Свойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружности

Углы, связанные с окружностью
Свойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружностиВписанные и центральные углы
Свойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружностиУглы, образованные хордами, касательными и секущими
Свойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружностиДоказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Видео:Всё про вписанные и центральные углы за 4 минуты | Борис Трушин |Скачать

Всё про вписанные и центральные углы за 4 минуты | Борис Трушин |

Вписанные и центральные углы

Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).

Свойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружности

Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).

Свойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружности

Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.

Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Видео:Вписанные углы в окружностиСкачать

Вписанные углы в окружности

Теоремы о вписанных и центральных углах

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

ФигураРисунокТеорема
Вписанный уголСвойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружности
Вписанный уголСвойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружностиВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.
Вписанный уголСвойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружностиВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды
Вписанный уголСвойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружностиДва вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды
Вписанный уголСвойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружностиВписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр
Окружность, описанная около прямоугольного треугольникаСвойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружности

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Свойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружности

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Свойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружности

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды

Свойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружности

Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды

Свойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружности

Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр

Свойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружности

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Свойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружности

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

Вписанный угол
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

ФигураРисунокТеоремаФормула
Угол, образованный пересекающимися хордамиСвойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружностиСвойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружности
Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне кругаСвойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружностиСвойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружности
Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касанияСвойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружностиСвойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружности
Угол, образованный касательной и секущейСвойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружностиСвойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружности
Угол, образованный двумя касательными к окружностиСвойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружностиСвойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружности

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Свойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружности

Свойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружности

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Свойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружности

Свойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружности

Свойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружности

Свойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружности

Угол, образованный пересекающимися хордами хордами
Свойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружности
Формула: Свойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружности
Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга
Формула: Свойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружности

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания
Свойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружности
Формула: Свойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружности
Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей
Формула: Свойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружности

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности
Формулы: Свойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружности

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Видео:ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный УголСкачать

ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный Угол

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).

Свойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружности

Свойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружности

Свойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружности

Свойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружности

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

Свойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружности

В этом случае справедливы равенства

Свойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружности

Свойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружности

Свойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружности

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

Свойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружности

В этом случае справедливы равенства

Свойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружности

Свойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружности

Свойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружности

что и завершает доказательство теоремы 1.

Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.

Свойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружности

Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

Свойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружности

Свойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружности

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Свойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружности

Свойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружности

Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

Свойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружности

Свойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружности

что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.

Свойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружности

Свойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружности

Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

Свойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружности

Свойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружности

что и требовалось доказать

Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.

Свойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружности

Свойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружности

Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

Свойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружности

Свойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружности

что и требовалось доказать.

Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.

Свойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружности

Свойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружности

Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство

Видео:Вписанные и центральные углы #огэ #огэматематика #математикаСкачать

Вписанные и центральные углы #огэ #огэматематика #математика

Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу

Вписанные углы, опирающихся на одну дугу (или на одну хорду), обладают полезным свойством, вытекающим из теоремы о вписанном угле.

Следствие из теоремы о вписанном угле.

Свойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружности

Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу (или на одну хорду), равны.

Свойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружности

вписанный угол равен половине соответствующего ему центрального угла.

Отсюда, любой вписанный угол, опирающийся на дугу AC, равен половине центрального угла AOC (или половине дуги AC).

Свойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружности

Свойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружности

Свойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружности

Свойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружности

Что и требовалось доказать.

Это свойство вписанных углов очень часто используется при решении задач. Позже мы рассмотрим несколько таких задач.

Видео:8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном углеСкачать

8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном угле

Центральные и вписанные углы

Свойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружности

О чем эта статья:

Видео:Углы, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Углы, вписанные в окружность. 9 класс.

Центральный угол и вписанный угол

Окружность — замкнутая линия, все точки которой равноудалены от ее центра.

Определение центрального угла:

Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

Свойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружности

На рисунке: центральный угол окружности EOF и дуга, на которую он опирается EF

Определение вписанного угла:

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.

Свойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружности

На рисунке: вписанный в окружность угол ABC и дуга, на которую он опирается AC

Видео:Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСССкачать

Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСС

Свойства центральных и вписанных углов

Углы просты только на первый взгляд. Свойства центрального угла и свойства вписанного угла помогут решать задачки легко и быстро.

  • Вписанный угол в два раза меньше, чем центральный угол, если они опираются на одну и ту же дугу:

Свойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружности

Угол AOC — центральный, угол ABC — вписанный. Оба угла опираются на дугу AC, в этом случае центральный угол равен дуге AC, а угол ABC равен половине угла AOC.

  • Теорема о центральном угле: центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается:

Свойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружности

  • Вписанные углы окружности равны друг другу, если опираются на одну дугу:

Свойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружности

ㄥADC = ㄥABC = ㄥAEC, поскольку все три угла, вписанные в окружность, опираются на одну дугу AC.

  • Вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, — всегда прямой:

Свойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружности

ㄥACB опирается на диаметр и на дугу AB, диаметр делит окружность на две равные части. Значит дуга AB = 180 ํ, ㄥCAB равен половине дуги, на которую он опирается, значит ㄥCAB = 90 ํ.

Если есть вписанный, обязательно найдется и описанный угол. Описанный угол — это угол, образованный двумя касательными к окружности. Вот так:

Свойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружности

На рисунке: ㄥCAB, образованный двумя касательными к окружности. AO — биссектриса ㄥCAB, значит центр окружности лежит на биссектрисе описанного угла.

Для решения задачек мало знать, какой угол называется вписанным, а какой — описанным. Нужно знать, что такое хорда и ее свойство.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Хорда — отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Свойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружности

  • Если две хорды в окружности пересекаются, то произведения отрезков одной равно произведению отрезков другой.

Свойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружности

AB * AC = AE * AD
Получается, что стороны вписанного в окружность угла — это хорды.

  • Если вписанные углы опираются на одну и ту же хорду — они равны, если их вершины находятся по одну сторону от хорды.

Свойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружности

ㄥBAC = ㄥCAB, поскольку лежат на хорде BC.

  • Если два вписанных угла опираются на одну и ту же хорду, то их суммарная градусная мера равна 180°, если их вершины находятся по разные стороны от хорды.

Свойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружности

ㄥBAC + ㄥBDC = 180°

Видео:Вписанные и центральные углыСкачать

Вписанные и центральные углы

Примеры решения задач

Центральный, вписанные и описанные углы, как и любые другие, требуют тренировок в решении. Рассмотрите примеры решения задач и потренируйтесь самостоятельно.

Задачка 1. Дана окружность, дуга AC = 200°, дуга BC = 80°. Найдите, чему равен вписанный угол, опирающийся на дугу AB. ㄥACB = ?

Свойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружности

Как решаем: окружность 360° − AC − CB = 360° − 200° − 80° = 80°
По теореме: вписанный угол равен дуге ½.
ㄥACB = ½ AB = 40°

Задачка 2. Дана окружность, ㄥAOC = 140°, найдите, чему равна величина вписанного угла.

Свойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружности

Мы уже потренировались и знаем, как найти вписанный угол.
На рисунке в окружности центральный угол и дуга AC = 140°
Мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального, то ㄥABC = ½ AC = 140/2 = 70°

Задачка 3. Чему равен вписанный в окружность угол, опирающийся на дугу, если эта дуга = ⅕ окружности?

Свойство вписанных углов опирающихся на одну дугу окружности

СB = ⅕ от 360° = 72°
Вписанный угол равен половине дуги, поэтому ㄥCAB = ½ от CB = 72° / 2 = 36°

📹 Видео

8 класс, 33 урок, Градусная мера дуги окружностиСкачать

8 класс, 33 урок, Градусная мера дуги окружности

ЦЕНТРАЛЬНЫЙ угол ВПИСАННЫЙ угол окружности 8 класс АтанасянСкачать

ЦЕНТРАЛЬНЫЙ угол ВПИСАННЫЙ угол окружности 8 класс Атанасян

№655. Центральный угол АОВ на 30° больше вписанного угла, опирающегося на дугу АВ. НайдитеСкачать

№655. Центральный угол АОВ на 30° больше вписанного угла, опирающегося на дугу АВ. Найдите

Вписанный угол, опирающийся на диаметр. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугуСкачать

Вписанный угол, опирающийся на диаметр. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу

Вписанные и центральные углыСкачать

Вписанные и центральные углы

Вписанный угол - 1Скачать

Вписанный угол - 1

Углы, связанные с окружностьюСкачать

Углы, связанные с окружностью

✓ Всё, что нужно знать про окружность | ЕГЭ. Задания 1 и 16. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать

✓ Всё, что нужно знать про окружность | ЕГЭ. Задания 1 и 16. Профильный уровень | Борис Трушин

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

УГОЛ И ОКРУЖНОСТЬ: центральный угол, вписанный угол, длина дуги окружностиСкачать

УГОЛ И ОКРУЖНОСТЬ: центральный угол, вписанный угол, длина дуги окружности

Геометрия 4. Центральные и вписанные углы. Описанная окружность.Скачать

Геометрия 4. Центральные и вписанные углы. Описанная окружность.
Поделиться или сохранить к себе: