Угол вершины равнобедренного треугольника

Угол при вершине равнобедренного треугольника

Как найти угол при вершине равнобедренного треугольника?

Каким может быть угол при вершине равнобедренного треугольника?

Найти угол при вершине равнобедренного треугольника, если угол при его основании равен α.

Угол вершины равнобедренного треугольникаДано: ∆ ABC,

∠A=∠C (как углы при основании равнобедренного треугольника).

Значит, α+∠B+α=180º, откуда ∠B=180º-2α.

1) Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 180º минус удвоенный угол при его основании.

2) Чем больше угол при основании равнобедренного треугольника, тем меньше угол при его вершине.

3) Если угол при основании α=45º, угол при вершине равнобедренного треугольника — прямой, так как

Если угол при основании больше 45º, угол при вершине — острый, так как

при α>45º произведение 2α>90º, откуда 180º-2α 90º.

Видео:7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать

7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольника

Равнобедренный треугольник: свойства, признаки и формулы

Угол вершины равнобедренного треугольника

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:№234. Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен 115°. Найдите углы треугольника.Скачать

№234. Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен 115°. Найдите углы треугольника.

Определение равнобедренного треугольника

Какой треугольник называется равнобедренным?

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны.

Давайте посмотрим на такой треугольник:

Угол вершины равнобедренного треугольника

На рисунке хорошо видно, что боковые стороны равны. Это равенство и делает треугольник равнобедренным.

А вот как называются стороны равнобедренного треугольника:

AB и BC — боковые стороны,

AC — основание треугольника.

Для понимания материала нам придется вспомнить, что такое биссектриса, медиана и высота, если вы вдруг забыли.

Биссектриса — луч, который исходит из вершины угла и делит этот угол на два равных угла.

Даже если вы не знаете определения, то про крысу, бегающую по углам и делящую их пополам, наверняка слышали. Она не даст вам забыть, что такое биссектриса. А если вам не очень приятны крысы, то вместо нее бегать может кто угодно. Биссектриса — это киса. Биссектриса — это лИса. Никаких правил для воображения нет. Все правила — для геометрии.

Обратите внимание на рисунок. В представленном равнобедренном треугольнике биссектрисой будет отрезок BH.

Угол вершины равнобедренного треугольника

Медиана — отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Для медианы не придумали веселого правила, как с биссектрисой, но можно его придумать. Например, буддийская запоминалка: «Медиана — это Лама, бредущий из вершины треугольника к середине его основания и обратно».

В данном треугольнике медианой является отрезок BH.

Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или на прямую, содержащую сторону треугольника.

Высотой в представленном равнобедренном треугольнике является отрезок BH.

Угол вершины равнобедренного треугольника

Видео:№228. Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из его углов равен: а) 40°Скачать

№228. Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из его углов равен: а) 40°

Признаки равнобедренного треугольника

Вот несколько нехитрых правил, по которым легко определить, что перед вами не что иное, как его величество равнобедренный треугольник.

  1. Если у треугольника два угла равны, то этот треугольник — равнобедренный.
  2. Если высота треугольника совпадает с его медианой, проведенной из того же угла, то такой треугольник — равнобедренный.
  3. Если высота треугольника совпадает с его биссектрисой, проведенной из того же угла, то такой треугольник — равнобедренный.
  4. Если биссектриса треугольника совпадает с его медианой, проведенной из того же угла, то такой треугольник снова равнобедренный!

Видео:№233. Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника,Скачать

№233. Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника,

Свойства равнобедренного треугольника

Чтобы понять суть равнобедренного треугольника, нужно думать как равнобедренный треугольник, стать равнобедренным треугольником — и выучить 4 теоремы о его свойствах.

Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Угол вершины равнобедренного треугольника

Пусть AС — основание равнобедренного треугольника. Проведем биссектрису DK. Треугольник ADK равен треугольнику CDK по двум сторонам и углу между ними (AD = DC, DK — общая, а так как DK — биссектриса, то угол ADK равен углу CDK). Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов, значит угол A равен углу C. Изи!

Теорема 2: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Δ ABH = Δ CBH по двум сторонам и углу между ними (углы ABH и CBH равны, потому что BH биссектриса, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

Значит, во-первых, AH = HC и BH — медиана.

Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит, они равны по 90 градусов и BH — высота.

Угол вершины равнобедренного треугольника

Теорема 3: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Δ ABH = Δ CBH по трём сторонам (AH = CH равны, потому что BH медиана, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.

Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит они равны по 90 градусов и BH — высота.

Угол вершины равнобедренного треугольника

Теорема 4: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

Δ ABH = Δ CBH по признаку прямоугольных треугольников, равенство гипотенуз и соответствующих катетов (AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.

Во-вторых, AH = HC и BH — медиана.

Видео:угол при вершине противолежащей основанию равнобедренного треугольника равен 150Скачать

угол при вершине противолежащей основанию равнобедренного треугольника равен 150

Примеры решения задач

Нет ничего приятнее, чем поупражняться и поискать углы и стороны в равнобедренном треугольнике. Ну… почти ничего.

Угол вершины равнобедренного треугольника

Задачка раз. Дан ΔABC с основанием AC: ∠C = 80°, AB = BC. Найдите ∠B.

Поскольку вы уже знакомы с различными теоремами, то для вас не секрет, что углы при основании в равнобедренном треугольнике равны, а треугольник ABC — равнобедренный, так как AB = BC.

Значит, ∠A = ∠C = 80°.

Не должно вас удивить и то, что сумма углов треугольника равна 180°.

∠B = 180° − 80° − 80° = 20°.

Задачка два. В треугольнике ABC провели высоту BH, угол CAB равен 50°, угол HBC равен 40°. Найдите сторону BC, если BA = 5 см.

Сумма углов треугольника равна 180°, а значит в Δ ABH мы можем узнать угол ABH, который будет равен 180° − 50° − 90° = 40°.

А ведь получается, что углы ABH и HBC оба равны по 40° и BH — биссектриса.

Ну и раз уж BH является и биссектрисой, и высотой, то Δ ABC — равнобедренный, а значит BC = BA = 5 см.

Изучать свойства и признаки равнобедренного треугольника лучше всего на курсах по математике с опытными преподавателями в Skysmart.

Видео:Определение угла равнобедренного треугольникаСкачать

Определение угла равнобедренного треугольника

Углы равнобедренного треугольника

Треугольник с одинаковыми боковыми сторонами называется равнобедренным. В нем равны и углы при основании. Если они известны, то вычислить третий угол не составит труда. Как известно, сумма всех углов треугольника равна 180°. Если из 180° вычесть сумму двух одинаковых углов при основании (а), то найдем третий угол β:

β = 180°-2α

Если известна величина угла b, противолежащего основанию и требуется найти угол (а) при основании, необходимо из 180° вычесть известный угол β. Полученную величину делим на два, т.к. углы при основании равны.

α= (180°-β)/2

Если известны стороны равнобедренного треугольника, можно рассчитать все его углы. Чтобы найти угол при основании, проведем к основанию высоту, которая делит основание пополам, а треугольник — на два одинаковых прямоугольных треугольника. Гипотенузой вновь образованных треугольников будет боковая сторона равнобедренного треугольника (а), а одним из катетов — половина длины основания (b/2). Используя теорему косинусов определяем косинус угла (а), как отношение прилежащего к искомому углу катета (b/2) к гипотенузе (а) по формуле:

cosα= b/2a

Рассчитать угол при основании равнобедренного треугольника можно также через катеты образованного в нем прямоугольного треугольника (например, abc). Одним из его катетов (b) будет половина длины основания равнобедренного треугольника, другим катетом (а) — высота равнобедренного треугольника. Найти угол α при основании треугольника можно через тангенс угла, как отношение противолежащего ему катета (а) к прилежащему катету (b).

tg (α) = a/b

В таблицк тангенсов находим угол α в градусах. Т.к. Углы при основании равнобедренного треугольника равны, то найти третий угол не составит труда, зная, что сумма всех его углов равна 180°.

🌟 Видео

Вариант 28, № 4. Равнобедренный треугольник. Угол при вершинеСкачать

Вариант 28, № 4. Равнобедренный треугольник. Угол при вершине

№155. Через вершину прямого угла С равнобедренного прямоугольного треугольника ABCСкачать

№155. Через вершину прямого угла С равнобедренного прямоугольного треугольника ABC

№259. Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 120°. Высота, проведеннаяСкачать

№259. Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 120°. Высота, проведенная

1819 угол при вершине противолежащей основанию равнобедренного треугольника равен 150Скачать

1819 угол при вершине противолежащей основанию равнобедренного треугольника равен 150

Геометрия 7 класс (Урок№13 - Равнобедренный треугольник.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№13 - Равнобедренный треугольник.)

Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать

Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnline

Равнобедренный треугольник. 7 класс.Скачать

Равнобедренный треугольник. 7 класс.

Задача 6 №27900 ЕГЭ по математике. Урок 128Скачать

Задача 6 №27900 ЕГЭ по математике. Урок 128

Геометрия Угол при вершине равнобедренного треугольника равен β, высота, проведенная к боковойСкачать

Геометрия Угол при вершине равнобедренного треугольника равен β, высота, проведенная к боковой

Найдите угол при вершине равнобедренного треугольника ★ Задача от Атанасяна #299Скачать

Найдите угол при вершине равнобедренного треугольника ★ Задача от Атанасяна #299

Свойства равнобедренного треугольника. 7 класс.Скачать

Свойства равнобедренного треугольника. 7 класс.

1839 угол при вершине противолежащей основанию равнобедренного треугольникаСкачать

1839 угол при вершине противолежащей основанию равнобедренного треугольника

Задача 6 №27589 ЕГЭ по математике. Урок 57Скачать

Задача 6 №27589 ЕГЭ по математике. Урок 57

Геометрия Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 120, а высота, проведенная к основаниюСкачать

Геометрия Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 120, а высота, проведенная к основанию
Поделиться или сохранить к себе: