AD$ и $CM$ перпендикулярны одной и той же прямой $DM$. Следовательно, $ADparallel MC.$

б) Пусть $O$ — центр окружности с диаметром $AB.$ Тогда отрезок $OM$ перпендикулярен $AM.$

Так как угол $AKB$ — вписанный, опирающийся на диаметр, то отрезок $KB$ перпендикулярен $AM.$ Значит, $ KBparallel OM $ и треугольники $AKB$ и $AOM$ подобны по двум углам:

$displaystyle frac=displaystyle frac=displaystyle frac=displaystyle frac,$

Проведем высоту $BP$ в треугольнике $BOP:$

Рассмотрим треугольники $ACM$ и $DCM.$ Они имеют одинаковые основания $MC$ и высоту $DM,$ а, значит, и равные площадию

Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках C₁ и В₁ соответственно.

а) Докажите, что треугольник АВC подобен треугольнику АВ₁С₁.

б) Вычислите длину стороны ВС и радиус данной окружности, если ∠ А = 45∘, В₁С₁ = 6 и площадь треугольника АВ₁С₁ в восемь раз меньше площади четырёхугольника ВСВ₁С₁.

a) В треугольниках $ABC$ и $AB_C_$ $angle A$ — общий. $AC$ и $AB$ — секущие, проведениные из одной точки, следовательно, $displaystyle frac<AB_>=displaystyle frac<AC_>.$ Тогда треугольники $ABC$ и $ AB_C_$ подобны по двум сторонам и углу между ними.

б) Отношение площадей подобных фигур равно квадрату линейного отношения соответсвенных элементов данных фигур:

$displaystyle frac<S_<AB_C_>><S_>=left( displaystyle frac<B_C_>right)^=left( displaystyle frac<AC_>right) ^=left( displaystyle frac<AB_>right)^=displaystyle fracRightarrow BC=3B_C_=18.$

По теореме косинусов в треугольнике $ACC_:$

По теореме синусов $ACC_:$

Искомый радиус совпадает с радиусом окружности, описанной около треугольника $BCC_.$ по теореме синусов из треугольника $BCC_:$

В прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом при вершине A расположены две окружности. Одна из них касается боковых сторон и большего основания AD, вторая — боковых сторон, меньшего основания BC и первой окружности.

а) Прямая, проходящая через центры окружностей, пересекает основание AD в точке P. Докажите, что $displaystyle frac=sin angle D$.

б) Найдите площадь трапеции, если радиусы окружностей равны $displaystyle frac$ и $displaystyle frac$ .

а) Продолжим стороны $AB$ и $CD$ до пересечения в точки $R$. Окружности вписаны в угол, следовательно, их центры лежат на биссектрисе этого угла. Точка $P$ лежит на одной прямой с центрами окружности, значит, $RP$ — биссектриса треугольника $ARP.$

По теореме о биссектрисе угла треугольника $displaystyle frac=displaystyle frac=sin angle D.$

б) Введем обозначения. Пусть окружность с центром $O_$ и радиусом $displaystyle frac$ касается сторон $AB$ и $AD$ в точках $E$ и $M,$ а окружность в цетре $O_$ и радиусом $displaystyle frac$ касается сторон $AB$ и $BC$ в точках $F$ и $N.$ Проведем перпендикуляр $O_H$ к отрезку $O_E.$ Так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, то $HO_FE$ — прямоугольник, а $AEO_M$ и $BNO_F$ — квадраты. Получим:

$O_H=O_E-HE=O_E-O_F=displaystyle frac-displaystyle frac=1,$

$O_O_=displaystyle frac+displaystyle frac=displaystyle frac.$

По теореме Пифагора из трегугольника $O_O_H:$

Прямые $O_H$ и $EF$ параллельны, значит треугольники $O_O_H$ и $O_RE$ подобны по признаку подобия по двум углам ($angle REO_=angle O_HO_=90^,$ $angle RO_E$ — общий). Тогда обозначим $angle O_O_H=angle O_RE=alpha .$

Из прямоугольного треугольника $O_O_H:$

$tg alpha =displaystyle frac<O_H><O_H>=displaystyle frac.$

Тогда $angle BRC=2alpha ,$ $angle BCD=angle CRB+angle RBC=90^+2alpha $ как внешний угол треугольника и $angle O_CN=displaystyle fracangle BCD=45^+2alpha $ так как центр вписанной в угол окружности лежит на биссектрисе этого угла.

Из треугольника $O_CN$ находим:

Значит, $BC=BN+NC=displaystyle frac+displaystyle frac=displaystyle frac.$

Аналоично, $angle O_DM=tg(45^-alpha )$ и

$AD=AM+MD=displaystyle frac+displaystyle frac=displaystyle frac.$

Так как $AB=AE+EF+FB=displaystyle frac+displaystyle frac+displaystyle frac=3,$ то $S_=displaystyle fraccdot AB=displaystyle frac<displaystyle frac+displaystyle frac>cdot 3=displaystyle frac.$

Диагонали равнобедренной трапеции ABCD с основаниями BC и AD перпендикулярны. Окружность с диаметром AD пересекает боковую сторону CD в точке M, а окружность с диаметром CD пересекает основание AD в точке N. Отрезки AM и CN пересекаются в точке P.

а) Докажите, что в четырёхугольник ABCP можно вписать окружность.

б) Найдите радиус этой окружности, если BC = 7, AD = 23.

а) Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей трапеции. Так как $AD$ и $CD$ — диаметры окружностей, то $angle AMD=angle CND=90^.$ По условию $ACperp BDRightarrow ACperp BO,$ следовательно , $CN,$ $AM$ и $DO$ — высоты треугольноки $ACD.$ Они пересекаются в одной точке $P.$

Трапеция равнобедренная, а ее диагонали перпендикулярны, поэтому треугольник $BOC$ и $AOD$ — равнобедренные и прямоугольные, следовательно, $angle CBD=angle CAD=45^.$ Так как $ADperp CN,$ то $BCperp CN.$ Значит, в прямоугольных треугольниках $BCP$ и $CAN$ углы при основании равны $45^$ и треугольники являются равнобедренными, поэтому $BC=CP$ и $AN=CN.$

Прямая $CO$ является серединным перпендикуляром к отрезку $BD$. Точка $A$ принадлежит этой прямой, поэтому $AB=AP.$

Тогда верно, что $BC+AP=AB+CP$ (то есть суммы противоположных сторон равны), следовательно, в четырехугольнике $ABCP$ можно вписать окружностью.

б) Так как $N$ — основание высоты в равнобедренной трапеции, то

$DN=displaystyle frac=displaystyle frac=8,$

По теореме Пифагора из треугольника $ACN$ $AC=sqrt<CN^+AN^>=23sqrt.$

Аналогично из треугольника $BCP$ $BP=7sqrt,$ из треугольника $CND$

Выразим площадь четырехугольника $ABCP$ двумя способами:

$S_=displaystyle fracACcdot BPcdot sin 90^=displaystyle fracP_cdot r,$

Диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекаются в точке P, причём BC = CD.

а) Докажите, что $displaystyle frac=displaystyle frac$.

б) Найдите площадь треугольника COD, где O — центр окружности, вписанной в треугольник ABD, если дополнительно известно, что BD — диаметр описанной около четырёхугольника ABCD окружности, AB = 5, а BC = 5√2.

а) Вписанные углы $BAC$ и $DAC$ равны, как опирающиеся на равные хорды, значит, $AC$ — биссектриса угла $BAD. $

Вписанные углы $ADB$ и $ACB$ опираются на одну и ту же дугу, поэтому они тоже равны. Значит, треугольники $ADP$ и $ACB$ подобные по двум углам. Следовательно, $displaystyle frac=displaystyle frac.$

б) Точки $A$ и $C$ принадлежит окружности с диаметром $BD$, значит, треугольники $ABD$ и $BCD$ прямоугольные. По условию треугольник $BCD$ равнобедренный, поэтому $BD=BCsqrt=10$ и углы при основании равны $45^.$

Катет $AB$ прямоугольного треугольника $ABD$ равен половине гипотенузы $BD,$ следовательно, $angle ADB=30^,angle ABD=60^.$

Так ка центр окружности, вписанной в треугольник, — точка пересечения его биссектрис, то точка $O$ лежит на биссектрисе $AC$ угла $BAD$ и на биссектрисе угла $ADB.$ Тогда $angle ACD=angle ABD=60^$ (как опирающиеся на одну хорду) и $angle ODB=displaystyle fracangle ADB=15^. $ Получаем, что $angle ODC=angle ODB+angle BDC=15^+45^=60^.$

Значит, треугольник $COD$ — равностронний со стороной $5sqrt.$

В ответе необходимо записать полученное значение пункта б), умноженное на √3, то есть 37,5.

Видео:ОГЭ 2019. Задание 17. Разбор задач. Геометрия. Окружность.Скачать

В треугольник авс вписана окружность которая касается стороны ас

2021-11-23
Сторона $AC$ треугольника $ABC$ больше стороны $AB$. Вписанная в треугольник окружность касается стороны $BC$ в точке $M$, а вневписанная — в точке $N$.
а) Докажите, что $MN=AC-AB$.
б) Найдите расстояние между центрами указанных окружностей, если сумма их радиусов равна 24, а $MN=10$.

а) Пусть $BC=a$, $AC=b$, $AB=c$, $p=frac$ — полупериметр треугольника, а вневписанная окружность касается продолжений сторон $AB$ и $AC$ в точках $K$ и $L$ соответственно (рис.1). Тогда

Аналогично докажем, что $BM=p-b=frac$. Следовательно,

б) Пусть $O$ -центр вписанной окружности треугольника $ABC$ (рис.2), $O_$ — центр вневписанной окружности, касающейся стороны $BC$. Радиусы $OM$ и $O_N$ этих окружностей параллельны, т.к. они перпендикулярны одной и той же прямой $BC$.
Пусть $H$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $O_$ на прямую $OM$. Тогда $MNO_H$ — прямоугольник, поэтому

Из прямоугольного треугольника $OHO_$ находим, что

📺 Видео

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника, окружностьСкачать

Окружность вписана в треугольник, найти углы треугольникаСкачать

Разбор Задачи №16 из Варианта Ларина №282Скачать

Окружность вписана в прямоугольный треугольник и касается его средней линии, найти RСкачать

Геометрия Вписанная окружность касается сторон AB, AC, BC треугольника ABC в точках P, R, TСкачать

Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)Скачать

№702. В окружность вписан треугольник ABC так, что АВ — диаметр окружности. Найдите углыСкачать