В трапецию abcd вписана окружность касающаяся боковой стороны ab

Окружность, вписанная в трапецию ABCD, касается ее боковых сторон AB и CD в точках M и N соответственно. Известно, что AM = 8MB и DN = 2CN.

а) Докажите, что AD = 4BC.

б) Найдите длину отрезка MN, если радиус окружности равен

а) Пусть окружность касается оснований BC и AD в точках K и L соответственно, а ее центр находится в точке O.

Лучи AO и BO являются биссектрисами углов BAD и ABC соответственно, поэтому

то есть треугольник AOB прямоугольный. Аналогично, треугольник COD тоже прямоугольный. Пусть BM = x, CN = y, тогда AM = 8x, DN = 2y.

б) Заметим, что поэтому

Пусть прямые AB и CD пересекаются в точке P, а прямые MN и PO пересекаются в точке Q. Тогда треугольники BPC и APD подобны, поэтому AP = 4BP, AB = 3BP, BP = 3x, PN = PM = 4x. Прямая PO является серединным перпендикуляром к MN. В прямоугольном треугольнике OMP получаем:

Значит,

Приведем другое решение пункта а)

Пусть окружность касается оснований BC и AD в точках K и L соответственно, ее центр находится в точке O, а BM = x, CN = y, тогда AM = 8x, DN = 2y. Поскольку точки M, K, N и L — точки касания, и Опустим высоты BH и CQ:

тогда по теореме Пифагора Поскольку имеем откуда

Задача 16865 Окружность, вписанная в трапецию ABCD.

Условие

Окружность, вписанная в трапецию ABCD, касается ее боковых сторон АВ и CD в точках М и N соответственно. Известно, что АМ=8МВ и DN=2CN.

а) Докажите, что AD=4BC.

б) Найдите длину отрезка MN, если радиус окружности равен sqrt(6)

Решение

а)
Пусть ВМ=х, тогда АМ=8х
СN=y, тогда DN=2y
По свойству касательной, проведенной к окружности из одной точки, отрезки касательных равны.
Поэтому
ВМ=ВК=x
СN=CK=y
AM=AP=8x
DN=DP=2y

Сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна 180 градусов.
Биссектрисы АО и ВО делят углы А и В пополам, значит сумма острых углов треугольника АОВ равна 90 градусов.
Треугольник АОВ- прямоугольный.
Высота ОM прямоугольного треугольника АОВ есть среднее пропорциональное между отрезками АМ и ВМ.
ОM^2=AM*BM
OM=r
r^2=8x*x
r^2=8x^2
Аналогично, Δ СOD — прямоугольный и
ON^2=CN*ND
r^2=y*2y
r^2=2y^2

AD=AP+DP=8x+2y=8x+2*2x=12x
BC=BK+CK=x+y=x+2x=3x/(sqrt(x^2+r^2
AD=12x=4*(3x)=4BC

б)
r=sqrt(6)
Обозначим
∠ МОВ= ∠ ВОК= альфа
∠ KOC= ∠ CON= бета
sin альфа =MB/BO=x/sqrt(x^2+r^2)
cos альфа =MO/BO=r/sqrt(x^2+r^2)
sin бета=CN/CO=y/sqrt(y^2+r^2)
cos бета =ON/CO=r/sqrt(y^2+r^2)

sin( альфа + бета )=
=sin альфа*cos бета +cos альфа *sin бета =
=r*(x+y)/(sqrt(x^2+r^2)*sqrt(y^2+r^2))

Треугольник MON — равнобедренный,
МО=ОN=r
∠ MON=2*( альфа + бета )
Высота ОF делит основание MN пополам и сторону MN пополам.
MF=(1/2)MN=OM*sin( альфа + бета )=
MN=2*r*r*(x+y)//(sqrt(x^2+r^2)*sqrt(y^2+r^2))
Так как у=2х и r^2=6 и r^2=8x^2; r^2=2y^2, то
MN=
=2*r^2*((r/sqrt(8))+(r/sqrt(2)))/(r*sqrt((1/8)+1)*r*sqrt((1/2)+1))=
=(2*r*3/(2sqrt(2)))/(sqrt(9/8)*sqrt(3/2))=4

О т в е т. MN=4

Окружность, вписанная в трапецию ABCD, касается ее боковых сторон AB и CD в точках M и N соответственно?

Геометрия | 5 — 9 классы

Окружность, вписанная в трапецию ABCD, касается ее боковых сторон AB и CD в точках M и N соответственно.

Известно, что AM = 8MB и DN = 2CN.

Докажите, что AD = 4BC.

А) Пусть окружность касается основанийBCиADв точкахKиLсоответственно, а ее центр находится в точкеO.

ЛучиAOиBOявляются биссектрисами угловBADиABCсоответственно, поэтому.

Так как касательные к окружности из одной точки равны, то :

BC + AD = 9MB + 3CN.

AD = 6MB + 3BC — BC или

AD = 8MB + 2CN = 6MB + 2BC.

Треугольники АВО и СОD — прямоугольные (так как боковая сторона трапеции видна из центра вписанной в нее окружности под углом 90° — свойство).

Высоты ОМ и ОN (равные радиусу) равны.

По свойству высоты из прямого угла имеем :

ОМ = (2√2) * МВ ; ОN = √2 * CN.

Тогда 6МВ = 2МВ + 4МВ = 2МВ + 2CN = 2ВС.

AD = 6MB + 2BC (доказано выше).

AD = 2BC + 2BC = = 4ВС, что и требовалось доказать.

В трапецию вписана окружность?

В трапецию вписана окружность.

Найти периметр трапеции если ее боковые стороны равны 7см и 9см.

Точка E середина боковой стороны CDMA трапеции ABCD?

Точка E середина боковой стороны CDMA трапеции ABCD.

Докажите что площадь треугольника ABE равна половине площади трапеции.

45 баллов?

Основания AD и BC трапеции ABCD и боковая сторона AB равны соответственно 21, 7 и 12.

Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если сумма углов при основании трапеции равна 90 градусов.

В трапеции АВСД углы при вершинах А и В прямые, а боковая сторона СД ровно вдвое длинее меньшего основания ВС?

В трапеции АВСД углы при вершинах А и В прямые, а боковая сторона СД ровно вдвое длинее меньшего основания ВС.

Известно, что в эту трапецию можно вписать окружность.

Построена окружность, которая касается большего основания АД, боковой стороны СД и вписанной окружности трапеции.

А) Прямая, проходящая через центр построенной окружности и центр окружности, вписанной в трапецию, пересекает сторону АВ в точке Р.

Докажите, что АР / ВР = АД / ВС.

Б) Найти радиус плстроенной окружности, если радиус вписанрой в трапецию окружности равен 1.

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 18, основание равно 12?

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 18, основание равно 12.

Вписанная окружность касается боковых сторон в точках С и Е.

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 18, основание равно 12?

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 18, основание равно 12.

Вписанная окружность касается боковых сторон в точках С и Е.

В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 5 и 2?

В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 5 и 2.

Окружность, описанная около треугольника ABC, касается основания AD и боковой стороны CD.

Найти радиус окружности.

Большая боковая сторона прямоугольной трапеции равна 12корень из 2см, а острый угол — 45°?

Большая боковая сторона прямоугольной трапеции равна 12корень из 2см, а острый угол — 45°.

Найдите площадь трапеции, если известно, что в нее можно вписать окружность.

Большая боковая сторона прямоугольной трапеции равна 12√2см, а острый угол — 45°?

Большая боковая сторона прямоугольной трапеции равна 12√2см, а острый угол — 45°.

Найдите площадь трапеции, если известно, что в нее можно ВПИСАТЬ окружность.

В трапецию абсд вписана окружность с центром и?

В трапецию абсд вписана окружность с центром и.

Найдите периметр трапеции если сумма растояний от точки и до середин боковых сторон равна 30.

В трапецию вписана окружность, точка касания окружности с боковой стороной делит эту сторону на два отрезка — 8 и 2?

В трапецию вписана окружность, точка касания окружности с боковой стороной делит эту сторону на два отрезка — 8 и 2.

Найти высоту трапеции.

Вы зашли на страницу вопроса Окружность, вписанная в трапецию ABCD, касается ее боковых сторон AB и CD в точках M и N соответственно?, который относится к категории Геометрия. По уровню сложности вопрос соответствует учебной программе для учащихся 5 — 9 классов. В этой же категории вы найдете ответ и на другие, похожие вопросы по теме, найти который можно с помощью автоматической системы «умный поиск». Интересную информацию можно найти в комментариях-ответах пользователей, с которыми есть обратная связь для обсуждения темы. Если предложенные варианты ответов не удовлетворяют, создайте свой вариант запроса в верхней строке.

1. задание : найти АС. Что это значит? ЭТО значит, что 6 см + 9 см = 15 см , так как АВ = 6 см , а ВС = 9 см, задание НАЙТИ АС. 2. ЗАДАНИЕ : найти МК всё точно также складываем 12см + 3 см = 15 см 3. Найти ошибку там ты написала правильно что 6, ..

Дано : AM = MN = NB и МК||NP||BC. Проведем МЕ и ND параллельно АС. Теорема ФалесаЕсли на одной из двух прямых отложить последовательно равные отрезки и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второ..

24 — 8 = 16см — это ВС АС = 8см.

Возможно, кому — то пригодится решение — привожу своё : Пусть BC = AD = aBC = AD = a, тогда из условия BP = a / 4, PC = 3a / 4, AQ = 2a / 5, QD = 3a / 5BP = a / 4, PC = 3a / 4, AQ = 2a / 5, QD = 3a / 5. MOMO и ONON найдём как средние линии трапеций ..

Решение 22см — одна из сторон, т. К. сумма от точки пересекч к соседним сторонам равна одной стороне. 22 — 6 = 16см — вторая сторона.

Х + х — 6 = 22 2х — 6 = 22 2х = 22 + 6 2х = 28 х = 28 / 2 х = 14 одна сторона это Х то есть 14 а вторая х — 6 то есть 14 — 6 = 8.

1) вектор а = 2i — j 2) координаты вектора c .

Вот, пожалуйста✩ ^ _ ^ Все очень просто решается по теореме Пифагора.

Решение задания приложено.

ВС = MB — MC = 18, 2 — 9, 4 = 8, 8 Ответ : 1.