Вписанные и центральные углы |
Углы, образованные хордами, касательными и секущими |
Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью |
- Вписанные и центральные углы
- Теоремы о вписанных и центральных углах
- Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими
- Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью
- Центральные и вписанные углы
- Центральный угол и вписанный угол
- Свойства центральных и вписанных углов
- Примеры решения задач
- Окружность. Основные теоремы
- 🌟 Видео
Видео:Вписанные углы в окружностиСкачать
Вписанные и центральные углы
Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).
Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).
Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.
Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.
Видео:Всё про вписанные и центральные углы за 4 минуты | Борис Трушин |Скачать
Теоремы о вписанных и центральных углах
Фигура | Рисунок | Теорема | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вписанный угол | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вписанный угол | Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вписанный угол | Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вписанный угол | Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вписанный угол | Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника |
Вписанный угол | |||||||||||||||||||||||||||||||||
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника | |||||||||||||||||||||||||||||||||
Фигура | Рисунок | Теорема | Формула |
Угол, образованный пересекающимися хордами | |||
Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне круга | |||
Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касания | |||
Угол, образованный касательной и секущей | |||
Угол, образованный двумя касательными к окружности |
Угол, образованный пересекающимися хордами хордами |
Формула: |
Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга |
Формула: |
Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами |
Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания |
Формула: |
Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей |
Формула: |
Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами |
Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности |
Формулы: |
Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами Видео:Построение угла, равного данному. 7 класс.Скачать Доказательства теорем об углах, связанных с окружностьюТеорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5). Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана. Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6). В этом случае справедливы равенства и теорема 1 в этом случае доказана. Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7). В этом случае справедливы равенства что и завершает доказательство теоремы 1. Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами. Доказательство . Рассмотрим рисунок 8. Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства что и требовалось доказать. Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла. Доказательство . Рассмотрим рисунок 9. Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства что и требовалось доказать. Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами. Доказательство . Рассмотрим рисунок 10. Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства что и требовалось доказать Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла. Доказательство . Рассмотрим рисунок 11. Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства что и требовалось доказать. Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами. Доказательство . Рассмотрим рисунок 12. Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство Видео:Углы, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать Центральные и вписанные углыО чем эта статья: Видео:8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном углеСкачать Центральный угол и вписанный уголОкружность — замкнутая линия, все точки которой равноудалены от ее центра. Определение центрального угла: Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
На рисунке: центральный угол окружности EOF и дуга, на которую он опирается EF Определение вписанного угла: Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности. Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.
На рисунке: вписанный в окружность угол ABC и дуга, на которую он опирается AC Видео:ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный УголСкачать Свойства центральных и вписанных угловУглы просты только на первый взгляд. Свойства центрального угла и свойства вписанного угла помогут решать задачки легко и быстро.
Угол AOC — центральный, угол ABC — вписанный. Оба угла опираются на дугу AC, в этом случае центральный угол равен дуге AC, а угол ABC равен половине угла AOC.
ㄥADC = ㄥABC = ㄥAEC, поскольку все три угла, вписанные в окружность, опираются на одну дугу AC.
ㄥACB опирается на диаметр и на дугу AB, диаметр делит окружность на две равные части. Значит дуга AB = 180 ํ, ㄥCAB равен половине дуги, на которую он опирается, значит ㄥCAB = 90 ํ. Если есть вписанный, обязательно найдется и описанный угол. Описанный угол — это угол, образованный двумя касательными к окружности. Вот так:
На рисунке: ㄥCAB, образованный двумя касательными к окружности. AO — биссектриса ㄥCAB, значит центр окружности лежит на биссектрисе описанного угла. Для решения задачек мало знать, какой угол называется вписанным, а какой — описанным. Нужно знать, что такое хорда и ее свойство. Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart! Хорда — отрезок, соединяющий две точки на окружности.
AB * AC = AE * AD
ㄥBAC = ㄥCAB, поскольку лежат на хорде BC.
ㄥBAC + ㄥBDC = 180° Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать Примеры решения задачЦентральный, вписанные и описанные углы, как и любые другие, требуют тренировок в решении. Рассмотрите примеры решения задач и потренируйтесь самостоятельно. Задачка 1. Дана окружность, дуга AC = 200°, дуга BC = 80°. Найдите, чему равен вписанный угол, опирающийся на дугу AB. ㄥACB = ?
Как решаем: окружность 360° − AC − CB = 360° − 200° − 80° = 80° Задачка 2. Дана окружность, ㄥAOC = 140°, найдите, чему равна величина вписанного угла.
Мы уже потренировались и знаем, как найти вписанный угол. Задачка 3. Чему равен вписанный в окружность угол, опирающийся на дугу, если эта дуга = ⅕ окружности?
СB = ⅕ от 360° = 72° Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать Окружность. Основные теоремыОпределения Центральный угол – это угол, вершина которого лежит в центре окружности. Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности. Градусная мера дуги окружности – это градусная мера центрального угла, который на неё опирается. Теорема Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Доказательство Доказательство проведём в два этапа: сначала докажем справедливость утверждения для случая, когда одна из сторон вписанного угла содержит диаметр. Пусть точка (B) – вершина вписанного угла (ABC) и (BC) – диаметр окружности: Треугольник (AOB) – равнобедренный, (AO = OB) , (angle AOC) – внешний, тогда (angle AOC = angle OAB + angle ABO = 2angle ABC) , откуда (angle ABC = 0,5cdotangle AOC = 0,5cdotbuildrelsmileover) . Теперь рассмотрим произвольный вписанный угол (ABC) . Проведём диаметр окружности (BD) из вершины вписанного угла. Возможны два случая: 1) диаметр разрезал угол на два угла (angle ABD, angle CBD) (для каждого из которых теорема верна по доказанному выше, следовательно верна и для исходного угла, который является суммой этих двух и значит равен полусумме дуг, на которые они опираются, то есть равен половине дуги, на которую он опирается). Рис. 1. 2) диаметр не разрезал угол на два угла, тогда у нас появляется ещё два новых вписанных угла (angle ABD, angle CBD) , у которых сторона содержит диаметр, следовательно, для них теорема верна, тогда верна и для исходного угла (который равен разности этих двух углов, значит, равен полуразности дуг, на которые они опираются, то есть равен половине дуги, на которую он опирается). Рис. 2. Следствия 1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. 2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, прямой. 3. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Определения Существует три типа взаимного расположения прямой и окружности: 1) прямая (a) пересекает окружность в двух точках. Такая прямая называется секущей. В этом случае расстояние (d) от центра окружности до прямой меньше радиуса (R) окружности (рис. 3). 2) прямая (b) пересекает окружность в одной точке. Такая прямая называется касательной, а их общая точка (B) – точкой касания. В этом случае (d=R) (рис. 4). 3) прямая (c) не имеет общих точек с окружностью (рис. 5). Теорема 1. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. 2. Если прямая проходит через конец радиуса окружности и перпендикулярна этому радиусу, то она является касательной к окружности. Следствие Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны. Доказательство Проведем к окружности из точки (K) две касательные (KA) и (KB) : Значит, (OAperp KA, OBperp KB) как радиусы. Прямоугольные треугольники (triangle KAO) и (triangle KBO) равны по катету и гипотенузе, следовательно, (KA=KB) . Следствие Центр окружности (O) лежит на биссектрисе угла (AKB) , образованного двумя касательными, проведенными из одной точки (K) . Теорема об угле между секущими Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки, равен полуразности градусных мер большей и меньшей высекаемых ими дуг. Доказательство Пусть (M) – точка, из которой проведены две секущие как показано на рисунке: Покажем, что (angle DMB = dfrac(buildrelsmileover — buildrelsmileover)) . (angle DAB) – внешний угол треугольника (MAD) , тогда (angle DAB = angle DMB + angle MDA) , откуда (angle DMB = angle DAB — angle MDA) , но углы (angle DAB) и (angle MDA) – вписанные, тогда (angle DMB = angle DAB — angle MDA = fracbuildrelsmileover — fracbuildrelsmileover = frac(buildrelsmileover — buildrelsmileover)) , что и требовалось доказать. Теорема об угле между пересекающимися хордами Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме градусных мер высекаемых ими дуг: [angle CMD=dfrac12left(buildrelsmileover+buildrelsmileoverright)] Доказательство (angle BMA = angle CMD) как вертикальные. Из треугольника (AMD) : (angle AMD = 180^circ — angle BDA — angle CAD = 180^circ — frac12buildrelsmileover — frac12buildrelsmileover) . Но (angle AMD = 180^circ — angle CMD) , откуда заключаем, что [angle CMD = frac12cdotbuildrelsmileover + frac12cdotbuildrelsmileover = frac12(buildrelsmileover + buildrelsmileover).] Теорема об угле между хордой и касательной Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равен половине градусной меры дуги, стягиваемой хордой. Доказательство Пусть прямая (a) касается окружности в точке (A) , (AB) – хорда этой окружности, (O) – её центр. Пусть прямая, содержащая (OB) , пересекает (a) в точке (M) . Докажем, что (angle BAM = frac12cdot buildrelsmileover) . Обозначим (angle OAB = alpha) . Так как (OA) и (OB) – радиусы, то (OA = OB) и (angle OBA = angle OAB = alpha) . Таким образом, (buildrelsmileover = angle AOB = 180^circ — 2alpha = 2(90^circ — alpha)) . Так как (OA) – радиус, проведённый в точку касания, то (OAperp a) , то есть (angle OAM = 90^circ) , следовательно, (angle BAM = 90^circ — angle OAB = 90^circ — alpha = frac12cdotbuildrelsmileover) . Теорема о дугах, стягиваемых равными хордами Равные хорды стягивают равные дуги, меньшие полуокружности. И наоборот: равные дуги стягиваются равными хордами. Доказательство 1) Пусть (AB=CD) . Докажем, что меньшие полуокружности дуги (buildrelsmileover=buildrelsmileover) . (triangle AOB=triangle COD) по трем сторонам, следовательно, (angle AOB=angle COD) . Но т.к. (angle AOB, angle COD) — центральные углы, опирающиеся на дуги (buildrelsmileover, buildrelsmileover) соответственно, то (buildrelsmileover=buildrelsmileover) . 2) Если (buildrelsmileover=buildrelsmileover) , то (triangle AOB=triangle COD) по двум сторонам (AO=BO=CO=DO) и углу между ними (angle AOB=angle COD) . Следовательно, и (AB=CD) . Теорема Если радиус делит хорду пополам, то он ей перпендикулярен. Верно и обратное: если радиус перпендикулярен хорде, то точкой пересечения он делит ее пополам. Доказательство 1) Пусть (AN=NB) . Докажем, что (OQperp AB) . Рассмотрим (triangle AOB) : он равнобедренный, т.к. (OA=OB) – радиусы окружности. Т.к. (ON) – медиана, проведенная к основанию, то она также является и высотой, следовательно, (ONperp AB) . 2) Пусть (OQperp AB) . Докажем, что (AN=NB) . Аналогично (triangle AOB) – равнобедренный, (ON) – высота, следовательно, (ON) – медиана. Следовательно, (AN=NB) . Теорема о произведении отрезков хорд Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. Доказательство Пусть хорды (AB) и (CD) пересекаются в точке (E) . Рассмотрим треугольники (ADE) и (CBE) . В этих треугольниках углы (1) и (2) равны, так как они вписанные и опираются на одну и ту же дугу (BD) , а углы (3) и (4) равны как вертикальные. Треугольники (ADE) и (CBE) подобны (по первому признаку подобия треугольников). Тогда (dfrac = dfrac) , откуда (AEcdot BE = CEcdot DE) . Теорема о касательной и секущей Квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть. Доказательство Пусть касательная проходит через точку (M) и касается окружности в точке (A) . Пусть секущая проходит через точку (M) и пересекает окружность в точках (B) и (C) так что (MB . Покажем, что (MBcdot MC = MA^2) . Рассмотрим треугольники (MBA) и (MCA) : (angle M) – общий, (angle BCA = 0,5cdotbuildrelsmileover) . По теореме об угле между касательной и секущей, (angle BAM = 0,5cdotbuildrelsmileover = angle BCA) . Таким образом, треугольники (MBA) и (MCA) подобны по двум углам. Из подобия треугольников (MBA) и (MCA) имеем: (dfrac = dfrac) , что равносильно (MBcdot MC = MA^2) . Следствие Произведение секущей, проведённой из точки (O) , на её внешнюю часть не зависит от выбора секущей, проведённой из точки (O) : 🌟 Видео✓ Всё, что нужно знать про окружность | ЕГЭ. Задания 1 и 16. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать Геометрия. Теорема о вписанном углеСкачать Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСССкачать 11 класс, 41 урок, Две теоремы об отрезках, связанных с окружностьюСкачать Углы, связанные с окружностьюСкачать Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать Вписанные и центральные углы #огэ #огэматематика #математикаСкачать Геометрия 7 класс (Урок№9 - Треугольник.)Скачать Углы в окружности | ФормулыСкачать 73. Теорема о вписанном углеСкачать Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать |