В остроугольном треугольнике ABC провели высоту BH из точки H на стороны AB и BC опустили перпендикуляры HK и HM соответственно.
а) Докажите, что треугольник MBK подобен треугольнику ABC.
б) Найдите отношение площади треугольника MBK к площади четырёхугольника AKMC, если BH = 1, а радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 4.
а) Пусть угол BAC = α. Углы BAC и KHB равны, как углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Рассмотрим четырёхугольник BKHM: ∠BKH + ∠BMH = 90° + 90° = 180°, следовательно, четырёхугольник BKHM вписан в окружность. Значит, 
как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу. Таким образом, ∠BAC = ∠KHB = ∠KMB. Треугольники ABC и MBK имеют общий угол B и ∠BAC = ∠KMB, значит, эти треугольники подобны по двум углам.
б) Из прямоугольного треугольника BKH находим, что 
Для треугольника ABC справедливо равенство 
Учитывая, что 
получаем: 
Стороны BC и BK — сходственные в подобных треугольниках ABC и MBK, следовательно, их коэффициент подобия 
Найдём отношение площади треугольника MBK к площади четырёхугольника AKMC:
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Аналоги к заданию № 505473: 505495 509483 511409 Все
Задание 16 Профильного ЕГЭ по математике. Планиметрия. Задача 2
B остроугольном треугольнике KMN проведены высоты KB и NA.
а) Докажите, что угол ABK равен углу ANK.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABM, если известно, что и
(по двум углам). Запишем отношение сходственных сторон:
Но это значит, что (по углу и двум сторонам), причем
— смежный с углом ,
, четырехугольник ABNK можно вписать в окружность.
(опираются на одну дугу).
б) Найдем , если и
По теореме синусов,
Это полезно
Узнаете, чем отличаются официально-деловой, публицистический, научный, художественный и разговорный стили.
Наш онлайн-курс по Физике
Все темы ЕГЭ с нуля
Можно не только читать, но и смотреть новые объяснения и разборы на нашем YouTube канале!
Пожалуйста, подпишитесь на канал и нажмите колокольчик, чтобы не пропустить новые видео
Задавайте свои вопросы в комментариях и оставляйте задачи, которые вы хотите, чтобы мы разобрали.
Мы обязательно ответим!
Мы заметили, что Вы регулярно пользуетесь нашими материалами для подготовки по физике.
Результат будет выше, если готовиться по отработанной методике.
У нас есть онлайн-курсы как для абитуриентов, так и для преподавателей.
Решение №2293 В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1 и CC1.
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1 и CC1. Докажите, что углы CC1A1 и CAA1 равны.
Источник: ОГЭ Ященко 2022 (36 вар)
Если отрезок AС виден из точек А1 и C1, лежащих по одну сторону от прямой AС, под одним и тем же углом (90°) , то точки A, С, А1, С1 лежат на одной окружности:
Тогда углы ∠СС1А1 и ∠САА1 вписанные в окружность, опираются на одну и туже дугу ‿A1С , значит они равны:
Что и требовалось доказать.
Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!
Насколько понятно решение?
Средняя оценка: 4.4 / 5. Количество оценок: 7
Оценок пока нет. Поставь оценку первым.
Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️
Вступай в группу vk.com 😉
Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время
В отзыве оставляйте контакт для связи, если хотите, что бы я вам ответил.