Сумма синусов углов треугольника

Сумма и разность синусов и косинусов: вывод формул, примеры

Формулы суммы и разности синусов и косинусов для двух углов α и β позволяют перейти от суммы указанных углов к произведению углов α + β 2 и α — β 2 . Сразу отметим, что не стоит путать формулы суммы и разности синусов и косинусов с формулами синусов и косинусов суммы и разности. Ниже мы перечислим эти формулы, приведем их вывод и покажем примеры применения для конкретных задач.

Видео:Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать

Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | Математика

Формулы суммы и разности синусов и косинусов

Запишем, как выглядят формулы суммы и разности для синусов и для косинусов

Формулы суммы и разности для синусов

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α — β 2 sin α — sin β = 2 sin α — β 2 cos α + β 2

cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α — β 2 cos α — cos β = — 2 sin α + β 2 cos α — β 2 , cos α — cos β = 2 sin α + β 2 · β — α 2

Данные формулы справедливы для любых углов α и β . Углы α + β 2 и α — β 2 называются соответственно полусуммой и полуразностью углов альфа и бета. Дадим формулировку для каждой формулы.

Определения формул сумм и разности синусов и косинусов

Сумма синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на косинус полуразности.

Разность синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полуразности этих углов на косинус полусуммы.

Сумма косинусов двух углов равна удвоенному произведению косинуса полусуммы и косинуса полуразности этих углов.

Разность косинусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы на косинус полуразности этих углов, взятому с отрицательным знаком.

Видео:ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать

ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | Математика

Вывод формул суммы и разности синусов и косинусов

Для вывода формул суммы и разности синуса и косинуса двух углов используются формулы сложения. Приведем их ниже

sin ( α + β ) = sin α · cos β + cos α · sin β sin ( α — β ) = sin α · cos β — cos α · sin β cos ( α + β ) = cos α · cos β — sin α · sin β cos ( α — β ) = cos α · cos β + sin α · sin β

Также представим сами углы в виде суммы полусумм и полуразностей.

α = α + β 2 + α — β 2 = α 2 + β 2 + α 2 — β 2 β = α + β 2 — α — β 2 = α 2 + β 2 — α 2 + β 2

Переходим непосредственно к выводу формул суммы и разности для sin и cos.

Вывод формулы суммы синусов

В сумме sin α + sin β заменим α и β на выражения для этих углов, приведенные выше. Получим

sin α + sin β = sin α + β 2 + α — β 2 + sin α + β 2 — α — β 2

Теперь к первому выражению применяем формулу сложения, а ко второму — формулу синуса разностей углов (см. формулы выше)

sin α + β 2 + α — β 2 = sin α + β 2 cos α — β 2 + cos α + β 2 sin α — β 2 sin α + β 2 — α — β 2 = sin α + β 2 cos α — β 2 — cos α + β 2 sin α — β 2 sin α + β 2 + α — β 2 + sin α + β 2 — α — β 2 = sin α + β 2 cos α — β 2 + cos α + β 2 sin α — β 2 + sin α + β 2 cos α — β 2 — cos α + β 2 sin α — β 2 Раскроем скобки, приведем подобные слагаемые и получим искомую формулу

sin α + β 2 cos α — β 2 + cos α + β 2 sin α — β 2 + sin α + β 2 cos α — β 2 — cos α + β 2 sin α — β 2 = = 2 sin α + β 2 cos α — β 2

Действия по выводу остальных формул аналогичны.

Вывод формулы разности синусов

sin α — sin β = sin α + β 2 + α — β 2 — sin α + β 2 — α — β 2 sin α + β 2 + α — β 2 — sin α + β 2 — α — β 2 = sin α + β 2 cos α — β 2 + cos α + β 2 sin α — β 2 — sin α + β 2 cos α — β 2 — cos α + β 2 sin α — β 2 = = 2 sin α — β 2 cos α + β 2

Вывод формулы суммы косинусов

Вывод формулы разности косинусов

cos α — cos β = cos α + β 2 + α — β 2 — cos α + β 2 — α — β 2 cos α + β 2 + α — β 2 — cos α + β 2 — α — β 2 = cos α + β 2 cos α — β 2 — sin α + β 2 sin α — β 2 — cos α + β 2 cos α — β 2 + sin α + β 2 sin α — β 2 = = — 2 sin α + β 2 sin α — β 2

Видео:7 класс, 31 урок, Теорема о сумме углов треугольникаСкачать

7 класс, 31 урок, Теорема о сумме углов треугольника

Примеры решения практических задач

Для начала, сделаем проверку одной из формул, подставив в нее конкретные значения углов. Пусть α = π 2 , β = π 6 . Вычислим значение суммы синусов этих углов. Сначала воспользуемся таблицей основных значений тригонометрических функций, а затем применим формулу для суммы синусов.

Пример 1. Проверка формулы суммы синусов двух углов

α = π 2 , β = π 6 sin π 2 + sin π 6 = 1 + 1 2 = 3 2 sin π 2 + sin π 6 = 2 sin π 2 + π 6 2 cos π 2 — π 6 2 = 2 sin π 3 cos π 6 = 2 · 3 2 · 3 2 = 3 2

Рассмотрим теперь случай, когда значения углов отличаются от основных значений, представленных в таблице. Пусть α = 165 ° , β = 75 ° . Вычислим значение разности синусов этих углов.

Пример 2. Применение формулы разности синусов

α = 165 ° , β = 75 ° sin α — sin β = sin 165 ° — sin 75 ° sin 165 — sin 75 = 2 · sin 165 ° — 75 ° 2 cos 165 ° + 75 ° 2 = = 2 · sin 45 ° · cos 120 ° = 2 · 2 2 · — 1 2 = 2 2

С помощью формул суммы и разности синусов и косинусов можно перейти от суммы или разности к произведению тригонометрических функций. Часто эти формулы называют формулами перехода от суммы к произведению. Формулы суммы и разности синусов и косинусов широко используются при решении тригонометрических уравнений и при преобразовании тригонометрических выражений.

Видео:Соотношения между сторонами и углами треугольника. 7 класс.Скачать

Соотношения между сторонами и углами треугольника. 7 класс.

Теорема синусов

Сумма синусов углов треугольника

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТСкачать

Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТ

Доказательство теоремы синусов

Теорема синусов звучит так: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Нарисуем стандартный треугольник и запишем теорему формулой:

Сумма синусов углов треугольника

Формула теоремы синусов:

Сумма синусов углов треугольника

Докажем теорему с помощью формулы площади треугольника через синус его угла.

Сумма синусов углов треугольника

Из этой формулы мы получаем два соотношения:


    Сумма синусов углов треугольника

Сумма синусов углов треугольника
На b сокращаем, синусы переносим в знаменатели:
Сумма синусов углов треугольника

  • Сумма синусов углов треугольника
    bc sinα = ca sinβ
    Сумма синусов углов треугольника
  • Из этих двух соотношений получаем:

    Сумма синусов углов треугольника

    Теорема синусов для треугольника доказана.

    Эта теорема пригодится, чтобы найти:

    • Стороны треугольника, если даны два угла и одна сторона.
    • Углы треугольника, если даны две стороны и один прилежащий угол.

    Видео:сумма КОСИНУСОВ разность КОСИНУСОВ сумма СИНУСОВ разность СИНУСОВСкачать

    сумма КОСИНУСОВ разность КОСИНУСОВ сумма СИНУСОВ разность СИНУСОВ

    Доказательство следствия из теоремы синусов

    У теоремы синусов есть важное следствие. Нарисуем треугольник, опишем вокруг него окружность и рассмотрим следствие через радиус.

    Сумма синусов углов треугольника

    Сумма синусов углов треугольника

    где R — радиус описанной около треугольника окружности.

    Так образовались три формулы радиуса описанной окружности:

    Сумма синусов углов треугольника

    Основной смысл следствия из теоремы синусов заключен в этой формуле:

    Сумма синусов углов треугольника

    Радиус описанной окружности не зависит от углов α, β, γ. Удвоенный радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к синусу противолежащего угла.

    Для доказательства следствия теоремы синусов рассмотрим три случая.

    1. Угол ∠А = α — острый в треугольнике АВС.

    Сумма синусов углов треугольника

    Проведем диаметр BA1. В этом случае точка А и точка А1 лежат в одной полуплоскости от прямой ВС.

    Используем теорему о вписанном угле и видим, что ∠А = ∠А1 = α. Треугольник BA1C — прямоугольный, в нём ∠ BCA1 = 90°, так как он опирается на диаметр BA1.

    Чтобы найти катет a в треугольнике BA1C, нужно умножить гипотенузу BA1 на синус противолежащего угла.

    BA1 = 2R, где R — радиус окружности

    Следовательно: R = α/2 sinα

    Для острого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    2. Угол ∠А = α — тупой в треугольнике АВС.

    Проведем диаметр окружности BA1. Точки А и A1 по разные стороны от прямой ВС. Четырёхугольник ACA1B вписан в окружность, и его основное свойство в том, что сумма противолежащих углов равна 180°.

    Следовательно, ∠А1 = 180° — α.

    Сумма синусов углов треугольника

    Вспомним свойство вписанного в окружность четырёхугольника:

    Сумма синусов углов треугольника

    Также известно, что sin(180° — α) = sinα.

    В треугольнике BCA1 угол при вершине С равен 90°, потому что он опирается на диаметр. Следовательно, катет а мы находим таким образом:

    α = 2R sin (180° — α) = 2R sinα

    Следовательно: R = α/2 sinα

    Для тупого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    Часто используемые тупые углы:

    • sin120° = sin(180° — 60°) = sin60° = 3/√2;
    • sin150° = sin(180° — 30°) = sin30° = 1/2;
    • sin135° = sin(180° — 45°) = sin45° = 2/√2.

    3. Угол ∠А = 90°.

    Сумма синусов углов треугольника

    В прямоугольнике АВС угол А прямой, а противоположная сторона BC = α = 2R, где R — это радиус описанной окружности.

    Сумма синусов углов треугольника

    Для прямоугольного треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.

    Видео:Сумма углов треугольникаСкачать

    Сумма углов треугольника

    Теорема о вписанном в окружность угле

    Из теоремы синусов и ее следствия можно сделать любопытный вывод: если известна одна сторона треугольника и синус противолежащего угла — можно найти и радиус описанной окружности. Но треугольник не задаётся только этими величинами. Это значит, что если треугольник еще не задан, найти радиус описанной окружности возможно.

    Раскроем эту тему на примере теоремы о вписанном в окружность угле и следствиях из нее.

    Теорема о вписанном угле: вписанный в окружность угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

    Сумма синусов углов треугольника

    ∠А = α опирается на дугу ВС. Дуга ВС содержит столько же градусов, сколько ее центральный угол ∠BOC.

    Формула теоремы о вписанном угле:

    Сумма синусов углов треугольника

    Следствие 1 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

    Сумма синусов углов треугольника

    ∠А = ∠BAC опирается на дугу ВС. Поэтому ∠A = 1/2(∠COB).

    Если мы возьмём точки A1, А2. Аn и проведём от них лучи, которые опираются на одну и ту же дугу, то получим:

    Сумма синусов углов треугольника

    На рисунке изображено множество треугольников, у которых есть общая сторона СВ и одинаковый противолежащий угол. Треугольники являются подобными, и их объединяет одинаковый радиус описанной окружности.

    Следствие 2 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Вписанные углы, которые опираются на диаметр, равны 90°, то есть прямые.

    Сумма синусов углов треугольника

    ВС — диаметр описанной окружности, следовательно ∠COB = 180°.

    Сумма синусов углов треугольника

    Следствие 3 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 180°. Это значит, что:

    Сумма синусов углов треугольника

    Угол ∠А = α опирается на дугу DCB. Поэтому DCB = 2α по теореме о вписанном угле.

    Угол ∠С = γ опирается на дугу DAB. Поэтому DAB = 2γ.

    Но так как 2α и 2γ — это вся окружность, то 2α + 2γ = 360°.

    Следовательно: α + γ = 180°.

    Поэтому: ∠A + ∠C = 180°.

    Следствие 4 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Синусы противоположных углов вписанного четырехугольника равны. То есть:

    sinγ = sin(180° — α)

    Так как sin(180° — α) = sinα, то sinγ = sin(180° — α) = sinα

    Видео:Геометрия 7 класс (Урок№23 - Сумма углов треугольника.)Скачать

    Геометрия 7 класс (Урок№23 - Сумма углов треугольника.)

    Примеры решения задач

    Теорема синусов и следствия из неё активно используются при решении задач. Рассмотрим несколько примеров, чтобы закрепить материал.

    Пример 1. В треугольнике ABC ∠A = 45°,∠C = 15°, BC = 4√6. Найти AC.

      Согласно теореме о сумме углов треугольника:

    ∠B = 180° — 45° — 15° = 120°

  • Сторону AC найдем по теореме синусов:
    Сумма синусов углов треугольника
  • Пример 2. Гипотенуза и один из катетов прямоугольного треугольника равны 10 и 8 см. Найти угол, который расположен напротив данного катета.

    В этой статье мы узнали, что в прямоугольном треугольнике напротив гипотенузы располагается угол, равный 90°. Примем неизвестный угол за x. Тогда соотношение сторон выглядит так:

    Сумма синусов углов треугольника

    Сумма синусов углов треугольника

    Значит x = sin (4/5) ≈ 53,1°.

    Ответ: угол составляет примерно 53,1°.

    Видео:СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА. §16 геометрия 7 классСкачать

    СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА. §16 геометрия 7 класс

    Запоминаем

    Обычная теорема: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

    >
    Сумма синусов углов треугольника

    Расширенная теорема: в произвольном треугольнике справедливо следующее соотношение:

    Видео:Геометрия за 6 минут — Сумма углов треугольника и Внешний УголСкачать

    Геометрия за 6 минут — Сумма углов треугольника и Внешний Угол

    Сумма и разность синусов и косинусов

    Время чтения: 16 минут

    Тригонометрия — это техническая часть математики, в которой представлены особенности взаимосвязи между сторонами и углами треугольников.

    Тригонометрические функции, является очень важной составляющей не только математики, но других технических наук.

    Применяя основные формулы и законы тригонометрии при вычислении задач. Огромное значение имеют таблицы значений данных функций. Они существенно упрощают решение задач различной сложности.

    В математике применяются основные определения, связанные с тригонометрией. А именно:

    • синус — соотношение стороны противолежащего катета к стороне гипотенузы, (sin);
    • косинус — это прилежащая сторона катет к гипотенузе, обозначается как (cos);

    Стоит выделить главные тригонометрические тождества, существующие в математике:

    Сумма синусов углов треугольника

    Применим основные формулы тригонометрии, решая задачи.

    Пример:

    Известно: Сумма синусов углов треугольника;

    Необходимо определить: косинус, тангенс, котангенс, соответствующего угла a.

    Для определения значения косинуса в квадрате, возводим число 0,8 в квадрат и вычисляем синус. Полученное значение подставляем в формулу и можем определить тангенс угла 0,8. Таким же методом, вычисляем котангенс

    Сумма синусов углов треугольника

    Решение довольно простое и особых сложней не вызывает.

    Основные формулы для приведения заданных значений:

    Формулы помогают, преобразовать основные тождества и перейти к вычислению углов в пределах 90 градусов. Это очень удобно, не только в алгебре, но и во всей математике.

    Существует два основных способа, использования формул приведения:

    • Если угол можно записать как Сумма синусов углов треугольникаили Сумма синусов углов треугольника, то название функции меняется с косинуса на определение синус, тангенс, в свою очередь на котангенс, либо наоборот. Если же угол можно представить в виде Сумма синусов углов треугольникаили Сумма синусов углов треугольника, то название функции не меняется.
    • Обозначение приведенного уравнения не изменяется. Если изначально функция была со знаком «+», тогда и приведенная функция будет со знаком «+», с отрицательным знаком тоже самое.

    Используя основные определения математики, а именно тригонометрии. Можно определить нужные нам данные.

    Значения функций тригонометрии на для основных угловых значений.

    • синуса (sin):

    Сумма синусов углов треугольника

    • косинуса (cos):

    Сумма синусов углов треугольника

    Преобразовав формулы сложения, мы получим тригонометрические уравнения угла.

    Формулы кратности значения угла:

    Сумма синусов углов треугольника

    Формулы угла, определяющие половину значения (половинного угла):

    Сумма синусов углов треугольника

    Более подробно в данном материале мы рассмотрим все уравнения суммы и разности, связанные именно с функцией косинус и синус.

    Видео:Формулы суммы и разности косинуса и синуса Алгебра 10 классСкачать

    Формулы суммы и разности косинуса и синуса Алгебра 10 класс

    Основные формулы для определения суммы и разности cos и sin

    Перейдем к рассмотрению к простой форме разности и суммы функций.

    Рассматриваемое уравнений можно представить, как — произведение. Преобразовать на множители косинус или синус, и тем самым упростить процесс вычисления.

    Составим и запишем основные формулы для функции синус.

    Сумма синусов углов треугольника

    Следующим основным шагом, будет составить уравнения для косинуса. Применим все изученные свойства данной функции тригонометрии и вычислим правильный ответ.

    Сумма синусов углов треугольника

    Выведем основные формулы для решения функций двух угловых значений. Для этого нужно применить составленные выше формулы сложения и вычитания. Их рассмотрение было в предыдущих материалах, посвященных тригонометрии. Поэтому лишний раз не стоит их заново переписывать. Так как рекомендовалась их обязательно заучить наизусть. Для более быстрого и правильного решения уравнений. И для последующего использования при изучении других смежных тем, где эти функции применяются.

    Формулы можно представить также в виде полусуммы и полуразности угловых значений и получить следующие формулы.

    Запишем уравнение для каждого угла раздельно и получим следующие формулы в виде уравнения:

    Сумма синусов углов треугольника

    Сравним записанные формулы для угловых значений. Проанализировав их становится очевидно, что полученные суммы функций одинаковы по значению.

    Выведем основную формулу для решения:

    Сумма синусов углов треугольника

    Далее первую часть выражения преобразуем, для этого применим формулу для сложения функций. Значения, которые находятся после знака равно, преобразуются при помощи формулы синуса для разности.

    Подставляя в формулу значения, получаем следующее выражение:

    Сумма синусов углов треугольника

    Далее необходимо раскрыть скобки и полученные значения привести в подобные слагаемые. Произведя все действия мы в конечном итоге получаем нужную нам формулу.

    Запишем формулу следующего вида:

    Сумма синусов углов треугольника

    Другие, формулы преобразуются аналогичным способом

    🎦 Видео

    Геометрия 7 класс. Сумма углов треугольникаСкачать

    Геометрия 7 класс. Сумма углов треугольника

    вывод формул синус и косинус суммы угловСкачать

    вывод формул синус и косинус суммы углов

    Сумма углов треугольника равна 180Скачать

    Сумма углов треугольника равна 180

    Сумма и разность синусов. Тригонометрия-13Скачать

    Сумма и разность синусов. Тригонометрия-13

    Внешний угол треугольникаСкачать

    Внешний угол треугольника

    9 класс, 13 урок, Теорема синусовСкачать

    9 класс, 13 урок, Теорема синусов

    Доказательство формул синуса и косинуса суммы и разностиСкачать

    Доказательство формул синуса и косинуса суммы и разности

    Косинус разности и суммы двух углов. Тригонометрия-6Скачать

    Косинус разности и суммы двух углов. Тригонометрия-6

    Как найти величины углов всех треугольников. Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс.Скачать

    Как найти величины углов всех треугольников. Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс.
    Поделиться или сохранить к себе: