Треугольник с закругленными сторонами (2 видео)

Треугольник с закругленными сторонами

1. Введение 3 стр.

2. Основная часть 5 стр.

3. Эксперимент 9 стр.

4. Заключение 11 стр.

5. Литература 12 стр.

6. Приложения 13 стр.

Введение

Проблема: При изучении темы «треугольники» уроках геометрии я узнал, что среди них можно выделить: равнобедренные ,равносторонние, прямоугольные.

Однако, посмотрев телепередачу «Галилео», я с удивлением обнаружил существование «круглого» треугольника

Для того, чтобы выяснить, знают ли ученики нашей школы о «круглом» треугольнике, aмною был проведен опрос. Было опрошено 70 учащихся 7-11 классов. (Анкета. Приложение 1.)Опрос показал, что два человека имеют представление о треугольнике, а желают узнать о таком треугольнике почти 92% опрошенных. Таким образом, понятно, что учащиеся желают узнать для себя новый материал, который не изучается в школьной программе.

Фигура треугольника Рёло меня заинтересовала, и я решил разобраться в его свойствах и способах применения.

Актуальность:

Исторически геометрия начиналась с треугольника, поэтому треугольник не только символ геометрии, но и атом геометрии. Постоянно открываются все новые и новые свойства треугольника. Чтобы рассказать обо всех известных его свойствах, потребуется том величиной в несколько тысяч страниц.

Геометрия треугольника дает возможность почувствовать красоту математики вообще и может стать для кого-то началом пути в «большую науку». Каждый любитель геометрии треугольника имеет возможность открыть нечто новое и пополнить её сокровищницу собственной драгоценной находкой, ибо геометрия поистине неисчерпаема.

В современном мире при быстро развивающихся технологиях нельзя обойти фигуру постоянной ширины – треугольника Рёло, позволяющего сократить затраты при производстве, к примеру, при конструировании деталей.

Практическая значимость моего исследования заключается в том, что удивительные свойства треугольника Рёло позволяют сделать новые открытия в разных областях жизнедеятельности человека: механике, искусстве и др.

Объект исследования: треугольник Рёло

Предмет исследования: практическое применение свойствтреугольника Рёло.

Цель: доказать, чтогеометрия необходима в практической жизни, знание этой науки раскрывает возможности деятельности человека.

Задачи:

1. Узнать, что такое треугольник Рёло?

2. Выделить его основные свойства.

3. Определить, где встречается треугольник Рёло, применение его свойств.

Гипотеза: У треугольника Рёло есть свои уникальные свойства, которые могут использоваться в разных областях жизнедеятельности человека.

Методы работы: изучение научной литературы, опрос, наблюдение, анализ, эксперимент.

Основная часть.

Изучив научную литературу в Интернет-ресурсе, я узнал, что название фигуры происходит от фамилии немецкого механика Франца Рёло (1829 – 1905) Наверное, именно он был первым, кто исследовал свойства этого треугольника; и использовал его в своих механизмах. В 1852 г. он окончил политехникум в Карлсруэ, с 1856г. был профессором Политехнического института в Цюрихе, а в 1864—1896 г. профессором Промышленного института (позже — Высшая техническая школа) в Берлине. В 1875 г. Франц Рёло впервые четко дал определение кинематической пары, кинематической цепи и механизма как кинематической цепи принуждённого движения; предложил способ преобразования механизмов путём изменения стойки и путём изменения конструкций кинематических пар. Впервые поставил и пытался решить проблему эстетичности красоты технических объектов, поэтому, современники Рёло называли его поэтом в технике. Творчество Рёло оказало значительное влияние на последующие исследования по теории механизмов. (Приложение 2)

Рёло не является первооткрывателем этой фигуры, хотя он и подробно исследовал её. Но он рассматривал вопрос о том, сколько контактов (в кинематических парах) необходимо, чтобы предотвратить движение плоской фигуры, и на примере искривлённого треугольника, вписанного в квадрат, показал, что даже трёх контактов может быть недостаточно для того, чтобы фигура не вращалась.

Некоторые математики считают, что первым продемонстрировал идею треугольника из равных дуг окружности Леонард Эйлер в XVIII веке.

Хотя эта фигура встречается и раньше, в XV веке: её использовал в своих рукописях Леонардо да Винчи. Треугольник Рёло есть в его манускриптах A и B, хранящихся в Институте Франции, а также в Мадридском кодексе.

Итак, что же такое «круглый» треугольник?

Треугольник Рёло представляет собой область пересечения трех равных кругов с центрами в вершинах правильного треугольника и радиусами, равными его стороне. Его можно построить с помощью одного только циркуля, не прибегая к линейке. Это построение сводиться к последовательному проведению трех равных окружностей. Нужно провести две окружности с одинаковым радиусом, но так, чтобы центр второй совпадал с одной из точек первой (кроме центра). Проводим третью окружность, так что бы её центр совпадал с точкой пересечения первых окружностей (Приложение 3). Область, которая принадлежит всем трем кругам и есть треугольник Рёло.

Каковы же свойства этой фигуры?

Треугольник Рёло, является фигурой постоянной ширины. Это значит, что если провести две параллельные прямые на некотором расстоянии, то фигура при качении (когда фигура будет катиться) будет касаться обеих прямых постоянно. Расстояние между ними и будет фигура постоянной ширины. Простейшей такой фигурой будет всем известный круг, хотя таких фигур немало. Среди этих фигур наименьшая площадь именно у треугольника Рёло. Это утверждение носит название теоремы Бляшке — Лебега. (по фамилиям немецкого геометра Вильгельма Бляшке и французского математика Анри Лебега) К примеру, если его вписать в круг, то разница очевидна (Приложение 4). Площадь соответствующего треугольника Рёло меньше на ≈ 10,27%

Треугольник Рёло является плоскойвыпуклойгеометрической фигурой.

Через каждую вершину треугольника Рёло, в отличие от остальных его граничных точек, проходит не одна опорная прямая, а бесконечное множество опорных прямых. Пересекаясь в вершине, они образуют «пучок». Угол между крайними прямыми этого «пучка» называется углом при вершине. Для фигур постоянной ширины угол при вершинах не может быть меньше 120°. Единственная фигура постоянной ширины, имеющая углы, равные в точности 120° — это треугольник Рёло.

Любую фигуру постоянной ширины можно вписать вквадрат со стороной, равной ширине фигуры, причём направление сторон квадрата может быть выбрано произвольно. Треугольник Рёло — не исключение, он вписан в квадрат и может вращаться в нём, постоянно касаясь всех четырёх сторон. (Приложение 5)

Каждая вершина треугольника при его вращении «проходит» почти весь периметр квадрата, отклоняясь от этой траектории лишь в углах.

Этими свойствами обусловлено практическое применение треугольника Рёло. Разница с площадью квадрата составляет ≈1,2 %, поэтому на основе треугольника Рёло создаютсвёрла, позволяющие получать у треугольника почти квадратные отверстия. Отличие таких отверстий от квадрата состоит лишь в немного скруглённых углах. Другая особенность подобного сверла заключается в том, что его центр при вращении не остаётся на месте, как это происходит в случае традиционных спиральных свёрл, а описывает кривую, состоящую из четырёх дуг эллипсов. Поэтому патрон, в котором зажато сверло, не должен препятствовать этому движению.(Приложение 6)

Впервые сделать подобную конструкцию удалось Гарри Уаттсу, английскому инженеру, работавшему в США.

Треугольник Рёло используется и в автомобильных двигателях. Их называют роторно-поршневыми. Первым такой двигатель создал в 1957 г. немецкий инженер Ф. Ванкель. Ротор этого двигателя выполнен в виде треугольника Рёло. Он вращается внутри камеры. Вал ротора жёстко соединён с зубчатым колесом, которое сцеплено с неподвижной шестернёй. Такой трёхгранный ротор обкатывается вокруг шестерни, всё время касаясь вершинами внутренних стенок двигателя и образуя три области переменного объёма, каждая из которых по очереди является камерой сгорания. Благодаря этому двигатель выполняет три полных рабочих цикла за один оборот.(Приложение 7)

Двигатель Ванкеля позволяет осуществить любой четырёхтактный термодинамический цикл без применения механизма газораспределения. Смесеобразование, зажигание, смазка, охлаждение и пуск в нём принципиально такие же, как у обычных поршневых двигателей внутреннего сгорания.

Треугольник использовался в грейферном механизме в кинопроекторах. Двигатели дают равномерное вращение оси, а чтобы на экране было четкое изображение, пленку мимо объектива надо протянуть на один кадр, дать ей постоять, потом опять резко протянуть и так 18 раз в секунду. Именно эту задачу решает грейферный механизм.(Приложение 8,9 )

Треугольник Рёло широко применяется в кулачковых механизмах швейных машин зигзагообразной строчки.

В качестве кулачка треугольник Рёло использовали немецкие часовые мастера в механизме наручных часов A. Lange & Söhne «Lange 31»

Треугольник Рёло — распространённая форма медиатора— тонкой пластинки, предназначенной для приведения в состояние колебания струн щипковых музыкальных инструментов.

В форме треугольника Рёло можно изготавливатькрышки для люков— благодаря постоянной ширине они не могут провалиться в люк(так же люки использовались и в Сан — Франциско).(Приложение 10 )

В 1514 г. Леонардо да Винчи создал одну из первых в своём роде карт мира. Поверхность земного шара на ней была разделена экватором и двумя меридианами (угол между плоскостями этих меридианов равен 90°) на восемь сферических треугольников, которые были показаны на плоскости карты треугольниками Рёло, собранными по четыре вокруг полюсов. (Приложение 11)

Форма треугольника Рёло используется и в архитектурных целях. Конструкция из двух его дуг образует характерную для готического стиля стрельчатую арку, однако целиком он встречается в готических сооружениях довольно редко. Окна в форме треугольника Рёло можно обнаружить в церкви Богоматери в Брюгге, а так же в шотландской церкви в Аделаиде. Как элемент орнамента он встречается на оконных решетках аббатства в швейцарской коммуне Отрив.

Треугольник Рёло используют и в архитектуре, не принадлежащей к готическому стилю. Например, построенная в 2006 году в Кёльне 103-метровая башня под названием «Кёльнский треугольник» в сечении представляет собой именно эту фигуру. (Приложение 12,13,14)

Треугольник Рёло используется в изготовлении монет . Так уже не один, а несколько, объединенных в семиугольник.

Среди всех многоугольников Рёло с фиксированным числом сторон и одинаковой шириной правильные многоугольники ограничивают наибольшую площадь.

Форма таких многоугольников используется в монетном деле: монеты ряда стран. Например, монет 20 и 50 пенсов Великобритании выполнены в виде правильного семиугольника Рёло. Существует изготовленный китайским офицером велосипед, колёса которого имеют форму правильных треугольника и пятиугольника Рёло. (Приложение 15)

В научно-фантастическом рассказе Пола Андерсона «Треугольное колесо» экипаж землян совершил аварийную посадку на планете, население которой не использовало колёса, так как всё круглое находилось под религиозным запретом. В сотнях километров от места посадки предыдущая земная экспедиция оставила склад с запасными частями, но перенести оттуда необходимый для корабля двухтонный атомный генератор без каких-либо механизмов было невозможно. В итоге землянам удалось соблюсти табу и перевезти генератор, используя катки с сечением в виде треугольника Рёло.

Эксперимент

Тема: «Изготовление катка с сечением в виде треугольника Рёло»

Цель: исследование практического выполнения и применения свойств треугольника Рёло на примере катка; может ли треугольник Рёло быть круглым и использоваться для перемещения грузов

Содержание

Круглый треугольник Рело ⁠
РЕЛО Франц 1829—1905
«Треугольник рело»
Применение в автомобильных двигателях
Фактически каждая из трёх боковых поверхностей ротора действует как поршень. При всех достоинствах РПД — компактности, приемистости, отсутствии кривошипно-шатунного и газораспределительного механизмов, а так же значительно меньших габаритов и массе при одинаковой с поршневыми двигателями внутреннего сгорания мощности, он имеет и ряд серьезных недостатков: часто выходящие из строя уплотнительные элементы, плохая приспосабливаемость к изменениям внешней нагрузки, повышенный расход топлива и неудовлетворительные показатели по выбросам в отработавших газах. Тем не менне в серийном производстве находятся автомобили Mazda RX-8.
Треугольник Рёло в искусстве, архитектуре и литературе
Заключение
2. Треугольник Рёло// Материал из Википедии — свободной энциклопедии
📽️ Видео

Видео:33. Соотношения между сторонами и углами треугольникаСкачать

Круглый треугольник Рело ⁠

Проектор восьмимиллиметровой киноплёнки «Луч-2». Именно он был в каждом доме, где сами снимали и смотрели киноэтюды.

В этом мультфильме рассказывается, как геометрическое понятие, часто изучаемое на математических кружках, находит применение в нашей повседневной жизни.

Колесо… Окружность. Одним из свойств окружности является ее постоянная ширина. Проведём две параллельные касательные и зафиксируем расстояние между ними. Начнём вращать. Кривая (в нашем случае окружность) постоянно касается обеих прямых. Это и есть определение того, что замкнутая кривая имеет постоянную ширину.

Бывают ли кривые, отличные от окружности и имеющие постоянную ширину?

РЕЛО Франц 1829—1905

Рассмотрим правильный треугольник (с равными сторонами). На каждой стороне построим дугу окружности, радиусом, равным длине стороны. Эта кривая и носит имя «треугольник Рело». Оказывается, она тоже является кривой постоянной ширины. Как и в случае окружности проведём две касательные, зафиксируем расстояние между ними и начнём их вращать. Треугольник Рело постоянно касается обеих прямых. Действительно, одна точка касания всегда расположена в одном из «углов» треугольника Рело, а другая — на противоположной дуге окружности. Значит, ширина всегда равна радиусу окружностей, т. е. длине стороны изначального правильного треугольника.

В житейском смысле постоянная ширина кривой означает, что если сделать катки с таким профилем, то книжка будет катиться по ним, не шелохнувшись.

Однако колесо с таким профилем сделать нельзя, так как её центр описывает сложную линию при качении фигуры по прямой.

Бывают ли какие-то ещё кривые постоянной ширины? Оказывается, их бесконечно много.

На любом правильном n-угольнике с нечётным числом вершин можно построить кривую постоянной ширины по той же схеме, что был построен треугольник Рело. Из каждой вершины, как из центра, проводим дугу окружности на противоположной вершине стороне. В Англии монета в 20 пенсов имеет форму кривой постоянной ширины, построенной на семиугольнике.

Рассмотренные кривые не исчерпывают весь класс кривых постоянной ширины. Оказывается, среди них бывают и несимметричные кривые. Рассмотрим произвольный набор пересекающихся прямых. Рассмотрим один из секторов. Проведём дугу окружности произвольного радиуса с центром в точке пересечения прямых, определяющих этот сектор. Возьмём соседний сектор, и с центром в точке пересечения прямых, определяющих его, проведём окружность. Радиус подбирается такой, чтобы уже нарисованный кусок кривой непрерывно продолжался. Будем так делать дальше. Оказывается, при таком построении кривая замкнётся и будет иметь постоянную ширину. Докажите это!

Все кривые данной постоянной ширины имеют одинаковый периметр. Окружность и треугольник Рело выделяются из всего набора кривых данной ширины своими экстремальными свойствами. Окружность ограничивает максимальную площадь, а треугольник Рело — минимальную в классе кривых данной ширины.

Треугольник Рело часто изучают на математических кружках. Оказывается, что эта геометрическая фигура имеет интересные приложения в механике.

Смотрите, это «Мазда RX-7». В отличие от большинства серийных машин в ней (а также в модели RX-8) стоит роторный двигатель Ванкеля. Как же он устроен внутри? В качестве ротора используется именно треугольник Рело! Между ним и стенками образуются три камеры, каждая из которых по очереди является камерой сгорания. Вот вспрыснулась синяя бензиновая смесь, далее из-за движения ротора она сжимается, поджигается и крутит ротор. Роторный двигатель лишён некоторых недостатков поршневого аналога — здесь вращение передается сразу на ось и не нужно использовать коленвал.

А это — грейферный механизм. Он использовался в кинопроекторах. Двигатели дают равномерное вращение оси, а чтобы на экране было чёткое изображение, плёнку мимо объектива надо протянуть на один кадр, дать ей постоять, потом опять резко протянуть, и так 18 раз в секунду. Именно эту задачу решает грейферный механизм. Он основан на треугольнике Рело, вписанном в квадрат, и двойном параллелограмме, который не даёт квадрату наклоняться в стороны. Действительно, так как длины противоположных сторон равны, то среднее звено при всех движениях остаётся параллельным основанию, а сторона квадрата — всегда параллельной среднему звену. Чем ближе ось крепления к вершине треугольника Рело, тем более близкую к квадрату фигуру описывает зубчик грейфера.

Вот такие интересные применения, казалось бы, чисто математической задачи используют люди.

Видео:Соотношения между сторонами и углами треугольника. 7 класс.Скачать

«Треугольник рело»

Международный Фестиваль «Звезды Нового Века» — 2013

Точные науки (от 14 до 17 лет)

Шорин Алихан 14 лет,

Мачнев Александр 14 лет

КГУ «Комплекс школа-детский

Глава 1. Основные геометрические характеристики и свойства тре-

1.1.Построение треугольника Рело циркулем _____________________3

1.2.Основные геометрические характеристики и свойства треугольни-

ка Рело ______________________________________________________4

Глава 2. История изобретения и применение треугольника Рело

2.2.История изобретения треугольника Рело ______________________7

2.3.Применение треугольника Рело ______________________________7

2.4.Изобретение велосипеда с треугольными колесами ____________10

Заключение ___________________________________________________ 10

Список используемых источников ______________________________11

Приложение 1. Использование треугольника Рело в архитектуре 12

«Изобретением велосипеда» называют бессмысленное повторение и переоткрытие давно пройденного и известного, и совершенно напрасно. Современные инженеры, можно сказать, постоянно изобретают велосипед, внося все новые усовершенствования в его конструкцию и отдельные детали. Однажды в интернете мы прочитали об одном удивительном изобретении китайского пенсионера – велосипеде с треугольными колесами (Рис. 1). Нас заинтересовало не только само по себе данное изобретение, но и необычная геометрическая фигура – круглый треугольник. Мы узнали, что он называется треугольником Рело и посвятили свою работу изучению его свойств и областей применения. А заодно поставили задачу выяснить, как геометрия позволяет этому чуду катиться и иметь удивительно плавный ход.

Рисунок 1 . Велосипед с треугольными колесами

Цель работы — изучить основные свойства треугольника Рело, историю его изобретения, рассмотреть области применения, выявить задачи, связанные с треугольником Рело.

Для этого поставлены следующие задачи:

Ø Познакомиться с историей изобретения;

Ø Рассмотреть и изучить свойства треугольника Рело;

Ø Выяснить области применения треугольника Рело.

Ø Найти объяснение плавности хода велосипеда с «треугольными колесами»

Гипотеза: Треугольнику Рело присущи свойства обеих геометрических фигур, используемых в его построении, кроме того он обладает собственными свойствами, которые используются в технике.

Теоретическая значимость исследования состоит в описании, всестороннем анализе, сопоставлении свойств геометрических фигур, опережающем изучении формул площадей фигур, обощении и систематизации материала по теме проекта.

Практическая значимость состоит в том, что результаты работы могут найти применение в курсах по выбору, программах факультативов, основой для разработки внеклассных занятий по математике и интегрированных уроков математики и физики. Работа над темой существенно расширит представления о «круглом» треугольнике, семействе фигур постоянной ширины.

Определение: Треуго́льник Рёло́ представляет собой область пересечения трёх равных кругов с центрами в вершинах правильного треугольника и радиусами, равными его стороне. Негладкая замкнутая кривая, ограничивающая эту фигуру, также называется треугольником Рёло [ 1 ].

Построение треугольника Рело циркулем:

Рисунок 2. Построение треугольника Рело

Треугольник Рёло можно построить с помощью одного только циркуля, не прибегая к линейке. Это построение сводится к последовательному проведению трёх равных окружностей. Центр первой выбирается произвольно, центром второй может быть любая точка первой окружности, а центром третьей — любая из двух точек пересечения первых двух окружностей.

Основные геометрические характеристики

1. Треугольник Рёло – также как и круг — кривая постоянной ширины.

Данные утверждения проверены опытным путем, вращением трех геометрических фигур между двумя опорными прямыми:

Рисунок 3. Доказательство постоянства ширины

2. Периметр треугольника Рело и совпадает с периметром круга. Формула доказана опытным путем рис. 2, в математике носит название теоремы Барбье.

Рисунок 4. Определение периметра круга и треугольника Рело

3. Площадь Также как и обычный треугольник, круг, треугольник Рёло является плоской выпуклой геометрической фигурой, которая имеет определенную площадь, которая может быть вычислена по формуле . Формула выведена аналитическим методом, используя соотношение: S=Scегм , и методом разрезания и сложения площадей (рис. 5). S=Scегм

cегм=Sсект — S=

SРело=— =(.

Следовательно, площадь треугольника Рело равна

SРело=(

Площадь треугольника Рело меньше площади круга.

Рисунок 5. Определение площади треугольника Рело

Среди всех фигур постоянной ширины у треугольника Рёло наименьшая площадь. Это утверждение носит название теоремы Бляшке — Лебега (по фамилиям немецкого геометра Вильгельма Бляшке, опубликовавшего теорему в 1915 году, и французского математика Анри Лебега, который сформулировал её в 1914 году SРело=(

Фигура, обладающая противоположным экстремальным свойством — круг. Среди всех фигур данной постоянной ширины его площадь

Sкруга= максимальна

Площадь соответствующего треугольника Рёло меньше на ≈10,27 %. В этих пределах лежат площади всех остальных фигур данной постоянной ширины.

Треугольник Рёло обладает осевой и центральной симметрией

5. Замечательные точки треугольника

Центры вписанной, описанной окружностей, ортоцентр и центр тяжести совпадают. Сумма радиусов вписанной и описанной окружностей равна ширине треугольника Рело. )a (рис. 4 )

Рисунок 6. Замечательные точки

6. Треугольник Рело можно вписать в квадрат, он может вращаться квадрате со стороной а, всё время касаясь каждой из сторон. В работе

рассмотрена траектория движения вершины треугольника при вращении в квадрате и при движении треугольника по прямой. Показано, что так же как и у круга, траектория движения по прямой – циклоида.

Каждая вершина треугольника при его вращении в квадрате «проходит» почти весь периметр квадрата, отклоняясь от этой траектории лишь в углах — там вершина описывает дугу эллипса. Центр треугольника Рёло при вращении движется по траектории, составленной из четырёх одинаковых дуг эллипсов. Центры этих эллипсов расположены в вершинах квадрата, а оси повёрнуты на угол в 45° относительно сторон квадрата и равны

а*(1)

Траектория центра треугольника Рёло при вращении в квадрате. Выделены точки сопряжения четырёх дуг эллипсов. Для сравнения показана окружность (синим цветом), проходящая через эти же четыре точки

Рисунок 7 Траектории движения треугольника в квадрате

На фигурах 2, 6, 10 треугольник катится по поверхности окружности, на фигурах 4, 8, 12 треугольник переваливается через вершину, на остальных фигурах происходит смена характера движения треугольника с качения на переваливание и наоборот. Рассмотрим движение вершины треугольника. На фигурах 1, 2, 3 помеченная вершина движется линейно, по прямой (Рис. 10). Фактически помеченная вершина является центром вращения окружности, элементом которой является поверхность стороны треугольника Рело. На фигуре 3 помеченная вершина меняет траекторию движения с прямолинейной на траекторию движения по окружности с радиусом, равным длине стороны, по которой он движется на фигурах 3, 4, 5.

На фигуре 5 происходит смена траектории движения вершины. На фигурах 5, 6, 7 вершина движется по трохоиде точки, находящейся на поверхности окружности с радиусом, равным длине стороны треугольника. На фигурах 7, 8, 9 меченная вершина является точкой перевала треугольника, она жестко лежит на поверхности. Фигуры 9, 10, 11 – опять трохоида и 11, 12, 1 – движение по окружности. По аналогии эти фигуры описаны выше. Меченая вершина возвращается в исходную точку. Треугольник Рело совершил полный оборот.

Рис 8. Движение вершины треугольника Рис 9 Движение центра треугольника.

Фигура постоянной ширины может вращаться в квадрате со стороной всё время касаясь каждой из сторон.

7. Любую плоскую фигуру диаметра можно накрыть фигурой постоянной ширины

Вывод: первоначально выдвинутая гипотеза о том, что треугольник Рело будет сочетать в себе свойства круга и равностороннего треугольника, а также характеризуется только ему присущими свойствами, подтверждена в ходе исследования.

История изобретения треугольника Рело

Треугольник Рело назван по имени Франца Рело – немецкого учёного-инженера, подробно исследовавшего его. Рело дал определение кинематической пары, кинематической цепи и механизма как кинематической цепи принуждённого движения; предложил способ преобразования механизмов путём изменения стойки и путём изменения конструкций кинематических пар. Связал теорию механизмов и машин с проблемами конструирования, например, впервые поставил и пытался решить проблему эстетичности технических объектов.

Однако, впервые эта фигура встречается XV веке в трудах Леонардо да Винчи, созданная им карта мира имеет вид четырех сферических треугольников, которые были показаны на плоскости карты треугольниками Рело, собранными по четыре вокруг полюсов.

Позднее, в XVIII веке встречается идея построения треугольника в трудах Леонардо Эйлера.

Применение треугольника Рело

Применение треугольника Рело основано на его свойствах. Основные сферы применения в технике: сверло Уаттса (сверление квадратных отверстий), роторно-поршневой двигатель Ванкеля (внутри примерно цилиндрической камеры по сложной траектории движется трёхгранный ротор-поршень – треугольник Рело), грейферный механизм в кинопроекторах (используется свойство вращения треугольника Рело в квадрате со стороной ), кулачковые механизмы паровых двигателей, швейных машин и часовых механизмов, катки для транспортировки тяжелых грузов, крышки для люков (свойство постоянной ширины), в качестве медиатора. Кроме того, еще с XIII века используется свойство симметричности и гармонии в архитектурных сооружениях на основе стрельчатых арок и элементов орнамента.

Применение в некоторых механических устройствах

В 1914 году английский инженер Гарри Джеймс Уаттс изобрёл инструмент для сверления квадратных отверстий (рис.), с 1916 года сверла находятся в серийном производстве. Сверло Уаттса представляет собой треугольник Рело, в котором заточены ржущие кромки и прорезаны углубления для отвода стружки.

Рис. 10 Сверло Уаттса и двигатель Ванкеля

Видео:Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.Скачать

Применение в автомобильных двигателях

Треугольник Рело используется и в автомобильных двигателях (рис.,). В 1957 году немецкий инженер, изобретатель Ф. Ванкель, сконструировал роторно-поршневой двигатель. Внутри примерно цилиндрической камеры по сложной траектории движется трёхгранный ротор-поршень – треугольник Рело. Он вращается так, что три его вершины находятся в постоянном контакте с внутренней стенкой корпуса, образуя три замкнутых объёма, или камеры сгорания.

Фактически каждая из трёх боковых поверхностей ротора действует как поршень. При всех достоинствах РПД — компактности, приемистости, отсутствии кривошипно-шатунного и газораспределительного механизмов, а так же значительно меньших габаритов и массе при одинаковой с поршневыми двигателями внутреннего сгорания мощности, он имеет и ряд серьезных недостатков: часто выходящие из строя уплотнительные элементы, плохая приспосабливаемость к изменениям внешней нагрузки, повышенный расход топлива и неудовлетворительные показатели по выбросам в отработавших газах. Тем не менне в серийном производстве находятся автомобили Mazda RX-8.

Поиски альтернативных видов топлива для автомобилей заставил вновь обратить внимание на роторно-поршневой двигатель Ванкеля. Разработчики Mazda уверяют, что по природе своей роторно-поршневой агрегат гораздо лучше приспособлен для работы на водороде, нежели традиционные моторы. Впрочем, по прогнозам специалистов, уже к 2025 году более четверти мирового автопарка будет использовать в качестве топлива водород. Так что возможно, будущее за РПД

Применение треугольника Рело в грейферном механизме в кинопроекторах

Устройство грейферного механизма основано на треугольнике Рело, вписанном в квадрат и двойном параллелограмме, который не дает квадрату наклоняться в стороны. Действительно, т. к. длины противоположных сторон равны, то среднее звено при всех движениях остается параллельным основанию, а сторона квадрата всегда параллельной среднему звену. Чем ближе ось крепления к вершине треугольника Рело, тем более близкую к квадрату фигуру описывает зубчик грейфера. Такой механизм обеспечивает равномерное вращение оси, чтобы на экране было четкое изображение, пленку мимо объектива надо протянуть на один кадр, дать ей постоять, потом опять резко протянуть и так 18 раз в секунду.

Крышки для люков

В форме треугольника Рёло можно изготавливать крышки для люков — опытным путем доказано, что благодаря постоянной ширине они не могут провалиться в люк. В Сан-Франциско, для системы рекуперирования воды корпуса люков имеют форму треугольника Рёло. Зак счет того, что у треугольника Рело площадь меньше, чем у круга, себестоиморсть люков в форме треугольников Рело была бы ниже, чем у традиционно круглых. Перейдя на серийное производство люклв в форме треугольника Рело, на мой взгляд, можно было бы быстрее решить проблему открытых колодцев и избежать травматизма и смертей людей.

Видео:По силам каждому ★ Найдите стороны треугольника на рисункеСкачать

Треугольник Рёло в искусстве, архитектуре и литературе

Форма треугольника Рёло, его свойство симметричности, используется и в архитектурных целях. Конструкция из двух его дуг образует характерную для готического стиля стрельчатую арку, однако целиком он встречается в готических сооружениях довольно редко. Окна в форме треугольника Рёло использовали еще в VIII векев церкви Богоматери в Брюгге, а также в шотландской церкви в Аделаиде. Как элемент орнамента он встречается на оконных решётках цистерцианского аббатства в швейцарской коммуне Отрив (приложение 1)

Изобретение велосипеда с треугольными колесами

Колесо, изобретенное несколько тысяч лет назад, произвело переворот в жизни человека. Постоянство ширины явилось для колеса определяющим свойством, следствием которого явилось техническое завоевание мира.

Изобретением колес велосипеда занимается китайский рационализатор Гуань Байхуа (Guan Baihua), 50-летний офицер из города Циндао. Больше того, он изобретает заново самую консервативную деталь велосипеда – колеса. Вместо понятных всем круглых он предложил кататься на колесах пяти — и треугольной формы (спереди и сзади, соответственно). Для китайцев велосипед – главный вид транспорта, популярностью затмевающий автомобили. Но велосипед с угловатыми колесами средством передвижения не станет. По словам изобретателя, поездка на нем требует больше усилий, чем на обычном велосипеде, и скорее всего, он найдет свою нишу в качестве экзотической игрушки и более эффективного тренажера. Впрочем, все, кто пробовал прокатиться на нем, удивляются вовсе не трудности кручения педалей, а неожиданной плавности хода.
Действительно, казалось бы, угловатые колеса неизбежно должны создавать при качении существенную тряску – но ее Гуаню Байхуа удалось снизить благодаря прекрасному знанию геометрии и настоящей китайской хитрости. .

Таким же образом можно устроить подвеску некруглого колеса и взяв четыре таких подвески, можно соорудить повозку. При этом она будет ехать совершенно без покачиваний! Чтоьы убедиться, что тряски нет, можно поставить, как учат автомобилистские традиции, на тележку стакан с водой.

Рисунок 11 Повозка с «треугольными» колесами.

Мы попробовали соорудить такую повозку и опытным путем проверить гипотезу об отсутствии качки.

Рисунок 12 «Треугольные» колеса.

Рисунок 13 Варианты повозки с «треугольными» колесами. Результаты эксперимента подтвердили нашу гипотезу.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№9 - Треугольник.)Скачать

Заключение

Несколько тысяч лет назад было изобретено колесо, которое произвело переворот в жизни человека. Определяющим свойством, следствием которого стало техническое завоевание мира, стало свойство постоянства ширины. Но, как оказалось, круг – не единственная фигура, которая обладает этим свойством. Вызвавший мой интерес, треугольник Рело, также принадлежит этому семейству.

В своей работе мы не только изучили его свойства, геометрические характеристики, историю изобретения, но и рассмотрели сферы применения этой выпуклой, симметричной фигуры постоянной ширины. Выдвинутая нами гипотеза о свойствах этой фигуры нашла свое подтверждение. Кроме того, мы ответили для себя на ряд вопросов познавательного характера: какие геометрические свойства обеспечивают плавность хода велосипеда с «треугольными» колесами, почему канализационные люки делают круглыми или в форме треугольника Рело?

Не менее познавательной оказалась информация о сферах применения «круглого» треугольника не только в технике, но и в архитектуре, литературе.

Таким образом, поставленные мною задачи, реализованы в полном объеме.

Перспективы дальнейшей работы в этом направлении:

1. Лежащую в основе треугольника Рело, идею построения можно обобщить для построения многоугольников Рело, используя для создания кривых постоянной ширины, не равносторонний треугольник, а звёздчатый многоугольник, образованный отрезками прямых равной длины.

2. Изучение свойств тел постоянной ширины.

Список источников информации и иллюстраций:

1. Велосипед с треугольным колесом// Материал сайта Веломастерская «Две звезды» [Электронный ресурс] — Режим доступа. — URL: http://*****/news/velosiped-s-treugolnyim-kolesom. html

Видео:Соотношения между сторонами и углами треугольника. Урок 10. Геометрия 9 классСкачать

2. Треугольник Рёло// Материал из Википедии — свободной энциклопедии

[Электронный ресурс] — Режим доступа. — URL: http://ru. wikipedia. org/wiki/

3. Бронштейн, И. Н., Семендяев, К. А., Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов.// – М.:Просвещение,1992.

4. Коксетер, С. М., Грейтцер, С. Л., Новые встречи с геометрией. //– М., Наука, 1978.-223с.

5. Конфорович, А. Г., Некоторые математические задачи//. – Киев, Родная школа, 1981.-189с.

6. Числа и фигуры — М., Физматгиз, 19с.

7. , Болтянский постоянной ширины // Выпуклые фигуры. — М.—Л.: ГТТИ, 1951. — С. 90—105. — 343 с.

Сайты в Интернете:

1. http://ru. wikipedia. org/wiki/%D0%A2%D1%80%D0%B5%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA_%D0%A0%D1%91%D0%BB%D0%BE

2. http://www. *****/article/5480-kolesa-s-uglami/

3. http://www. *****/ru/etudes/mazda/

1. http://www. *****/images/upload/article/bike_1__preview2.jpg

2. http://www. *****/images/upload/article/bike_2__preview2.jpg

3. http://upload. wikimedia. org/wikipedia/commons/thumb/9/9b/Leonardo_da_Vinci%E2%80%99s_Mappamundi. jpg/220px-Leonardo_da_Vinci%E2%80%99s_Mappamundi. jpg

4. http://upload. wikimedia. org/wikipedia/commons/thumb/b/b2/Reuleaux_triangle%2C_incircle_and_circumcircle. svg/250px-Reuleaux_triangle%2C_incircle_and_circumcircle. svg. png

5. http://upload. wikimedia. org/wikipedia/commons/2/22/Rotation_of_Reuleaux_triangle. gif

6. http://upload. wikimedia. org/wikipedia/commons/thumb/2/2a/Luch2_greifer. gif/220px-Luch2_greifer. gif

7. http://upload. wikimedia. org/wikipedia/commons/thumb/b/bc/Manhole_cover_for_reclaimed_water_SFWD. JPG/220px-Manhole_cover_for_reclaimed_water_SFWD. JPG

8. http://upload. wikimedia. org/wikipedia/commons/thumb/d/d0/Reuleaux_triangles_on_a_window_of_Onze-Lieve-Vrouwekerk%2C_Bruges_2.jpg/450px-Reuleaux_triangles_on_a_window_of_Onze-Lieve-Vrouwekerk%2C_Bruges_2.jpg

9. http://upload. wikimedia. org/wikipedia/commons/thumb/2/21/Reuleaux_triangle_shaped_window_of_Sint-Salvatorskathedraal%2C_Bruges. jpg/125px-Reuleaux_triangle_shaped_window_of_Sint-Salvatorskathedraal%2C_Bruges. jpg

10. http://upload. wikimedia. org/wikipedia/commons/thumb/3/35/Reuleaux_triangles_on_a_window_of_Saint_Michael_church%2C_Luxembourg. jpg/800px-Reuleaux_triangles_on_a_window_of_Saint_Michael_church%2C_Luxembourg. jpg

11. http://upload. wikimedia. org/wikipedia/commons/thumb/9/9c/K%C3%B6lnTriangle_%28Flight_over_Cologne%29.jpg/125px-K%C3%B6lnTriangle_%28Flight_over_Cologne%29.jpg

12. http://upload. wikimedia. org/wikipedia/commons/thumb/e/eb/Reuleaux_triangles_on_a_window_of_Sint-Baafskathedraal%2C_Ghent_2.jpg/125px-Reuleaux_triangles_on_a_window_of_Sint-Baafskathedraal%2C_Ghent_2.jpg

13. http://upload. wikimedia. org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Reuleaux_triangle_shaped_window_of_Onze-Lieve-Vrouwekerk%2C_Bruges. jpg/125px-Reuleaux_triangle_shaped_window_of_Onze-Lieve-Vrouwekerk%2C_Bruges. jpg

Использование треугольника Рело в архитектуре