Свойства треугольников со вписанной окружностью

Треугольник вписанный в окружность

Свойства треугольников со вписанной окружностью

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Определение

Треугольник, вписанный в окружность — это треугольник, который
находится внутри окружности и соприкасается с ней всеми тремя вершинами.

На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
треугольника
и окружность, вписанная в треугольник.

ВD = FC = AE — диаметры описанной около треугольника окружности.

O — центр вписанной в треугольник окружности.

Свойства треугольников со вписанной окружностью

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Формулы

Радиус вписанной окружности в треугольник

r — радиус вписанной окружности.

  1. Радиус вписанной окружности в треугольник,
    если известна площадь и все стороны:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны площадь и периметр:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны полупериметр и все стороны:

Радиус описанной окружности около треугольника

R — радиус описанной окружности.

  1. Радиус описанной окружности около треугольника,
    если известна одна из сторон и синус противолежащего стороне угла:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и площадь:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и полупериметр:

Площадь треугольника

S — площадь треугольника.

  1. Площадь треугольника вписанного в окружность,
    если известен полупериметр и радиус вписанной окружности:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен полупериметр:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен высота и основание:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известна сторона и два прилежащих к ней угла:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и синус угла между ними:

[ S = fracab cdot sin angle C ]

Периметр треугольника

P — периметр треугольника.

  1. Периметр треугольника вписанного в окружность,
    если известны все стороны:

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известна площадь и радиус вписанной окружности:

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и угол между ними:

Сторона треугольника

a — сторона треугольника.

  1. Сторона треугольника вписанного в окружность,
    если известны две стороны и косинус угла между ними:

Сторона треугольника вписанного в
окружность, если известна сторона и два угла:

Средняя линия треугольника

l — средняя линия треугольника.

  1. Средняя линия треугольника вписанного
    в окружность, если известно основание:

Средняя линия треугольника вписанного в окружность,
если известныдве стороны, ни одна из них не является
основанием, и косинус угламежду ними:

Высота треугольника

h — высота треугольника.

  1. Высота треугольника вписанного в окружность,
    если известна площадь и основание:

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен сторона и синус угла прилежащего
к этой стороне, и находящегося напротив высоты:

[ h = b cdot sin alpha ]

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен радиус описанной окружности и
две стороны, ни одна из которых не является основанием:

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Свойства

  • Центр вписанной в треугольник окружности
    находится на пересечении биссектрис.
  • В треугольник, вписанный в окружность,
    можно вписать окружность, причем только одну.
  • Для треугольника, вписанного в окружность,
    справедлива Теорема Синусов, Теорема Косинусов
    и Теорема Пифагора.
  • Центр описанной около треугольника окружности
    находится на пересечении серединных перпендикуляров.
  • Все вершины треугольника, вписанного
    в окружность, лежат на окружности.
  • Сумма всех углов треугольника — 180 градусов.
  • Площадь треугольника вокруг которого описана окружность, и
    треугольника, в который вписана окружность, можно найти по
    формуле Герона.

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Доказательство

Около любого треугольника, можно
описать окружность притом только одну.

Свойства треугольников со вписанной окружностью

окружность и треугольник,
которые изображены на рисунке 2.

окружность описана
около треугольника.

  1. Проведем серединные
    перпендикуляры — HO, FO, EO.
  2. O — точка пересечения серединных
    перпендикуляров равноудалена от
    всех вершин треугольника.
  3. Центр окружности — точка пересечения
    серединных перпендикуляров — около
    треугольника описана окружность — O,
    от центра окружности к вершинам можно
    провести равные отрезки — радиусы — OB, OA, OC.

окружность описана около треугольника,
что и требовалось доказать.

Подводя итог, можно сказать, что треугольник,
вписанный в окружность
— это треугольник,
в котором все серединные перпендикуляры
пересекаются в одной точке, и эта точка
равноудалена от всех вершин треугольника.

Видео:Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Свойства треугольников со вписанной окружностьюСуществование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Свойства треугольников со вписанной окружностьюФормулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Свойства треугольников со вписанной окружностьюВывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

Свойства треугольников со вписанной окружностью

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

Свойства треугольников со вписанной окружностью

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

Свойства треугольников со вписанной окружностью

что и требовалось доказать.

Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла.

Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

Свойства треугольников со вписанной окружностью

Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

что и требовалось доказать.

Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны.

Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

Свойства треугольников со вписанной окружностью

Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .

Свойства треугольников со вписанной окружностью

Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.

Свойства треугольников со вписанной окружностью

a, b, c – стороны треугольника,
S – площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

Свойства треугольников со вписанной окружностью.

Свойства треугольников со вписанной окружностью

Свойства треугольников со вписанной окружностью

Свойства треугольников со вписанной окружностью

a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Свойства треугольников со вписанной окружностью

ФигураРисунокФормулаОбозначения
Произвольный треугольникСвойства треугольников со вписанной окружностью
Равнобедренный треугольникСвойства треугольников со вписанной окружностью
Равносторонний треугольникСвойства треугольников со вписанной окружностью
Прямоугольный треугольникСвойства треугольников со вписанной окружностью

Свойства треугольников со вписанной окружностью

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Свойства треугольников со вписанной окружностью.

Свойства треугольников со вписанной окружностью

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Свойства треугольников со вписанной окружностью.

Свойства треугольников со вписанной окружностью

Свойства треугольников со вписанной окружностью

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Свойства треугольников со вписанной окружностью

Произвольный треугольник
Свойства треугольников со вписанной окружностью
Равнобедренный треугольник
Свойства треугольников со вписанной окружностью
Равносторонний треугольник
Свойства треугольников со вписанной окружностью
Прямоугольный треугольник
Свойства треугольников со вписанной окружностью
Произвольный треугольник
Свойства треугольников со вписанной окружностью

Свойства треугольников со вписанной окружностью

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Свойства треугольников со вписанной окружностью.

Свойства треугольников со вписанной окружностью

Свойства треугольников со вписанной окружностью

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Свойства треугольников со вписанной окружностью.

Равнобедренный треугольникСвойства треугольников со вписанной окружностью

Свойства треугольников со вписанной окружностью

Равносторонний треугольникСвойства треугольников со вписанной окружностью

Свойства треугольников со вписанной окружностью

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Прямоугольный треугольникСвойства треугольников со вписанной окружностью

Свойства треугольников со вписанной окружностью

Видео:Пара фактов про окружность | Ботай со мной #067 | Борис Трушин |Скачать

Пара фактов про окружность | Ботай со мной #067 | Борис Трушин |

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

Свойства треугольников со вписанной окружностью

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, Свойства треугольников со вписанной окружностью– полупериметр (рис. 6).

Свойства треугольников со вписанной окружностью

Свойства треугольников со вписанной окружностью

с помощью формулы Герона получаем:

Свойства треугольников со вписанной окружностью

Свойства треугольников со вписанной окружностью

Свойства треугольников со вписанной окружностью

что и требовалось.

Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

Свойства треугольников со вписанной окружностью

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

Свойства треугольников со вписанной окружностью

Свойства треугольников со вписанной окружностью

Свойства треугольников со вписанной окружностью

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

Свойства треугольников со вписанной окружностью

Свойства треугольников со вписанной окружностью

Свойства треугольников со вписанной окружностью

Свойства треугольников со вписанной окружностью

Свойства треугольников со вписанной окружностью

Свойства треугольников со вписанной окружностью

что и требовалось.

Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

Свойства треугольников со вписанной окружностью

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

Свойства треугольников со вписанной окружностью

Свойства треугольников со вписанной окружностью

то, в случае равностороннего треугольника, когда

Свойства треугольников со вписанной окружностью

Свойства треугольников со вписанной окружностью

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

Свойства треугольников со вписанной окружностью

Свойства треугольников со вписанной окружностью

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Свойства треугольников со вписанной окружностью

Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно,

В силу теоремы 3 справедливы равенства

Свойства треугольников со вписанной окружностью

Свойства треугольников со вписанной окружностью

Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

Свойства треугольников со вписанной окружностью

Свойства треугольников со вписанной окружностью

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

Видео:Это будет на ЕГЭ 2020 по математике. Вписанная и вневписанная окружности.Скачать

Это будет на ЕГЭ 2020 по математике. Вписанная и вневписанная окружности.

Свойства вписанной в треугольник окружности

В этой статье Вы сможете найти свойства вписанной в треугольник окружности, а также их доказательства.

Вписанная в треугольник окружность — это такая окружность, которая находится внутри треугольника и при этом касается всех его сторон (то есть все стороны треугольника являются касательными к окружности). Стоит отметить, что в этом случае сам треугольник является описанным вокруг данной окружности.

Свойства треугольников со вписанной окружностью

Видео:Окружность, вписанная в треугольникСкачать

Окружность, вписанная в треугольник

Свойства вписанной в треугольник окружности

  1. Центр вписанной в треугольник окружности (на рис. 1 – точка О) лежит на пересечении биссектрис треугольника (на рис.1 – АО, ВО и СО).
  2. В любой треугольник вписывается окружность и притом только одна.
  3. Радиус вписанной в треугольник окружности равен:

Свойства треугольников со вписанной окружностью

Где S – это площадь треугольника,
p — полупериметр треугольника,
a, b, c — стороны треугольника.

Видео:Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника, окружностьСкачать

Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника,  окружность

Доказательства свойств

Первое свойство

Доказать, что центр вписанной в треугольник окружности находится на пересечении биссектрис.

    Опустим из центра окружности перпендикуляры (OL, OK и OM) к каждой из сторон треугольника ABC (рис. 2). Также из каждого угла проведем прямую к центру окружности (OA, OC и OB).

Свойства треугольников со вписанной окружностью

  • Рассмотрим 2 треугольника AOM и AOK. Они являются прямоугольными, т.к. OM и OK – перпендикуляры к сторонам AC и AB. Гипотенуза OA является общей для обоих треугольников.
  • Поскольку касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания (свойство касательной к окружности), то катеты OМ и OК являются радиусами окружности и, следовательно, равны.
  • Из вышесказанного следует, что прямоугольные треугольники AOМ и AOК равны по гипотенузе и катету. Т.к. треугольники равны, то углы OAМ и OAК тоже равны, отсюда следует, что OA – биссектриса угла BAC.
  • Аналогичным образом доказывается, что OC – биссектриса угла ACB, а OB – биссектриса угла ABC.
  • То есть биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке и этой точкой является центр вписанной окружности.
  • Что и требовалось доказать.

    Второе свойство

    Доказать, что в любой треугольник можно вписать окружность и притом только одну.

    1. В треугольник можно вписать окружность только в том случае, если найдется точка равноудаленная от его сторон.
    2. Проведем 2 биссектрисы OA и OC. Опустим из точки их пресечения перпендикуляры (OK, OL и OM) ко всем трем сторонам треугольника ABC (рис. 3).

    Свойства треугольников со вписанной окружностью

  • Рассмотрим треугольники AOK и AOM.
  • У них общая гипотенуза AO. Углы OAK и OAM равны (т.к. OA – биссектриса угла KAM). Углы OKA и OMA прямые (т.е. тоже равны), т.к. OK и OM – перпендикуляры к сторонам AB и AC соответственно.
  • Поскольку 2 пары углов равны, то и 3-я пара (AOM и AOK) также является равной.
  • Из вышенаписанного следует, что треугольники AOK и AOM равны по стороне (AO) и 2-м прилежащим к ней углам (рис. 4).

    Свойства треугольников со вписанной окружностью

  • Отсюда следует, что стороны OM и OK равны, т.е. равноудалены от сторон треугольника AC и AB соответственно.
  • Аналогичным образом доказывается, что OM и OL равны, т.е. они равноудалены от сторон треугольника AC и BC соответственно.
  • Из вышенаписанного следует, что точка O равноудалена от сторон треугольника, т.е. является центром вписанной окружности.
  • Аналогичным образом можно найти точку внутри любого треугольника, которая будет равноудалена от его сторон, то есть будет центром вписанной в этот треугольник окружности.
  • Из вышенаписанного следует, что в любой треугольник можно вписать окружность.
  • Следует отметить, что центр данной окружности лежит на пересечении биссектрис треугольника.
  • Допустим, что в треугольник можно вписать две (или более) окружности.
  • Проведя 3 отрезка из вершин треугольника к центру этой окружности и, опустив перпендикуляры из этого центра к каждой из сторон треугольника, мы сможем доказать, что эта окружность лежит на пересечении биссектрис треугольника (см. доказательство первого свойства).
  • То есть центр этой окружности совпадает с центром первой окружности, уже вписанной в треугольник, а ее радиус равен перпендикуляру, опущенному на сторону треугольника (как и в первом случае). Это говорит о том, что данные окружности совпадают.
  • Аналогичным образом можно доказать, что любая новая вписанная окружность совпадает с первой, которую мы впишем.
  • То есть вписать в треугольник можно только одну окружность.
  • Что и требовалось доказать.

    Третье свойство

    Доказать, что радиус вписанной окружности r равен отношению площади треугольника S к полупериметру p.

    Свойства треугольников со вписанной окружностью

    А также равенство:

    Свойства треугольников со вписанной окружностью

    Свойства треугольников со вписанной окружностью

      Рассмотрим произвольный треугольник ABC со сторонами a, b и c (рис 5). Полупериметр данного треугольника p рассчитывается по формуле:

    Свойства треугольников со вписанной окружностью

    Центр нашей окружности (точка O на рис. 5) находиться на пересечении биссектрис треугольника. Отрезки OA, OB и OC, соединяющие O с вершинами треугольника АВС, делят треугольник на три: AOC, COB, BOA. Площадь треугольника ABC можно найти как сумму площадей этих трех треугольников.

    Свойства треугольников со вписанной окружностью

    Поскольку площадь любого треугольника равна половине произведения его основания на высоту, а высота треугольников AOC, COB, BOA равна радиусу окружности r, то площади треугольников AOC, COB и BOA можно найти как:

    Свойства треугольников со вписанной окружностью

    Выразим площадь S треугольника ABC через сумму площадей этих трех треугольников:

    Свойства треугольников со вписанной окружностью

    Заметив, что второй множитель – это полупериметр треугольника ABC, можно представить наше равенство в виде:

    Свойства треугольников со вписанной окружностью

    Свойства треугольников со вписанной окружностью

  • Итак, мы доказали, что радиус вписанной окружности равен отношению площади треугольника к полупериметру.
  • Вспомним формулу Герона, которая в нашем случае будет иметь вид:

    Свойства треугольников со вписанной окружностью

    Теперь радиус можно выразить как:

    Свойства треугольников со вписанной окружностью

    Что и требовалось доказать.

    Свойства треугольников со вписанной окружностью

    Понравилась статья, расскажите о ней друзьям:

    🎦 Видео

    Радиус описанной окружностиСкачать

    Радиус описанной окружности

    8 класс, 38 урок, Вписанная окружностьСкачать

    8 класс, 38 урок, Вписанная окружность

    Все о вписанных и описанных окружностях с нуля | PARTAСкачать

    Все о вписанных и описанных окружностях с нуля | PARTA

    ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

    ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ

    Тема 7. Вписанные и описанные окружности треугольникаСкачать

    Тема 7. Вписанные и описанные окружности треугольника

    Углы, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

    Углы, вписанные в окружность. 9 класс.

    ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэСкачать

    ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэ

    Геометрия 9 класс (Урок№21 - Правильный многоугольник. Описанная и вписанная окружность.)Скачать

    Геометрия 9 класс (Урок№21 - Правильный многоугольник. Описанная и вписанная окружность.)

    РАДИУС вписанной окружности #математика #огэ #огэматематика #данирСкачать

    РАДИУС вписанной окружности #математика #огэ #огэматематика #данир
  • Поделиться или сохранить к себе: