Вписанные четырехугольники и их свойства |
Теорема Птолемея |
- Вписанные четырёхугольники и их свойства
- Теорема Птолемея
- Всё о параллелограммах
- Определение параллелограмма
- Свойства параллелограмма
- Признаки параллелограмма
- Теоремы параллелограмма
- Параллелограммом является выпуклый четырехугольник
- Противоположные стороны и углы попарно равны
- Точка пересечения диагоналей разделяет их пополам
- Углы параллелограмма
- Свойства диагоналей параллелограмма
- Как вычислить площадь параллелограмма?
- Как вписать параллелограмм в окружность?
- Как вписать окружность в параллелограмм?
- Как начертить параллелограмм?
- Алгоритм построения квадрата
- Построение ромба
- Как построить прямоугольник
- Трапеция — это параллелограмм?
- Средняя линия параллелограмма
- Параллелограмм, у которого все стороны равны
- Ось симметрии параллелограмма
- Многоугольник. Свойства четырехугольников вписанных в окружность.
- 🎥 Видео
Видео:Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать
Вписанные четырёхугольники и их свойства
Определение 1 . Окружностью, описанной около четырёхугольника, называют окружность, проходящую через все вершины четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, вписанным в окружность, или вписанным четырёхугольником .
Теорема 1 . Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы величин его противоположных углов равны 180° .
Доказательство . Угол ABC является вписанным углом, опирающимся на дугу ADC (рис.1). Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги ADC . Угол ADC является вписанным углом, опирающимся на дугу ABC . Поэтому величина угла ADC равна половине угловой величины дуги ABC . Отсюда вытекает, что сумма величин углов ABC и ADC равна половине угловой величины дуги, совпадающей со всей окружностью, т.е. равна 180° .
Если рассмотреть углы BCD и BAD , то рассуждение будет аналогичным.
Теорема 1 доказана.
Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.
Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью рассмотрим окружность, проходящую через вершины A , B и С четырёхугольника, и предположим, что эта окружность не проходит через вершину D . Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точка D лежит внутри круга (рис.2).
Продолжим отрезок CD за точку D до пересечения с окружностью в точке E , и соединим отрезком точку E с точкой A (рис.2). Поскольку четырёхугольник ABCE вписан в окружность, то в силу теоремы 1 сумма величин углов ABC и AEC равна 180° . При этом сумма величин углов ABC и ADC так же равна 180° по условию теоремы 2. Отсюда вытекает, что угол ADC равен углу AEC . Возникает противоречие, поскольку угол ADC является внешним углом треугольника ADE и, конечно же, его величина больше, чем величина угла AEC , не смежного с ним.
Случай, когда точка D оказывается лежащей вне круга, рассматривается аналогично.
Теорема 2 доказана.
Перечисленные в следующей таблице свойства вписанных четырёхугольников непосредственно вытекают из теорем 1 и 2.
Фигура | Рисунок | Свойство | ||||||||||||||||||||||||||||||
Окружность, описанная около параллелограмма | Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником. | |||||||||||||||||||||||||||||||
Окружность, описанная около ромба | Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом. | |||||||||||||||||||||||||||||||
Окружность, описанная около трапеции | Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией. | |||||||||||||||||||||||||||||||
Окружность, описанная около дельтоида | Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников. | |||||||||||||||||||||||||||||||
Произвольный вписанный четырёхугольник |
Окружность, описанная около параллелограмма | ||
Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником. | ||
Окружность, описанная около ромба | ||
Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом. | ||
Окружность, описанная около трапеции | ||
Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией. | ||
Окружность, описанная около дельтоида | ||
Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников. | ||
Произвольный вписанный четырёхугольник | ||
Окружность, описанная около параллелограмма |
Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать
Теорема Птолемея
Теорема Птолемея . Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.
Доказательство . Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD , вписанный в окружность (рис.3).
Докажем, что справедливо равенство:
Для этого выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD был равен углу CBE (рис. 4).
Заметим, что треугольник ABD подобен треугольнику BCE . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABD равен углу CBE (по построению точки E ), угол ADB равен углу ACB (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:
откуда вытекает равенство:
(1) |
Заметим, что треугольник ABE подобен треугольнику BCD . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABE равен углу DBC (углы ABD и EBC равны по построению, угол DBE – общий), угол BAC равен углу BDC (эти углы являются вписанными углами, пирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:
Видео:Углы, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать
Всё о параллелограммах
Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать
Определение параллелограмма
С этой фигурой знакомы все, освоившие курс школьной программы. Впервые с понятием «параллелограмм» встречаются в 8 классе на уроках геометрии.
Параллелограмм — геометрическая фигура, являющаяся разновидностью четырехугольника. Противоположные стороны параллельны.
Стоит отметить, что всем известные фигуры, такие как квадрат, ромб, прямоугольник, являются параллелограммами. Исходя из этого, им можно дать следующие определения:
- Квадрат — параллелограмм с равными сторонами, пересекающимися под углом 90 градусов.
- Ромб — параллелограмм с равными между собой сторонами, не пересекающимися под углом 90 градусов.
- Прямоугольник — параллелограмм с неравными между собой сторонами, но пересекающимися под прямым углом.
Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать
Свойства параллелограмма
Для того чтобы определить параллелограмм, нужно обладать знанием о его свойствах. Рассмотрим их на примере четырехугольника MNPK.
- Длина противоположных сторон фигуры одинакова.
- Противоположные стороны параллельны.
- Углы, являющиеся противоположными, равны.
- Сумма всех четырех углов составляет 360 градусов.
∠NMK+∠NPK +∠MNP+∠MKP = 360°
- Сумма двух соседних углов равна 180 градусов.
- Диагонали разделяют параллелограмм на два треугольника, равные между собой.
- При пересечении диагоналей образуется точка пересечения, представляющая собой центр симметрии.
- Диагонали пересекаются и точка их пересечения разделяет каждую диагональ пополам.
- Биссектриса, проведенная из любого угла, отделает от четырехугольника равнобедренный треугольник.
Видео:Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать
Признаки параллелограмма
Четырехугольник MNPK можно называть параллелограммом при выполнении минимум одного условия:
- Противоположные стороны равны парами: MK=NP, MN=PK.
- Противоположные углы равны парами: ∠NMK=∠NPK, ∠MNP=∠MKP.
- Диагонали пересекаются, и точка их пересечения разделяет каждую диагональ пополам.
- Противоположные стороны равны и параллельны между собой: MK=NP, MN|PK.
- Сумма квадратов двух диагоналей равняется сумме квадратов четырех его сторон: MP²+NK²=MN²+NP²+PK²+MK².
Видео:3 правила для вписанного четырехугольника #shortsСкачать
Теоремы параллелограмма
Все существующие теоремы доказывают свойства параллелограмма и исходят из определения о том, что это четырехугольник с противоположно расположенными параллельными сторонами.
Основные теоремы доказывают, что:
- параллелограммом является выпуклый четырехугольник;
- противоположные стороны попарно равны;
- углы, являющиеся противоположными, попарно равны;
- точка пересечения диагоналей разделает их пополам.
Параллелограммом является выпуклый четырехугольник
Многоугольник признается выпуклым при условии отсутствия продления до прямой хотя бы одной из сторон, а все оставшиеся стороны будут располагаться по одну сторону от этой прямой.
Пусть дан параллелограмм MNPK, сторона MN противоположна PK, а MK противоположна NP. Следовательно, исходя из определения, следует вывод о том, что MN || PK, а MK || NP.
Параллельные отрезки общих точек соприкосновения не имеют. Следовательно, PK находится со стороной MN по одну сторону. Отрезок NP соединяет точку N отрезка MN с точкой P отрезка PK. Противоположный отрезок MK соединяет оставшиеся две точки отрезков, что дает право утверждать о нахождении отрезков NP и MK по одну сторону от прямой MN. Исходя из всего вышесказанного, можно сделать вывод о том, что три стороны PK, NP и MK располагаются по одну сторону от отрезка MN.
Аналогичный алгоритм доказательства предположения о нахождении трех других сторон по одну сторону относительно остальных.
Противоположные стороны и углы попарно равны
Имеется четырехугольник MNPK, у которого MK=NP, MN=PK, ∠NMK=∠NPK, ∠MNP=∠MKP.
Параллелограмм — это, как мы знаем, четырехугольник. Следовательно, имеет 2 диагонали. Зная о том, что это выпуклая фигура, делаем вывод о делении фигуры на два треугольника. В нашем случае образовались треугольники MNP и MKP.
У треугольников имеется общее — сторона MP. ∠NPM=∠PMK, а ∠NMP=∠MPK, так как накрест лежащие углы, пересекая параллельные прямые, равны.
Следовательно, ΔMNP=ΔMKP, так как одна общая сторона и два равных смежных угла. Отсюда NP=MK, MN=PK.
∠NPM=∠PMK и ∠NMP=∠MPK
Из равенств следует, что ∠NMK=∠NPK.
Таким образом, теорема о равенстве противоположных углов и сторон доказана.
Точка пересечения диагоналей разделяет их пополам
Зная, что параллелограмм представляет собой выпуклый четырёхугольник, можно сказать о наличии двух пересекающихся диагоналей.
Есть четырехугольник MNPK с диагоналями NK и PM, пересекающимися в точке O. Возьмем два полученных треугольника MNO и PKO.
Из свойства противоположно лежащих сторон параллелограмма следует равенство MN=PK. Угол MNO и угол OKP — накрест лежащие, следовательно, они равны. Аналогично, два других угла — NMO и OPK — являются равными. Делаем вывод о равенстве треугольников MNO и PKO по стороне и двум углам.
Из рисунка видно, что углы MON и KOP вертикальные, а значит, они равны.
Зная о равенстве образовавшихся треугольников, можно утверждать и о равенстве всех соответствующих элементов. Сторона MO равна стороне PO, как и сторона NO=OK. Каждая из пар вместе представляет собой диагональ параллелограмма.
Таким образом, теорема о делении диагоналей пополам доказана.
Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать
Углы параллелограмма
Для углов действует правило, согласно которому смежные углы в сумме дают 180 градусов, а два противоположных равны друг другу. Основываясь на этих утверждениях, значения остальных углов находятся по формуле:
Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать
Свойства диагоналей параллелограмма
- Точка пересечения диагоналей разделяет их пополам.
- Любая диагональ разделяет фигуру на два треугольника, равные друг другу.
- Сумма квадратов его диагоналей равняется сумме квадратов всех его сторон.
- Площадь фигуры находится путем умножения длины диагоналей на синус угла, расположенного между ними, разделённый на 1/2.
Видео:Вписанный в окружность четырёхугольник.Скачать
Как вычислить площадь параллелограмма?
Существует несколько вариантов нахождения площади:
- По основанию и высоте: S=a*h.
- Зная значение двух смежных сторон и угла между ними: S=a*b*sin(α)°.
- По длине диагоналей и углу между ними: S=1/2*d1*d2*sin α.
Разберем подробнее последнюю формулу площади на примере. Дан параллелограмм с диагоналями АС и BD. Точка пересечения — О. Угол пересечения диагоналей в точке O = 60°. Отрезки AO=6 см и OD=5 см Площадь находится по формуле:
Зная свойство деления диагоналей точкой пересечения пополам, получаем:
AC=AO*2=12 см и DB=OD*2=10 см
Подставляем полученные значения в формулу:
S=1/2 * 12*10*1/2√3=51,962 см 2
Видео:Вписанные углы в окружностиСкачать
Как вписать параллелограмм в окружность?
Вписанный параллелограмм — это когда фигура находится внутри окружности.
Не каждый параллелограмм можно поместить внутрь окружности. Эту манипуляцию можно проделать с той фигурой, у которой два противоположных угла в сумме составляют 180 градусов.
Из этого можно прийти к выводу, что у вписанного в окружность параллелограмма все четыре угла равны 90°. Параллелограмм бывает трех видов: квадрат, ромб, прямоугольник. Следовательно вписать в окружность можно прямоугольник, квадрат.
- Начертить окружность.
- Найти ее центр, обозначить буквой O.
- Выбрать любую точку на окружности и назвать ее точкой A.
- Если вписываем квадрат, то нужно построить два диаметра с углом между ними в 90 градусов. Точки пересечения диагоналей с окружностью соединить прямыми линиями.
- Для прямоугольника нужно иметь значения угла между диагоналями или размеры сторон. Зная размеры сторон по теореме Пифагора, высчитываем угол между диагоналями. Проведя один диаметр, обозначить точки пересечения с окружностью. От точки O (центр окружности и середина диагонали) отмерить угол между диагоналями. Провести второй диаметр через центр и новую полученную точку. Соединить полученные точки прямыми.
Видео:Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | МатематикаСкачать
Как вписать окружность в параллелограмм?
В окружность можно вписать параллелограмм при условии равнозначных сумм противолежащих сторон. Из трех вариантов параллелограмма сумма противоположных сторон одинакова только у ромба. Следовательно, если в параллелограмм вписана окружность, то этот параллелограмм является ромбом.
- Начертить ромб можно, зная длину минимум одной стороны и одного угла.
- Провести горизонтальную линию, равную длине стороны.
- Транспортиром отмерить известный угол и провести луч.
- На луче отмерить тот же самый размер стороны.
- Оставшиеся две стороны нарисовать параллельно имеющимся.
- Согласно свойству ромба и вписанной окружности, проводим две биссектрисы из смежных углов (они же диагонали в ромбе).
- Пересечение биссектрис отметить точкой О.
- Точка О будет центром окружности.
- Вписанная окружность должна касаться всех сторон параллелограмма. Следовательно, стороны ромба будут касательными к окружности.
- Касательные перпендикулярны радиусу, который проходит к точке касания. Таким образом, из центра окружности (точки О) надо опустить перпендикуляр к любой стороне ромба.
- Иголку циркуля поставить в точку О, а ножку — на точку касания перпендикуляра со стороной ромба.
- Начертить окружность.
- Правильно начерченная фигура будет соприкасаться со всеми сторонами ромба.
Видео:угол a четырёхугольника abcd вписанного в окружность равен 46Скачать
Как начертить параллелограмм?
Рассмотрим схему построения каждого вида по отдельности.
Алгоритм построения квадрата
- Узнать размер одной стороны. Этого достаточно, так как все стороны в квадрате равны.
- Один из признаков квадрата — все углы равны 90 градусов.
- Чертим прямую, равную длине одной стороны.
- С каждой стороны проводим перпендикулярную линию.
- На перпендикулярах отмечаем нужную длину и ставим точку.
- Соединяем две точки, построенные на перпендикулярных прямых.
Построение ромба
- Начертить ромб можно, зная длину минимум одной стороны и одного угла.
- Провести горизонтальную линию, равную длине стороны.
- Транспортиром отмерить известный угол и провести луч.
- На луче отмерить тот же самый размер стороны.
- Оставшиеся две стороны нарисовать параллельно имеющимся.
Как построить прямоугольник
- Нужно знать значения длины и ширины.
- Начертить прямую, равную длине.
- Провести два перпендикуляра с обеих сторон отрезка.
- Отметить на перпендикулярных линиях отрезок равный ширине прямоугольника.
- Соединить полученные два отрезка.
- При правильном построении полученная линия должны быть перпендикулярна длине (первой начерченной линии).
Видео:2154 два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны 25 и 51 градусовСкачать
Трапеция — это параллелограмм?
Обе фигуры являются четырехугольниками с двумя противоположными сторонами, которые равны. Трапеция по определению имеет 2 непараллельные стороны. В параллелограмме все 4 стороны попарно параллельны.
Таким образом, трапеция не является параллелограммом.
Видео:Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.Скачать
Средняя линия параллелограмма
Под этим термином понимается отрезок, соединяющий середины противоположных сторон параллелограмма.
Средняя линия всегда равна параллельной ей стороне
Свойства средней линии в параллелограмме:
- точка пересечения диагоналей является точкой пересечения средних линий;
- точка пересечения делит средние линии пополам;
- точка пересечения выступает центром симметрии параллелограмма.
Видео:Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСССкачать
Параллелограмм, у которого все стороны равны
Все четыре стороны имеют равное значение в двух разновидностях фигуры — ромбе и квадрате.
Видео:SOS-ГЕОМЕТРИЯ! Отрезки и углы, смежные и вертикальные углы | Математика TutorOnlineСкачать
Ось симметрии параллелограмма
Под осью симметрии понимается прямая, разделяющая фигуру на две зеркально равные фигуры.
В прямоугольнике осью симметрии являются прямые, которые проходят через середину противоположной стороны.
В ромбе оси симметрии представляют собой его 2 диагонали.
Квадрат, объединяя в себе две предыдущие фигуры, имеет 4 оси симметрии: 2 диагонали и 2 средние линии.
Видео:Геометрия 8 класс. Параллелограмм, свойства параллелограммаСкачать
Многоугольник. Свойства четырехугольников вписанных в окружность.
Если все вершины какого-нибудь многоугольника (ABCDE) лежат на окружности, то говорят, что этот многоугольник вписан в окружность, или что окружность описана около него.
Теорема.
В выпуклом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна двум прямым углам (2d).
Обратная теорема:
Если в выпуклом четырехугольнике сумма противоположных углов равна двум прямым углам (2d), то около него можно описать окружность.
Пусть ABCD — вписанный выпуклый четырехугольник. Необходимо обосновать, что:
Углы B и D, как вписанные будут равны: первый — половиной дуги ADС, второй — половиной дуги ABС. Следовательно, B + D равняется полусумме дуг ADС и ABС, т.е. половиной окружности. Значит, B + D = 2d. Подобно этому убедимся, что A + С= 2d .
Необходимо обосновать, что около такого четырехугольника можно описать окружность. Через какие-нибудь три его вершины, например, A, B, С прочертим окружность (что всегда можно сделать).
Четвертая вершина D должна располагаться на этой окружности, потому что в противном случае угол D лежал бы своей вершиной или внутри круга, или вне его, и тогда этот угол не измерялся бы половиной дуги ABС, поэтому сумма B + D не измерялась бы полусуммой дуг ADС и ABС, т.е. сумма B + D не равнялась бы 2d, что противоречит условию.
Следствия.
1. Из всех параллелограммов только около прямоугольника можно описать окружность.
2. Около трапеции можно описать окружность только тогда, когда она равнобедренная.
🎥 Видео
11 класс, 43 урок, Вписанный четырехугольникСкачать
Описанная и вписанная окружности четырехугольника - 8 класс геометрияСкачать