Стрелка от хорды до окружности

Таблица соотношений между длинами дуг, стрелками, длинами хорд, площадями сегментов при радиусе, равном единице.

Таблица соотношений между длинами дуг, стрелками, длинами хорд, площадями сегментов при радиусе, равном единице.

Стрелка от хорды до окружности
При пользовании таблицей при радиусах, не равных 1, следует умножить l, h и C на величину радиуса, а площадь сегмента умножить на квадрат радиуса.
При данной длине дуги l и стрелке h находим r=l:lo , где lo -длина дуги, соответствующая данному отношению l:h при r=1. Если r — радиус круга и α — центральный угол в градусах, то получаем:

  • длина хорды с = 2*r* sin(α/2) = 2*(2*r*hh 2 ) 1/2
  • стрелка h = r*(1-cos(α/2)) = (c/2)*tg(α/4) = 2*r*sin 2 (α/4) = r-(r 2(c 2 /4)) 1/2
  • длина дуги l = π*r*(α/180 o ) = 0,017453*r*a ≈ (c 2 +(16/3)*h 2 ) 1/2
  • площадь сегмента = (r 2 /2)*((π/180 o )*α o -sinα)
10,01750,0000458,360,01750,00000
20,03490,0002229,190,03490,00000
30,05240,0003152,790,05240,00001
40,06980,0006114,600,06980,00003
50,08730,001091,690,08720,00006
60,10470,001476,410,10470,00010
70,12220,001964,010,12210,00015
80,13960,002456,010,13950,00023
90,15710,003150,960,15690,00032
100,17490,003845,870,17430,00044
110,19200,004641,700,19170,00059
120,20940,005538,230,20910,00076
130,22690,006435,280,22640,00097
140,24430,007532,780,24370,00121
150,26180,008630,600,26110,00149
160,27930,009728,040,27830,00181
170,29670,011027,010,29560,00217
180,31420,012325,350,32190,00257
190,33160,013724,170,33010,00302
200,34910,015222,980,34730,00352
210,36650,016721,950,36450,00408
220,38400,018420,900,38160,00468
230,40140,020120,000,39870,00535
240,41890,021919,170,41580,00607
250,43630,023718,470,43290,00686
260,45380,025617,710,44990,00771
270,47120,027617,060,46690,00862
280,48870,029716,450,48380,00961
290,50610,031915,890,50080,01087
300,52360,034115,370,51760,01180
310,54110,036414,880,53450,01301
320,55850,038714,420,55130,01429
330,57600,041213,990,56800,01566
340,59340,043713,580,58470,01711
350,61090,046313,200,60140,01864
360,62830,048912,840,61800,02027
370,64580,051712,500,63460,02198
380,66320,054512,170,65110,02378
390,68070,057411,870,66760,02568
400,69810,060311,580,68400,02767
410,71560,063311,300,70040,02976
420,73300,066411,040,71670,03195
430,75050,069610,780,73300,03425
440,76790,072810,550,74920,03664
450,78540,076110,320,76540,03915
460,80290,079510,100,78150,04176
470,82030,08299,800,79750,04448
480,83780,08659,690,81350,04731
490,85520,09009,500,82940,05025
500,87270,09379,310,84520,05331
510,89010,09749,140,86100,05649
520,90760,10128,970,87670,05978
530,92500,10518,800,89240,06319
540,94250,10908,650,90800,06673
550,95990,11308,490,92350,07039
560,97740,11718,350,93890,07417
570,99480,12128,210,95430,07808
581,01230,12548,070,96960,08212
591,02970,12967,940,98480,08629
601,04720,13407,811,00000,09059
611,06470,13847,691,01510,09502
621,08210,14287,561,03010,09958
631,09960,14747,461,04500,10428
641,11700,15207,351,05980,10911
651,13450,15667,241,07460,11408
661,15190,16137,141,08930,11919
671,16940,16617,041,10390,12443
681,18680,17106,941,11840,12982
691,20430,17596,851,13280,13535
701,22170,18086,761,14720,14102
711,23920,18596,671,16140,14683
721,25660,19106,581,17560,15270
731,27410,19616,501,18960,15889
741,29150,20146,411,20360,15514
751,30900,20666,341,21750,17154
761,32650,21206,261,23120,17808
771,43390,21746,181,24500,18477
781,36140,22296,111,25860,19160
791,37880,22846,041,27220,19859
801,39630,23405,971,28560,20573
811,41370,23965,901,29890,21301
821,43120,24535,831,32210,22045
831,44860,25105,771,32520,22804
841,46610,25695,711,33830,23578
851,47350,26275,651,35120,24367
861,50100,26865,591,36400,25171
871,51840,27465,531,37670,25990
881,53590,28075,471,38930,26825
891,55530,28675,421,40180,27675
901,57080,29295,361,41420,28540
911,58820,29915,311,42650,29420
921,60570,30535,261,43870,30316
931,62320,31165,211,45070,31226
941,64060,31805,161,46270,32152
951,65800,32445,111,47460,33093
961,67550,33095,061,48630,34050
971,69300,33745,021,49790,35021
981,71040,34394,971,50940,36008
991,72790,35064,931,52080,37009
1001,74530,35724,891,53210,38026
1011,76280,36394,841,54320,39050
1021,78020,37074,801,55430,40104
1031,79770,37754,761,56520,41166
1041,81510,38434,721,57,600,42242
1051,83260,39124,681,58670,43333
1061,85000,39824,651,59730,44439
1071,86750,40524,611,60770,45560
1081,88500,41224,571,61800,46695
1091,90240,41934,541,62820,47845
1101,91990,42644,501,63830,49008
1111,93730,43364,471,64830,50187
1121,95480,44084,431,65810,51379
1131,97220,44814,401,66780,52586
1141,98970,45544,371,67730,53807
1152,00710,46274,341,68680,55041
1162,02460,47014,311,69610,56389
1172,04200,47754,281,70530,57551
1182,05950,48504,251,71430,58827
1192,07690,49254,221,72330,60116
1202,09440,50004,191,73210,61418
1212,11180,50764,161,74070,62734
1222,12930,51524,131,74920,64063
1232,14680,52284,111,75760,65404
1242,16420,53054,081,76590,66759
1252,18170,53874,051,77400,68125
1262,19910,54604,031,78200,69505
1272,21660,55384,001,78990,70897
1282,23400,56163,981,79760,72301
1292,25150,56953,951,80520,73716
1302,26890,57743,931,81260,75144
1312,28640,58533,911,81990,76584
1322,30380,59333,881,82770,78034
1332,32130,60133,861,83410,79497
1342,33870,60933,841,84100,80970
1352,35620,61733,821,84780,82454
1362,37360,62543,801,85450,83949
1372,39110,63353,771,86080,85455
1382,40860,64163,751,86720,86971
1392,41600,64983,731,87330,88497
1402,44350,65803,711,87940,90034
1412,46090,66623,691,88530,91580
1422,47840,67443,671,89100,93135
1432,49580,68273,661,89660,94700
1442,51330,29103,641,90210,96274
1452,53070,69933,621,90740,97858
1462,54820,70763,601,91260,99449
1472,56560,71603,581,91761,01050
1482,58310,72443,571,92251,02658
1492,60050,73283,551,92731,04275
1502,61800,74123,531,93191,05900
1512,63540,74963,521,93631,07532
1522,64290,75813,501,94061,09171
1532,67040,76663,481,94471,10818
1542,68780,77503,471,94871,12472
1552,70530,78363,451,95261,14132
1562,72270,79213,441,95631,15799
1572,74020,80063,421,95981,17472
1582,75760,80923,411,96331,19151
1592,77520,81783,391,96651,20835
1602,79250,82643,381,96961,22525
1612,81000,83503,371,97261,24221
1622,82740,84363,351,97541,25921
1632,84490,85223,341,97801,27626
1642,86230,86083,331,98051,29335
1652,87980,86953,311,98291,31049
1662,89720,87813,301,98511,32766
1672,91470,88683,281,98711,34487
1682,93220,89553,271,98901,36212
1692,94960,90423,261,99081,37940
1702,96710,91283,251,99241,39671
1712,98450,92153,241,99381,41404
1723,00200,93023,231,99511,43140
1733,01940,93903,221,99631,44878
1743,03690,94773,201,99731,46617
1753,05430,95643,191,99811,48359
1763,07180,96513,181,99881,50101
1773,08920,97383,171,99931,51845
1783,10670,98253,161,99971,53589
1793,12410,99133,151,99991,55334
1803,14161,00003,142,00001,57080

Пример 1.

Вычислить радиус окружности, у которой при стрелке h=2 мм длина дуги l=10 мм.

Находим l/h=10/2=5. Из таблицы определяем lo≈ 1,6930, r=l/ lo=10/1,6930=5,9 мм.

Пример 2.

Вычислить стрелку h дуги окружности радиусом r=50 мм при центральном угле α=30 o

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Сегмент круга

Вычисляет площадь, длину дуги, длину хорды, высоту и периметр сегмента круга. Описывается несколько вариантов расчета по параметрам сегмента — по углу, по хорде, по радиусу, по высоте и длине дуги.

Стрелка от хорды до окружностиСегмент круга

Круговой сегмент — часть круга ограниченная дугой и секущей (хордой).

На рисунке:
L — длина дуги сегмента
c — хорда
R — радиус
a — угол сегмента
h — высота

Первый калькулятор рассчитывает параметры сегмента, если известен радиус и угол по следующим формулам:

Формулы вычисления параметров сегмента

Площадь сегмента:
[1]
Длина дуги:

Видео:ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 НАЙДИТЕ ДЛИНУ ХОРДЫ ОКРУЖНОСТИ ЕСЛИ РАДИУС 13 РАССТОЯНИЕ ДО ХОРДЫ 5Скачать

ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 НАЙДИТЕ ДЛИНУ ХОРДЫ ОКРУЖНОСТИ ЕСЛИ РАДИУС 13 РАССТОЯНИЕ ДО ХОРДЫ 5

Хорда окружности — определение, свойства, теорема

Стрелка от хорды до окружности

Видео:Длина хорды окружности равна 72 ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Длина хорды окружности равна 72 ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Хорда в геометрии

Каждая хорда имеет свою длину. Ее можно определить с помощью теоремы синусов. То есть длина хорды окружности зависит от радиуса и вписанного угла, опирающегося на данный отрезок. Формула для определения длины выглядит следующим образом: B*A = R*2 * sin α, где R — радиус, AB — это хорда, α — вписанный угол. Также длину можно вычислить через другую формулу, которая выводится из теоремы Пифагора: B*A = R*2 * sin α/2 , где AB — это хорда, α — центральный угол, который опирается на данный отрезок, R — радиус.

Стрелка от хорды до окружности

Если рассматривать хорды в совокупности с дугами, то получаются новые объекты. Например, в кругу можно дополнительно выделить две области: сектор и сегмент. Сектор образуется с помощью двух радиусов и дуги. Для сектора можно вычислить площадь, а если он является частью конуса, то еще и высоту. Сегмент, в свою очередь, это область, состоящая из отрезка и дуги.

Для того чтобы проверить правильность своего решения в нахождении длины, можно обратиться к онлайн-калькуляторам в интернете. Они представлены в виде таблицы, в которую нужно вписать только известные параметры, а программа сама выполнит необходимые вычисления.

Это очень полезная функция, так как не приходится вспоминать различные уравнения и производить сложные расчеты.

Свойства отрезка окружности

Для решения геометрических задач необходимо знать свойства хорды окружности. Для нее характерны такие показатели:

Стрелка от хорды до окружности

  1. Это отрезок с наибольшей длиною в окружности это диаметр. Он обязательно будет проходить через центр круга.
  2. Если есть две равные дуги, то их отрезки, которые их стягивают, будут равны.
  3. Хорда, которая перпендикулярна диаметру, будет делить этот отрезок и его дугу на две одинаковые части (справедливо и обратное утверждение).
  4. Самый маленький отрезок в окружности это точка.
  5. Хорды будут равны, если они находятся на одном расстоянии от центра окружности (справедливо и обратное утверждение).
  6. При сравнении двух отрезков в кругу большая из них окажется ближе к центру окружности.
  7. Дуги, которые находятся между двумя параллельными хордами, равны.

Помимо основных свойств отрезка круга, нужно выделить еще одно важное свойство. Оно отражено в теореме о пересекающихся хордах.

Ключевая теорема

Стрелка от хорды до окружности

Имеется круг с центром в точке O и радиусом R. Для теоремы нужно в круг вписать две прямые, пускай это будут хорды BA и CD, которые пересекаются в точке E. Перед тем как перейти к доказательству, нужно сформулировать определение теоремы. Оно звучит следующим образом: если хорды пересекаются в некоторой точке, которая делит их на отрезки, то произведения длин отрезков первой хорды равно произведению длин отрезков второй хорды. Для наглядности можно записать эту формулу: AE*BE= EC*ED. Теперь можно перейти к доказательству.

Стрелка от хорды до окружности

Проведем отрезки CB и AD. Рассмотрим треугольники CEB и DEA. Известно, что углы CEB и DEA равны как вертикальные углы, DCB и BAD равны за следствием с теоремы про вписанные углы, которые опираются на одну и ту же дугу. Треугольники CEB и DEA подобны (первый признак подобия треугольников). Тогда выходит пропорциональное соотношение BE/ED = EC/EA. Отсюда AE*BE= EC*ED.

Помимо взаимодействия с внутренними элементами окружности, для хорды еще существуют свойства при пересечении с секущейся и касательными прямыми. Для этого необходимо рассмотреть понятия касательная и секущая и определить главные закономерности.

Касательная — это прямая, которая соприкасается с кругом только в одной точке. И если к ней провести радиус круга, то они будут перпендикулярны. В свою очередь, секущая — это прямая, которая проходит через две точки круга. При взаимодействии этих прямых можно заметить некоторые закономерности.

Видео:Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 класс

Касательная и секущая

Существует теорема о двух касательных, которые проведены с одной точки. В ней говорится о том, что если есть две прямые OK и ON, которые проведены с точки O, будут равны между собой. Перейдем к доказательству теоремы.

Стрелка от хорды до окружности

Рассмотрим два прямоугольных треугольника AFD и AED. Поскольку катеты DF и DE будут равны как радиусы круга, а AD — общая гипотенуза, то между собой данные треугольники будут равны за признаком равенства треугольников, с чего выходит, что AF = AE.

Если возникает ситуация, когда пересекаются касательная и секущая, то в этом случае также можно вывести закономерность. Рассмотрим теорему и докажем, что AB 2 = AD*AC.

Стрелка от хорды до окружности

Предположим у нас есть касательная AB и секущая AD, которые берут начало с одной точки A. Обратим внимание на угол ABC, он спирается на дугу BC, значит, за свойством значение его угла будет равно половине градусной меры дуги, на которую он опирается. За свойством вписанного угла, величина угла BDC также будет равно половине дуги BC. Таким образом, треугольники ABD и ABC будут подобны за признаком подобия треугольников, так как угол A — общий, а угол ABC равен углу BDC. Опираясь на теорию, получаем соотношение: AB/CA = DA/AB, переписав это соотношение в правильную форму, получаем равенство AB 2 = AD*AC, что и требовалось доказать.

Как есть теорема про две касательные, так есть и теорема про две секущие. Она так же просто формулируется, как и остальные теоремы. Поэтому рассмотрим доказательство и убедимся, что AB*AC = AE*AD.

Стрелка от хорды до окружности

Проведем две прямые через точку A, получим две секущие AC и AE. Дорисуем две хорды, соединяя точки C и B, B и D. Получим два треугольника ABD И CEA. Обратим внимание на вписанный четырехугольник BDCE. За свойством вписанных четырехугольников узнаем, что значения углов BDE и ECB в сумме будут давать 180 градусов. И сумма значений углов BDA и BDE также равна 180, за свойством смежных углов.

Отсюда можно получить два уравнения, из которых будет выведено, что углы ECB и BDA будут равны: BDA + BDE = 180; BDE + ECB = 180. Все это записываем в систему уравнений, отнимаем первое от второго, получаем результат, что ECB = BDA.

Если вернутся к треугольникам ABD И CEA, то теперь можно сказать, что они подобны, так как угол А — общий, а углы ECA и BDA — равны. Теперь можно записать соотношение сторон: AB/AE = AD/AC. В итоге получим, что AB*AC = AE*AD.

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Решение задач

При решении задач, связанных с окружностью, хорда часто выступает главным элементом, опираясь на который можно найти остальные неизвестные элементы. В каждой второй задаче задаются два параметра, чтобы найти третий неизвестный. В задачах, которые, связанные с кругом, хорда — это обязательный элемент:

Стрелка от хорды до окружности

  • Найти высоту детали, которая была получена путем сгибания заготовки в дугу. В начальных данных обязательно присутствует хорда и длина дуги.
  • Дана развертка, нужно найти длину части кольца. Задается хорда и диаметр.
  • Также можно находить длину хорды. В случае если заданы уравнения прямой и окружности, которые пересекаются.

Для решения задач с отрезком в окружности удобно использовать схематические рисунки. Их рисуют с помощью линейки и циркуля, и принцип решения задач становится более наглядным.

🎥 Видео

Окружность. 7 класс.Скачать

Окружность. 7 класс.

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

№144. Отрезки АВ и CD — диаметры окружности. Докажите, что: а) хорды BD и АС равны; б) хорды AD и ВССкачать

№144. Отрезки АВ и CD — диаметры окружности. Докажите, что: а) хорды BD и АС равны; б) хорды AD и ВС

Как найти диаметр окружности, зная длину хорды и расстояние от центра окружности до неё? #огэ #егэСкачать

Как найти диаметр окружности, зная длину хорды и расстояние от центра окружности до неё? #огэ #егэ

Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Длина окружности. Математика 6 класс.

Геометрия Длина хорды окружности равна 24, а расстояние от центра окружности до этой хорды равно 5Скачать

Геометрия Длина хорды окружности равна 24, а расстояние от центра окружности до этой хорды равно 5

№145. Отрезок МК — диаметр окружности с центром О, а МР и РК — равные хорды этой окружностиСкачать

№145. Отрезок МК — диаметр окружности с центром О, а МР и РК — равные хорды этой окружности

Радиус и диаметрСкачать

Радиус и диаметр

Окружность. Длина хорды. Теорема синусов.Скачать

Окружность. Длина хорды. Теорема синусов.

Окружность и круг, 6 классСкачать

Окружность и круг, 6 класс

Хорда АВ стягивает дугу окружности в 40 градусов. Найдите угол АВС между этой хордой и касательной..Скачать

Хорда АВ стягивает дугу окружности в 40 градусов. Найдите угол АВС между этой хордой и касательной..

Демо ОГЭ по математике. Задание 17. Хорда окружности.Скачать

Демо ОГЭ по математике. Задание 17. Хорда окружности.

Это Свойство Поможет Решить Задачи по Геометрии — Хорда, Окружность, Секущая (Геометрия)Скачать

Это Свойство Поможет Решить Задачи по Геометрии — Хорда, Окружность, Секущая (Геометрия)

№662 (исправлено) Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке Е. Найдите угол ВЕС, если ∪AD=54°Скачать

№662 (исправлено) Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке Е. Найдите угол ВЕС, если ∪AD=54°

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.
Поделиться или сохранить к себе: