В равнобедренном треугольнике биссектрисы пересекаются

Свойства биссектрисы равнобедренного треугольника

В данной публикации мы рассмотрим основные свойства биссектрисы равнобедренного треугольника (внутренней и внешней), а также разберем пример решения задачи по данной теме.

Примечание: напомним, что равнобедренным называется треугольник, в котором две стороны равны (боковые), а третья является основание фигуры.

Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

Свойства биссектрисы равнобедренного треугольника

Свойство 1

В равнобедренном треугольнике биссектрисы, проведенные к боковым сторонам, равны между собой.

В равнобедренном треугольнике биссектрисы пересекаются

  • AB = BC, т.к. являются боковыми сторонами равнобедренного △ABC;
  • AF = CG, т.к. это биссектрисы, проведенные к боковым сторонам треугольника (или биссектрисы углов BAC и ACB, которые также равны между собой).

Обратная формулировка: если две из трех биссектрис в треугольнике равны, значит он является равнобедренным.

Свойство 2

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, одновременно является и медианой и высотой.

В равнобедренном треугольнике биссектрисы пересекаются

  • BH – биссектриса угла ABC, проведенная к основанию AC;
  • BH – медиана, значит она делит AC пополам, т.е. AH = HC;
  • BH – высота, следовательно, она перпендикулярна AC.

Свойство 3

Если известны стороны равнобедренного треугольника, то длину биссектрисы, проведенную к основанию, можно посчитать по формуле:

В равнобедренном треугольнике биссектрисы пересекаются

Примечание: данная формула следует из теоремы Пифагора ( l и a – катеты прямоугольного треугольника, b – его гипотенуза).

Свойство 4

Внешняя биссектриса угла равнобедренного треугольника, расположенного напротив его основания, параллельна этому основанию.

В равнобедренном треугольнике биссектрисы пересекаются

  • BD – внешняя биссектриса ∠ABC треугольника;
  • BD параллельна основанию AC.

Примечание: к равнобедренному треугольнику применимы и другие свойства биссектрисы, приведенные в нашей публикации – “Определение и свойства биссектрисы угла треугольника”.

Видео:№240. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС биссектрисы углов А и С пересекаютсяСкачать

№240. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС биссектрисы углов А и С пересекаются

Пример задачи

Биссектриса равнобедренного треугольника с боковой стороной 25 см равняется 20 см. Найдите периметр фигуры.

Решение
Воспользуемся формулой, приведенной в Свойстве 3, чтобы найти длину основания.
a 2 = b 2 – l 2 = 25 2 – 20 2 = 225 .

Извлекаем квадратный корень из найденного значения и получаем 15 см.
Следовательно, основание треугольника равно 30 см (15 см ⋅ 2).

Периметр фигуры равен сумме всех ее сторон, т.е.: 25 см + 25 см + 30 см = 80 см.

Видео:№296. В равнобедренном треугольнике ABC биссектрисы равных углов B и С пересекаются в точке О. ДокажСкачать

№296. В равнобедренном треугольнике ABC биссектрисы равных углов B и С пересекаются в точке О. Докаж

Биссектрисы равнобедренного треугольника

Свойства биссектрис равнобедренного треугольника

I. Биссектрисы углов при основании равнобедренного треугольника (проведенные к боковым сторонам), равны.

В равнобедренном треугольнике биссектрисы пересекаются

AN и BM — биссектрисы.

В равнобедренном треугольнике биссектрисы пересекаются

Рассмотрим треугольники ACN и BCM

(не забываем, как важно правильно назвать равные треугольники!).

1) AC=BC (по условию (как боковые стороны равнобедренного треугольника))

3) ∠ CAN= ∠ CBM (как углы, на которые биссектрисы делят равные углы при основании равнобедренного треугольника)

Следовательно, ∆ACN=∆BCM (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AN=BM.

Что и требовалось доказать.

Если в треугольнике два угла раны, то этот треугольник — равнобедренный (по признаку).

Если в треугольнике две стороны равны, то этот треугольник — равнобедренный (по определению).

Отсюда вытекает, что

Биссектрисы, проведенные из равных углов треугольника, равны.

Биссектрисы, проведенные к равным сторонам треугольника, равны.

(Вместо пары треугольников ACN и BCM можно было рассмотреть треугольники ABM и BAN.

1) AB — общая сторона

2) ∠ MAB= ∠ NBA (как углы при основании равнобедренного треугольника)

3) ∠ ABM= ∠ BAN (как углы, образованные биссектрисами равных углов).

Следовательно, треугольники ACN и BCM равны по стороне и двум прилежащим к ней углам).

II. Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника делит боковую сторону на отрезки, пропорциональные боковой стороне и основанию.

Видео:Пересечение биссектрис треугольника в одной точке, Геометрия 7 классСкачать

Пересечение биссектрис треугольника в одной точке,  Геометрия 7 класс

Точка пересечения биссектрис — свойства, теорема и соотношения

В равнобедренном треугольнике биссектрисы пересекаются

Видео:7 класс, 31 урок, Теорема о сумме углов треугольникаСкачать

7 класс, 31 урок, Теорема о сумме углов треугольника

Общие сведения

Треугольник — геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и отрезков, соединяющих их. Точки имеют другое название — вершины. Обозначается треугольник символом Δ, после которого идут 3 латинских буквы. Например, ΔMNO. Допускается использовать и русские литеры, но злоупотреблять этим не стоит.

В высших учебных заведениях преподаватели требуют от студентов международное обозначение. Кроме того, большинство программных продуктов и онлайн-сервисов воспринимают только латинские символы.

Существует определенная классификация Δ, на основании которой доказываются теоремы, выводятся формулы, свойства и решаются задачи. В последнем случае следует правильно производить идентификацию, чтобы избежать ошибок при расчетах.

Классификация треугольников

Необходимо отметить, что Δ различаются между собой по некоторым критериям.

Они бывают нескольких типов:

В равнобедренном треугольнике биссектрисы пересекаются

  1. Произвольные.
  2. Прямоугольные.
  3. Равнобедренные.
  4. Равносторонние.
  5. Тупоугольные.
  6. Остроугольные.

В первом случае стороны фигуры не равны между собой. Чтобы идентифицировать прямоугольный треугольник, необходимо рассмотреть его углы. Если один из них является прямым (равен 90 градусам), такая фигура называется прямоугольной. В третьем виде основным критерием считается наличие двух, равных между собой сторон.

В равностороннем треугольнике все стороны равны между собой. Математики его называют «правильным». Он обладает важным свойством — вокруг него можно описать окружность. Пятый тип определяет наличие тупого угла, градусная мера которого больше 90. Если фигура является остроугольной, это значит, что все 3 его угла меньше 90, т. е. являются острыми.

Один треугольник может относиться к нескольким типам. Например, прямоугольный Δ может быть равнобедренным на основании свойства геометрии: если Δ является равнобедренным, то углы (∠), образованные боковыми сторонами с основанием, равны между собой. В этом случае их градусные меры эквивалентны 45, поскольку сумма ∠ любого Δ составляет 180. Следовательно, 180 — 90 = 2k, где неизвестная величина «к» соответствует углу при основании.

Решая уравнение, можно получить искомое значение угла: k = 45. Исходя из вычислений, треугольник является прямоугольным и равнобедренным.

Дополнительные элементы

У любого Δ существуют определенные дополнительные элементы, необходимые при построении чертежей или схематических рисунков, доказательства теорем и решения задач по геометрии.

К ним относятся:

В равнобедренном треугольнике биссектрисы пересекаются

Биссектриса — отрезок (прямая), проходящий через вершину Δ и делящий угол на 2 равные части. Медиана — единственный отрезок для каждой вершины, соединяющий ее с серединой стороны, на которую он опущен.

Высотой является перпендикуляр, опущенный из вершины на противоположную сторону.

В равнобедренном и равностороннем треугольниках биссектриса является медианой и высотой. В последнем случае их можно провести всего 3.

Однако в произвольном Δ — по 3, т. е. 3 высоты, 3 медианы и 3 биссектрисы.

Видео:7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать

7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольника

Теорема о биссектрисах

Теорема о биссектрисах треугольника звучит таким образом: в любом Δ биссектрисы пересекаются только в одной точке — инцентре фигуры. Для доказательства нужно построить произвольный ΔКLМ, а затем следовать по такому алгоритму:

В равнобедренном треугольнике биссектрисы пересекаются

  1. Провести биссектрисы LN (к стороне КМ) и КU (к LM).
  2. На рисунке видно, что LN и KU пересекаются в одной точке (W).
  3. Доказывать теорему следует от противного — пусть биссектрисы не пересекаются.
  4. Если прямые не пересекаются, значит, они параллельны, т. е. LN || KU. Следовательно, KL — секущая.
  5. Сумма градусных мер односторонних углов эквивалентна 180, т. е. (∠К/2) + (∠L/2) = 180 (свойство параллельных прямых и секущей).
  6. Из соотношения в 5 пункте следует, что сумма ∠К + ∠L = 360.
  7. Сумма углов Δ эквивалентна 180. Однако при сложении значений двух ∠ величина их суммы больше 180. Следовательно, биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Необходимо доказать, что третья биссектриса (МV), проведенная из вершины М, проходит через точку W. Это делается таким образом:

  1. Из W следует опустить перпендикуляры на стороны Δ: WG, WF и WE.
  2. Нужно рассмотреть 2 ΔGBW и ΔBFW, которые являются прямоугольными, поскольку WG и WF — перпендикуляры, а BW — общая сторона. Углы ∠GBW и ∠WВF равны, т. к. их образует биссектриса LN (общий угол будет делиться на 2 равные части). Следовательно, ΔGBW и ΔBFW равны.
  3. Из равенства ΔGBW и ΔBFW получается отношение WG и WF.
  4. Аналогично доказывается равенство сторон WG и WЕ.

Далее следует рассмотреть ∠М. Следовательно, что координата точки W равноудалена от вершины М. На основании признака биссектрисы, W лежит на МV, поскольку W — точка пересечения биссектрис треугольника КLМ. Утверждение доказано.

Видео:Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать

Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnline

Свойства и соотношения

На основании теоремы о биссектрисах Δ были получены некоторые важные свойства, которые рекомендуется применять при решении задач и доказательства других утверждений:

В равнобедренном треугольнике биссектрисы пересекаются

  1. Центр вписанной окружности соответствует точке их пересечения.
  2. Точка при пересечении делит биссектрису по такому соотношению: отношение суммарного значения прилежащих к противолежащей стороне.
  3. Угол между биссектрисами двух смежных углов является прямым.
  4. В равнобедренном Δ равны только 2 биссектрисы, а в равностороннем — 3. Кроме того, она является медианой и высотой.

При решении задач нужно находить их длину (L).

Для удобства необходимо обозначить стороны таким образом: КМ = d, КL = e и LМ = f, чтобы воспользоваться следующими формулами через известные параметры треугольника:

  1. Все стороны: Lm = [2 * (d * e * p * (p — f))^(½)] / (d + e), Lк = [2 * (d * f * p * (p — e))^(½)] / (d + f) и Ll = [2 * (d * f * p * (p — e))^(½)] / (d + f). Параметр «р» — полупериметр, т. е. р = (d + e + f) / 2.
  2. Стороны и угол: Lm = (2 * d * e * cos (∠M)) / (d + e), Lk = (2 * d * f * cos (∠K)) / (d + f) и Ll = (2 * f * e * cos (∠L)) / (f + e).

Соотношения позволяют найти не только длины Lk, Lm и Ll, но и другие параметры треугольников. Следует отметить, что углы во второй группе формул соответствуют биссектрисам, исходящим из них.

Таким образом, для решения задач на нахождение длины биссектрис необходимо знать теорию, доказательство теоремы, свойства, а также основные соотношения.

💡 Видео

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

№265. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС проведены биссектриса AF и высота АН.Скачать

№265. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС проведены биссектриса AF и высота АН.

Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

№235. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС проведена биссектриса AD. Найдите углыСкачать

№235. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС проведена биссектриса AD. Найдите углы

SOS-ГЕОМЕТРИЯ! Отрезки и углы, смежные и вертикальные углы | Математика TutorOnlineСкачать

SOS-ГЕОМЕТРИЯ! Отрезки и углы, смежные и вертикальные углы | Математика TutorOnline

№684. Биссектрисы углов при основании АВ равнобедренного треугольника ABC пересекаются в точке М.Скачать

№684. Биссектрисы углов при основании АВ равнобедренного треугольника ABC пересекаются в точке М.

Построение биссектрисы в треугольникеСкачать

Построение биссектрисы в треугольнике

№229. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС проведена биссектриса AD.Скачать

№229. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС проведена биссектриса AD.

№230. Биссектрисы углов А и В треугольника ABC пересекаются в точке М. Найдите ∠AMBСкачать

№230. Биссектрисы углов А и В треугольника ABC пересекаются в точке М. Найдите ∠AMB

Геометрия 7 класс (Урок№13 - Равнобедренный треугольник.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№13 - Равнобедренный треугольник.)

Геометрия В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) биссектриса угла A пересекает сторону BC вСкачать

Геометрия В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) биссектриса угла A пересекает сторону BC в

№119. В равнобедренном треугольнике DEK с основанием DK=16см отрезок EF— биссектриса,Скачать

№119. В равнобедренном треугольнике DEK с основанием DK=16см отрезок EF— биссектриса,
Поделиться или сохранить к себе: