Стороны треугольника пропорциональны косинусам

Какие из следующих утверждений верны?

1) Любые два прямоугольных треугольника подобны.

2) Если катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны соответственно 6 и 10, то второй катет этого треугольника равен 8.

3) Стороны треугольника пропорциональны косинусам противолежащих углов.

4) Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Любые два прямоугольных треугольника подобны.» — неверно, так как нет второго равного угла.

2) «Если катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны соответственно 6 и 10, то второй катет этого треугольника равен 8.» — верно, по теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

3) «Стороны треугольника пропорциональны косинусам противолежащих углов.» — неверно, по теореме синусов стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих сторон.

4) «Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.» — верно, по теореме косинусов.

Видео:ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать

Треугольник. Формулы и свойства треугольников.

Видео:9 класс, 13 урок, Теорема синусовСкачать

Типы треугольников

По величине углов

По числу равных сторон

Видео:Решение задачи с применением теоремы синусовСкачать

Вершины углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

если α > β , тогда a > b

если α = β , тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 — 2 bc · cos α

b 2 = a 2 + c 2 — 2 ac · cos β

c 2 = a 2 + b 2 — 2 ab · cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Видео:Теорема косинусов. Решить задачи. Найти сторону по двум сторонам и углу. Найти угол по сторонам.Скачать

Медианы треугольника

Свойства медиан треугольника:

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

m_a = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 — a 2

m_b = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 — b 2

m_c = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 — c 2

Видео:9 класс, 14 урок, Теорема косинусовСкачать

Биссектрисы треугольника

Свойства биссектрис треугольника:

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

l_a = 2√ bcp ( p — a ) b + c

l_b = 2√ acp ( p — b ) a + c

l_c = 2√ abp ( p — c ) a + b

где p = a + b + c 2 — полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

l_a = 2 bc cos α 2 b + c

l_b = 2 ac cos β 2 a + c

l_c = 2 ab cos γ 2 a + b

Видео:Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТСкачать

Высоты треугольника

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

h_a = b sin γ = c sin β

h_b = c sin α = a sin γ

h_c = a sin β = b sin α

Видео:Геометрия Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов и равны двум радиусамСкачать

Окружность вписанная в треугольник

Свойства окружности вписанной в треугольник

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

r = ( a + b — c )( b + c — a )( c + a — b ) 4( a + b + c )

Видео:9 класс, 15 урок, Решение треугольниковСкачать

Окружность описанная вокруг треугольника

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

R = S 2 sin α sin β sin γ

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ | Синус, Косинус, Тангенс, КотангенсСкачать

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Видео:№1025. С помощью теорем синусов и косинусов решите треугольник ABC, если:Скачать

Средняя линия треугольника

Свойства средней линии треугольника

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN || AC KN || AB KM || BC

Видео:Самый короткий тест на интеллект Задача Массачусетского профессораСкачать

Периметр треугольника

Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

Видео:Самая простая нерешённая задача — гипотеза Коллатца [Veritasium]Скачать

Формулы площади треугольника

Формула Герона

Видео:Теорема синусов с доказательствомСкачать

Равенство треугольников

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Видео:Синус, косинус и тангенс Решение задач по геометрииСкачать

Подобие треугольников

∆MNK => α = α ₁, β = β ₁, γ = γ ₁ и AB MN = BC NK = AC MK = k ,

где k — коэффициент подобия

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Теорема синусов. Теорема косинусов

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Видео:Теорема косинусов #shortsСкачать

Коммуникативный педагогический тренинг: способы взаимодействия с разными категориями учащихся

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника Повторение C A В a2 + b2 = c2 c b a α

00 300 450 600 900 1800 1 0 0 0 0 1 1 –1 0 – sin2a + cos2a = 1 основное тригонометрическое тождество

C В A a b c Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. C A B 750 600 600 4 4 ? 450 450 Найти АВ

2 Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. C A B ? 2 1350 1350 Найти угол А

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. C A B 600 600 ?

a2 = B a A C c b Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон на косинус угла между ними. минус удвоенное произведение этих сторон b2 + c2 – 2bc cosA Теорема косинусов.

AB2 = Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон на косинус угла между ними. минус удвоенное произведение этих сторон BC2 + CA2 cos Теорема косинусов. 900 C 0 AB2 = BC2 + CA2 Теорему косинусов иногда называют обобщенной теоремой Пифагора.

Запишите для данного треугольника теорему синусов и теорему косинусов для каждой стороны. F D С

На практике удобно сравнивать квадрат большей стороны и сумму квадратов двух других.

Определите вид треугольника со сторонами 5, 6 и 7 см. > Определите вид треугольника со сторонами 2, 3 и 4 см. >

4 С А В ? Найти угол В 2 = 300 600

4 4 5 AB2 = Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон на косинус угла между ними. минус удвоенное произведение этих сторон BC2 + AC2 cosC С А В 5 AB = 41 – 20 2 2 5 300 300 2 ? 4 Найти АВ

6 6 6 6 6 ВС2 = Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон на косинус угла между ними. минус удвоенное произведение этих сторон АВ2 + AC2 cos С А В ВС2 = 108 2 2 ? 6 А 1200 1200 Найти ВС

600 5 5 3 3 3 5 ВD2 = АВ2 + AD2 cos ВD2 = 19 2 2 ? А 600 D A B C ABСD – параллелограмм. Найти ВD. 600

3 3 3 1350 1350 3 3 3 AC2 = АD2 + CD2 cos С А В 2 2 ? D D ABСD – ромб. Найти AC. 450 AC = 9(2 + ) 2

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 954 человека из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 684 человека из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 309 человек из 67 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Видео:Теорема синусов – просто и красиво // Vital MathСкачать

Дистанционные курсы для педагогов

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 505 184 материала в базе

Материал подходит для УМК

«Геометрия. 7-9 класс», Волович М.Б., Атанасян Л.С.

§ 36. Теорема косинусов Теорема синусов

Другие материалы

• 16.05.2020
• 523
• 9

• 16.05.2020
• 2737
• 100

• 16.05.2020
• 133
• 0

• 15.05.2020
• 153
• 1

• 14.05.2020
• 19278
• 1

• 14.05.2020
• 571
• 6

• 14.05.2020
• 653
• 0

• 14.05.2020
• 709
• 13

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 17.05.2020 782
• PPTX 2.5 мбайт
• 29 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Андреюк Константин Сергеевич. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 4 года и 5 месяцев
• Подписчики: 2
• Всего просмотров: 12380
• Всего материалов: 6

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Видео:Как проверяют учеников перед ЕНТСкачать

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Минпросвещения намерено решить вопрос с третьей сменой в школах в 2023 году

Время чтения: 1 минута

Школы Пскова перевели на дистанционное обучение

Время чтения: 2 минуты

В Госдуме предложили создать в школах «ящики доверия» для обращений к психологу

Время чтения: 1 минута

Школы Москвы будут самостоятельно принимать решение о длительности карантина

Время чтения: 1 минута

Генпрокуратура проводит масштабную проверку в российских школах

Время чтения: 1 минута

Все школы Ненецкого АО перевели на удаленку

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

📹 Видео

Геометрия 9 класс (Урок№15 - Теорема синусов.)Скачать

9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольникаСкачать