В любой правильный многоугольник можно вписать не более одной окружности

Теорема

Доказательство

Доказать: в многоугольник А₁А₂А₃. А_n можно вписать окружность, и притом только одну.

Доказательство:

А₁ОА₂ = А₂ОА₃ = . = А₁ОА_n по трем сторонам (ОА₁ = ОА₂ = . = ОА_n, как радиусы описанной окружности и А₁А₂ = А₂А₃ = . = А_nА₁, как стороны правильного многоугольника), тогда и высоты этих треугольников, проведенные из вершины О, также будут равны: ОН₁ = ОН₂ = . = ОН_n. Следовательно, окружность с центром О и радиусом ОН₁ проходит через точки Н₁, Н₂, . , Н_n и касается сторон многоугольника в этих точках, т.е. эта окружность вписана в данный правильный многоугольник А₁А₂А₃. А_n.

Докажем, что вписать можно только одну окружность.

Пусть существует окружность с центром О₁, вписанная в многоугольник А₁А₂А₃. А_n, отличная от окружности с центром О и радиусом ОН₁. Тогда ее центр О₁ равноудален от сторон многоугольника, т.е. точка О₁ лежит на каждой из биссектрис углов многоугольника А₁А₂А₃. А_n и, следовательно, совпадает с точкой О пересечения этих биссектрис (смотри теорему об окружности, описанной около правильного многоугольника). Радиус этой окружности равен расстоянию от точки О до сторон многоугольника,т.е. равен ОН₁. Значит, получаем, что вторая окружность совпадает с первой. Следовательно, наше предположение неверно, и в правильный многоугольник вписать можно только одну окружность. Теорема доказана.

Следствие 1

Следствие 2

Эта точка называется центром правильного многоугольника.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Видео:9 класс, 23 урок, Окружность, вписанная в правильный многоугольникСкачать

В любой правильный многоугольник можно вписать не более одной окружности

Какие из следующих утверждений верны?

1) Около любого правильного многоугольника можно описать не более одной окружности.

2) Центр окружности, описанной около треугольника со сторонами, равными 3, 4, 5, находится на стороне этого треугольника.

3) Центром окружности, описанной около квадрата, является точка пересечения его диагоналей.

4) Около любого ромба можно описать окружность.

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Около любого правильного многоугольника можно описать не более одной окружности.»— верно, около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.

2) «Центр окружности, описанной около треугольника со сторонами, равными 3, 4, 5, находится на стороне этого треугольника.» — верно, треугольник с такими сторонами является прямоугольным, таким образом, центр окружности лежит на гипотенузе.

3) «Центром окружности, описанной около квадрата, является точка пересечения его диагоналей.» — верно, диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам, таким образом, центром окружности является точка пресечения диагоналей.

4) «Около любого ромба можно описать окружность.» — неверно, чтобы около четырёхугольника можно было описать окружность, необходимо, чтобы сумма противоположных углов четырёхугольника составляла 180°. Это верно не для любого ромба.

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Окружность, вписанная в правильный многоугольник

На этом занятии мы рассмотрим следующую тему – «Окружность, вписанная в правильный многоугольник». В первую очередь дадим определение правильному многоугольнику. После чего докажем теорему о том, что внутри любого правильного многоугольника можно вписать окружность, и притом только одну. Кроме того, рассмотрим следствия из этой теоремы.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Основы геометрии»

📽️ Видео

9 класс, 22 урок, Окружность, описанная около правильного многоугольникаСкачать

111. Окружность, вписанная в правильный многоугольникСкачать

9 класс, 24 урок, Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороныСкачать

110. Окружность, описанная около правильного многоугольникаСкачать

Правильные многоугольники. Урок 11. Геометрия 9 классСкачать

Геометрия 9 класс (Урок№21 - Правильный многоугольник. Описанная и вписанная окружность.)Скачать

9 класс, 21 урок, Правильный многоугольникСкачать

Правильный многоугольник. Окружность, описанная около правильного многоугольника.Скачать

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Окружность, вписанная в правильный многоугольник. Видеоурок по геометрии 9 классСкачать

Формулы для вычисления площади правильного многоугольника,его стороны и радиуса вписанной окружностиСкачать

Окружность, вписанная в правильный многоугольник | Геометрия 7-9 класс #106 | ИнфоурокСкачать

Геометрия 9 класс (Урок№22 - Формулы площади правильного многоугольника,стороны и радиуса впис.окр.)Скачать

112. Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписаннойСкачать

ПРАВИЛЬНЫЙ МНОГОУГОЛЬНИК 9 класс геометрия АтанасянСкачать

Правильные многоугольники. Урок 12. Геометрия 9 классСкачать

Геометрия 9 класс (Урок№26 - Построение правильных многоугольников.)Скачать

№1078. Верно ли утверждение: а) любой правильный многоугольник является выпуклымСкачать