- теория по математике 📈 планиметрия
- Описанная окружность
- Вписанная окружность
- Вписанный и описанный треугольники
- Вписанный и описанный четырехугольники
- Вписанные и описанные многоугольники
- Правила для многоугольников которые можно вписать в окружность и описать окружность вокруг них
- Вписанная окружность
- Свойства вписанной окружности
- В треугольник
- В четырехугольник
- Примеры вписанной окружности
- Верные и неверные утверждения
- Окружность вписанная в угол
- 🎬 Видео
теория по математике 📈 планиметрия
Видео:9 класс, 23 урок, Окружность, вписанная в правильный многоугольникСкачать
Описанная окружность
Окружность называется описанной вокруг многоугольника, если все вершины многоугольника принадлежат этой окружности. Многоугольник в этом случае называется вписанным в окружность.
Любой правильный многоугольник можно вписать в окружность. На рисунке описанная окружность проходит через каждую вершину правильного шестиугольника.
Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать
Вписанная окружность
Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон. Многоугольник в этом случае называется описанным около окружности.
В любой правильный многоугольник можно вписать окружность. На рисунке окружность вписана в правильный шестиугольник, она касается всех его сторон.
Вписанный и описанный треугольники
Центр описанной около треугольника окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника.
В любой треугольник можно вписать окружность: Центр вписанной окружности
Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении его биссектрис.
Вписанный и описанный четырехугольники
Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность. Например, в прямоугольник нельзя вписать окружность. По рисунку видно, что окружность касается только трех его сторон, что не соответствует определению.
Условие вписанной в 4-х угольник окружности
Окружность является вписанной в четырехугольник, если суммы длин противоположных сторон равны.
На рисунке выполняется данное условие, то есть AD + BC=DC + AB
Окружность является описанной около четырехугольника, если суммы противоположных углов равны 180 градусов.
На рисунке окружности описана около четырехугольника, следовательно выполнено условие, что сумма углов А и С равна сумме углов B и D и равна 180 градусов.
Видео:Геометрия 9 класс (Урок№21 - Правильный многоугольник. Описанная и вписанная окружность.)Скачать
Вписанные и описанные многоугольники
Вписанным в круг многоугольником называется такой многоугольник, вершины которого лежат на окружности. Описанным около круга многоугольником называется такой многоугольник, стороны которого касаются окружности.
Описанной около многоугольника окружностью называется окружность, проходящая через его вершины. Вписанной в многоугольник окружностью называется окружность, касающаяся его сторон.
Вписанный многоугольник | Описанный многоугольник |
Если многоугольник взят произвольно, то в него нельзя вписать и около него нельзя описать окружность. Только многоугольники соответствующие некоторым правилам можно описать окружностью или вписать в них окружность.
Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать
Правила для многоугольников которые можно вписать в окружность и описать окружность вокруг них
Для треугольника всегда возможны и вписанная окружность и описанная окружность.
Для четырехугольника окружность можно вписать только в том случае, если суммы его противоположных сторон одинаковы. Из всех параллелограммов только в ромб и квадрат можно вписать окружность. Ее центр лежит на пересечении диагоналей.
Вокруг четырехугольника окружность можно описать только если сумма противоположных углов равна 180°. Из всех параллелограммов только около прямоугольника и квадрата можно описать окружность. Ее центр лежит на пересечении диагоналей.
Вокруг трапеции возможно описать окружность или в трапецию можно вписать окружность если трапеция равнобокая.
Видео:Окружность, вписанная в правильный многоугольник | Геометрия 7-9 класс #106 | ИнфоурокСкачать
Вписанная окружность
Вписанная окружность — это окружность, которая вписана
в геометрическую фигуру и касается всех его сторон.
Окружность, точно можно вписать в такие геометрические фигуры, как:
- Треугольник
- Выпуклый, правильный многоугольник
- Квадрат
- Равнобедренная трапеция
- Ромб
В четырехугольник, можно вписать окружность,
только при условии, что суммы длин
противоположных сторон равны.
Во все вышеперечисленные фигуры
окружность, может быть вписана, только один раз.
Окружность невозможно вписать в прямоугольник
и параллелограмм, так как окружность не будет
соприкасаться со всеми сторонам этих фигур.
Геометрические фигуры, в которые вписана окружность,
называются описанными около окружности.
Описанный треугольник — это треугольник, который описан
около окружности и все три его стороны соприкасаются с окружностью.
Описанный четырехугольник — это четырехугольник, который описан
около окружности и все четыре его стороны соприкасаются с окружностью.
Свойства вписанной окружности
В треугольник
- В любой треугольник может быть вписана окружность, причем только один раз.
- Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника.
- Вписанная окружность касается всех сторон треугольника.
- Площадь треугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:
[ S = frac(a+b+c) cdot r = pr ]
p — полупериметр четырехугольника.
r — радиус вписанной окружности четырехугольника.
окружность и любая из сторон треугольника.
перпендикуляры к любой точке касания.
треугольника на 3 пары равных отрезков.
Поэтому, расстояние между центрами этих окружностей можно найти с помощью формулы Эйлера:
с — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника.
R — радиус описанной около треугольника.
r — радиус вписанной окружности треугольника.
В четырехугольник
- Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.
- Если у четырехугольника суммы длин его противолежащих
сторон равны, то окружность, может быть, вписана (Теорема Пито). - Центр вписанной окружности и середины двух
диагоналей лежат на одной прямой (Теорема Ньютона, прямая Ньютона). - Точка пересечения биссектрис — это центр вписанной окружности.
- Точка касания — это точка, в которой соприкасается
окружность и любая из сторон четырехугольника. - Площадь четырехугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:
[ S = frac(a+b+c+d)cdot r = pr ]
p — полупериметр четырехугольника.
r — радиус вписанной окружности четырехугольника.
равноудалены от этой конца и начала этой стороны, то есть от его вершин.
Примеры вписанной окружности
- Треугольник
- Четырехугольник
- Многоугольник
Примеры описанного четырехугольника:
равнобедренная трапеция, ромб, квадрат.
Примеры описанного треугольника:
равносторонний, равнобедренный,
прямоугольный треугольники.
Верные и неверные утверждения
- Радиус вписанной окружности в треугольник и радиус вписанной
в четырехугольник вычисляется по одной и той же формуле. Верное утверждение. - Любой параллелограмм можно вписать в окружность. Неверное утверждение.
- В любой четырехугольник можно вписать окружность. Неверное утверждение.
- В любой ромб можно вписать окружность. Верное утверждение.
- Центр вписанной окружности треугольника это точка пересечения биссектрис. Верное утверждение.
- Окружность вписанная в треугольник касается всех его сторон. Верное утверждение.
- Угол вписанный в окружность равен соответствующему центральному
углу опирающемуся на ту же дугу. Неверное утверждение. - Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник равен
половине разности суммы катетов и гипотенузы. Верное утверждение. - Вписанные углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности равны. Неверное утверждение.
- Вписанная окружность в треугольник имеет в общем
три общие точки со всеми сторонами треугольника. Верное утверждение.
Окружность вписанная в угол
Окружность вписанная в угол — это окружность, которая
лежит внутри этого угла и касается его сторон.
Центр окружности, которая вписана в угол,
расположен на биссектрисе этого угла.
К центру окружности вписанной в угол, можно провести,
в общей сложности два перпендикуляра со смежных сторон.
Длина диаметра, радиуса, хорды, дуги вписанной окружности
измеряется в км, м, см, мм и других единицах измерения.
🎬 Видео
110. Окружность, описанная около правильного многоугольникаСкачать
9 класс, 22 урок, Окружность, описанная около правильного многоугольникаСкачать
111. Окружность, вписанная в правильный многоугольникСкачать
8 класс, 38 урок, Вписанная окружностьСкачать
Формулы для вычисления площади правильного многоугольника,его стороны и радиуса вписанной окружностиСкачать
ЕГЭ. Описывающая многоугольник окружность.Скачать
Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать
Окружность, вписанная в правильный многоугольник. Видеоурок по геометрии 9 классСкачать
Многоугольники и окружности. ЕГЭ по математике. Be Student SchoolСкачать
Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать
Правильный многоугольник. Окружность, описанная около правильного многоугольника.Скачать
Правильные многоугольники. Урок 11. Геометрия 9 классСкачать
Формулы радиусов описанной и вписанной окружностей правильного многоугольника 2Скачать
Площадь многоугольника через радиус вписанной окружностиСкачать
ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ в многоугольник 9 класс геометрияСкачать