Определение . Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны (рис 1).
Поскольку в каждом треугольнике имеется три вершины, то в каждом треугольнике можно провести три медианы.
На рисунке 1 медианой является отрезок BD .
Утверждение 1 . Медиана треугольника делит его на два треугольника равной площади ( равновеликих треугольника).
Доказательство . Проведем из вершины B треугольника ABC медиану BD и высоту BE (рис. 2),
и заметим, что (см. раздел нашего справочника «Площадь треугольника»)
Поскольку отрезок BD является медианой, то
что и требовалось доказать.
Утверждение 2 . Точка пересечения двух любых медиан треугольника делит каждую из этих медиан в отношении 2 : 1 , считая от вершины треугольника.
Доказательство . Рассмотрим две любых медианы треугольника, например, медианы AD и CE , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 3).
Обозначим середины отрезков AO и CO буквами F и G соответственно (рис. 4).
Теперь рассмотрим четырёхугольник FEDG (рис. 5).
Сторона ED этого четырёхугольника является средней линией в треугольнике ABC . Следовательно,
Сторона FG четырёхугольника FEDG является средней линией в треугольнике AOC . Следовательно,
Отсюда вытекает, что точка O делит каждую из медиан AD и CE в отношении 2 : 1 , считая от вершины треугольника.
Следствие . Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке.
Доказательство . Рассмотрим медиану AD треугольника ABC и точку O , которая делит эту медиану в отношении 2 : 1 , считая от вершины A (рис.7).
Поскольку точка, делящая отрезок в заданном отношении, является единственной, то и другие медианы треугольника будут проходить через эту точку, что и требовалось доказать.
Определение . Точку пересечения медиан треугольника называют центроидом треугольника.
Утверждение 3 . Медианы треугольника делят треугольник на 6 равновеликих треугольников (рис. 8).
Доказательство . Докажем, что площадь каждого из шести треугольников, на которые медианы разбивают треугольник ABC , равна площади треугольника ABC. Для этого рассмотрим, например, треугольник AOF и опустим из вершины A перпендикуляр AK на прямую BF (рис. 9).
- Треугольники общего вида
- Треугольники общего вида.
- Свойства медиан:
- Свойства высот:
- Прямоугольный треугольник и его свойства:
- Некоторые свойства прямоугольного треугольника:
- Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:
- Значения тригонометрических функций некоторых углов:
- Тригонометрические тождества:
- Подобие треугольников
- Признаки подобия треугольников:
- Теорема синусов
- Теорема косинусов
- Определение и свойства медианы треугольника
- Определение медианы треугольника
- Свойства медианы
- Свойство 1 (основное)
- Свойство 2
- Свойство 3
- Свойство 4
- Свойство 5
- Примеры задач
- 🔍 Видео
Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать
Треугольники общего вида
Видео:🔥 Свойства МЕДИАНЫ #shortsСкачать
Треугольники общего вида.
Основные свойства треугольников:
- Сумма всех углов в треугольнике равна $180°$.
- В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
- В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, одновременно является медианой и биссектрисой.
- В равностороннем треугольнике все углы по $60°$.
- Внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним.
- Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.
$MN$ — средняя линия, так как соединяет середины соседних сторон.
Биссектриса — это линия, которая делит угол пополам.
- В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая из вершины к основанию, является также и медианой, и высотой.
- Три биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке, эта точка является центром вписанной в треугольник окружности.
- Биссектрисы смежных углов перпендикулярны.
- В треугольнике биссектриса угла делит противоположную сторону на отрезки, отношение которых такое же, как отношение сторон треугольника, между которыми эта биссектриса прошла.
Медиана — это линия, проведенная из вершины треугольника к середине противоположной стороны.
Свойства медиан:
1. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, т.е. на два треугольника, у которых площади равны.
2. Медианы пересекаются в одной точке и этой точкой делятся в отношении два к одному, считая от вершины.
3. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы и радиусу описанной около этого треугольника окружности.
Высота в треугольнике — это линия, проведенная из вершины треугольника к противоположной стороне под углом в 90 градусов.
Свойства высот:
1. Три высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке.
2. Угол между высотами в остроугольном треугольнике равен углу между сторонами, к которым эти высоты проведены.
3. Высоты треугольника обратно пропорциональны его сторонам:
Прямоугольный треугольник и его свойства:
В прямоугольном треугольнике катетами называются две стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла.
Некоторые свойства прямоугольного треугольника:
1. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90 градусов.
2. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы. (Этот катет называется малым катетом.)
3. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, равна ее половине и радиусу описанной окружности (R)
4. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, делит треугольник на два равнобедренных треугольника, основаниями которых являются катеты данного треугольника.
5. В прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности равен: $r=/$ , где $а$ и $b$ – это катеты, $с$ – гипотенуза.
В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:
В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$
Для острого угла $В: АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.
Для острого угла $А: ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.
- Синусом (sin) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
- Косинусом (cos) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
- Тангенсом (tg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
- Котангенсом (ctg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.
- В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.
- Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.
- Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения
Значения тригонометрических функций некоторых углов:
$α$ | $30$ | $45$ | $60$ |
$sinα$ | $/$ | $/$ | $/$ |
$cosα$ | $/$ | $/$ | $/$ |
$tgα$ | $/$ | $1$ | $√3$ |
$ctgα$ | $√3$ | $1$ | $/$ |
Тригонометрические тождества:
1. Основное тригонометрическое тождество:
2. Связь между тангенсом и косинусом одного и того же угла:
3. Связь между котангенсом и синусом одного и того же угла:
Подобие треугольников
Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника больше сходственных сторон другого треугольника в некоторое число раз.
Число $k$ — коэффициент подобия (показывает во сколько раз стороны одного треугольника больше сторон другого треугольника.)
- Периметры подобных треугольников и их линейные величины (медианы, биссектрисы, высоты) относятся друг к другу как коэффициент подобия $k$.
- Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Признаки подобия треугольников:
- Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
- Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между ними равны, то такие треугольники подобны.
- Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Теорема синусов
Во всяком треугольнике стороны относятся как синусы противолежащих углов:
В треугольнике $АВС ВС=16, sin∠A=/$. Найдите радиус окружности, описанной вокруг треугольника $АВС$.
Воспользуемся теоремой синусов:
Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной окружности
Далее подставим числовые данные и найдем $R$
Теорема косинусов
Квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:
Видео:7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать
Определение и свойства медианы треугольника
В данной статье мы рассмотрим определение медианы треугольника, перечислим ее свойства, а также разберем примеры решения задач для закрепления теоретического материала.
Видео:Уравнения стороны треугольника и медианыСкачать
Определение медианы треугольника
Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой стороны, расположенной напротив данной вершины.
Основание медианы – точка пересечения медианы со стороной треугольника, другими словами, середина этой стороны (точка F).
Видео:Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)Скачать
Свойства медианы
Свойство 1 (основное)
Т.к. в треугольнике три вершины и три стороны, то и медиан, соответственно, тоже три. Все они пересекаются в одной точке (O), которая называется центроидом или центром тяжести треугольника.
В точке пересечения медиан каждая из них делится в отношении 2:1, считая от вершины. Т.е.:
Свойство 2
Медиана делит треугольник на 2 равновеликих (равных по площади) треугольника.
Свойство 3
Три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников.
Свойство 4
Наименьшая медиана соответствует большей стороне треугольника, и наоборот.
- AC – самая длинная сторона, следовательно, медиана BF – самая короткая.
- AB – самая короткая сторона, следовательно, медиана CD – самая длинная.
Свойство 5
Допустим, известны все стороны треугольника (примем их за a, b и c).
Длину медианы ma, проведенную к стороне a, можно найти по формуле:
Видео:Формулы для медианы треугольникаСкачать
Примеры задач
Задание 1
Площадь одной из фигур, образованной в результате пересечения трех медиан в треугольнике, равняется 5 см 2 . Найдите площадь треугольника.
Решение
Согласно свойству 3, рассмотренному выше, в результате пересечения трех медиан образуются 6 треугольников, равных по площади. Следовательно:
S△ = 5 см 2 ⋅ 6 = 30 см 2 .
Задание 2
Стороны треугольника равны 6, 8 и 10 см. Найдите медиану, проведенную к стороне с длиной 6 см.
Решение
Воспользуемся формулой, приведенной в свойстве 5:
🔍 Видео
Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать
Длина медианы треугольникаСкачать
Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.Скачать
Построение медианы в треугольникеСкачать
ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать
Высота в прямоугольном треугольнике. 8 класс.Скачать
Вычисление медианы, высоты и угла по координатам вершинСкачать
8. Медиана треугольника и её свойства.Скачать
Теорема о трёх медианахСкачать
Как найти длину биссектрисы, медианы и высоты? | Ботай со мной #031 | Борис ТрушинСкачать
Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать
Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать
Геометрия 8 Класс Урок 4 Удвоение медианыСкачать
Соотношения между сторонами и углами треугольника. 7 класс.Скачать