Свойства точек касания вписанной окружности в треугольник

Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Свойства точек касания вписанной окружности в треугольникСуществование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Свойства точек касания вписанной окружности в треугольникФормулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Свойства точек касания вписанной окружности в треугольникВывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

Свойства точек касания вписанной окружности в треугольник

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

Свойства точек касания вписанной окружности в треугольник

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

Свойства точек касания вписанной окружности в треугольник

что и требовалось доказать.

Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла.

Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

Свойства точек касания вписанной окружности в треугольник

Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

что и требовалось доказать.

Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны.

Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

Свойства точек касания вписанной окружности в треугольник

Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .

Свойства точек касания вписанной окружности в треугольник

Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Видео:№691. Точка касания окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит однуСкачать

№691. Точка касания окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит одну

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.

Свойства точек касания вписанной окружности в треугольник

a, b, c – стороны треугольника,
S – площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

Свойства точек касания вписанной окружности в треугольник.

Свойства точек касания вписанной окружности в треугольник

Свойства точек касания вписанной окружности в треугольник

Свойства точек касания вписанной окружности в треугольник

a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Свойства точек касания вписанной окружности в треугольник

ФигураРисунокФормулаОбозначения
Произвольный треугольникСвойства точек касания вписанной окружности в треугольник
Равнобедренный треугольникСвойства точек касания вписанной окружности в треугольник
Равносторонний треугольникСвойства точек касания вписанной окружности в треугольник
Прямоугольный треугольникСвойства точек касания вписанной окружности в треугольник

Свойства точек касания вписанной окружности в треугольник

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Свойства точек касания вписанной окружности в треугольник.

Свойства точек касания вписанной окружности в треугольник

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Свойства точек касания вписанной окружности в треугольник.

Свойства точек касания вписанной окружности в треугольник

Свойства точек касания вписанной окружности в треугольник

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Свойства точек касания вписанной окружности в треугольник

Произвольный треугольник
Свойства точек касания вписанной окружности в треугольник
Равнобедренный треугольник
Свойства точек касания вписанной окружности в треугольник
Равносторонний треугольник
Свойства точек касания вписанной окружности в треугольник
Прямоугольный треугольник
Свойства точек касания вписанной окружности в треугольник
Произвольный треугольник
Свойства точек касания вписанной окружности в треугольник

Свойства точек касания вписанной окружности в треугольник

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Свойства точек касания вписанной окружности в треугольник.

Свойства точек касания вписанной окружности в треугольник

Свойства точек касания вписанной окружности в треугольник

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Свойства точек касания вписанной окружности в треугольник.

Равнобедренный треугольникСвойства точек касания вписанной окружности в треугольник

Свойства точек касания вписанной окружности в треугольник

Равносторонний треугольникСвойства точек касания вписанной окружности в треугольник

Свойства точек касания вписанной окружности в треугольник

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Прямоугольный треугольникСвойства точек касания вписанной окружности в треугольник

Свойства точек касания вписанной окружности в треугольник

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

Свойства точек касания вписанной окружности в треугольник

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, Свойства точек касания вписанной окружности в треугольник– полупериметр (рис. 6).

Свойства точек касания вписанной окружности в треугольник

Свойства точек касания вписанной окружности в треугольник

с помощью формулы Герона получаем:

Свойства точек касания вписанной окружности в треугольник

Свойства точек касания вписанной окружности в треугольник

Свойства точек касания вписанной окружности в треугольник

что и требовалось.

Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

Свойства точек касания вписанной окружности в треугольник

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

Свойства точек касания вписанной окружности в треугольник

Свойства точек касания вписанной окружности в треугольник

Свойства точек касания вписанной окружности в треугольник

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

Свойства точек касания вписанной окружности в треугольник

Свойства точек касания вписанной окружности в треугольник

Свойства точек касания вписанной окружности в треугольник

Свойства точек касания вписанной окружности в треугольник

Свойства точек касания вписанной окружности в треугольник

Свойства точек касания вписанной окружности в треугольник

что и требовалось.

Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

Свойства точек касания вписанной окружности в треугольник

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

Свойства точек касания вписанной окружности в треугольник

Свойства точек касания вписанной окружности в треугольник

то, в случае равностороннего треугольника, когда

Свойства точек касания вписанной окружности в треугольник

Свойства точек касания вписанной окружности в треугольник

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

Свойства точек касания вписанной окружности в треугольник

Свойства точек касания вписанной окружности в треугольник

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Свойства точек касания вписанной окружности в треугольник

Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно,

В силу теоремы 3 справедливы равенства

Свойства точек касания вписанной окружности в треугольник

Свойства точек касания вписанной окружности в треугольник

Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

Свойства точек касания вписанной окружности в треугольник

Свойства точек касания вписанной окружности в треугольник

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

Видео:8 Расстояние от вершины треугольника до точек касания вписанной окружности со сторонамиСкачать

8 Расстояние от вершины треугольника до точек касания вписанной окружности со сторонами

Вписанная окружность

Свойства точек касания вписанной окружности в треугольник

Вписанная окружность — это окружность, которая вписана
в геометрическую фигуру и касается всех его сторон.

Окружность, точно можно вписать в такие геометрические фигуры, как:

  • Треугольник
  • Выпуклый, правильный многоугольник
  • Квадрат
  • Равнобедренная трапеция
  • Ромб

В четырехугольник, можно вписать окружность,
только при условии, что суммы длин
противоположных сторон равны.

Во все вышеперечисленные фигуры
окружность, может быть вписана, только один раз.

Окружность невозможно вписать в прямоугольник
и параллелограмм, так как окружность не будет
соприкасаться со всеми сторонам этих фигур.

Геометрические фигуры, в которые вписана окружность,
называются описанными около окружности.

Описанный треугольник — это треугольник, который описан
около окружности и все три его стороны соприкасаются с окружностью.

Описанный четырехугольник — это четырехугольник, который описан
около окружности и все четыре его стороны соприкасаются с окружностью.

Свойства вписанной окружности

В треугольник

  1. В любой треугольник может быть вписана окружность, причем только один раз.
  2. Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника.
  3. Вписанная окружность касается всех сторон треугольника.
  4. Площадь треугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

[ S = frac(a+b+c) cdot r = pr ]

p — полупериметр четырехугольника.
r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

  • Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от всех сторон.
  • Точка касания — это точка, в которой соприкасается
    окружность и любая из сторон треугольника.
  • От центра вписанной окружности можно провести
    перпендикуляры к любой точке касания.
  • Вписанная в треугольник окружность делит стороны
    треугольника на 3 пары равных отрезков.
  • Вписанная и описанная около треугольника окружность тесно взаимосвязаны.
    Поэтому, расстояние между центрами этих окружностей можно найти с помощью формулы Эйлера:

    с — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника.
    R — радиус описанной около треугольника.
    r — радиус вписанной окружности треугольника.

    В четырехугольник

    1. Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.
    2. Если у четырехугольника суммы длин его противолежащих
      сторон равны, то окружность, может быть, вписана (Теорема Пито).
    3. Центр вписанной окружности и середины двух
      диагоналей лежат на одной прямой (Теорема Ньютона, прямая Ньютона).
    4. Точка пересечения биссектрис — это центр вписанной окружности.
    5. Точка касания — это точка, в которой соприкасается
      окружность и любая из сторон четырехугольника.
    6. Площадь четырехугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

    [ S = frac(a+b+c+d)cdot r = pr ]

    p — полупериметр четырехугольника.
    r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

  • Точка касания вписанной окружности, которая лежит на любой из сторон,
    равноудалены от этой конца и начала этой стороны, то есть от его вершин.
  • Примеры вписанной окружности

    • Треугольник
      Свойства точек касания вписанной окружности в треугольник
    • Четырехугольник
      Свойства точек касания вписанной окружности в треугольник
    • Многоугольник
      Свойства точек касания вписанной окружности в треугольник

    Примеры описанного четырехугольника:
    равнобедренная трапеция, ромб, квадрат.

    Примеры описанного треугольника:
    равносторонний
    , равнобедренный,
    прямоугольный треугольники.

    Верные и неверные утверждения

    1. Радиус вписанной окружности в треугольник и радиус вписанной
      в четырехугольник вычисляется по одной и той же формуле. Верное утверждение.
    2. Любой параллелограмм можно вписать в окружность. Неверное утверждение.
    3. В любой четырехугольник можно вписать окружность. Неверное утверждение.
    4. В любой ромб можно вписать окружность. Верное утверждение.
    5. Центр вписанной окружности треугольника это точка пересечения биссектрис. Верное утверждение.
    6. Окружность вписанная в треугольник касается всех его сторон. Верное утверждение.
    7. Угол вписанный в окружность равен соответствующему центральному
      углу опирающемуся на ту же дугу. Неверное утверждение.
    8. Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник равен
      половине разности суммы катетов и гипотенузы. Верное утверждение.
    9. Вписанные углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности равны. Неверное утверждение.
    10. Вписанная окружность в треугольник имеет в общем
      три общие точки со всеми сторонами треугольника. Верное утверждение.

    Окружность вписанная в угол

    Окружность вписанная в угол — это окружность, которая
    лежит внутри этого угла и касается его сторон.

    Центр окружности, которая вписана в угол,
    расположен на биссектрисе этого угла.

    К центру окружности вписанной в угол, можно провести,
    в общей сложности два перпендикуляра со смежных сторон.

    Длина диаметра, радиуса, хорды, дуги вписанной окружности
    измеряется в км, м, см, мм и других единицах измерения.

    Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

    Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

    Please wait.

    Видео:Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

    Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

    We are checking your browser. mathvox.ru

    Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

    Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

    Why do I have to complete a CAPTCHA?

    Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.

    Видео:ЕГЭ Математика Задание 6#27935Скачать

    ЕГЭ Математика Задание 6#27935

    What can I do to prevent this in the future?

    If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.

    If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.

    Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.

    Cloudflare Ray ID: 6d467fe409ef5aaa • Your IP : 85.95.179.65 • Performance & security by Cloudflare

    🎦 Видео

    Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

    Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

    Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).Скачать

    Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).

    №17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математикеСкачать

    №17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математике

    8 класс, 38 урок, Вписанная окружностьСкачать

    8 класс, 38 урок, Вписанная окружность

    Отрезки касательных из одной точки до точек касания окружности равны | Окружность | ГеометрияСкачать

    Отрезки касательных из одной точки до точек касания окружности равны | Окружность |  Геометрия

    Описанная и вписанная окружности треугольника - 7 класс геометрияСкачать

    Описанная и вписанная окружности треугольника - 7 класс геометрия

    Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

    Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

    Математика за минуту: Объяснение формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.Скачать

    Математика за минуту: Объяснение формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.

    Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

    Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

    Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)Скачать

    Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)

    Пара фактов про окружность | Ботай со мной #067 | Борис Трушин |Скачать

    Пара фактов про окружность | Ботай со мной #067 | Борис Трушин |

    Формулы для радиуса окружности #shortsСкачать

    Формулы для радиуса окружности #shorts
    Поделиться или сохранить к себе: