Треугольники имеющие общую высоту

Треугольники имеющие общую высоту

В элементарной математике, самыми трудными считаются геометрические задачи. Как научиться решать геометрические задачи, особенно сложные, конкурсные? При решении геометрических задач, как правило, алгоритмов нет, и выбирать наиболее подходящую к данному случаю теорему не просто. Поэтому, желательно в каждой теме выработать какие-то общие положения, которые полезно знать всякому решающему геометрические задачи.
Предлагаем один из алгоритмов решения многих геометрических задач – метод площадей, т.е. решение задач с использованием свойств площадей.

Основные свойства площадей.

Свойство №1

Если вершину треугольника передвигать по прямой, параллельной основанию, то площадь при этом не измениться.Треугольники имеющие общую высотуДоказательство: Рассмотрим ▲ ABC и ▲ ADC. Они имеют общее основание и равные высоты, так как прямые AC и BD параллельные, то расстояние между ними равно h — высоте ▲ ABC и ▲ ADC . Если площадь треугольника находится по формуле $$S = frac cdot a cdot h$$, то $$S_ = S_ = frac cdot AC cdot h$$.

Свойство №2

Треугольники имеющие общую высотуДоказательство: Пусть h1 = h2 в двух треугольниках с основаниями a и b.
Рассмотрим отношение площадей этих треугольников $$frac<S_><S_>= frac<frac cdot a cdot h_><frac cdot b cdot h_>$$.
Упростив, получим $$frac<S_><S_>= frac$$.

Доказательство: Рассмотрим ▲ABC и ▲MBN с общим углом B , где AB = a, BC = b, MB = a1и NB = b1. Пусть S1 = SMBN и S2 = SABC . Используя формулу площади треугольника вида $$S = frac cdot a cdot b cdot singamma$$, рассмотрим отношение площадей ▲ABC и ▲MBN .

Свойство №4

Отношение площадей подобных треугольников равны квадрату коэффициента подобия.

Свойство №3

Если два треугольника имеют общий
угол, то их площади относятся как произведение сторон, заключающих
этот угол.

Треугольники имеющие общую высотуТреугольники имеющие общую высотуДоказательство: Рассмотрим ▲ABC и ▲MBN . Пусть AB = k MB, BC = k NB и $$angle ABC = angle MBN$$. Используя формулу площади треугольника вида $$S = frac cdot a cdot b cdot singamma$$ , рассмотрим отношение подобных площадей ▲ABC и ▲MBN . Тогда $$frac<S_><S_> = frac<frac cdot AB cdot BC cdot sin B><frac cdot MB cdot NB cdot sin B>= frac = k^$$ .

Медиана треугольника делит его на две равновеликие части.

Треугольники имеющие общую высотуДоказательство: Рассмотрим ▲ABC . Пусть медиана BM , тогда $$AM = MC = fracAC$$. Медиана делит треугольник на два с одинаковой высотой. Найдем площади треугольников ▲ABM и ▲MBC по формуле $$S = fraccdot a cdot h$$. Получим $$S_ = fraccdot AM cdot h$$ и $$S_ = fraccdot MC cdot h$$. Значит $$S_ = S_$$.

Свойство №6

Медианы треугольника делят его на три равновеликие части.Треугольники имеющие общую высотуДоказательство: Рассмотрим ▲ABC . Проведем медианы из всех вершин, которые пересекаются в точке O. Получим треугольники ▲AOB , ▲BOC , ▲AOC . Пусть их площади равны соответственно S1, S2, S3. А площадь ▲ABC равна S. Рассмотрим ▲ABK и ▲CBK , они равной площади, т.к. BK медиана. В треугольнике ▲AOC OK — медиана, значит площади треугольников ▲AOK и ▲COK равны. Отсюда следует, что S1 = S2 . Аналогично можно доказать, что S2 = S3 и S3 = S1 .

Средние линии треугольника площади S отсекают от него треугольники площади .

Треугольники имеющие общую высотуДоказательство: Рассмотрим ▲ABC . NM — средняя линия в треугольнике и она равна половине основания AC. Если SABC = S , то $$S_ = frac cdot NM cdot h_= frac(frac cdot AC)(fraccdot h) = fraccdot S$$. Аналогично можно доказать, что площади всех треугольников равны одной четвертой части площади ▲ABC .

Медианы треугольника делят его на 6 равновеликих частей.

Видео:Площади треугольников с равным углом.Скачать

Площади треугольников с равным углом.

Отношение площадей треугольников, имеющих общую высоту (основание)

Разделы: Математика

Цели урока:

  • Сформировать умение использовать формулу площади треугольника при решении задач;
  • Рассмотреть ключевые задачи об отношении площадей треугольников, имеющих общую высоту (основание). Познакомить учащихся с методами решения задач по теме.

Оборудование урока:

  • Компьютер.
  • Мультимедийный проектор.
  • Экран.

Раздаточный материал.

  • карточки с вопросами для опроса по домашнему заданию;
  • презентация к уроку (Приложение 1);
  • карточки для выполнения самостоятельной работы.

Этапы урока

  1. Организационный момент.
  2. Проверка домашнего задания (усвоение материала предыдущего урока)
  3. Закрепление ранее изученного материала
  4. Самостоятельная работа обучающего характера
  5. Постановка домашнего задания.
  6. Подведение итогов урока.

Ход урока

1. Организационный момент

Сообщаем тему урока. Поясняем важность рассматриваемого на уроке материала, говорим о том, что сведения последних уроков по площадям имеют широкое применение, сегодня на уроке используем их при решении задач.

Для эффективности работы в начале проверим домашнее задание и повторим изученный теоретический материал.

2. Проверка домашнего задания

Опрос учащихся у доски:

  • доказательство теоремы о площади ?.
  • доказательство следствий из неё
  • решение номеров домашнего задания.

В это время с классом работаем устно, по слайдам заранее подготовленной презентации.

3) Если AM=MC, то сравните площади этих треугольников.

Треугольники имеющие общую высоту

Записать вывод в тетрадь:

Медиана делит треугольник на два равновеликих (равных по площади) треугольника, и площадь каждого из которых равна половине площади данного треугольника.

ВМ – медиана Треугольники имеющие общую высотуАВC

ВК – медиана Треугольники имеющие общую высотуАВМ

Треугольники имеющие общую высоту

Найдите отношение площадей

Треугольники имеющие общую высоту

5) Известно, что SABС=20см 2 (по условию предыдущего задания)

Треугольники имеющие общую высоту

Чему равно отношение площадей двух треугольников, имеющих общее основание?

Записываем вывод в тетради:

Площади треугольников, имеющих общее основание, относятся как высоты, проведенные к основанию.

Далее заслушиваем и обсуждаем теоретические ответы учащихся по ДЗ.

3. Закрепление ранее изученного материала.

1. Выполняем задание №40 стр. 18-19 рабочей тетради по геометрии для 8 кл.

На рисунке точка М делит сторону АС Треугольники имеющие общую высотуАВС в отношении АМ : МС = 2 : 3

Площадь Треугольники имеющие общую высотуАВС равна 180 см 2 . Найдите площадь треугольника АВМ.

Треугольники имеющие общую высоту

2. Решаем задачу №475 учебника.

Начертите Треугольники имеющие общую высотуАВС. Через вершину А проведите две прямые так, чтобы они разделили этот треугольник на три треугольника, имеющие равные площади.

Треугольники имеющие общую высоту

Обсуждаем решение, используя слайды презентации

4. н/о (если позволяет время)

Данный параллелограмм разделите на три равновеликие части прямыми, выходящими из одной вершины.

Треугольники имеющие общую высоту

Аналогично, ВВ2 делит Треугольники имеющие общую высотуDВС на треугольники, имеющие одну высоту, их площади относятся как основания DB2 : B2C = 1 : 2 => Алгоритм построения: разделить каждую из сторон AD и DC параллелограмма в отношении 2 :1, считая от вершин А и С.

4. Самостоятельная работа обучающего характера

Вариант -1

1) СК – медиана Треугольники имеющие общую высотуАВС

SСКВ = 32 см 2 . Найти SABС

2) SКDM = 40 см 2

На стороне КМ отмечена точка А так, что КА : АМ = 2 :3

Вариант — 2

1) АМ – медиана Треугольники имеющие общую высотуАВС, площадь которого 48 см 2

Найти площадь Треугольники имеющие общую высотуАМС

2) SDРК = 60 см 2

На стороне DК отмечена точка А так, что DА : АK = 3 :1

5. Постановка домашнего задания

Д.З. по учебнику стр. 124-125 № 473; 506; 511(а)

6. Подведение итогов урока

Литература

1. Геометрия 7-9. / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др./ “ Просвещение”, ОАО “Московский учебник”,М., 2008;

2. Рабочая тетрадь для 8 кл. об/об учреждений. Геометрия. / Атанасян Л.С. и др. / “Просвещение”, М, 2005;

2. Полонский В.Б., Рабинович Е.М., Якир М.С. / Геометрия: Задачник к школьному курсу М.: АСТ-ПРЕСС: Магистр-S, 1998.

Видео:Отношение площадей треугольников с равным угломСкачать

Отношение площадей треугольников с равным углом

Основные свойства площадей треугольников

Факт 1.
(bullet) Средние линии треугольника разбивают его на 4 равных треугольника.
Соответственно, площади этих треугольников равны.

Треугольники имеющие общую высоту

Факт 2.
(bullet) Медиана треугольника делит его на два треугольника, равных по площади (равновеликих).

Треугольники имеющие общую высоту

Факт 3.
(bullet) Все 3 медианы треугольника делят его на 6 равновеликих треугольников.

Треугольники имеющие общую высоту

Факт 4.
(bullet) Площади треугольников, имеющих одинаковый угол, относятся как произведения сторон, образующих этот угол.

Треугольники имеющие общую высоту

Факт 5.
(bullet) Площади треугольников, имеющих одинаковое основание, относятся как высоты, проведенные к этим основаниям.

Треугольники имеющие общую высоту

Факт 6.
(bullet) Площади треугольников, имеющих одинаковую высоту, относятся как основания, к которым проведена эта высота.

Треугольники имеющие общую высоту

Факт 7.
(bullet) Если прямые (p) и (q) параллельны, то Треугольники имеющие общую высоту

Факт 8.
(bullet) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
(bullet) Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

💥 Видео

#Отношение площадей треугольников имеющих обую высотуСкачать

#Отношение площадей треугольников имеющих обую высоту

Теоремы об отношениях площадей треугольников, имеющих равные основания, высоты и углы.Скачать

Теоремы об отношениях площадей треугольников, имеющих равные основания, высоты и углы.

Если кое-что заметить, то решение будет быстрым ★ Найдите площади двух треугольников на рисункеСкачать

Если кое-что заметить, то решение будет быстрым ★ Найдите площади двух треугольников на рисунке

Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.Скачать

Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.

ЕГЭ Задание 16 Площадь треугольников имеющих равную высотуСкачать

ЕГЭ Задание 16 Площадь треугольников имеющих равную высоту

Вычисляем высоту через координаты вершин 1Скачать

Вычисляем высоту через координаты вершин  1

ВЫСОТА ТРЕУГОЛЬНИКА 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

ВЫСОТА ТРЕУГОЛЬНИКА 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnline

Какая из площадей больше? Треугольники с общей высотой. геометрия 8 классСкачать

Какая из площадей больше? Треугольники с общей высотой.  геометрия 8 класс

Отношение площадей треугольников, если высоты или углы равны. Геометрия 05.08.2021Скачать

Отношение площадей треугольников, если высоты или углы равны. Геометрия 05.08.2021

Формулы равностороннего треугольника #shortsСкачать

Формулы равностороннего треугольника #shorts

Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать

Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?

Высота прямоугольного треугольникаСкачать

Высота прямоугольного треугольника

Высоты треугольника.Скачать

Высоты треугольника.

ВЫСОТА ТРЕУГОЛЬНИКА #shorts #математика #треугольник #высотатреугольника #геометрия #егэ #огэСкачать

ВЫСОТА ТРЕУГОЛЬНИКА #shorts #математика #треугольник #высотатреугольника #геометрия #егэ #огэ

Задание 24 Формула ГеронаСкачать

Задание 24 Формула Герона

ВСЕ ВИДЫ ТРЕУГОЛЬНИКОВ😉 #егэ #огэ #математика #профильныйегэ #shorts #геометрия #образованиеСкачать

ВСЕ ВИДЫ ТРЕУГОЛЬНИКОВ😉 #егэ #огэ #математика #профильныйегэ #shorts #геометрия #образование

Еще одна фишка) прямоугольного треугольника Легко запомнить!Скачать

Еще одна фишка) прямоугольного треугольника  Легко запомнить!
Поделиться или сохранить к себе: