Соотношение длин хорд окружности

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
Соотношение длин хорд окружностиОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Соотношение длин хорд окружностиСвойства хорд и дуг окружности
Соотношение длин хорд окружностиТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Соотношение длин хорд окружностиДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Соотношение длин хорд окружностиТеорема о бабочке

Соотношение длин хорд окружности

Видео:Окружность. Длина хорды. Теорема синусов.Скачать

Окружность. Длина хорды. Теорема синусов.

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьСоотношение длин хорд окружности
КругСоотношение длин хорд окружности
РадиусСоотношение длин хорд окружности
ХордаСоотношение длин хорд окружности
ДиаметрСоотношение длин хорд окружности
КасательнаяСоотношение длин хорд окружности
СекущаяСоотношение длин хорд окружности
Окружность
Соотношение длин хорд окружности

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругСоотношение длин хорд окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусСоотношение длин хорд окружности

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаСоотношение длин хорд окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрСоотношение длин хорд окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяСоотношение длин хорд окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяСоотношение длин хорд окружности

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеСоотношение длин хорд окружностиДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыСоотношение длин хорд окружностиЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныСоотношение длин хорд окружностиБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиСоотношение длин хорд окружностиУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыСоотношение длин хорд окружностиДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Соотношение длин хорд окружности

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыСоотношение длин хорд окружности

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыСоотношение длин хорд окружности

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиСоотношение длин хорд окружности

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныСоотношение длин хорд окружности

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиСоотношение длин хорд окружности

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыСоотношение длин хорд окружности

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:Окружнось. Зависимость длины хорды, от длины дуги.Скачать

Окружнось. Зависимость длины хорды, от длины дуги.

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Соотношение длин хорд окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Соотношение длин хорд окружности

Соотношение длин хорд окружности

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыСоотношение длин хорд окружности
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиСоотношение длин хорд окружности
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиСоотношение длин хорд окружности
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаСоотношение длин хорд окружности

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Соотношение длин хорд окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Соотношение длин хорд окружности

Соотношение длин хорд окружности

Пересекающиеся хорды
Соотношение длин хорд окружности
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Соотношение длин хорд окружности
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Соотношение длин хорд окружности
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Соотношение длин хорд окружности
Пересекающиеся хорды
Соотношение длин хорд окружности

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Соотношение длин хорд окружности

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Соотношение длин хорд окружности

Соотношение длин хорд окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Соотношение длин хорд окружности

Соотношение длин хорд окружности

Соотношение длин хорд окружности

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Соотношение длин хорд окружности

Соотношение длин хорд окружности

Соотношение длин хорд окружности

Видео:Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Длина окружности. Математика 6 класс.

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Соотношение длин хорд окружности

Соотношение длин хорд окружности

Тогда справедливо равенство

Соотношение длин хорд окружности

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Соотношение длин хорд окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Соотношение длин хорд окружности

Соотношение длин хорд окружности

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Соотношение длин хорд окружности

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Соотношение длин хорд окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Соотношение длин хорд окружности

Соотношение длин хорд окружности

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Соотношение длин хорд окружности

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Соотношение длин хорд окружности

Соотношение длин хорд окружности

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Соотношение длин хорд окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:Задача на нахождение длины хорды окружностиСкачать

Задача на нахождение длины хорды окружности

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Соотношение длин хорд окружности

Соотношение длин хорд окружности

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Соотношение длин хорд окружности

Соотношение длин хорд окружности

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Соотношение длин хорд окружности

Соотношение длин хорд окружности

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Соотношение длин хорд окружности

Соотношение длин хорд окружности

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Соотношение длин хорд окружности

Соотношение длин хорд окружности

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Соотношение длин хорд окружности

Соотношение длин хорд окружности

Соотношение длин хорд окружности

Соотношение длин хорд окружности

Соотношение длин хорд окружности

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Соотношение длин хорд окружности

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Хорда окружности — определение, свойства, теорема

Соотношение длин хорд окружности

Видео:Длина хорды окружности равна 72 ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Длина хорды окружности равна 72 ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Хорда в геометрии

Каждая хорда имеет свою длину. Ее можно определить с помощью теоремы синусов. То есть длина хорды окружности зависит от радиуса и вписанного угла, опирающегося на данный отрезок. Формула для определения длины выглядит следующим образом: B*A = R*2 * sin α, где R — радиус, AB — это хорда, α — вписанный угол. Также длину можно вычислить через другую формулу, которая выводится из теоремы Пифагора: B*A = R*2 * sin α/2 , где AB — это хорда, α — центральный угол, который опирается на данный отрезок, R — радиус.

Соотношение длин хорд окружности

Если рассматривать хорды в совокупности с дугами, то получаются новые объекты. Например, в кругу можно дополнительно выделить две области: сектор и сегмент. Сектор образуется с помощью двух радиусов и дуги. Для сектора можно вычислить площадь, а если он является частью конуса, то еще и высоту. Сегмент, в свою очередь, это область, состоящая из отрезка и дуги.

Для того чтобы проверить правильность своего решения в нахождении длины, можно обратиться к онлайн-калькуляторам в интернете. Они представлены в виде таблицы, в которую нужно вписать только известные параметры, а программа сама выполнит необходимые вычисления.

Это очень полезная функция, так как не приходится вспоминать различные уравнения и производить сложные расчеты.

Свойства отрезка окружности

Для решения геометрических задач необходимо знать свойства хорды окружности. Для нее характерны такие показатели:

Соотношение длин хорд окружности

  1. Это отрезок с наибольшей длиною в окружности это диаметр. Он обязательно будет проходить через центр круга.
  2. Если есть две равные дуги, то их отрезки, которые их стягивают, будут равны.
  3. Хорда, которая перпендикулярна диаметру, будет делить этот отрезок и его дугу на две одинаковые части (справедливо и обратное утверждение).
  4. Самый маленький отрезок в окружности это точка.
  5. Хорды будут равны, если они находятся на одном расстоянии от центра окружности (справедливо и обратное утверждение).
  6. При сравнении двух отрезков в кругу большая из них окажется ближе к центру окружности.
  7. Дуги, которые находятся между двумя параллельными хордами, равны.

Помимо основных свойств отрезка круга, нужно выделить еще одно важное свойство. Оно отражено в теореме о пересекающихся хордах.

Ключевая теорема

Соотношение длин хорд окружности

Имеется круг с центром в точке O и радиусом R. Для теоремы нужно в круг вписать две прямые, пускай это будут хорды BA и CD, которые пересекаются в точке E. Перед тем как перейти к доказательству, нужно сформулировать определение теоремы. Оно звучит следующим образом: если хорды пересекаются в некоторой точке, которая делит их на отрезки, то произведения длин отрезков первой хорды равно произведению длин отрезков второй хорды. Для наглядности можно записать эту формулу: AE*BE= EC*ED. Теперь можно перейти к доказательству.

Соотношение длин хорд окружности

Проведем отрезки CB и AD. Рассмотрим треугольники CEB и DEA. Известно, что углы CEB и DEA равны как вертикальные углы, DCB и BAD равны за следствием с теоремы про вписанные углы, которые опираются на одну и ту же дугу. Треугольники CEB и DEA подобны (первый признак подобия треугольников). Тогда выходит пропорциональное соотношение BE/ED = EC/EA. Отсюда AE*BE= EC*ED.

Помимо взаимодействия с внутренними элементами окружности, для хорды еще существуют свойства при пересечении с секущейся и касательными прямыми. Для этого необходимо рассмотреть понятия касательная и секущая и определить главные закономерности.

Касательная — это прямая, которая соприкасается с кругом только в одной точке. И если к ней провести радиус круга, то они будут перпендикулярны. В свою очередь, секущая — это прямая, которая проходит через две точки круга. При взаимодействии этих прямых можно заметить некоторые закономерности.

Видео:ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 НАЙДИТЕ ДЛИНУ ХОРДЫ ОКРУЖНОСТИ ЕСЛИ РАДИУС 13 РАССТОЯНИЕ ДО ХОРДЫ 5Скачать

ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 НАЙДИТЕ ДЛИНУ ХОРДЫ ОКРУЖНОСТИ ЕСЛИ РАДИУС 13 РАССТОЯНИЕ ДО ХОРДЫ 5

Касательная и секущая

Существует теорема о двух касательных, которые проведены с одной точки. В ней говорится о том, что если есть две прямые OK и ON, которые проведены с точки O, будут равны между собой. Перейдем к доказательству теоремы.

Соотношение длин хорд окружности

Рассмотрим два прямоугольных треугольника AFD и AED. Поскольку катеты DF и DE будут равны как радиусы круга, а AD — общая гипотенуза, то между собой данные треугольники будут равны за признаком равенства треугольников, с чего выходит, что AF = AE.

Если возникает ситуация, когда пересекаются касательная и секущая, то в этом случае также можно вывести закономерность. Рассмотрим теорему и докажем, что AB 2 = AD*AC.

Соотношение длин хорд окружности

Предположим у нас есть касательная AB и секущая AD, которые берут начало с одной точки A. Обратим внимание на угол ABC, он спирается на дугу BC, значит, за свойством значение его угла будет равно половине градусной меры дуги, на которую он опирается. За свойством вписанного угла, величина угла BDC также будет равно половине дуги BC. Таким образом, треугольники ABD и ABC будут подобны за признаком подобия треугольников, так как угол A — общий, а угол ABC равен углу BDC. Опираясь на теорию, получаем соотношение: AB/CA = DA/AB, переписав это соотношение в правильную форму, получаем равенство AB 2 = AD*AC, что и требовалось доказать.

Как есть теорема про две касательные, так есть и теорема про две секущие. Она так же просто формулируется, как и остальные теоремы. Поэтому рассмотрим доказательство и убедимся, что AB*AC = AE*AD.

Соотношение длин хорд окружности

Проведем две прямые через точку A, получим две секущие AC и AE. Дорисуем две хорды, соединяя точки C и B, B и D. Получим два треугольника ABD И CEA. Обратим внимание на вписанный четырехугольник BDCE. За свойством вписанных четырехугольников узнаем, что значения углов BDE и ECB в сумме будут давать 180 градусов. И сумма значений углов BDA и BDE также равна 180, за свойством смежных углов.

Отсюда можно получить два уравнения, из которых будет выведено, что углы ECB и BDA будут равны: BDA + BDE = 180; BDE + ECB = 180. Все это записываем в систему уравнений, отнимаем первое от второго, получаем результат, что ECB = BDA.

Если вернутся к треугольникам ABD И CEA, то теперь можно сказать, что они подобны, так как угол А — общий, а углы ECA и BDA — равны. Теперь можно записать соотношение сторон: AB/AE = AD/AC. В итоге получим, что AB*AC = AE*AD.

Видео:ДЛИНА ДУГИ окружности 9 класс Атанасян 1111 1112 длина окружностиСкачать

ДЛИНА ДУГИ окружности 9 класс Атанасян 1111 1112 длина окружности

Решение задач

При решении задач, связанных с окружностью, хорда часто выступает главным элементом, опираясь на который можно найти остальные неизвестные элементы. В каждой второй задаче задаются два параметра, чтобы найти третий неизвестный. В задачах, которые, связанные с кругом, хорда — это обязательный элемент:

Соотношение длин хорд окружности

  • Найти высоту детали, которая была получена путем сгибания заготовки в дугу. В начальных данных обязательно присутствует хорда и длина дуги.
  • Дана развертка, нужно найти длину части кольца. Задается хорда и диаметр.
  • Также можно находить длину хорды. В случае если заданы уравнения прямой и окружности, которые пересекаются.

Для решения задач с отрезком в окружности удобно использовать схематические рисунки. Их рисуют с помощью линейки и циркуля, и принцип решения задач становится более наглядным.

Видео:ЕГЭ-2022 ||Задание №6 || Найти длину хордыСкачать

ЕГЭ-2022 ||Задание №6 || Найти длину хорды

Геометрия круга

Круг, его части, их размеры и соотношения — вещи, с которыми ювелир постоянно сталкивается. Кольца, браслеты, касты, трубки, шары, спирали — много всего круглого приходится делать. Как же всё это посчитать, особенно если тебе посчастливилось в школе прогулять уроки геометрии.

Давайте сначала рассмотрим, какие у круга бывают части и как они называются.Соотношение длин хорд окружности

  • Окружность — линия, ограничивающая круг.
  • Дуга — часть окружности.
  • Радиус — отрезок, соединяющий центр круга с какой-либо точкой окружности.
  • Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности.
  • Сегмент — часть круга, ограниченная хордой и дугой.
  • Сектор — часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой.

Интересующие нас величины и их обозначения:

  • R — радиус круга (здесь «радиус» — это уже не отрезок, а его длина);Соотношение длин хорд окружности
  • D — диаметр круга — двойной радиус;
  • C — длина окружности;
  • L — длина дуги;
  • X — длина хорды;
  • H — высота сегмента;
  • φ — центральный угол — угол между двумя радиусами;
  • Соотношение длин хорд окружности— площадь круга;
  • Соотношение длин хорд окружности— площадь сектора;
  • Соотношение длин хорд окружности— площадь сегмента.

Теперь посмотрим, какие задачи, связанные с частями круга, приходится решать.

  • Найти длину развертки какой-либо части кольца (браслета). Задан диаметр и хорда (вариант: диаметр и центральный угол), найти длину дуги.
  • Есть рисунок на плоскости, надо узнать его размер в проекции после сгибания в дугу. Заданы длина дуги и диаметр, найти длину хорды.
  • Узнать высоту детали, полученной сгибанием плоской заготовки в дугу. Варианты исходных данных: длина дуги и диаметр, длина дуги и хорда; найти высоту сегмента.

Жизнь подскажет и другие примеры, а эти я привел только для того, чтобы показать необходимость задания каких-нибудь двух параметров для нахождения всех остальных. Вот этим мы и займемся. А именно, возьмем пять параметров сегмента: D, L, X, φ и H. Затем, выбирая из них все возможные пары, будем считать их исходными данными и путем мозгового штурма находить все остальные.

Чтобы зря не грузить читателя, подробных решений я приводить не буду, а приведу лишь результаты в виде формул (те случаи, где нет формального решения, я оговорю по ходу дела).

И еще одно замечание: о единицах измерения. Все величины, кроме центрального угла, измеряются в одних и тех же абстрактных единицах. Это значит, что если, к примеру, вы задаёте одну величину в миллиметрах, то другую не надо задавать в сантиметрах, а результирующие значения будут измеряться в тех же миллиметрах (а площади — в квадратных миллиметрах). То же самое можно сказать и про дюймы, футы и морские мили.

И только центральный угол во всех случаях измеряется в градусах и ни в чём другом. Потому что, как показывает практика, люди, проектирующие что-нибудь круглое, не склонны измерять углы в радианах. Фраза «угол пи на четыре» многих ставит в тупик, тогда как «угол сорок пять градусов» — понятна всем, так как это всего на пять градусов выше нормы. Однако, во всех формулах будет присутствовать в качестве промежуточной величины еще один угол — α. По смыслу это половина центрального угла, измеренная в радианах, но в этот смысл можно спокойно не вникать.

1. Даны диаметр D и длина дуги L

Соотношение длин хорд окружности; длина хорды Соотношение длин хорд окружности;
высота сегмента Соотношение длин хорд окружности; центральный угол Соотношение длин хорд окружности.

2. Даны диаметр D и длина хорды X

Соотношение длин хорд окружности; длина дуги Соотношение длин хорд окружности;
высота сегмента Соотношение длин хорд окружности; центральный угол Соотношение длин хорд окружности.

Поскольку хорда делит круг на два сегмента, у этой задачи не одно, а два решения. Чтобы получить второе, нужно в приведенных выше формулах заменить угол α на угол Соотношение длин хорд окружности.

3. Даны диаметр D и центральный угол φ

Соотношение длин хорд окружности; длина дуги Соотношение длин хорд окружности;
длина хорды Соотношение длин хорд окружности; высота сегмента Соотношение длин хорд окружности.

4. Даны диаметр D и высота сегмента H

Соотношение длин хорд окружности; длина дуги Соотношение длин хорд окружности;
длина хорды Соотношение длин хорд окружности; центральный угол Соотношение длин хорд окружности.

6. Даны длина дуги L и центральный угол φ

Соотношение длин хорд окружности; диаметр Соотношение длин хорд окружности;
длина хорды Соотношение длин хорд окружности; высота сегмента Соотношение длин хорд окружности.

8. Даны длина хорды X и центральный угол φ

Соотношение длин хорд окружности; длина дуги Соотношение длин хорд окружности;
диаметр Соотношение длин хорд окружности; высота сегмента Соотношение длин хорд окружности.

9. Даны длина хорды X и высота сегмента H

Соотношение длин хорд окружности; длина дуги Соотношение длин хорд окружности;
диаметр Соотношение длин хорд окружности; центральный угол Соотношение длин хорд окружности.

10. Даны центральный угол φ и высота сегмента H

Соотношение длин хорд окружности; диаметр Соотношение длин хорд окружности;
длина дуги Соотношение длин хорд окружности; длина хорды Соотношение длин хорд окружности.

Внимательный читатель не мог не заметить, что я пропустил два варианта:

5. Даны длина дуги L и длина хорды X
7. Даны длина дуги L и высота сегмента H

Это как раз те два неприятных случая, когда у задачи нет решения, которое можно было бы записать в виде формулы. А задача-то не такая уж редкая. Например, у вас есть плоская заготовка длины L, и вы хотите согнуть ее так, чтобы ее длина стала X (или высота стала H). Какого диаметра взять оправку (ригель)?

Задача эта сводится к решению уравнений:
Соотношение длин хорд окружности; — в варианте 5
Соотношение длин хорд окружности; — в варианте 7
и хоть они и не решаются аналитически, зато легко решаются программным способом. И я даже знаю, где взять такую программу: на этом самом сайте, под именем Segment. Всё то, что я тут длинно рассказываю, она делает за микросекунды.

Для полноты картины добавим к результатам наших вычислений длину окружности и три значения площадей — круга, сектора и сегмента. (Площади нам очень помогут при вычислении массы всяких круглых и полукруглых деталей, но об этом — в отдельной статье.) Все эти величины вычисляются по одним и тем же формулам:

длина окружности Соотношение длин хорд окружности;
площадь круга Соотношение длин хорд окружности;
площадь сектора Соотношение длин хорд окружности;
площадь сегмента Соотношение длин хорд окружности;

И в заключение еще раз напомню о существовании абсолютно бесплатной программы, которая выполняет все перечисленные вычисления, освобождая вас от необходимости вспоминать, что такое арктангенс и где его искать.

🔍 Видео

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 класс

Соотношения между длинами хорд, отрезков касательных и секущих | Геометрия 8-9 классыСкачать

Соотношения между длинами хорд, отрезков касательных и секущих | Геометрия 8-9 классы

Окружность..Отношения между хордами 2.Скачать

Окружность..Отношения между хордами 2.

Длина дуги окружности. 9 класс.Скачать

Длина дуги окружности. 9 класс.

Радиус Хорда ДиаметрСкачать

Радиус Хорда Диаметр

Длина окружности. 9 класс.Скачать

Длина окружности. 9 класс.

Длина окружности. Площадь круга - математика 6 классСкачать

Длина окружности. Площадь круга - математика 6 класс

ГЕОМЕТРИЯ (урок 14) окружности, дуги, хордыСкачать

ГЕОМЕТРИЯ (урок 14) окружности, дуги, хорды

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи
Поделиться или сохранить к себе: