Свойства касающихся окружностей 8 класс

Окружность

Окружностью называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, находящихся от данной точки на данном расстоянии. Данная точка называется центром окружности, а отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, — радиусом окружности.

Часть плоскости, ограниченная окружностью называется кругом.

Круговым сектором или просто сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Сегментом называется часть круга, ограниченная дугой и стягивающей ее хордой.

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Основные термины


Касательная

Прямая, имеющая с только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

Свойства касательной


  1. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Хорда

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.

Свойства хорд


  1. Диаметр (радиус), перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и обе стягиваемые ею дуги пополам. Верна и обратная теорема: если диаметр (радиус) делит пополам хорду, то он перпендикулярен этой хорде.

Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны.

Если две хорды окружности, AB и CD пересекаются в точке M , то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: AM•MB = CM•MD.

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Свойства окружности


  1. Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью одну общую точку ( касательная ); иметь с ней две общие точки ( секущая ).
  2. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.
  3. Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры.

Теорема о касательной и секущей

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть: MC 2 = MA•MB .

Теорема о секущих

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть. MA•MB = MC•MD.

Видео:8 класс, 32 урок, Касательная к окружностиСкачать

8 класс, 32 урок, Касательная к окружности

Углы в окружности

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре.

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным углом.

Любые две точки окружности делят ее на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. Мерой дуги может служить мера соответствующего ей центрального угла.

Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.

Свойства углов, связанных с окружностью


  1. Вписанный угол либо равен половине соответствующего ему центрального угла, либо дополняет половину этого угла до 180°.

Углы, вписанные в одну окружность и опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.

Угол, образованный касательной к окружности и секущей, проведенной через точку касания, равен половине дуги, заключенной между его сторонами.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Длины и площади


  1. Длина окружности C радиуса R вычисляется по формуле:

Площадь S круга радиуса R вычисляется по формуле:

Длина дуги окружности L радиуса R с центральным углом ,измеренным в радианах, вычисляется по формуле:

Площадь S сектора радиуса R с центральным углом в радиан вычисляется по формуле:

Видео:Интересное свойство касающихся окружностей с общей касательнойСкачать

Интересное свойство касающихся окружностей с общей касательной

Вписанные и описанные окружности


Окружность и треугольник


  • центр вписанной окружности — точка пересечения биссектристреугольника, ее радиус r вычисляется по формуле:

где S — площадь треугольника, а — полупериметр;

центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров, ее радиус R вычисляется по формуле:

здесь a, b, c — стороны треугольника, — угол, лежащий против стороны a , S — площадь треугольника;

  • центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы;
  • центр описанной и вписанной окружностей треугольника совпадают только в том случае, когда этот треугольник — правильный.
  • Окружность и четырехугольники


    • около выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его внутренних противоположных углов равна 180°:

    в четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у него равны суммы противоположных сторон:

    • около параллелограмма можно описать окружность тогда и только тогда, когда он является прямоугольником;
    • около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда эта трапеция — равнобедренная; центр окружности лежит на пересечении оси симметрии трапеции с серединным перпендикуляром к боковой стороне;
    • в параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом.

    Видео:Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и ОкружностьСкачать

    Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и Окружность

    Касательная к окружности

    Свойства касающихся окружностей 8 класс

    О чем эта статья:

    Видео:Урок по теме КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИСкачать

    Урок по теме КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИ

    Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разница

    В самом названии касательной отражается суть понятия — это прямая, которая не пересекает окружность, а лишь касается ее в одной точке. Взглянув на рисунок окружности ниже, несложно догадаться, что точку касания от центра отделяет расстояние, в точности равное радиусу.

    Свойства касающихся окружностей 8 класс

    Касательная к окружности — это прямая, имеющая с ней всего одну общую точку.

    Если мы проведем прямую поближе к центру окружности — так, чтобы расстояние до него было меньше радиуса — неизбежно получится две точки пересечения. Такая прямая называется секущей, а отрезок, расположенный между точками пересечения, будет хордой (на рисунке ниже это ВС ).

    Свойства касающихся окружностей 8 класс

    Секущая к окружности — это прямая, которая пересекает ее в двух местах, т. е. имеет с ней две общие точки. Часть секущей, расположенная внутри окружности, будет называться хордой.

    Видео:Пара касающихся окружностей | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин |Скачать

    Пара касающихся окружностей | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин |

    Свойства касательной к окружности

    Выделяют четыре свойства касательной, которые необходимо знать для решения задач. Два из них достаточно просты и легко доказуемы, а вот еще над двумя придется немного подумать. Рассмотрим все по порядку.

    Касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания, взаимно перпендикулярны.

    Не будем принимать это на веру, попробуем доказать. Итак, у нас даны:

    • окружность с центральной точкой А;
    • прямая а — касательная к ней;
    • радиус АВ, проведенный к касательной.

    Докажем, что касательная и радиус АВ взаимно перпендикулярны, т.е. аАВ.

    Пойдем от противного — предположим, что между прямой а и радиусом АВ нет прямого угла и проведем настоящий перпендикуляр к касательной, назвав его АС.

    В таком случае наш радиус АВ будет считаться наклонной, а наклонная, как известно, всегда длиннее перпендикуляра. Получается, что АВ > АС. Но если бы это было на самом деле так, наша прямая а пересекалась бы с окружностью два раза, ведь расстояние от центра А до нее — меньше радиуса. Но по условию задачи а — это касательная, а значит, она может иметь лишь одну точку касания.

    Итак, мы получили противоречие. Делаем вывод, что настоящим перпендикуляром к прямой а будет вовсе не АС, а АВ.

    Свойства касающихся окружностей 8 класс

    Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

    Задача

    У нас есть окружность, центр которой обозначен О. Из точки С проведена прямая, и она касается этой окружности в точке А. Известно, что ∠АСО = 28°. Найдите величину дуги АВ.

    Мы знаем, что касательная АС ⟂ АО, следовательно ∠САО = 90°.

    Поскольку нам известны величины двух углов треугольника ОАС, не составит труда найти величину и третьего угла.

    ∠АОС = 180° — ∠САО — ∠АСО = 180° — 90° — 28° = 62°

    Поскольку вершина угла АОС лежит в центре окружности, можно вспомнить свойство центрального угла — как известно, он равен дуге, на которую опирается. Следовательно, АВ = 62°.

    Свойства касающихся окружностей 8 класс

    Если провести две касательных к окружности из одной точки, лежащей вне этой окружности, то их отрезки от этой начальной точки до точки касания будут равны.

    Докажем и это свойство на примере. Итак, у нас есть окружность с центром А, давайте проведем к ней две касательные из точки D. Обозначим эти прямые как ВD и CD . А теперь выясним, на самом ли деле BD = CD.

    Для начала дополним наш рисунок, проведем еще одну прямую из точки D в центр окружности. Как видите, у нас получилось два треугольника: ABD и ACD . Поскольку мы уже знаем, что касательная и радиус к ней перпендикулярны, углы ABD и ACD должны быть равны 90°.

    Свойства касающихся окружностей 8 класс

    Итак, у нас есть два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой AD. Учитывая, что радиусы окружности всегда равны, мы понимаем, что катеты AB и AC у этих треугольников тоже одинаковой длины. Следовательно, ΔABD = ΔACD (по катету и гипотенузе).. Значит, оставшиеся катеты, а это как раз наши BD и CD (отрезки касательных к окружности), аналогично равны.

    Важно: прямая, проложенная из стартовой точки до центра окружности (в нашем примере это AD), делит угол между касательными пополам.

    Задача 1

    У нас есть окружность с радиусом 4,5 см. К ней из точки D, удаленной от центра на 9 см, провели две прямые, которые касаются окружности в точках B и C. Определите градусную меру угла, под которым пересекаются касательные.

    Решение

    Для этой задачи вполне подойдет уже рассмотренный выше рисунок окружности с радиусами АВ и АC. Поскольку касательная ВD перпендикулярна радиусу АВ , у нас есть прямоугольный треугольник АВD. Зная длину его катета и гипотенузы, определим величину ∠BDA.

    ∠BDA = 30° (по свойству прямоугольного треугольника: угол, лежащий напротив катета, равного половине гипотенузы, составляет 30°).

    Мы знаем, что прямая, проведенная из точки до центра окружности, делит угол между касательными, проведенными из этой же точки, пополам. Другими словами:

    ∠BDC = ∠BDA × 2 = 30° × 2 = 60°

    Итак, угол между касательными составляет 60°.

    Свойства касающихся окружностей 8 класс

    Задача 2

    К окружности с центром О провели две касательные КМ и КN. Известно, что ∠МКN равен 50°. Требуется определить величину угла ∠NМК.

    Решение

    Согласно вышеуказанному свойству мы знаем, что КМ = КN. Следовательно, треугольник МNК является равнобедренным.

    Углы при его основании будут равны, т.е. ∠МNК = ∠NМК.

    ∠МNК = (180° — ∠МКN) : 2 = (180° — 50°) : 2 = 65°

    Свойства касающихся окружностей 8 класс

    Соотношение между касательной и секущей: если они проведены к окружности из одной точки, лежащей вне окружности, то квадрат расстояния до точки касания равен произведению длины всей секущей на ее внешнюю часть.

    Данное свойство намного сложнее предыдущих, и его лучше записать в виде уравнения.

    Начертим окружность и проведем из точки А за ее пределами касательную и секущую. Точку касания обозначим В, а точки пересечения — С и D. Тогда CD будет хордой, а отрезок AC — внешней частью секущей.

    Свойства касающихся окружностей 8 класс

    Задача 1

    Из точки М к окружности проведены две прямые, пусть одна из них будет касательной МA, а вторая — секущей МB. Известно, что хорда ВС = 12 см, а длина всей секущей МB составляет 16 см. Найдите длину касательной к окружности МA.

    Решение

    Исходя из соотношения касательной и секущей МА 2 = МВ × МС.

    Найдем длину внешней части секущей:

    МС = МВ — ВС = 16 — 12 = 4 (см)

    МА 2 = МВ × МС = 16 х 4 = 64

    Свойства касающихся окружностей 8 класс

    Задача 2

    Дана окружность с радиусом 6 см. Из некой точки М к ней проведены две прямые — касательная МA и секущая МB . Известно, что прямая МB пересекает центр окружности O. При этом МB в 2 раза длиннее касательной МA . Требуется определить длину отрезка МO.

    Решение

    Допустим, что МО = у, а радиус окружности обозначим как R.

    В таком случае МВ = у + R, а МС = у – R.

    Поскольку МВ = 2 МА, значит:

    МА = МВ : 2 = (у + R) : 2

    Согласно теореме о касательной и секущей, МА 2 = МВ × МС.

    (у + R) 2 : 4 = (у + R) × (у — R)

    Сократим уравнение на (у + R), так как эта величина не равна нулю, и получим:

    Поскольку R = 6, у = 5R : 3 = 30 : 3 = 10 (см).

    Свойства касающихся окружностей 8 класс

    Ответ: MO = 10 см.

    Угол между хордой и касательной, проходящей через конец хорды, равен половине дуги, расположенной между ними.

    Это свойство тоже стоит проиллюстрировать на примере: допустим, у нас есть касательная к окружности, точка касания В и проведенная из нее хорда . Отметим на касательной прямой точку C, чтобы получился угол AВC.

    Свойства касающихся окружностей 8 класс

    Задача 1

    Угол АВС между хордой АВ и касательной ВС составляет 32°. Найдите градусную величину дуги между касательной и хордой.

    Решение

    Согласно свойствам угла между касательной и хордой, ∠АВС = ½ АВ.

    АВ = ∠АВС × 2 = 32° × 2 = 64°

    Свойства касающихся окружностей 8 класс

    Задача 2

    У нас есть окружность с центром О, к которой идет прямая, касаясь окружности в точке K. Из этой точки проводим хорду KM, и она образует с касательной угол MKB, равный 84°. Давайте найдем величину угла ОMK.

    Решение

    Поскольку ∠МКВ равен половине дуги между KM и КВ, следовательно:

    КМ = 2 ∠МКВ = 2 х 84° = 168°

    Обратите внимание, что ОМ и ОK по сути являются радиусами, а значит, ОМ = ОК. Из этого следует, что треугольник ОMK равнобедренный.

    ∠ОКМ = ∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2

    Так как центральный угол окружности равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то:

    ∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2 = (180° — 168°) : 2 = 6°

    Видео:Касающиеся окружности.Скачать

    Касающиеся окружности.

    Окружность. Основные теоремы

    Определения

    Центральный угол – это угол, вершина которого лежит в центре окружности.

    Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности.

    Градусная мера дуги окружности – это градусная мера центрального угла, который на неё опирается.

    Теорема

    Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

    Доказательство

    Доказательство проведём в два этапа: сначала докажем справедливость утверждения для случая, когда одна из сторон вписанного угла содержит диаметр. Пусть точка (B) – вершина вписанного угла (ABC) и (BC) – диаметр окружности:

    Свойства касающихся окружностей 8 класс

    Треугольник (AOB) – равнобедренный, (AO = OB) , (angle AOC) – внешний, тогда (angle AOC = angle OAB + angle ABO = 2angle ABC) , откуда (angle ABC = 0,5cdotangle AOC = 0,5cdotbuildrelsmileover) .

    Теперь рассмотрим произвольный вписанный угол (ABC) . Проведём диаметр окружности (BD) из вершины вписанного угла. Возможны два случая:

    1) диаметр разрезал угол на два угла (angle ABD, angle CBD) (для каждого из которых теорема верна по доказанному выше, следовательно верна и для исходного угла, который является суммой этих двух и значит равен полусумме дуг, на которые они опираются, то есть равен половине дуги, на которую он опирается). Рис. 1.

    2) диаметр не разрезал угол на два угла, тогда у нас появляется ещё два новых вписанных угла (angle ABD, angle CBD) , у которых сторона содержит диаметр, следовательно, для них теорема верна, тогда верна и для исходного угла (который равен разности этих двух углов, значит, равен полуразности дуг, на которые они опираются, то есть равен половине дуги, на которую он опирается). Рис. 2.

    Свойства касающихся окружностей 8 класс

    Следствия

    1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

    2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, прямой.

    3. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

    Определения

    Существует три типа взаимного расположения прямой и окружности:

    1) прямая (a) пересекает окружность в двух точках. Такая прямая называется секущей. В этом случае расстояние (d) от центра окружности до прямой меньше радиуса (R) окружности (рис. 3).

    2) прямая (b) пересекает окружность в одной точке. Такая прямая называется касательной, а их общая точка (B) – точкой касания. В этом случае (d=R) (рис. 4).

    3) прямая (c) не имеет общих точек с окружностью (рис. 5).

    Свойства касающихся окружностей 8 класс

    Теорема

    1. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

    2. Если прямая проходит через конец радиуса окружности и перпендикулярна этому радиусу, то она является касательной к окружности.

    Следствие

    Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны.

    Доказательство

    Проведем к окружности из точки (K) две касательные (KA) и (KB) :

    Свойства касающихся окружностей 8 класс

    Значит, (OAperp KA, OBperp KB) как радиусы. Прямоугольные треугольники (triangle KAO) и (triangle KBO) равны по катету и гипотенузе, следовательно, (KA=KB) .

    Следствие

    Центр окружности (O) лежит на биссектрисе угла (AKB) , образованного двумя касательными, проведенными из одной точки (K) .

    Теорема об угле между секущими

    Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки, равен полуразности градусных мер большей и меньшей высекаемых ими дуг.

    Доказательство

    Пусть (M) – точка, из которой проведены две секущие как показано на рисунке:

    Свойства касающихся окружностей 8 класс

    Покажем, что (angle DMB = dfrac(buildrelsmileover — buildrelsmileover)) .

    (angle DAB) – внешний угол треугольника (MAD) , тогда (angle DAB = angle DMB + angle MDA) , откуда (angle DMB = angle DAB — angle MDA) , но углы (angle DAB) и (angle MDA) – вписанные, тогда (angle DMB = angle DAB — angle MDA = fracbuildrelsmileover — fracbuildrelsmileover = frac(buildrelsmileover — buildrelsmileover)) , что и требовалось доказать.

    Теорема об угле между пересекающимися хордами

    Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме градусных мер высекаемых ими дуг: [angle CMD=dfrac12left(buildrelsmileover+buildrelsmileoverright)]

    Доказательство

    (angle BMA = angle CMD) как вертикальные.

    Свойства касающихся окружностей 8 класс

    Из треугольника (AMD) : (angle AMD = 180^circ — angle BDA — angle CAD = 180^circ — frac12buildrelsmileover — frac12buildrelsmileover) .

    Но (angle AMD = 180^circ — angle CMD) , откуда заключаем, что [angle CMD = frac12cdotbuildrelsmileover + frac12cdotbuildrelsmileover = frac12(buildrelsmileover + buildrelsmileover).]

    Теорема об угле между хордой и касательной

    Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равен половине градусной меры дуги, стягиваемой хордой.

    Доказательство

    Пусть прямая (a) касается окружности в точке (A) , (AB) – хорда этой окружности, (O) – её центр. Пусть прямая, содержащая (OB) , пересекает (a) в точке (M) . Докажем, что (angle BAM = frac12cdot buildrelsmileover) .

    Свойства касающихся окружностей 8 класс

    Обозначим (angle OAB = alpha) . Так как (OA) и (OB) – радиусы, то (OA = OB) и (angle OBA = angle OAB = alpha) . Таким образом, (buildrelsmileover = angle AOB = 180^circ — 2alpha = 2(90^circ — alpha)) .

    Так как (OA) – радиус, проведённый в точку касания, то (OAperp a) , то есть (angle OAM = 90^circ) , следовательно, (angle BAM = 90^circ — angle OAB = 90^circ — alpha = frac12cdotbuildrelsmileover) .

    Теорема о дугах, стягиваемых равными хордами

    Равные хорды стягивают равные дуги, меньшие полуокружности.

    И наоборот: равные дуги стягиваются равными хордами.

    Доказательство

    1) Пусть (AB=CD) . Докажем, что меньшие полуокружности дуги (buildrelsmileover=buildrelsmileover) .

    Свойства касающихся окружностей 8 класс

    (triangle AOB=triangle COD) по трем сторонам, следовательно, (angle AOB=angle COD) . Но т.к. (angle AOB, angle COD) — центральные углы, опирающиеся на дуги (buildrelsmileover, buildrelsmileover) соответственно, то (buildrelsmileover=buildrelsmileover) .

    2) Если (buildrelsmileover=buildrelsmileover) , то (triangle AOB=triangle COD) по двум сторонам (AO=BO=CO=DO) и углу между ними (angle AOB=angle COD) . Следовательно, и (AB=CD) .

    Теорема

    Если радиус делит хорду пополам, то он ей перпендикулярен.

    Верно и обратное: если радиус перпендикулярен хорде, то точкой пересечения он делит ее пополам.

    Свойства касающихся окружностей 8 класс

    Доказательство

    1) Пусть (AN=NB) . Докажем, что (OQperp AB) .

    Рассмотрим (triangle AOB) : он равнобедренный, т.к. (OA=OB) – радиусы окружности. Т.к. (ON) – медиана, проведенная к основанию, то она также является и высотой, следовательно, (ONperp AB) .

    2) Пусть (OQperp AB) . Докажем, что (AN=NB) .

    Аналогично (triangle AOB) – равнобедренный, (ON) – высота, следовательно, (ON) – медиана. Следовательно, (AN=NB) .

    Теорема о произведении отрезков хорд

    Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

    Доказательство

    Пусть хорды (AB) и (CD) пересекаются в точке (E) .

    Свойства касающихся окружностей 8 класс

    Рассмотрим треугольники (ADE) и (CBE) . В этих треугольниках углы (1) и (2) равны, так как они вписанные и опираются на одну и ту же дугу (BD) , а углы (3) и (4) равны как вертикальные. Треугольники (ADE) и (CBE) подобны (по первому признаку подобия треугольников).

    Тогда (dfrac = dfrac) , откуда (AEcdot BE = CEcdot DE) .

    Теорема о касательной и секущей

    Квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.

    Доказательство

    Пусть касательная проходит через точку (M) и касается окружности в точке (A) . Пусть секущая проходит через точку (M) и пересекает окружность в точках (B) и (C) так что (MB . Покажем, что (MBcdot MC = MA^2) .

    Свойства касающихся окружностей 8 класс

    Рассмотрим треугольники (MBA) и (MCA) : (angle M) – общий, (angle BCA = 0,5cdotbuildrelsmileover) . По теореме об угле между касательной и секущей, (angle BAM = 0,5cdotbuildrelsmileover = angle BCA) . Таким образом, треугольники (MBA) и (MCA) подобны по двум углам.

    Из подобия треугольников (MBA) и (MCA) имеем: (dfrac = dfrac) , что равносильно (MBcdot MC = MA^2) .

    Следствие

    Произведение секущей, проведённой из точки (O) , на её внешнюю часть не зависит от выбора секущей, проведённой из точки (O) :

    📺 Видео

    КАСАЮЩИЕСЯ ОКРУЖНОСТИСкачать

    КАСАЮЩИЕСЯ ОКРУЖНОСТИ

    Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

    Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

    Геометрия 8 класс за 1 час | Математика | УмскулСкачать

    Геометрия 8 класс за 1 час | Математика | Умскул

    Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

    Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия

    Доказательство того, что радиус перпендикулярен касательной | Окружность | ГеометрияСкачать

    Доказательство того, что радиус перпендикулярен касательной | Окружность |  Геометрия

    Геометрия 8 класс : Касательная к окружностиСкачать

    Геометрия 8 класс : Касательная к окружности

    8 класс, 38 урок, Вписанная окружностьСкачать

    8 класс, 38 урок, Вписанная окружность

    Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

    Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

    Отрезки касательных из одной точки до точек касания окружности равны | Окружность | ГеометрияСкачать

    Отрезки касательных из одной точки до точек касания окружности равны | Окружность |  Геометрия

    Касательная к окружности и её свойстваСкачать

    Касательная к окружности и её свойства

    КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИ в точке ЗАДАЧИ 8 классСкачать

    КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИ в точке ЗАДАЧИ 8 класс
    Поделиться или сохранить к себе: