Теорема птолемея для четырехугольника вписанного в окружность отношение диагоналей

Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея
Теорема птолемея для четырехугольника вписанного в окружность отношение диагоналейВписанные четырехугольники и их свойства
Теорема птолемея для четырехугольника вписанного в окружность отношение диагоналейТеорема Птолемея

Видео:Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.

Вписанные четырёхугольники и их свойства

Определение 1 . Окружностью, описанной около четырёхугольника, называют окружность, проходящую через все вершины четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, вписанным в окружность, или вписанным четырёхугольником .

Теорема птолемея для четырехугольника вписанного в окружность отношение диагоналей

Теорема 1 . Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы величин его противоположных углов равны 180° .

Доказательство . Угол ABC является вписанным углом, опирающимся на дугу ADC (рис.1). Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги ADC . Угол ADC является вписанным углом, опирающимся на дугу ABC . Поэтому величина угла ADC равна половине угловой величины дуги ABC . Отсюда вытекает, что сумма величин углов ABC и ADC равна половине угловой величины дуги, совпадающей со всей окружностью, т.е. равна 180° .

Если рассмотреть углы BCD и BAD , то рассуждение будет аналогичным.

Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью рассмотрим окружность, проходящую через вершины A , B и С четырёхугольника, и предположим, что эта окружность не проходит через вершину D . Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точка D лежит внутри круга (рис.2).

Теорема птолемея для четырехугольника вписанного в окружность отношение диагоналей

Продолжим отрезок CD за точку D до пересечения с окружностью в точке E , и соединим отрезком точку E с точкой A (рис.2). Поскольку четырёхугольник ABCE вписан в окружность, то в силу теоремы 1 сумма величин углов ABC и AEC равна 180° . При этом сумма величин углов ABC и ADC так же равна 180° по условию теоремы 2. Отсюда вытекает, что угол ADC равен углу AEC . Возникает противоречие, поскольку угол ADC является внешним углом треугольника ADE и, конечно же, его величина больше, чем величина угла AEC , не смежного с ним.

Случай, когда точка D оказывается лежащей вне круга, рассматривается аналогично.

Теорема 2 доказана.

Перечисленные в следующей таблице свойства вписанных четырёхугольников непосредственно вытекают из теорем 1 и 2.

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Теорема птолемея для четырехугольника вписанного в окружность отношение диагоналей
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
Теорема птолемея для четырехугольника вписанного в окружность отношение диагоналей

ФигураРисунокСвойство
Окружность, описанная около параллелограммаТеорема птолемея для четырехугольника вписанного в окружность отношение диагоналейОкружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромбаТеорема птолемея для четырехугольника вписанного в окружность отношение диагоналейОкружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапецииТеорема птолемея для четырехугольника вписанного в окружность отношение диагоналейОкружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоидаТеорема птолемея для четырехугольника вписанного в окружность отношение диагоналейОкружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольникТеорема птолемея для четырехугольника вписанного в окружность отношение диагоналей

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Теорема птолемея для четырехугольника вписанного в окружность отношение диагоналей
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
Теорема птолемея для четырехугольника вписанного в окружность отношение диагоналей

Окружность, описанная около параллелограмма
Теорема птолемея для четырехугольника вписанного в окружность отношение диагоналейОкружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромба
Теорема птолемея для четырехугольника вписанного в окружность отношение диагоналейОкружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапеции
Теорема птолемея для четырехугольника вписанного в окружность отношение диагоналейОкружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоида
Теорема птолемея для четырехугольника вписанного в окружность отношение диагоналейОкружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольник
Теорема птолемея для четырехугольника вписанного в окружность отношение диагоналей
Окружность, описанная около параллелограмма
Теорема птолемея для четырехугольника вписанного в окружность отношение диагоналей

Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.

Окружность, описанная около ромбаТеорема птолемея для четырехугольника вписанного в окружность отношение диагоналей

Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.

Окружность, описанная около трапецииТеорема птолемея для четырехугольника вписанного в окружность отношение диагоналей

Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.

Окружность, описанная около дельтоидаТеорема птолемея для четырехугольника вписанного в окружность отношение диагоналей

Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.

Произвольный вписанный четырёхугольникТеорема птолемея для четырехугольника вписанного в окружность отношение диагоналей

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Теорема птолемея для четырехугольника вписанного в окружность отношение диагоналей

Теорема птолемея для четырехугольника вписанного в окружность отношение диагоналей

где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.

Теорема птолемея для четырехугольника вписанного в окружность отношение диагоналей

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Теорема Птолемея

Теорема Птолемея . Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

Доказательство . Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD , вписанный в окружность (рис.3).

Теорема птолемея для четырехугольника вписанного в окружность отношение диагоналей

Докажем, что справедливо равенство:

Теорема птолемея для четырехугольника вписанного в окружность отношение диагоналей

Для этого выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD был равен углу CBE (рис. 4).

Теорема птолемея для четырехугольника вписанного в окружность отношение диагоналей

Заметим, что треугольник ABD подобен треугольнику BCE . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABD равен углу CBE (по построению точки E ), угол ADB равен углу ACB (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

Теорема птолемея для четырехугольника вписанного в окружность отношение диагоналей

откуда вытекает равенство:

Теорема птолемея для четырехугольника вписанного в окружность отношение диагоналей(1)

Заметим, что треугольник ABE подобен треугольнику BCD . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABE равен углу DBC (углы ABD и EBC равны по построению, угол DBE – общий), угол BAC равен углу BDC (эти углы являются вписанными углами, пирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

Видео:Геометрия Теорема Птолемея Произведение диагоналей вписанного в окружность четырехугольника равноСкачать

Геометрия Теорема Птолемея Произведение диагоналей вписанного в окружность четырехугольника равно

Теорема Птолемея.

Теорема птолемея для четырехугольника вписанного в окружность отношение диагоналей

Теорема. Произведение диагоналей четырехугольника, вписанного в окружность, равно сумме произведений противоположных сторон этого четырехугольника.

Доказательство.

Отложим от луча СD угол DCK равный углу ACB. CK∩DB=E.

Рассмотрим ΔDCE и ΔACB:

  1. ∠δ=∠γ (вписанные углы, опирающиеся на дугу BC);
  2. ∠ε=∠ζ (по построению).

Следовательно, ΔDCE подобен ΔACB по 2 углам.

Выразим DE через AC, AB и DC: DE=(DC·AB)/AC (1).

Рассмотрим ΔDCA и ΔBCE :

  1. ∠α=∠β (вписанные углы, опирающиеся на дугу DC);
  2. ∠DCA=∠ECB (по построению).

Следовательно, ΔDCA подобен ΔECB по 2 углам.

Выразим EB через AC, CB и DA: EB=(DA·CB)/AC (2).

Видео:Теорема Птолемея на ЕГЭ по математикеСкачать

Теорема Птолемея на ЕГЭ по математике

Теорема Птолемея

Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений двух пар его противолежащих сторон.

Теорема птолемея для четырехугольника вписанного в окружность отношение диагоналейДано:

4-угольник ABCD вписан в окр. (O; R)

Из треугольников ABC и ADC по теореме косинусов

Теорема птолемея для четырехугольника вписанного в окружность отношение диагоналей

Теорема птолемея для четырехугольника вписанного в окружность отношение диагоналей

Введём обозначения AB=a, BC=b, CD=c, AD=d, AC=d1, BC=d2.

Теорема птолемея для четырехугольника вписанного в окружность отношение диагоналей

Теорема птолемея для четырехугольника вписанного в окружность отношение диагоналей

Теорема птолемея для четырехугольника вписанного в окружность отношение диагоналей

Теорема птолемея для четырехугольника вписанного в окружность отношение диагоналей

Так как четырёхугольник ABCD — вписанный, то ∠ABC+∠ADC=180°.

Теорема птолемея для четырехугольника вписанного в окружность отношение диагоналей

Теорема птолемея для четырехугольника вписанного в окружность отношение диагоналей

Теорема птолемея для четырехугольника вписанного в окружность отношение диагоналей

Теорема птолемея для четырехугольника вписанного в окружность отношение диагоналей

Теорема птолемея для четырехугольника вписанного в окружность отношение диагоналей

Теорема птолемея для четырехугольника вписанного в окружность отношение диагоналей

Теорема птолемея для четырехугольника вписанного в окружность отношение диагоналей

Теорема птолемея для четырехугольника вписанного в окружность отношение диагоналей

Теорема птолемея для четырехугольника вписанного в окружность отношение диагоналей

Теорема птолемея для четырехугольника вписанного в окружность отношение диагоналей

Теорема птолемея для четырехугольника вписанного в окружность отношение диагоналей

Что и требовалось доказать.

В ходе доказательства получили полезные соотношения:

1) Диагонали вписанного четырёхугольника связаны с его сторонами равенствами:

Теорема птолемея для четырехугольника вписанного в окружность отношение диагоналей

2)Отношение диагоналей вписанного четырёхугольника.

Теорема птолемея для четырехугольника вписанного в окружность отношение диагоналей

Теорема птолемея для четырехугольника вписанного в окружность отношение диагоналей

то есть диагонали вписанного четырехугольника относятся как суммы произведений сторон, сходящихся в концах диагоналей.

Теорема птолемея для четырехугольника вписанного в окружность отношение диагоналейПостроим угол CBK, равный углу DBA.

У треугольников CBK и DBA

∠CBK=∠DBA (по построению)

Значит треугольники CBK и DBA подобны (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

Теорема птолемея для четырехугольника вписанного в окружность отношение диагоналей

откуда по основному свойству пропорции

Теорема птолемея для четырехугольника вписанного в окружность отношение диагоналей

Теорема птолемея для четырехугольника вписанного в окружность отношение диагоналейРассмотрим треугольники ABK и DBC.

∠BAK=∠BDC (как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу BC).

а так как ∠ABD=∠CBK, то и ∠ABK=∠DBC.

Следовательно, треугольники ABK и DBC подобны (по двум углам), и

📹 Видео

ЕГЭ 2022 Планиметрия Теорема Птолемея. Вписанный четырёхугольникСкачать

ЕГЭ 2022 Планиметрия Теорема Птолемея. Вписанный четырёхугольник

Теорема ПТОЛЕМЕЯСкачать

Теорема ПТОЛЕМЕЯ

Вписанные четырехугольники. 9 класс.Скачать

Вписанные четырехугольники. 9 класс.

Теорема ПтолемеяСкачать

Теорема Птолемея

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Идея, решающая 70 геометрических задач [4K]Скачать

Идея, решающая 70 геометрических задач [4K]

Вписанный в окружность четырёхугольник.Скачать

Вписанный в окружность четырёхугольник.

8 класс Геометрия. Окружность вписанная в четырехугольник и описанная около четырехугольника Урок #4Скачать

8 класс Геометрия. Окружность вписанная в четырехугольник и описанная около четырехугольника Урок #4

Теорема Вариньона. Теорема Птолемея. Теорема Помпею.Скачать

Теорема Вариньона.  Теорема Птолемея.  Теорема Помпею.

Описанная и вписанная окружности четырехугольника - 8 класс геометрияСкачать

Описанная и вписанная окружности четырехугольника - 8 класс геометрия

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnline

#58. Олимпиадная задача о четырехугольникеСкачать

#58. Олимпиадная задача о четырехугольнике

ОКРУЖНОСТЬ (теорема Птолемея) ЧАСТЬ 19Скачать

ОКРУЖНОСТЬ (теорема Птолемея) ЧАСТЬ 19

Свойство и признак вписанного четырехугольникаСкачать

Свойство и признак вписанного четырехугольника
Поделиться или сохранить к себе: