Свойства углов и отрезков в окружности

Содержание
  1. Окружность
  2. Основные термины
  3. Касательная
  4. Свойства касательной
  5. Хорда
  6. Свойства хорд
  7. Свойства окружности
  8. Теорема о касательной и секущей
  9. Теорема о секущих
  10. Углы в окружности
  11. Свойства углов, связанных с окружностью
  12. Длины и площади
  13. Вписанные и описанные окружности
  14. Окружность и треугольник
  15. Окружность и четырехугольники
  16. Углы, связанные с окружностью
  17. Вписанные и центральные углы
  18. Теоремы о вписанных и центральных углах
  19. Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими
  20. Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью
  21. Свойства окружностей. Прямые, отрезки и углы, связанные с окружностью. Взаимное расположение окружности и прямой, окружности и точки, двух окружностей. Свойства углов, связанных с окружностью. Метрические соотношения в окружности
  22. Свойства окружностей. Прямые, отрезки и углы, связанные с окружностью. Взаимное расположение окружности и прямой, окружности и точки, двух окружностей. Свойства углов, связанных с окружностью. Метрические соотношения в окружности.
  23. Прямые, отрезки и углы, связанные с окружностью:
  24. Взаимное расположение окружности и прямой:
  25. Взаимное расположение окружности и точки:
  26. Взаимное расположение двух окружностей:
  27. Свойства углов, связанных с окружностью:
  28. Метрические соотношения в окружности (длины отрезков):
  29. 🔥 Видео

Окружность

Окружностью называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, находящихся от данной точки на данном расстоянии. Данная точка называется центром окружности, а отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, — радиусом окружности.

Часть плоскости, ограниченная окружностью называется кругом.

Круговым сектором или просто сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Сегментом называется часть круга, ограниченная дугой и стягивающей ее хордой.

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Основные термины


Касательная

Прямая, имеющая с только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

Свойства касательной


  1. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Хорда

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.

Свойства хорд


  1. Диаметр (радиус), перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и обе стягиваемые ею дуги пополам. Верна и обратная теорема: если диаметр (радиус) делит пополам хорду, то он перпендикулярен этой хорде.

Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны.

Если две хорды окружности, AB и CD пересекаются в точке M , то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: AM•MB = CM•MD.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Свойства окружности


  1. Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью одну общую точку ( касательная ); иметь с ней две общие точки ( секущая ).
  2. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.
  3. Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры.

Теорема о касательной и секущей

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть: MC 2 = MA•MB .

Теорема о секущих

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть. MA•MB = MC•MD.

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Углы в окружности

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре.

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным углом.

Любые две точки окружности делят ее на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. Мерой дуги может служить мера соответствующего ей центрального угла.

Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.

Свойства углов, связанных с окружностью


  1. Вписанный угол либо равен половине соответствующего ему центрального угла, либо дополняет половину этого угла до 180°.

Углы, вписанные в одну окружность и опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.

Угол, образованный касательной к окружности и секущей, проведенной через точку касания, равен половине дуги, заключенной между его сторонами.

Видео:Углы, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Углы, вписанные в окружность. 9 класс.

Длины и площади


  1. Длина окружности C радиуса R вычисляется по формуле:

Площадь S круга радиуса R вычисляется по формуле:

Длина дуги окружности L радиуса R с центральным углом ,измеренным в радианах, вычисляется по формуле:

Площадь S сектора радиуса R с центральным углом в радиан вычисляется по формуле:

Видео:Отрезки касательных из одной точки до точек касания окружности равны | Окружность | ГеометрияСкачать

Отрезки касательных из одной точки до точек касания окружности равны | Окружность |  Геометрия

Вписанные и описанные окружности


Окружность и треугольник


  • центр вписанной окружности — точка пересечения биссектристреугольника, ее радиус r вычисляется по формуле:

где S — площадь треугольника, а — полупериметр;

центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров, ее радиус R вычисляется по формуле:

здесь a, b, c — стороны треугольника, — угол, лежащий против стороны a , S — площадь треугольника;

  • центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы;
  • центр описанной и вписанной окружностей треугольника совпадают только в том случае, когда этот треугольник — правильный.
  • Окружность и четырехугольники


    • около выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его внутренних противоположных углов равна 180°:

    в четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у него равны суммы противоположных сторон:

    • около параллелограмма можно описать окружность тогда и только тогда, когда он является прямоугольником;
    • около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда эта трапеция — равнобедренная; центр окружности лежит на пересечении оси симметрии трапеции с серединным перпендикуляром к боковой стороне;
    • в параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом.

    Видео:Пропорциональные отрезки круга. 9 класс.Скачать

    Пропорциональные отрезки круга. 9 класс.

    Углы, связанные с окружностью

    Свойства углов и отрезков в окружностиВписанные и центральные углы
    Свойства углов и отрезков в окружностиУглы, образованные хордами, касательными и секущими
    Свойства углов и отрезков в окружностиДоказательства теорем об углах, связанных с окружностью

    Видео:ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный УголСкачать

    ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный Угол

    Вписанные и центральные углы

    Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).

    Свойства углов и отрезков в окружности

    Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).

    Свойства углов и отрезков в окружности

    Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.

    Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.

    Видео:Окружность. 7 класс.Скачать

    Окружность. 7 класс.

    Теоремы о вписанных и центральных углах

    Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

    Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
    около этого треугольника окружности.

    ФигураРисунокТеорема
    Вписанный уголСвойства углов и отрезков в окружности
    Вписанный уголСвойства углов и отрезков в окружностиВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.
    Вписанный уголСвойства углов и отрезков в окружностиВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды
    Вписанный уголСвойства углов и отрезков в окружностиДва вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды
    Вписанный уголСвойства углов и отрезков в окружностиВписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр
    Окружность, описанная около прямоугольного треугольникаСвойства углов и отрезков в окружности

    Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

    Свойства углов и отрезков в окружности

    Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

    Свойства углов и отрезков в окружности

    Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды

    Свойства углов и отрезков в окружности

    Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды

    Свойства углов и отрезков в окружности

    Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр

    Свойства углов и отрезков в окружности

    Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
    около этого треугольника окружности.

    Свойства углов и отрезков в окружности

    Видео:Свойства хорд, касательных, секущих окружности I Для решения задач из ОГЭ И ЕГЭ I Часть 1Скачать

    Свойства хорд, касательных, секущих окружности I Для решения задач из ОГЭ И ЕГЭ I Часть 1

    Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

    Вписанный угол
    Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

    Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

    Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

    Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

    Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

    Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

    ФигураРисунокТеоремаФормула
    Угол, образованный пересекающимися хордамиСвойства углов и отрезков в окружностиСвойства углов и отрезков в окружности
    Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне кругаСвойства углов и отрезков в окружностиСвойства углов и отрезков в окружности
    Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касанияСвойства углов и отрезков в окружностиСвойства углов и отрезков в окружности
    Угол, образованный касательной и секущейСвойства углов и отрезков в окружностиСвойства углов и отрезков в окружности
    Угол, образованный двумя касательными к окружностиСвойства углов и отрезков в окружностиСвойства углов и отрезков в окружности

    Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

    Свойства углов и отрезков в окружности

    Свойства углов и отрезков в окружности

    Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

    Свойства углов и отрезков в окружности

    Свойства углов и отрезков в окружности

    Свойства углов и отрезков в окружности

    Свойства углов и отрезков в окружности

    Любые два вписанных угла, опирающиеся на одну и ту же хорду, вершины которых лежат по разные стороны хорды, составляют в сумме 180°=π

    Свойства углов и отрезков в окружности

    Угол между пересекающимися хордами:

    Свойства углов и отрезков в окружности

    Угол между секущими, пересекающимися вне окружности:

    Свойства углов и отрезков в окружности

    Угол между касательными:

    Свойства углов и отрезков в окружности

    Угол между касательной и хордой:

    Свойства углов и отрезков в окружности

    Метрические соотношения в окружности (длины отрезков):

    Отрезки пересекающихся хорд связаны соотношением:

    Свойства углов и отрезков в окружности

    Отрезки касательных, проведенных из общей точки, равны:

    Свойства углов и отрезков в окружности

    Квадрат длины отрезка касательной равен произведению длин отрезков секущей, проведенной из той же точки:

    Свойства углов и отрезков в окружности

    Произведения длин отрезков секущих, проведенных из общей точки, равны:

    Свойства углов и отрезков в окружности

    Угол, образованный пересекающимися хордами хордами
    Свойства углов и отрезков в окружности
    Формула: Свойства углов и отрезков в окружности
    Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга
    Формула: Свойства углов и отрезков в окружности

    Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

    Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания
    Свойства углов и отрезков в окружности
    Формула: Свойства углов и отрезков в окружности
    Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей
    Формула: Свойства углов и отрезков в окружности

    Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

    Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности
    Формулы: Свойства углов и отрезков в окружности

    Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

    Видео:Теорема об отрезках хорд и секущихСкачать

    Теорема об отрезках хорд и секущих

    Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

    Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

    Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).

    Свойства углов и отрезков в окружности

    Свойства углов и отрезков в окружности

    Свойства углов и отрезков в окружности

    Свойства углов и отрезков в окружности

    Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

    Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

    Свойства углов и отрезков в окружности

    В этом случае справедливы равенства

    Свойства углов и отрезков в окружности

    Свойства углов и отрезков в окружности

    Свойства углов и отрезков в окружности

    и теорема 1 в этом случае доказана.

    Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

    Свойства углов и отрезков в окружности

    В этом случае справедливы равенства

    Свойства углов и отрезков в окружности

    Свойства углов и отрезков в окружности

    Свойства углов и отрезков в окружности

    что и завершает доказательство теоремы 1.

    Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

    Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.

    Свойства углов и отрезков в окружности

    Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

    Свойства углов и отрезков в окружности

    Свойства углов и отрезков в окружности

    что и требовалось доказать.

    Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

    Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

    Свойства углов и отрезков в окружности

    Свойства углов и отрезков в окружности

    Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

    Свойства углов и отрезков в окружности

    Свойства углов и отрезков в окружности

    что и требовалось доказать.

    Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

    Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.

    Свойства углов и отрезков в окружности

    Свойства углов и отрезков в окружности

    Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

    Свойства углов и отрезков в окружности

    Свойства углов и отрезков в окружности

    что и требовалось доказать

    Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

    Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.

    Свойства углов и отрезков в окружности

    Свойства углов и отрезков в окружности

    Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

    Свойства углов и отрезков в окружности

    Свойства углов и отрезков в окружности

    что и требовалось доказать.

    Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

    Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.

    Свойства углов и отрезков в окружности

    Свойства углов и отрезков в окружности

    Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство

    Видео:Вписанные углы в окружностиСкачать

    Вписанные углы в окружности

    Свойства окружностей. Прямые, отрезки и углы, связанные с окружностью. Взаимное расположение окружности и прямой, окружности и точки, двух окружностей. Свойства углов, связанных с окружностью. Метрические соотношения в окружности

    Видео:Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСССкачать

    Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСС

    Свойства окружностей. Прямые, отрезки и углы, связанные с окружностью. Взаимное расположение окружности и прямой, окружности и точки, двух окружностей. Свойства углов, связанных с окружностью. Метрические соотношения в окружности.

    Прямые, отрезки и углы, связанные с окружностью:

    Свойства углов и отрезков в окружностиЦентральный угол измеряется дугой, на которую он опирается. Если отнести длину этой дуги к радиусу окружности то получится радианная мера угла.

    Взаимное расположение окружности и прямой:

    Свойства углов и отрезков в окружности

    1. Окружность и прямая не имеют общих точек

    Свойства углов и отрезков в окружности

    2. Окружность и прямая имеют 2 общие точки (l — секущая)

    Свойства углов и отрезков в окружности

    3. Окружность и прямая имеют 1 общую точку (l — касательная)

    Взаимное расположение окружности и точки:

    Свойства углов и отрезков в окружности

    1. Точка лежит вне окружности (2 касательные через точку А)

    Свойства углов и отрезков в окружности

    2. Точка лежит внутри окружности (нет касательных через точку А)

    Свойства углов и отрезков в окружности

    3. Точка лежит на окружности (1 касательная через точку А)

    Взаимное расположение двух окружностей:

    Свойства углов и отрезков в окружности

    1. Одна окружность лежит внутри другой.

    Свойства углов и отрезков в окружности

    2. Одна окружность касается другой изнутри.

    Свойства углов и отрезков в окружности

    3. Окружности пересекаются.

    Свойства углов и отрезков в окружностиСвойства углов и отрезков в окружности

    4. Одна окружность касается другой снаружи или одна окружность лежит вне другой.

    Свойства углов, связанных с окружностью:

    Вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу:

    Свойства углов и отрезков в окружности

    Свойства углов и отрезков в окружностиВсе вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны:Свойства углов и отрезков в окружности
    Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, вершины которых лежат по одну сторону от этой хорды, равны:Свойства углов и отрезков в окружностиСвойства углов и отрезков в окружности
    Все вписанные углы, опирающиеся на диаметр, прямые:Свойства углов и отрезков в окружностиСвойства углов и отрезков в окружности
    Свойства углов и отрезков в окружностиУгол между касательной и секущей:Свойства углов и отрезков в окружностиСвойства углов и отрезков в окружности
    Свойства углов и отрезков в окружностиСвойства углов и отрезков в окружности
    Свойства углов и отрезков в окружностиСвойства углов и отрезков в окружности
    Свойства углов и отрезков в окружностиСвойства углов и отрезков в окружности
    Свойства углов и отрезков в окружности

    Консультации и техническая
    поддержка сайта: Zavarka Team

    🔥 Видео

    SOS-ГЕОМЕТРИЯ! Отрезки и углы, смежные и вертикальные углы | Математика TutorOnlineСкачать

    SOS-ГЕОМЕТРИЯ! Отрезки и углы, смежные и вертикальные углы | Математика TutorOnline

    Геометрия 7 класс (Урок№16 - Окружность. Задачи на построение.)Скачать

    Геометрия 7 класс (Урок№16 - Окружность. Задачи на построение.)

    Шаталов за одну минуту доказывает теорему, на которую традиционно выделяется 45 минут урока!Скачать

    Шаталов за одну минуту доказывает теорему, на которую традиционно выделяется 45 минут урока!

    Угол между хордой и касательнойСкачать

    Угол между хордой и касательной

    Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

    Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

    Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.Скачать

    Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.

    11 класс, 41 урок, Две теоремы об отрезках, связанных с окружностьюСкачать

    11 класс, 41 урок, Две теоремы об отрезках, связанных с окружностью

    ✓ Всё, что нужно знать про окружность | ЕГЭ. Задания 1 и 16. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать

    ✓ Всё, что нужно знать про окружность | ЕГЭ. Задания 1 и 16. Профильный уровень | Борис Трушин
    Поделиться или сохранить к себе: