Свойства прямоугольника вписанного в окружность радиуса

Свойства вписанного в круг прямоугольника

Геометрия периметр вписанного в круг прямоугольника.

Мы продолжаем находить свойства геометрических фигур с помощью перпендикулярных друг другу прямых. Мы уже нашли новое прочтение теоремы Пифагора,формулу площади треугольника
и площади круга.
Сегодня будем говорить о свойствах четырехугольника вписанного в круг.
Простейший вариант (Рис. 1) перпендикулярные прямые проходят через центр круга и прямоугольник это вписанный квадрат.
По теореме Пифагора нетрудно вычислить, что

СУММА СТОРОН КВАДРАТА РАВНА УДВОЕННОМУ КВАДРАТУ ДИАМЕТРА.
Далее ( Рис 2 ) . сумма квадратов сторон стремится к квадрату диаметра.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Прямоугольник. Онлайн калькулятор

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти сторону, периметр, диагональ прямоугольника, радиус описанной вокруг прямоугольника окружности и т.д.. Для нахождения незвестных элементов, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Определение 1. Прямоугольник − это параллелограмм, у которого все углы прямые (Рис.1).

Свойства прямоугольника вписанного в окружность радиуса

Можно дать и другое определение прямоугольника.

Определение 2. Прямоугольник − это четырехугольник, у которого все углы прямые.

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Свойства прямоугольника

Так как прямоугольник является параллелограммом, то все свойства параллелограмма верны и для прямоугольника.

  • 1. Стороны прямоугольника являются его высотами.
  • 2. Все углы прямоугольника прямые.
  • 3. Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его соседних двух сторон.
  • 4. Диагонали прямоугольника равны.
  • 5. Около любого прямоугольника можно описать окружность, при этом диаметр описанной окружности равна диагонали прямоугольника.

Длиной прямоугольника называется более длинная пара его сторон.

Шириной прямоугольника называется более короткая пара его сторон.

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Диагональ прямоугольника

Определение 3. Диагональ прямоугольника − это отрезок, соединяющий две несмежные вершины прямоугольника.

Свойства прямоугольника вписанного в окружность радиуса

На рисунке 2 изображен диагональ d, который является отрезком, соединяющим несмежные вершины A и C. Прямоугольник имеет две диагонали.

Для вычисления длины диагонали воспользуемся теоремой Пифагора:

Свойства прямоугольника вписанного в окружность радиуса
Свойства прямоугольника вписанного в окружность радиуса.(1)

Из равенства (1) найдем d:

Свойства прямоугольника вписанного в окружность радиуса.(2)

Пример 1. Стороны прямоугольника равны Свойства прямоугольника вписанного в окружность радиуса. Найти диагональ прямоугольника.

Решение. Для нахождения диаметра прямоугольника воспользуемся формулой (2). Подставляя Свойства прямоугольника вписанного в окружность радиусав (2), получим:

Свойства прямоугольника вписанного в окружность радиуса

Ответ: Свойства прямоугольника вписанного в окружность радиуса

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Окружность, описанная около прямоугольника

Определение 4. Окружность называется описанной около прямоугольника, если все вершины прямоугольника находятся на этой окружности (Рис.3):

Свойства прямоугольника вписанного в окружность радиуса

Видео:Задача 6 №27862 ЕГЭ по математике. Урок 105Скачать

Задача 6 №27862 ЕГЭ по математике. Урок 105

Формула радиуса окружности описанной около прямоугольника

Выведем формулу вычисления радиуса окружности, описанной около прямоугольника через стороны прямоугольника.

Нетрудно заметить, что радиус описанной около прямоугольника окружности равна половине диагонали (Рис.3). То есть

( small R=frac )(3)

Подставляя (3) в (2), получим:

( small R=frac<large sqrt> )(4)

Пример 2. Стороны прямоугольника равны Свойства прямоугольника вписанного в окружность радиуса. Найти радиус окружности, описанной вокруг прямоугольника.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника воспользуемся формулой (4). Подставляя Свойства прямоугольника вписанного в окружность радиусав (4), получим:

Свойства прямоугольника вписанного в окружность радиуса
Свойства прямоугольника вписанного в окружность радиуса

Ответ: Свойства прямоугольника вписанного в окружность радиуса

Видео:Углы, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Углы, вписанные в окружность. 9 класс.

Периметр прямоугольника

Определение 5. Периметр прямоугольника − это сумма всех его сторон. Обозначается периметр латинской буквой P.

Периметр прямоугольника вычисляется формулой:

Свойства прямоугольника вписанного в окружность радиуса(5)

где ( small a ) и ( small b ) − стороны прямоугольника.

Пример 3. Стороны прямоугольника равны Свойства прямоугольника вписанного в окружность радиуса. Найти периметр прямоугольника.

Решение. Для нахождения периметра прямоугольника воспользуемся формулой (5). Подставляя Свойства прямоугольника вписанного в окружность радиусав (5), получим:

Свойства прямоугольника вписанного в окружность радиуса

Ответ: Свойства прямоугольника вписанного в окружность радиуса

Видео:Радиус описанной окружностиСкачать

Радиус описанной окружности

Формулы сторон прямоугольника через его диагональ и периметр

Выведем формулу вычисления сторон прямоугольника, если известны диагональ ( small d ) и периметр ( small P ) прямоугольника. Заметим: чтобы прямоугольник существовал, должно удовлетворяться условие ( small frac P2>d ) (это следует из неравенства треугольника).

Чтобы найти стороны прямоугольника запишем формулу Пифагора и формулу периметра прямоугольника:

Свойства прямоугольника вписанного в окружность радиуса(6)
Свойства прямоугольника вписанного в окружность радиуса(7)

Из формулы (7) найдем ( small b ) и подставим в (6):

Свойства прямоугольника вписанного в окружность радиуса(8)
Свойства прямоугольника вписанного в окружность радиуса(9)

Упростив (4), получим квадратное уравнение относительно неизвестной ( small a ):

Свойства прямоугольника вписанного в окружность радиуса(10)

Вычислим дискриминант квадратного уравнения (10):

Свойства прямоугольника вписанного в окружность радиусаСвойства прямоугольника вписанного в окружность радиуса(11)

Сторона прямоугольника вычисляется из следующих формул:

Свойства прямоугольника вписанного в окружность радиуса(12)

После вычисления ( small a ), сторона ( small b ) вычисляется или из формулы (12), или из (8).

Примечание. Легко можно доказать, что

( frac

>d ; ⇒ ; P>2cdot d ; ⇒ ) ( small P^2>4 cdot d^2 ; ⇒ ; 4d^2-P^2 2d .) Следовательно выполняется неравенство (*).

Пример 4. Диагональ прямоугольника равна Свойства прямоугольника вписанного в окружность радиуса, а периметр равен Свойства прямоугольника вписанного в окружность радиуса. Найти стороны прямоугольника.

Решение. Для нахождения сторон прямоугольника воспользуемся формулами (11), (12) и (8). Найдем сначала дискриминант ( small D ) из формулы (11). Для этого подставим Свойства прямоугольника вписанного в окружность радиуса, Свойства прямоугольника вписанного в окружность радиусав (11):

Свойства прямоугольника вписанного в окружность радиуса

Подставляя значения Свойства прямоугольника вписанного в окружность радиусаи Свойства прямоугольника вписанного в окружность радиусав первую формулу (12), получим:

Свойства прямоугольника вписанного в окружность радиуса

Найдем другую сторону ( small b ) из формулы (8). Подставляя значения Свойства прямоугольника вписанного в окружность радиусаи Свойства прямоугольника вписанного в окружность радиусав формулу, получим:

Свойства прямоугольника вписанного в окружность радиуса

Ответ: Свойства прямоугольника вписанного в окружность радиуса, Свойства прямоугольника вписанного в окружность радиуса

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Признаки прямоугольника

Признак 1. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Признак 2. Если квадрат диагонали параллелограмма равен сумме квадратов его смежных сторон, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Признак 3. Если углы параллелограмма равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Видео:8 класс, 39 урок, Описанная окружностьСкачать

8 класс, 39 урок, Описанная окружность

Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы

В данной публикации мы рассмотрим определение, свойства и признаки одной из основных геометрических фигур – прямоугольника. Также приведем формулы, с помощью которых можно найти его площадь и периметр.

Видео:Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.

Определение прямоугольника

Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы равны 90° (т.е. являются прямыми).

Свойства прямоугольника вписанного в окружность радиуса

∠ABC = ∠BCD = ∠BAD = ADC = 90°

Прямоугольник состоит из:

  • длины – более длинная пара сторон. Обычно обозначаются латинской буквой, например, a;
  • ширины – более короткая пара сторон. Чаще всего обозначаются как b.

Сам прямоугольник обычно записывается путем перечисления его вершин, например, ABCD в нашем случае.

Примечание: Прямоугольник является разновидностью параллелограмма.

Видео:8 класс, 38 урок, Вписанная окружностьСкачать

8 класс, 38 урок, Вписанная окружность

Свойства прямоугольника

Свойство 1

Противоположные стороны прямоугольника попарно параллельны и равны.

Свойства прямоугольника вписанного в окружность радиуса

Свойство 2

Длина и ширина прямоугольника одновременно являются его высотами, т.к. они взаимно перпендикулярны.

Свойства прямоугольника вписанного в окружность радиуса

  • a– это высота h1, проведенная к стороне b
  • b– это высота h2, проведенная к стороне a

Свойство 3

Если соединить середины сторон прямоугольника, то получится ромб.

Свойства прямоугольника вписанного в окружность радиуса

Свойство 4

Квадрат диагонали (d) прямоугольника равняется сумме квадратов его смежных сторон.

d 2 = a 2 + b 2

Свойства прямоугольника вписанного в окружность радиуса

Это следует из теоремы Пифагора, которую можно применить к любому из прямоугольных треугольников, которые образуются в результате деления диагональю прямоугольника.

Свойство 5

Диагонали прямоугольника равны, и в точке пересечения делятся пополам.

Свойства прямоугольника вписанного в окружность радиуса

Свойство 6

Около любого прямоугольника можно описать окружность, радиус (R) которой равен половине диагонали этого прямоугольника.

Свойства прямоугольника вписанного в окружность радиуса

Следовательно, диаметр окружности равен полной длине диагонали прямоугольника.

Видео:Вписанный в окружность прямоугольный треугольник.Скачать

Вписанный в окружность прямоугольный треугольник.

Признаки прямоугольника

Параллелограмм является прямоугольником, если верно одно из следующих утверждений:

  • Его диагонали равны.
  • Все его углы равны.
  • Если квадрат диагонали равен сумме квадратов его смежных сторон.

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Формулы

1. Площадь прямоугольника (S):

2. Периметр прямоугольника (P):

🌟 Видео

3 правила для вписанного четырехугольника #shortsСкачать

3 правила для вписанного четырехугольника #shorts

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

Вся геометрия 7-9 класса в 5 задачах | Математика | TutorOnlineСкачать

Вся геометрия 7-9 класса в 5 задачах | Математика | TutorOnline

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.

9 класс, 24 урок, Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороныСкачать

9 класс, 24 урок, Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны

Пара фактов про окружность | Ботай со мной #067 | Борис Трушин |Скачать

Пара фактов про окружность | Ботай со мной #067 | Борис Трушин |

Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника, окружностьСкачать

Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника,  окружность
Поделиться или сохранить к себе: