Угол с вершиной в центре окружности называется вписанным углом

Углы в окружности

Рассмотрим углы в окружности и углы, связанные с окружностью.

  • Угол с вершиной в центре окружности.
  • Угол с вершиной на окружности (его стороны пересекают окружность).
  • Угол с вершиной внутри окружности (не в центре).
  • Угол с вершиной вне окружности, стороны которого пересекают окружность.

I. Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом.

Стороны центрального угла разбивают окружность на две части. Дугой, соответствующей данному центральному углу, называется та часть, которая содержится внутри угла.

Угол с вершиной в центре окружности называется вписанным угломНапример, центральному углу AOC соответствует дуга AC (или дуга AFC. Обычно дугу называют двумя буквами. Но, поскольку любую из двух, на которые точки A и C делят окружность, можно назвать AC, то третью, дополнительную букву, иногда используют для уточнения выбранной дуги).

Градусная мера дуги окружности равна градусной мере соответствующего центрального угла:

Угол с вершиной в центре окружности называется вписанным угломII. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.

Стороны вписанного угла также разбивают окружность на две дуги. Говорят, что вписанный угол опирается на лугу, которая лежит внутри него.

Например, вписанный угол ABC опирается на дугу AC (или дугу AFC).

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается:

Угол с вершиной в центре окружности называется вписанным углом

Есть другой вариант формулировки свойства вписанного угла.

Угол с вершиной в центре окружности называется вписанным угломВписанный угол равен половине соответствующего ему центрального угла:

Угол с вершиной в центре окружности называется вписанным углом

Угол с вершиной в центре окружности называется вписанным углом

Угол с вершиной в центре окружности называется вписанным угломВписанный угол, опирающийся на полуокружность — прямой.

И наоборот: любой прямой вписанный угол опирается на полуокружность.

Другая формулировка этого утверждения:

(обратно: Если вписанный угол прямой, то он опирается на диаметр).

III. Угол, вершина которого лежит в окружности — это угол между пересекающимися хордами.

Угол между пересекающимися хордами равен полусумме дуг, заключённых между его сторонами и сторонами вертикального ему угла.

Угол с вершиной в центре окружности называется вписанным углом

Угол с вершиной в центре окружности называется вписанным углом

IV. Угол с вершиной вне окружности, обе стороны которого пересекают окружность — это угол между секущими, которые пересекаются вне окружности.

Угол между секущими, пересекающимися вне окружности, измеряется полуразностью большей и меньшей дуг, заключенных между его сторонами.

Видео:Углы с вершиной внутри и вне окружности.Скачать

Углы с вершиной внутри и вне окружности.

Центральные и вписанные углы

Угол с вершиной в центре окружности называется вписанным углом

О чем эта статья:

Видео:Вписанные и центральные углыСкачать

Вписанные и центральные углы

Центральный угол и вписанный угол

Окружность — замкнутая линия, все точки которой равноудалены от ее центра.

Определение центрального угла:

Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

Угол с вершиной в центре окружности называется вписанным углом

На рисунке: центральный угол окружности EOF и дуга, на которую он опирается EF

Определение вписанного угла:

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.

Угол с вершиной в центре окружности называется вписанным углом

На рисунке: вписанный в окружность угол ABC и дуга, на которую он опирается AC

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Свойства центральных и вписанных углов

Углы просты только на первый взгляд. Свойства центрального угла и свойства вписанного угла помогут решать задачки легко и быстро.

  • Вписанный угол в два раза меньше, чем центральный угол, если они опираются на одну и ту же дугу:

Угол с вершиной в центре окружности называется вписанным углом

Угол AOC — центральный, угол ABC — вписанный. Оба угла опираются на дугу AC, в этом случае центральный угол равен дуге AC, а угол ABC равен половине угла AOC.

  • Теорема о центральном угле: центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается:

Угол с вершиной в центре окружности называется вписанным углом

  • Вписанные углы окружности равны друг другу, если опираются на одну дугу:

Угол с вершиной в центре окружности называется вписанным углом

ㄥADC = ㄥABC = ㄥAEC, поскольку все три угла, вписанные в окружность, опираются на одну дугу AC.

  • Вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, — всегда прямой:

Угол с вершиной в центре окружности называется вписанным углом

ㄥACB опирается на диаметр и на дугу AB, диаметр делит окружность на две равные части. Значит дуга AB = 180 ํ, ㄥCAB равен половине дуги, на которую он опирается, значит ㄥCAB = 90 ํ.

Если есть вписанный, обязательно найдется и описанный угол. Описанный угол — это угол, образованный двумя касательными к окружности. Вот так:

Угол с вершиной в центре окружности называется вписанным углом

На рисунке: ㄥCAB, образованный двумя касательными к окружности. AO — биссектриса ㄥCAB, значит центр окружности лежит на биссектрисе описанного угла.

Для решения задачек мало знать, какой угол называется вписанным, а какой — описанным. Нужно знать, что такое хорда и ее свойство.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Хорда — отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Угол с вершиной в центре окружности называется вписанным углом

  • Если две хорды в окружности пересекаются, то произведения отрезков одной равно произведению отрезков другой.

Угол с вершиной в центре окружности называется вписанным углом

AB * AC = AE * AD
Получается, что стороны вписанного в окружность угла — это хорды.

  • Если вписанные углы опираются на одну и ту же хорду — они равны, если их вершины находятся по одну сторону от хорды.

Угол с вершиной в центре окружности называется вписанным углом

ㄥBAC = ㄥCAB, поскольку лежат на хорде BC.

  • Если два вписанных угла опираются на одну и ту же хорду, то их суммарная градусная мера равна 180°, если их вершины находятся по разные стороны от хорды.

Угол с вершиной в центре окружности называется вписанным углом

ㄥBAC + ㄥBDC = 180°

Видео:ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный УголСкачать

ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный Угол

Примеры решения задач

Центральный, вписанные и описанные углы, как и любые другие, требуют тренировок в решении. Рассмотрите примеры решения задач и потренируйтесь самостоятельно.

Задачка 1. Дана окружность, дуга AC = 200°, дуга BC = 80°. Найдите, чему равен вписанный угол, опирающийся на дугу AB. ㄥACB = ?

Угол с вершиной в центре окружности называется вписанным углом

Как решаем: окружность 360° − AC − CB = 360° − 200° − 80° = 80°
По теореме: вписанный угол равен дуге ½.
ㄥACB = ½ AB = 40°

Задачка 2. Дана окружность, ㄥAOC = 140°, найдите, чему равна величина вписанного угла.

Угол с вершиной в центре окружности называется вписанным углом

Мы уже потренировались и знаем, как найти вписанный угол.
На рисунке в окружности центральный угол и дуга AC = 140°
Мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального, то ㄥABC = ½ AC = 140/2 = 70°

Задачка 3. Чему равен вписанный в окружность угол, опирающийся на дугу, если эта дуга = ⅕ окружности?

Угол с вершиной в центре окружности называется вписанным углом

СB = ⅕ от 360° = 72°
Вписанный угол равен половине дуги, поэтому ㄥCAB = ½ от CB = 72° / 2 = 36°

Видео:Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСССкачать

Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСС

Углы, связанные с окружностью

Угол с вершиной в центре окружности называется вписанным угломВписанные и центральные углы
Угол с вершиной в центре окружности называется вписанным угломУглы, образованные хордами, касательными и секущими
Угол с вершиной в центре окружности называется вписанным угломДоказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Видео:Центральный и вписанный углыСкачать

Центральный и вписанный углы

Вписанные и центральные углы

Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).

Угол с вершиной в центре окружности называется вписанным углом

Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).

Угол с вершиной в центре окружности называется вписанным углом

Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.

Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Видео:8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном углеСкачать

8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном угле

Теоремы о вписанных и центральных углах

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

ФигураРисунокТеорема
Вписанный уголУгол с вершиной в центре окружности называется вписанным углом
Вписанный уголУгол с вершиной в центре окружности называется вписанным угломВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.
Вписанный уголУгол с вершиной в центре окружности называется вписанным угломВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды
Вписанный уголУгол с вершиной в центре окружности называется вписанным угломДва вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды
Вписанный уголУгол с вершиной в центре окружности называется вписанным угломВписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр
Окружность, описанная около прямоугольного треугольникаУгол с вершиной в центре окружности называется вписанным углом

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Угол с вершиной в центре окружности называется вписанным углом

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Угол с вершиной в центре окружности называется вписанным углом

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды

Угол с вершиной в центре окружности называется вписанным углом

Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды

Угол с вершиной в центре окружности называется вписанным углом

Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр

Угол с вершиной в центре окружности называется вписанным углом

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Угол с вершиной в центре окружности называется вписанным углом

Видео:Углы, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Углы, вписанные в окружность. 9 класс.

Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

Вписанный угол
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

ФигураРисунокТеоремаФормула
Угол, образованный пересекающимися хордамиУгол с вершиной в центре окружности называется вписанным угломУгол с вершиной в центре окружности называется вписанным углом
Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне кругаУгол с вершиной в центре окружности называется вписанным угломУгол с вершиной в центре окружности называется вписанным углом
Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касанияУгол с вершиной в центре окружности называется вписанным угломУгол с вершиной в центре окружности называется вписанным углом
Угол, образованный касательной и секущейУгол с вершиной в центре окружности называется вписанным угломУгол с вершиной в центре окружности называется вписанным углом
Угол, образованный двумя касательными к окружностиУгол с вершиной в центре окружности называется вписанным угломУгол с вершиной в центре окружности называется вписанным углом

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Угол с вершиной в центре окружности называется вписанным углом

Угол с вершиной в центре окружности называется вписанным углом

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Угол с вершиной в центре окружности называется вписанным углом

Угол с вершиной в центре окружности называется вписанным углом

Угол с вершиной в центре окружности называется вписанным углом

Угол с вершиной в центре окружности называется вписанным углом

Угол, образованный пересекающимися хордами хордами
Угол с вершиной в центре окружности называется вписанным углом
Формула: Угол с вершиной в центре окружности называется вписанным углом
Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга
Формула: Угол с вершиной в центре окружности называется вписанным углом

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания
Угол с вершиной в центре окружности называется вписанным углом
Формула: Угол с вершиной в центре окружности называется вписанным углом
Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей
Формула: Угол с вершиной в центре окружности называется вписанным углом

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности
Формулы: Угол с вершиной в центре окружности называется вписанным углом

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Видео:Вписанный угол - 1Скачать

Вписанный угол - 1

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).

Угол с вершиной в центре окружности называется вписанным углом

Угол с вершиной в центре окружности называется вписанным углом

Угол с вершиной в центре окружности называется вписанным углом

Угол с вершиной в центре окружности называется вписанным углом

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

Угол с вершиной в центре окружности называется вписанным углом

В этом случае справедливы равенства

Угол с вершиной в центре окружности называется вписанным углом

Угол с вершиной в центре окружности называется вписанным углом

Угол с вершиной в центре окружности называется вписанным углом

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

Угол с вершиной в центре окружности называется вписанным углом

В этом случае справедливы равенства

Угол с вершиной в центре окружности называется вписанным углом

Угол с вершиной в центре окружности называется вписанным углом

Угол с вершиной в центре окружности называется вписанным углом

что и завершает доказательство теоремы 1.

Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.

Угол с вершиной в центре окружности называется вписанным углом

Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

Угол с вершиной в центре окружности называется вписанным углом

Угол с вершиной в центре окружности называется вписанным углом

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Угол с вершиной в центре окружности называется вписанным углом

Угол с вершиной в центре окружности называется вписанным углом

Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

Угол с вершиной в центре окружности называется вписанным углом

Угол с вершиной в центре окружности называется вписанным углом

что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.

Угол с вершиной в центре окружности называется вписанным углом

Угол с вершиной в центре окружности называется вписанным углом

Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

Угол с вершиной в центре окружности называется вписанным углом

Угол с вершиной в центре окружности называется вписанным углом

что и требовалось доказать

Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.

Угол с вершиной в центре окружности называется вписанным углом

Угол с вершиной в центре окружности называется вписанным углом

Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

Угол с вершиной в центре окружности называется вписанным углом

Угол с вершиной в центре окружности называется вписанным углом

что и требовалось доказать.

Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.

Угол с вершиной в центре окружности называется вписанным углом

Угол с вершиной в центре окружности называется вписанным углом

Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство

🔥 Видео

ОГЭ по математике. Треугольник вписан в окружность . (Вар. 4) √ 17 модуль геометрия ОГЭСкачать

ОГЭ по математике. Треугольник вписан в окружность . (Вар. 4) √ 17 модуль геометрия ОГЭ

Угол, вписанный в окружность. Теорема о величине вписанного в окружность угла. Геометрия 8-9 классСкачать

Угол, вписанный в окружность. Теорема о величине вписанного в окружность угла. Геометрия 8-9 класс

ГЕОМЕТРИЯ 8 класс : Центральные и вписанные углыСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 8 класс : Центральные и вписанные углы

В угол C величиной 83° вписана окружность ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

В угол C величиной 83° вписана окружность ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Определение величины углаСкачать

Определение величины угла

Центральный и вписанный углыСкачать

Центральный и вписанный углы

ЦЕНТРАЛЬНЫЙ угол ВПИСАННЫЙ угол окружности 8 класс АтанасянСкачать

ЦЕНТРАЛЬНЫЙ угол ВПИСАННЫЙ угол окружности 8 класс Атанасян

Решение задач на тему центральные и вписанные углы.Скачать

Решение задач на тему центральные и вписанные углы.

Вписанные и центральные углыСкачать

Вписанные и центральные углы

Геометрия 8 класс (Урок№27 - Теорема о вписанном угле.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№27 - Теорема о вписанном угле.)

Центральные и вписанные углы. Всё про углы в окружностиСкачать

Центральные и вписанные углы. Всё про углы в окружности
Поделиться или сохранить к себе: