Сколько углов в треугольнике

Сколько углов у треугольника

Сколько углов у треугольника? Ответ на этот вопрос заложен в самом названии фигуры.

Тре угольник — фигура, имеющая три угла. У треугольника любого вида есть ровно три угла.

Сколько углов в треугольникеНапример, углы треугольника ABC —

угол A, угол B и угол C.

Для обозначения угла используют специальный знак: .

Запись ∠A читают как «угол A».

Угол можно назвать также тремя буквами.

При этом название вершины угла обязательно должно стоять посередине:

Сколько тупых углов у треугольника?

В треугольнике может быть только один тупой или один прямой угол.

Сколько углов в треугольникеНапример, в тупоугольном треугольнике MNP

один тупой угол — угол M

и два острых — угол N и угол P.

Сколько прямых углов у треугольника?

Сколько углов в треугольникеВ прямоугольном треугольнике KFT

один прямой угол — ∠K

и два острых — ∠F и ∠T.

Сколько острых углов у треугольника?

В треугольнике острых углов может быть два или три.

В прямоугольном треугольнике два острых угла.

В тупоугольном треугольнике два острых угла.

В остроугольном треугольнике три острых угла.

Содержание
  1. Треугольник — формулы, свойства, элементы и примеры с решением
  2. Что такое треугольник
  3. Определение треугольника
  4. Сумма углов треугольника
  5. Пример №1
  6. Пример №2
  7. О равенстве геометрических фигур
  8. Пример №3
  9. Пример №4
  10. Признаки равенства треугольников
  11. Пример №5
  12. Пример №6
  13. Равнобедренный треугольник
  14. Пример №7
  15. Пример №10
  16. Прямоугольный треугольник
  17. Первый признак равенства треугольников и его применение
  18. Пример №14
  19. Опровержение утверждений. Контрпример
  20. Перпендикуляр к прямой
  21. Перпендикуляр. Расстояние от точки до прямой
  22. Пример №15
  23. Второй признак равенства треугольников и его применение
  24. Решение геометрических задач «от конца к началу»
  25. Пример №16
  26. Пример №17
  27. Признак равнобедренного треугольника
  28. Пример №18
  29. Прямая и обратная теоремы
  30. Медиана, биссектриса и высота треугольника
  31. Свойство медианы, биссектрисы и высоты равнобедренного треугольника
  32. Пример №19
  33. Дополнительные построения в геометрических задачах. Метод удвоения медианы .
  34. Пример №20
  35. Третий признак равенства треугольников и его применение
  36. Пример №21
  37. Свойства и признаки
  38. Признаки параллельности прямых
  39. Пример №22
  40. О существовании прямой, параллельной данной
  41. Свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей.
  42. Пример №23
  43. Расстояние между параллельными прямыми
  44. Сумма углов треугольника
  45. Пример №24
  46. Виды треугольников по величине углов. Классификация
  47. Внешний угол треугольника
  48. Прямоугольные треугольники
  49. Прямоугольный треугольник с углом 30°
  50. Сравнение сторон и углов треугольника
  51. Неравенство треугольника
  52. Пример №25
  53. Справочный материал по треугольнику
  54. Треугольники
  55. Средняя линия треугольника и ее свойства
  56. Пример №26
  57. Треугольник и его элементы
  58. Признаки равенства треугольников
  59. Виды треугольников
  60. Внешний угол треугольника
  61. Прямоугольные треугольники
  62. Всё о треугольнике
  63. Равные треугольники. Высота, медиана, биссектриса треугольника
  64. Первый и второй признаки равенства треугольников
  65. Пример №27
  66. Равнобедренный треугольник и его свойства
  67. Пример №28
  68. Признаки равнобедренного треугольника
  69. Пример №29
  70. Третий признак равенства треугольников
  71. Теоремы
  72. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника
  73. Параллельные прямые
  74. Пример №30
  75. Признаки параллельности двух прямых
  76. Пример №31
  77. Пятый постулат Евклида
  78. Пример №34
  79. Прямоугольный треугольник
  80. Пример №35
  81. Свойства прямоугольного треугольника
  82. Пример №36
  83. Пример №37
  84. Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники.
  85. Виды треугольников
  86. Как определить вид треугольника
  87. Градусные меры острого, тупого, прямого углов в треугольниках
  88. 🎦 Видео

Видео:Что такое угол? Виды углов: прямой, острый, тупой, развернутый уголСкачать

Что такое угол? Виды углов: прямой, острый, тупой,  развернутый угол

Треугольник — формулы, свойства, элементы и примеры с решением

Содержание:

Треугольники и его элементы:

Определение: Треугольником называется геометрическая фигура, которая состоит из трех точек (вершин треугольника), не лежащих на одной прямой, и трех отрезков (сторон треугольника), попарно соединяющих эти точки.

Треугольник обозначается знаком Сколько углов в треугольнике

На рисунке 54 изображен треугольник с вершинами А, B, С и сторонами АВ, ВС, АС. Этот треугольник можно обозначить так: Сколько углов в треугольнике

Сколько углов в треугольнике

Определение: Углом треугольника ABC при вершине А называется угол ВАС.

Угол треугольника обозначают тремя буквами (например, «угол ABC») или одной буквой, которая указывает его вершину (например, «угол А треугольника ABC »).

Если вершина данного угла треугольника не принадлежит стороне, то говорят, что данный угол противолежащий этой стороне. В противном случае угол является прилежащим к стороне. Так, в треугольнике ABC угол А — прилежащий к сторонам АВ и АС и противолежащий стороне ВС. Стороны и углы треугольника часто называют его элементами

Определение: Периметром треугольника называется сумма всех его сторон.

Периметр — от греческого «пери» — вокруг и «метрео» — измеряю, измеренный вокруг.

Периметр обозначается буквой Р. По определению — Сколько углов в треугольникеЛюбой треугольник ограничивает часть плоскости. Будем считать, что точки, принадлежащие этой части, расположены внутри треугольника, а точки, которые ей не принадлежат,— вне треугольника.

Роль треугольника в геометрии трудно переоценить. Ученые не зря называют треугольники клетками организма геометрии. Действительно, многие более сложные геометрические фигуры можно разбить на треугольники.

В этой главе мы не только изучим «внутрен нее устройство» треугольников и выделим их виды, но и докажем признаки, по которым можно установить равенство треугольников, сравнивая их стороны и углы. Полученные в ходе наших рассуждений теоремы и соотношения расширят ваши представления об отрезках и углах, параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.

В процессе решения задач и доказательства теорем о свойствах треугольников вам предстоит освоить важные геометрические методы, которые помогут в ходе дальнейшего изучения геометрии.

Видео:7 класс, 31 урок, Теорема о сумме углов треугольникаСкачать

7 класс, 31 урок, Теорема о сумме углов треугольника

Что такое треугольник

Рассмотрим понятие треугольника. Пусть на плоскости дана трехзвенная замкнутая ломаная. Тогда эта ломаная разделяет множество оставшихся точек плоскости на ограниченную и неограниченную фигуры. При этом ограниченная фигура называется частью плоскости, ограниченной данной ломаной. Например, на рисунке 59, а изображена часть плоскости, ограниченная трехзвенной замкнутой ломаной ABC.

Определение. Треугольником называется геометрическая фигура, состоящая из трехзвенной замкнутой ломаной и части плоскости, ограниченной этой ломаной.

Вершины ломаной называются вершинами треугольника, а звенья ломаной — сторонами треугольника.

Точки треугольника, не принадлежащие его сторонам, называются внутренними.

Треугольник, вершинами которого являются точки А, В и С, обозначается следующим образом: Сколько углов в треугольникеАВС (читают: «Треугольник ABC»). Этот же треугольник можно обозначать и так: Сколько углов в треугольникеBСА или Сколько углов в треугольникеCАВ.

На рисунке 59, а изображен треугольник ABC. Точки А, В и С — вершины этого треугольника, а отрезки AB, ВС и АС — его стороны. На рисунке 59, B показан треугольник AFD, содержащийся в грани куба.

Сколько углов в треугольнике

Углы АBС, АСВ и САВ (см. рис. 59, а) называются внутренними углами треугольника ABC или просто углами треугольника. Иногда они обозначаются одной буквой: Сколько углов в треугольникеA, Сколько углов в треугольникеB, Сколько углов в треугольникеC. Стороны и углы треугольника называются его элементами.

На рисунке 59, в изображены треугольники ABC и ACD, у которых общая сторона АС. Угол ВАС — внутренний угол треугольника ВАС, Сколько углов в треугольникеACD — внутренний угол треугольника ACD.

Периметром треугольника называется сумма длин всех его сторон. Периметр треугольника ABC обозначается PABC.

Конструкции, имеющие треугольную форму, применяются при строительстве архитектурных сооружений, мостов и жилых зданий. Например, при постройке крыш некоторых домов используются стропила, имеющие форму треугольников (рис. 60, а).

Для треугольников, как и любых геометрических фигур, определяется понятие их равенства.

Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением, т. е. можно совместить их вершины, стороны и углы.

Рассмотрим пример. Если лист бумаги, имеющий форму прямоугольника, разрезать на две части, как показано на рисунке 60, б, то мы получим модели равных треугольников. Непосредственно можно убедиться, что полученные части можно наложить одна на другую так, что они совместятся.

Сколько углов в треугольнике

Два равных треугольника ABC и A1B1C1 (рис. 60, в) можно совместить так, что попарно совместятся их вершины, стороны и углы. Другими словами, если два треугольника равны, то стороны и углы одного треугольника соответственно равны сторонам и углам другого треугольника. Подчеркнем, что:

  • в равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы;
  • в равных треугольниках против соответственно равных углов лежат равные стороны.

Например, в равных треугольниках ABC и A1B1C1 , изображенных на рисунке 60, в, против равных сторон ВС и В1С1 лежат равные углы А и А1. Против равных углов С и С1 лежат равные стороны AB и A1B1.

Если треугольники ABC и A1B1C1 равны, то это обозначается следующим образом: Сколько углов в треугольникеABC = Сколько углов в треугольникеA1B1C1

Заметим, что для установления равенства треугольников необязательно их совмещать один с другим, а достаточно сравнить некоторые их элементы (стороны и углы).

Для доказательства равенства треугольников пользуются соответствующими теоремами (признаками), которые позволяют на основании равенства некоторых элементов треугольников делать вывод о равенстве самих треугольников.

Видео:Виды треугольниковСкачать

Виды треугольников

Определение треугольника

Треугольник — замкнутая ломаная, состоящая из трех звеньев. Или часть плоскости, ограниченная этой ломаной. У каждого треугольника три стороны, три вершины и три угла. Сумма длин сторон треугольника — его периметр.

Сумма углов треугольника равна 180°.

Важную роль в геометрии играют признаки равенства треугольников. Две фигуры называются равными, если их можно совместить. ЕслиСколько углов в треугольнике, тоСколько углов в треугольникеСколько углов в треугольнике

Три признака равенства треугольников:

Два треугольника равны, если: две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника (I); или если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника (II); или если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника (III).

Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным. Равные стороны равнобедренного треугольники называются боковыми сторонами, а третья — его основанием.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Если два угла треугольника равны, то он равнобедренный.

Если у треугольника все стороны равны, его называют равно сторонним треугольником. Каждый угол равностороннего треугольника равен 60°.

В зависимости от углов треугольники делят на остроуголь ные, прямоугольные, и тупоугольные. Сторону прямоугольного треугольника, лежащую против прямого угла, называют гипотенузой, а две другие — катетами.

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух другим его сторон и больше их разности. Какие бы ни были три точки плоскости А, В и С, всегда АВ + ВС > АС.

В каждом треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла — большая сторона.

Если три точки, не лежащие на одной прямой, соединить отрезками, получится треугольник. Другими словами: треугольник — это замкнутая ломаная из трех звеньев. На рисунке 119 изображён треугольник ABC (пишут: Сколько углов в треугольнике). Точки А, В, С — вершины, отрезки АВ, ВС и СА — стороны этого треугольника. Каждый треугольник имеет три вершины и три стороны.

Сколько углов в треугольнике

Много разных моделей треугольников можно увидеть в подъемных кранах, заводских конструкциях, различных архитектурных строениях (рис. 120).

Сколько углов в треугольнике

Сумму длин всех сторон треугольника называют его периметром.

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон. Почему?Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой его противолежащей стороны, — медиана треугольника. Отрезок биссектрисы угла треугольника от его вершины до противолежащей стороны — биссектриса треугольника. Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, которой принадлежит его противолежащая сторона, — высота треугольника. На рисунке 121 изображен Сколько углов в треугольнике, в котором из вершины С проведены: медиана СМ, биссектриса CL и высота СН.

Сколько углов в треугольнике

Каждый треугольник имеет три медианы, три биссектрисы и три высоты.

Треугольник разделяет плоскость на две области: внутреннюю и внешнюю. Фигура, состоящая из треугольника и его внутренней области, также называется треугольником.

Углами треугольника ABC называют углы ВАС, ABC и АСИ. Их обозначают еще так: Сколько углов в треугольнике. Каждый треугольник имеет три угла.

Если треугольник имеет прямой или тупой угол, его называют соответственно прямоугольным или тупоугольным треугольником. Треугольник, все углы которого острые, называется остроугольным. На рисунке 122 изображены остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники. Их внутренние области закрашены.

Сколько углов в треугольнике

Словом треугольник геометры называют два разных понятия: и замкнутую ломаную из трех звеньев, и такую ломаную вместе с ограниченной ею внутренней частью плоскости. Подобно тому, как стороной треугольника иногда называют отрезок, иногда — длину этого отрезка, высотой треугольника называют и определенный отрезок, и его длину.

Так делают для удобства: чтобы каждый раз не говорить, например, «длина высоты треугольника равна 5 см», договорились говорить проще: «высота треугольника равна 5 см».

Каждый многоугольник можно разрезать на несколько треугольников. Поэтому треугольники в геометрии играют такую важную роль, как атомы в физике, как кирпичи в доме. Существует даже отдельная часть геометрии, интересная и содержательная: геометрия треугольника.

Пример:

На сколько частей могут разбивать плоскость два ее треугольника?

Решение:

Если два треугольника расположены в одной плоскости, то они могут разбить ее максимум на 8 частей (рис. 123). Мысленно передвигая один из двух данных треугольников так, чтобы сначала один из образованных их пересечением треугольник превратился в точку, потом-второй и т. д., убеждаемся, что два треугольника могут разбивать плоскость на 3, 4, 5, 6, 7, 8 частей (рис. 124). Лишь когда два треугольника равны и совмещены друг с другом, они разбивают плоскость на 2 части.

Сколько углов в треугольнике

Пример:

Среднее арифметическое всех сторон треугольника равно т. Найдите периметр треугольника.

Решение:

Если a, b, c — стороны треугольника, а Р — его периметр , то
Сколько углов в треугольнике

Сумма углов треугольника

Теорема: Сумма углов треугольника равна 180°

Доказательство:

Пусть ABC — произвольный треугольник (рис. 127). Через его вершину С проведем прямую КР, параллельную АВ.

Сколько углов в треугольнике

11олученные углы АСК и ВСР обозначим цифрами 1 и 2. ТогдаСколько углов в треугольникекак внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых АВ и КР и секущих АС и ВС. Углы 1, 2 и С в сумме равны развернутому углу, то есть 180°. Поэтому

Сколько углов в треугольнике

В доказанной теореме 8 речь идет о сумме мер углов треугольника. Но для упрощения формулировок вместо «мера угла» часто употребляют слово «угол».

Треугольник не может иметь два прямых или два тупых угла, В каждом треугольнике по крайней мере два угла — острые.

Иногда кроме углов треугольника (внутренних) рассматривают также его внешние углы. Внешним углом треугольника называют угол, образованный стороной треугольника и продолжением его другой стороны. Например, внешним углом треугольника ABC при вершине А является угол КАС (рис. 128).

Сколько углов в треугольнике

Теорема: Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.

Сколько углов в треугольнике

Сколько углов в треугольникеСколько углов в треугольнике

Сколько углов в треугольникеВНИМАНИЕ! При каждой вершине треугольника можно построить два внешних угла, продлив ту или иную его сторону. Например, каждый из углов КАС и РАВ — внешний угол треугольника ABC при вершине А (рис. 129). Такие два внешних угла — вертикальные, поэтому равны друг другу.

Теорему о сумме углов треугольника можно обобщить и распространить на произвольные многоугольники.

Каждый четырехугольник можно разрезать на два треугольника, соединив его противолежащие вершины отрезком. (Если один из углов четырехугольника больше развернутого, то именно его вершину следует соединить с противолежащей, как на рисунке 130.) Сумма всех углов четырех- ‘ угольника равна сумме всех углов двух образованных треугольников, то есть 180° • 2. Таким образом, сумма углов любого четырехугольника равна 360°.

Сколько углов в треугольнике

Произвольный пятиугольник можно разрезать на четырехугольник и треугольник или на 3 треугольника (рис. 131). Таким образом, сумма углов пятиугольника равна 180° • 3, то есть 540°.

Сколько углов в треугольнике

Попробуйте написать формулу, по которой можно вычислить сумму углов произвольного n-угольника.

Пример №1

Чему равна сумма внешних углов треугольника, взятых при каждой вершине по одному?

Решение:

Пусть ABC — произвольный треугольник. Обозначим его внешние углы 1, 2 и 3 (рис. 132). Согласно теореме о внешнем угле треугольника

Сколько углов в треугольнике

Сложив отдельно левые и правые части этих равенств, получим:

Сколько углов в треугольнике

Сколько углов в треугольнике

Сколько углов в треугольнике

Пример №2

Докажите, что в каждом треугольнике есть угол не больше 60° и угол не меньше 60°.

Решение:

Если бы каждый угол треугольника был меньше 60°, то сумма всех его углов составляла бы меньше 180°, а это невозможно. Если бы каждый угол треугольника был больше 60°, то сумма всех его углов была бы больше 180°, что также невозможно.

Следовательно, в каждом треугольнике есть угол не ‘ больше 60° и угол не меньше 60°.

О равенстве геометрических фигур

На рисунке 136 изображены два треугольника. Представьте, что один из них начерчен на бумаге, и второй — на прозрачной пленке. Передвигая пленку, второй треугольник можно совместить с первым. Говорят: если данные треугольники можно совместить движением, то они равны. Равными друг другу бывают не только треугольники, но и отрезки, углы, окружности и другие фигуры.

Изображенные на рисунке 137 фигуры тоже равны, потому что их можно совместить, согнув лист бумаги по прямой I. Л фигуры, изображенные на рисунке 138, не равны, их нельзя Совместить.
Для обозначения равных фигур используют знак равенства Сколько углов в треугольнике. Например, Сколько углов в треугольнике

Сколько углов в треугольнике

Если каждая из двух фигур равна третьей, то первая и вторая фигуры также равны.

С равными фигурами часто приходится иметь дело многим специалистам. В форме равных прямоугольников изготовляют листы жести, фанеры, стекла, облицовочную плитку, паркетины и т. д. Равны все листы бумаги из одной пачки, соответствующие детали двух машин одной марки.Чтобы выяснить, равны ли две фигуры, можно попробовать их совместить. Но на практике это не всегда удается осуществить. Например, таким способом нельзя определить, равны ли два земельных участка. Поэтому приходится искать другие способы, выявлять признаки равенства тех или иных фигур. Например, если радиусы двух окружностей равны, то равны и сами окружности. Это — признак равенства окружностей. В следующем параграфе мы рассмотрим признаки равенства треугольников.

Треугольник с вершинами А, В и С можно обозначать по-разному: Сколько углов в треугольникеи т. д. Однако для удобства договоримся, что когда пишут Сколько углов в треугольнике, то подразумевают, что Сколько углов в треугольникеАВ = КР, АС = КТ, ВС = РТ.

Слово равенство в математике и других науках употребляется достаточно часто. Говорят, в частности, о равенстве чисел, равенстве выражений, равенстве значений величин. Равенство геометрических фигур — это отношение. Оно имеет следующие свойства:

  1. каждая фигура равна самой себе;
  2. если фигура А равна фигуре В, то и фигура В равна А;
  3. если фигура А равна В, а фигура В равна С, то фигуры А и С также равны.

Нередко из равенства одних фигур либо величин следует и равенство других фигур либо величин, но — не всегда. Например, если треугольники равны, то и их периметры равны. Однако если периметры двух треугольников равны, то это еще не значит, что равны и сами треугольники. То же самое: если треугольники равны, то и их площади равны. Но если площади двух треугольников равны, это еще не означает, что и треугольники равны.

Очень часто для обоснования равенства тех или иных фигур необходимо обосновать равенство некоторых треугольников. Вот почему вопросу о равенстве треугольников в геометрии придают такое важное значение: большинство теорем школьной геометрии доказывают, используя признаки равенства треугольников.

Пример №3

Равны ли углы, изображенные на рисунке 139?

Решение:

Стороны угла — лучи. Хотя на рисунке они изображены неравными отрезками, но следует представить их в виде бесконечных лучей. Поскольку каждый из этих углов имеет 35° (проверьте), то они равны.

Пример №4

Докажите, что треугольники не могут быть равными, если не равны их наибольшие углы.

Решение:

Пусть у треугольников ABC и КРТ

Сколько углов в треугольнике. Если бы данные треугольники были равны, их можно было бы совместить. Тогда наибольший угол А треугольника ABC совместился бы с наибольшим углом К треугольника КРТ. Это невозможно, поскольку Сколько углов в треугольнике. Значит, данные треугольники не могут быть равными.

Сколько углов в треугольнике

Признаки равенства треугольников

Если треугольники ABC и Сколько углов в треугольникевины друг другу, то их можно совместить. При этом если совместятся вершины Сколько углов в треугольникеи то совместятся и стороны:Сколько углов в треугольнике Сколько углов в треугольникеЗначит, если Сколько углов в треугольникето Сколько углов в треугольнике,Сколько углов в треугольникеЧтобы доказать, что данные треугольники равны, не обязательно убеждаться в истинности всех шести равенств.

Теорема: (первый признак равенства треугольников). Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Пусть Сколько углов в треугольнике— два треугольника, у которыхСколько углов в треугольнике, Сколько углов в треугольникеСколько углов в треугольнике(рис. 1;46). Докажем, что Сколько углов в треугольникеСколько углов в треугольнике

Наложим Сколько углов в треугольникетаким образом, чтобы вершина Сколько углов в треугольникесовместилась А, вершина Сколько углов в треугольнике— с В, а сторона Сколько углов в треугольникеналожилась на луч АС. Это можно сделать, потому что по условиюСколько углов в треугольникеСколько углов в треугольнике. Поскольку Сколько углов в треугольнике, то при таком положении точка Сколько углов в треугольникесовместится с С. В результате все вершины Сколько углов в треугольникесовместятся с соответствующими вершинами

Сколько углов в треугольнике

Сколько углов в треугольнике

Теорема: (второй признак равенства треугольников). Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Сколько углов в треугольнике

Сколько углов в треугольникеСколько углов в треугольнике

*Существуют также и другие признаки равенства треугольников (см. теорему 14).
На признаки равенства треугольников нам придется ссылаться часто. Чтобы не путать, какой из них назвали первым, какой — вторым и т. д., их лучше всего различать по смыслу, говорить о признаке равенства треугольников:

  1. по двум сторонам и углу между ними;
  2. по стороне и двум прилежащим углам,
  3. по трем сторонам (его докажем позже).

Эти признаки равенства треугольников называют общими признаками, поскольку они верны для любых треугольников. Кроме них, есть еще признаки равенства прямоугольных треугольников, равнобедренных треугольников и др.

Два равносторонних треугольника равны, если сторона одного из них равна стороне другого.

Попробуйте доказать этот признак, воспользовавшись общими признаками.

Пример №5

Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О так, что АО = OD и СО = ОВ. Докажите, что АС = BD.

Решение:

Рассмотрим треугольники АСО и DBO (рис. 148). Их углы при вершине О вертикальные, значит, равны. Соответственные стороны тоже равны:

АО = OD, СО = ОВ. По первому признаку равенства треугольников Сколько углов в треугольнике

Сколько углов в треугольникеСтороны АС и BD этих треугольников соответственные, поскольку лежат против равных углов при вершине О. Следовательно, АС = BD.

Сколько углов в треугольнике

Пример №6

Две стороны треугольника равны. Докажите, что и медианы, проведенные к этим сторонам, также равны.

Сколько углов в треугольнике

Решение:

Пусть у Сколько углов в треугольникесторона АВ = АС, а ВК и СР — медианы (рис. 149). АР = = АК, как половины равных сторон. Сколько углов в треугольнике, поскольку АВ = = АС, АК = АР и угол А общий. Следовательно, ВК = СР.

Равнобедренный треугольник

Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Равные стороны равнобедренного треугольника называют боковыми сторонами, а третью его сторону — основанием.

Треугольник, не являющийся равнобедренным, называют разносторонним. Треугольник, у которого все стороны равны, называют равносторонним. Это отдельный вид равнобедренного треугольника (рис. 161).

Сколько углов в треугольнике

Теорема: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, а биссектриса, проведенная к основанию, является и медианой, и высотой.

Доказательство:

Пусть ABC — равнобедренный треугольник с основанием ВС (рис. 162). Биссектриса AL разбивает его на треугольники ABL и ACL. Поскольку АВ = AC, AL — общая сторона, Сколько углов в треугольникеСколько углов в треугольнике, то по двум сторонам и углу между ними Сколько углов в треугольнике. Из равенства этих треугольников следует:

а) Сколько углов в треугольнике, то есть углы при основании Сколько углов в треугольникеравны;

б) BL = CL, то есть AL — медиана Сколько углов в треугольнике

в) Сколько углов в треугольнике, Сколько углов в треугольнике

Сколько углов в треугольнике

Теорема: Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

Доказательство:

Пусть в Сколько углов в треугольнике(рис. 162). Докажем, что АВ =АС. Проведем биссектрису AL. Она делит данный треугольник И я два: Сколько углов в треугольникеУ нихСколько углов в треугольнике, Поэтому Сколько углов в треугольнике. По стороне AL и прилежащим к ней углам Сколько углов в треугольнике. Следовательно, Сколько углов в треугольнике

Из теорем 9 и 10 вытекает такое следствие.

В треугольнике против равных сторон лежат равные углы, а против равных углов — равные стороны.

Равнобедренный — это имеющий равные бедра. Равные стороны — словно ноги.

Как соотносятся между собой треугольники и равнобедренные треугольники? Равнобедренные треугольники составляют только часть всех треугольников. Говорят, что объем понятия «треугольники» больше объема понятия «равнобедренные треугольники». Такие соотношения принято наглядно изображать диаграммами Эйлера (рис. 163). Те треугольники, которые не являются равнобедренными, называют разносторонними треугольниками. Следовательно, общее понятие «треугольники»можно разделить на два класса: треугольники равнобедренные и треугольники разносторонние (рис. 164):
Сколько углов в треугольнике

Пример №7

Две стороны равнобедренного треугольника равны соответственно 2 см и б см. Найдите длину третьей его стороны.

Решение:

Основание данного треугольника не может быть равно б см, поскольку 2 см + 2 см против равных сторон лежат равны’ углы. Поэтому Сколько углов в треугольнике

Сколько углов в треугольнике

Равенство углов BAD и BCD можно доказать двумя способами: либо показать, что каждый из них состоит из двух равных углов Сколько углов в треугольнике Сколько углов в треугольнике(рис. 175), либо проведя отрезок BD.

Сколько углов в треугольнике

Пример №10

На окружности с центром О обозначены точки А, В, К и Р такие, что АВ = КР (рис. 176). Докажите, что Сколько углов в треугольнике

Решение:

Проведя в данные точки радиусы, получим треугольники АОВ и КОР. Они равны по трем сторонам, поскольку АВ = КР по условию и ОА = OB = OK = ОР — как радиусы. Поэтому Сколько углов в треугольнике

Сколько углов в треугольнике

Прямоугольный треугольник

Треугольник называется прямоугольным, если один из его углов прямой Сумма двух других его углов равна 90° поскольку 180° — 90° = 90°.

Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, — эп гипотенуза, две другие его стороны катеты (рис. 182). На рисунке прямо! угол иногда обозначают квадратиком. В каждом прямоугольном треугольнике гипотенуза больше каждого из катетов.

Сколько углов в треугольнике

Позже нам будут необходимы признаки равенства прямо угольных треугольников. Из первого и второго признаков равенства треугольников (§ 12) непосредственно следуют таки АС.

Стороны АВ и АС не могут быть равными, потому что тогда данный треугольник был бы равнобедренным и один из его углов при основании не мог бы быть больше другого.

Не может сторона АВ быть и меньше АС, поскольку тогда угол С был бы меньше угла В. А поскольку сторона АВ не равна АС и не меньше АС, то она больше АС.Сколько углов в треугольнике

  1. В каждом прямоугольном треугольнике гипотенуза длиннее каждого катета.
  2. Перпендикуляр, проведенный из какой-либо точки к прямой, короче любой наклонной, проведенной и: Сколько углов в треугольнике. Если представить, что фигура Сколько углов в треугольникеизображена на прозрачной пленке, то с помощью наложения этой пленки на фигуру Сколько углов в треугольнике(той или другой стороной (рис. 55, а, б) можно совместить фигуры Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольнике. В таком случае фигуры Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольникепо определению равны.

Сколько углов в треугольнике

Для обозначения равенства фигур используют знак математического равенства Сколько углов в треугольникеЗапись Сколько углов в треугольникеозначает «фигура Сколько углов в треугольникеравна фигуре Сколько углов в треугольнике »

Рассмотрим равные треугольники Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольнике(рис. 56).

По определению, такие треугольники можно совместить наложением. Очевидно, что при наложении соответственно совместятся стороны и углы этих треугольников, то есть каждому эле менту треугольника Сколько углов в треугольникебудет соответствовать равный элемент треугольника Сколько углов в треугольнике. Условимся, что в записи Сколько углов в треугольникемы будем упорядочивать названия треугольников так, чтобы вершины равных углов указывались в порядке соответствия. Это означает: если Сколько углов в треугольнике, то Сколько углов в треугольникеСколько углов в треугольнике

Таким образом, из равенства двух треугольников вытекают шесть равенств соответствующих элементов: три — для углов и три — для сторон. На рисунках соответственно равные стороны обычно обозначают одинаковым количеством черточек, Рис. 56. Треугольники а соответственно равные углы — одинаковым ко личеством дужек (рис. 56).

Сколько углов в треугольнике

А верно ли, что треугольники, имеющие соответственно равные стороны и углы, совмещаются наложением? Можно ли по равенству некоторых соответствующих элементов доказать равенство самих треугольников? Ответить на эти вопросы мы попытаемся в дальнейшем.

[1] Существование треугольника, равного данному, является одной из аксиом планиметрии. Эта аксиома приведена в Приложении 1.

Первый признак равенства треугольников и его применение

Первый признак равенства треугольников

В соответствии с определением равных фигур, два треугольника равны, если они совмещаются наложением. Но на практике наложить один треугольник на другой не всегда возможно. Например, таким образом невозможно сравнить два земельных участка. Значит, возникает необходимость свести вопрос о равенстве треугольников к сравнению их сторон и углов. Но нужно ли для установления равенства сравнивать все шесть элементов данных треугольников? Бели нет, то какие именно элементы двух треугольников должны быть соответственно равными, чтобы данные треугольники были равны? Ответ на этот вопрос дают признаки равенства треугольников.

Докажем первый из этих признаков.

Теорема: (первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними)

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Пусть даны треугольники Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольнике, у которых Сколько углов в треугольникеСколько углов в треугольнике(рис. 58). Докажем, что Сколько углов в треугольнике

Сколько углов в треугольнике

Поскольку Сколько углов в треугольникето треугольник Сколько углов в треугольникеможно наложить на треугольник Сколько углов в треугольникетак, чтобы точки Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольникесовместились, а стороны Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольникеналожились на лучи Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольникесоответственно. По условию Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольнике, следовательно, сторона Сколько углов в треугольникесовместится со стороной Сколько углов в треугольнике, а сторона Сколько углов в треугольнике— со стороной Сколько углов в треугольнике. Таким образом, точка Сколько углов в треугольникесовместится с точкой Сколько углов в треугольнике, а точка Сколько углов в треугольнике— с точкой Сколько углов в треугольнике, то есть стороны Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольникетакже совместятся. Значит, при наложении треугольники Сколько углов в треугольнике, совместятся полностью. Итак, Сколько углов в треугольникепо определению. Теорема доказана.

Пример №14

Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Докажите равенство треугольников АОС и BOD (рис. 59).

Сколько углов в треугольнике

Решение:

В треугольниках АОС и BOD АО = ВО и СО = DO по условию, Сколько углов в треугольникепо теореме о вертикальных углах. Таким образом, Сколько углов в треугольникепо первому признаку равенства треугольников.

Практическое значение доказанной теоремы очевидно из такого примера.

Пусть на местности необходимо определить расстояние между точками А и С, прямой проход между которыми невозможен (рис. 60). Один из способов измерения следующий: на местности выбирают некоторую точку О, к которой можно пройти из точек А , С, В, D, и на лучах АО и СО откладывают отрезки ВО=АО и DO = СО.

Сколько углов в треугольнике

Тогда, согласно предыдущей задаче, Сколько углов в треугольникепо первому признаку равенства треугольников. Отсюда следует, что искомое расстояние АС равно расстоянию BD, которое можно измерить.

Опровержение утверждений. Контрпример

Проанализируем первый признак равенства треугольников. Согласно ему для доказательства равенства двух треугольников достаточно доказать равенство трех пар соответствующих элементов — двух сторон и угла между ними. Требование того, чтобы равные углы обязательно лежали между равными сторонами, является очень важным.

Действительно, рассмотрим треугольники ABC и А1В1С1 (рис. 61). Они имеют две пары соответственно равных сторон (АВ = А1В1, ВС = В1С1), но равные углы Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольникележат не между равными сторонами, поэтому данные треугольники не равны.

Сколько углов в треугольнике

С помощью приведенного примера мы показали, что утверждение «Если две стороны и некоторый угол одного треугольника соответственно равны двум сторонам и некоторому углу другого треугольника, то такие треугольники равны» является ошибочным. Иначе говоря, мы опровергли это утверждение конкретным примером. Такой пример, с помощью которого можно показать, что некоторое общее утверждение является неправильным, называется контрпримером. Принцип построения контрпримера для опровержения неправильного утверждения довольно прост: нужно смоделировать ситуацию, когда условие утверждения выполняется, а заключение — нет.

Контрпример — от латинского «контра» — против

Изобразим схематически опровержение утверждения с помощью контрпримера.

УТВЕРЖДЕНИЕ Если А, то В

КОНТРПРИМЕР А, но не В

Контрпримеры используются только для опровержения неправильных утверждений, но не для доказательства правильных. Заметим также, что не всякое ошибочное утверждение можно опровергнуть контрпримером. Если для опровержения некоторого утверждения не удалось подобрать контрпример, это не означает, что данное утверждение верно.

Опровержение утверждений с помощью контрпримеров применяется не только в математике. Пусть, например, некто утверждает, что все птицы, которые водятся в Украине, осенью улетают на юг. Это утверждение можно опровергнуть, приведя в качестве контрпримера воробьев. А опровергнуть утверждение «В русском языке нет существительного, в котором содержались бы пять согласных подряд» можно с помощью самого слова «контрпример » .

Перпендикуляр к прямой

9.1. Существование и единственность прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой

Признаки равенства треугольников применяются не только для решения задач, но и для доказательства новых геометрических утверждений, в частности и тех, в формулировках которых не упоминается треугольник. Докажем с помощью первого признака равенства треугольников теорему о прямой, проходящей через данную точку плоскости перпендикулярно данной прямой.

Теорема (о существовании и единственности перпендикулярной прямой) Через любую точку плоскости можно провести прямую, перпендикулярную данной, и только одну.

Перед началом доказательства теоремы проанализируем ее формулировку. Теорема содержит два утверждения:

  1. существует прямая, проходящая через данную точку плоскости и перпендикулярная данной прямой;
  2. такая прямая единственна.

Первое утверждение теоремы говорит о существовании прямой с описанными свойствами, второе — о ее единственности. Каждое из этих утверждений необходимо доказать отдельно.

Рассмотрим сначала случай, когда данная точка не лежит на данной прямой.

1) Существование. Пусть даны прямая Сколько углов в треугольникеи точка А , не лежащая на данной прямой. Выберем на прямой Сколько углов в треугольникеточки В и М так, чтобы угол АВМ был острым (рис. 67).

Сколько углов в треугольнике

С помощью транспортира отложим от луча ВМ угол СВМ, равный углу АВМ так, чтобы точки А и С лежали по разные стороны от прямой Сколько углов в треугольнике. На луче ВС отложим отрезок ВА1 , равный отрезку ВА , и соединим точки А и D. Пусть D — точка пересечения отрезка Сколько углов в треугольнике, с прямой Сколько углов в треугольнике.

Рассмотрим треугольники Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольнике. Они имеют общую сторону BD, a Сколько углов в треугольнике Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольникепо построению. Таким образом, Сколько углов в треугольникепо первому признаку равенства треугольников. Отсюда следует, что Сколько углов в треугольникеНо эти углы смежные, поэтому по теореме о смежных углах Сколько углов в треугольникеСколько углов в треугольнике. Итак, прямая Сколько углов в треугольникеперпендикулярна прямой Сколько углов в треугольнике.

2) Единственность. Применим метод доказательства от противного.

Пусть через точку А проходят две прямые Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольникеперпендикулярные прямой Сколько углов в треугольнике(рис. 68). Тогда по теореме о двух прямых, перпендикулярных третьей, Сколько углов в треугольнике. Но это невозможно, поскольку прямые Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольникеимеют общую точку А. Итак, наше предположение неверно, то есть прямая, проходящая через точку А перпендикулярно прямой Сколько углов в треугольнике, единственна.

Сколько углов в треугольникеСколько углов в треугольнике

Теперь рассмотрим случай, когда точка А лежит на прямой Сколько углов в треугольнике. От любой полупрямой прямой Сколько углов в треугольникес начальной точкой А можно отложить прямой угол (рис. 69). Отсюда вытекает существование перпендикулярной прямой, содержащей сторону этого угла.

Доказательство единственности такой прямой повторяет доказательство, представленное выше. Теорема доказана.

Утверждения о существовании и единственности уже встречались нам в аксиомах, но необходимость доказывать их возникла впервые. В математике существует целый ряд теорем, аналогичных доказанной (их называют теоремами существования и единственности). Общий подход к таким теоремам состоит в отдельном доказательстве каждого из двух утверждений.

Необходимость двух отдельных этапов доказательства в шутку можно пояснить так: утверждение «У дракона есть голова» не означает, что эта голова единственная. Доказательство существования определенного объекта чаще всего сводится к описанию способа его получения. Единственность обычно доказывают методом от противного.

Перпендикуляр. Расстояние от точки до прямой

Определение:

Перпендикуляром к данной прямой, проведенным из точки А, называется отрезок прямой, перпендикулярной данной, одним из концов которого является точка А а вторым (основанием перпендикуляра) — точка пересечения этих прямых.

На рисунке 70 отрезок АВ является перпендикуляром к прямой а, проведенным из точки А . Точка В — основание этого перпендикуляра. Поскольку по предыдущей теореме через точку А можно провести единственную прямую, перпендикулярную прямой а, то отрезок АВ — единственный перпендикуляр к прямой а, проведенный из точки А.

Сколько углов в треугольнике

Из доказанной теоремы следует, что из точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и только один.

Это утверждение называют теоремой о существовании и единственности перпендикуляра к прямой.

Определение:

Расстоянием от точки до прямой, не проходящей через эту точку, называется длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую.

Иногда расстоянием от точки до прямой называют сам этот перпендикуляр. Таким образом, отрезок АВ (см. рис. 70) является расстоянием от точки А до прямой а.

Пример №15

Точки А и С лежат по одну сторону от прямой а, АВ и CD — расстояние от данных точек до прямой а, причем АВ = CD (рис. 71). Докажите, что AD = СВ.

Сколько углов в треугольнике

Решение:

Рассмотрим треугольники ABD и CDB. У них сторона ВD общая, АВ = CD по условию. По определению расстояния от точки до прямой АВ и CD — перпендикуляры к прямой а, то есть Сколько углов в треугольникеТогда Сколько углов в треугольникепо первому признаку равенства треугольников. Из этого следует, что AD = СВ, что и требовалось доказать.

Второй признак равенства треугольников и его применение

Второй признак равенства треугольников

В первом признаке равенства треугольников равенство двух треугольников было доказано по трем элементам: двум сторонам и углу между ними. Однако это не единственный возможный набор элементов, равенство которых гарантирует равенство треугольников. Еще один такой набор — это сторона и прилежащие к ней углы.

Теорема: (второй признак равенства треугольников — по стороне и прилежащим к ней углам)

Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника соответственно равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Пусть даны треугольники Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольнике, у которых Сколько углов в треугольнике, Сколько углов в треугольникеСколько углов в треугольнике(рис. 72). Докажем, что Сколько углов в треугольнике

Сколько углов в треугольнике

Поскольку Сколько углов в треугольнике, то треугольник Сколько углов в треугольникеможно наложить на треугольник Сколько углов в треугольникетак, чтобы сторона АС совместилась со стороной Сколько углов в треугольнике, а точки Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольникележали по одну сторону от прямой Сколько углов в треугольнике. По условию Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольнике, поэтому сторона Сколько углов в треугольникеналожится на луч Сколько углов в треугольнике, а сторона Сколько углов в треугольнике— на луч Сколько углов в треугольнике. Тогда точка Сколько углов в треугольнике— общая точка сторон Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольнике— будет лежать как на луче Сколько углов в треугольнике, так и на луче Сколько углов в треугольнике, то есть совместится с общей точкой этих лучей — точкой В. Таким образом, совместятся стороны Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольнике, а также Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольнике. Значит, при наложении треугольники Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольнике, совместятся полностью, то есть по определению Сколько углов в треугольнике. Теорема доказана.

Решение геометрических задач «от конца к началу»

Рассмотрим пример применения второго признака равенства треугольников для решения задачи.

Пример №16

На рисунке 73 Сколько углов в треугольникеНайдите угол D если Сколько углов в треугольнике

Сколько углов в треугольнике

Прежде чем привести решение этой задачи, попытаемся ответить на вопрос: как именно надо рассуждать, чтобы найти путь к нему?

  1. Сначала проанализируем вопрос задачи. Нам необходимо найти градусную меру угла D. Очевидно, что для этого должны быть использованы числовые данные. Мы имеем лишь одно такое условие: Сколько углов в треугольнике. Таким образом, можно предположить, что углы B и D должны быть как-то связаны. Как именно?
  2. Заметим, что углы В и D являются углами треугольников ABC и ADC соответственно, причем оба эти угла противолежат стороне АС . Отсюда возникает идея о том, что углы B и D могут быть равными, и их равенство может следовать из равенства треугольников ABC и ADC .
  3. Следующий шаг рассуждений: действительно ли треугольники ABC и ADC равны? Если да, то на основании какого признака можно доказать их равенство? Здесь на помощь приходят другие данные задачи — равенства углов: Сколько углов в треугольнике. Как вы уже знаете, две пары соответственно равных углов рассматриваются в формулировке второго признака равенства треугольников, то есть следует попробовать применить именно его.
  4. Для окончательного определения хода решения задачи осталось ответить на вопрос: каких еще данных нам не достает для применения второго признака равенства треугольников? Откуда их можно получить? Отметим, что углы 1 и 3 треугольника ABC, а также углы 2 и 4 треугольника ADC являются прилежащими к сторонеАС, которая, кроме того, является общей стороной данных треугольников.

Итак, путь определен, и остается лишь записать решение, повторяя рассуждения в обратном порядке — от 4-го к 1-му пункту.

Решение:

Рассмотрим треугольники ABC и АDС . В них сторона АС общая, Сколько углов в треугольникепо условию, и эти углы прилежат к стороне АС. Таким образом, Сколько углов в треугольникепо второму признаку равенства треугольников.

Углы В и D — соответственно равные углы равных треугольников.

Значит, Сколько углов в треугольнике

Ответ: 110°.

Отметим, что в рассуждениях 1) — 4) мы начинали с вопроса задачи, а затем использовали ее условия, то есть шли «от конца к началу». Во многих геометрических задачах именно такой способ рассуждений позволяет найти правильный путь к решению.

Пример №17

Докажите, что середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами другого равнобедренного треугольника.

Решение:

Пусть ABC — равнобедренный треугольник с основанием АС, точки D , Е, F — середины сторон АВ, ВС и АС соответственно (рис. 84). Докажем, что треугольник D EF равнобедренный. Рассмотрим треугольники DAF и ECF. У них AD = СЕ как половины равных сторон АВ и СВ, AF = CF (поскольку по условию точка F — середина AC), Сколько углов в треугольникекак углы при основании равнобедренного треугольника ABC. Следовательно, Сколько углов в треугольникепо первому признаку равенства треугольников. Тогда отрезки D F = EF как соответствующие стороны равных треугольников, то есть треугольник D EF равнобедренный.

Сколько углов в треугольнике

Признак равнобедренного треугольника

Из предыдущей теоремы следует, что в треугольнике против равных сторон лежат равные углы. Но всегда ли стороны, противолежащие равным углам, должны быть равными? Ответим на этот вопрос следующей теоремой.

Теорема: (признак равнобедренного треугольника) Если в треугольнике два угла равны, те он равнобедренный:

Доказательство:

Пусть в треугольнике ABC Сколько углов в треугольнике. Докажем, что этот треугольник равнобедренный.

Через точку D — середину стороны АС — проведем прямую d , перпендикулярную АС. Пусть эта прямая пересекает луч АВ в точке Сколько углов в треугольнике(рис. 85). Соединим точки Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольникеи рассмотрим треугольники Сколько углов в треугольнике. У них сторона Сколько углов в треугольникеобщая, Сколько углов в треугольникеи AD = CD по построению. Таким образом, Сколько углов в треугольникепо первому признаку. Отсюда Сколько углов в треугольнике, Сколько углов в треугольнике. Поскольку по построению точка Сколько углов в треугольникележит на луче АВ, угол Сколько углов в треугольникесовпадает с углом А треугольника ABC. Тогда по условию теоремы и по доказанному имеем: Сколько углов в треугольнике. Таким образом, по аксиоме откладывания углов углы Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольникесовпадают, то есть точка Сколько углов в треугольникележит и на луче СВ. Поскольку лучи АВ и СВ имеют единственную точку пересечения, точки Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольникесовпадают, то есть АВ = СВ. Теорема доказана.

Сколько углов в треугольнике

Если в треуольнике все углы равны, то он равносторонний.

Сколько углов в треугольнике

Отметим, что теперь мы имеем два пути доказательства того, что треугольник равнобедренный:

  1. по определению равнобедренного треугольника (то есть путем доказательства равенства двух сторон);
  2. по признаку равнобедренного треугольника (то есть путем доказательства равенства двух углов).

Пример №18

На продолжении основания АС равнобедренного треугольника ABC отмечены точки D и E, причем AD=CE (рис. 87). Докажите, что треугольник DBE равнобедренный:

Сколько углов в треугольнике

Решение:

Рассмотрим треугольники DAB и ЕСВ. У них AD = СЕ по условию, АВ = СВ как боковые стороны равнобедренного треугольника ABC. По свойству углов при основании равнобедренного треугольника ABC Сколько углов в треугольникетогда Сколько углов в треугольникекак углы, смежные с равными углами. Значит, Сколько углов в треугольникепо первому признаку равенства треугольников.

Завершить доказательство можно одним из двух способов.

1 -й способ. Поскольку Сколько углов в треугольникето Сколько углов в треугольникеТаким образом, треугольник DBE равнобедренный по определению.

2-й способ. Поскольку Сколько углов в треугольникето Сколько углов в треугольникеТаким образом, треугольник D BE равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника;

Прямая и обратная теоремы

Проанализируем две предыдущие теоремы о равнобедренном треугольнике, выделив в каждой из них условие и заключение. Свойство углов равнобедренного треугольника можно сформулировать так: «Если треугольник равнобедренный, то в нем два угла (при основании) равны». Теперь становится очевидным, что условие первой теоремы («треугольник равнобедренный») — это заключение второй, а заключение первой теоремы («в треугольнике два угла равны») — это условие второй теоремы. В таком случае вторая теорема является обратной первой (прямой).

Изобразим наглядно связь прямой и обратной теорем.

ПРЯМАЯ ТЕОРЕМА

Если А то B

ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА

Если В, то А

Теорема, обратная данной, не обязательно верна. Рассмотрим, например, теорему о вертикальных углах, сформулировав ее так: «Если два угла вертикальные, то они равны». Понятно, что обратная теорема неверна: ведь если два угла равны, то они не обязательно вертикальные.

Немало подобных примеров можно привести и из повседневной жизни. Например, если ученик является семиклассником, то он изучает геомет рию. Обратное утверждение ошибочно: если ученик изучает геометрию, то он не обязательно семиклассник, ведь геометрию изучают и в старших классах. Попробуйте самостоятельно найти примеры прямых и обратных утверждений в других науках, изучаемых в школе.

Таким образом, пользоваться утверждением, обратным доказанной теореме, можно лишь тогда, когда оно также доказано.

Медиана, биссектриса и высота треугольника

Определение медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Помимо сторон и углов, с треугольником связано несколько важных элементов, имеющих специальные названия.

Определение

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

На рисунке 95 отрезок ВМ является медианой треугольника ABC. В любом треугольнике можно провести три медианы — по одной из каждой вершины. Далее будет доказано, что все они пересекаются в одной точке (рис. 96)

Сколько углов в треугольникеСколько углов в треугольнике

Определение:

Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину этого угла с точкой на противолежащей стороне.

На рисунке 97 отрезок BL — биссектриса треугольника ABC. Обратим внимание на то, что, в отличие от биссектрисы угла, являющейся лучом, биссектриса треугольника — отрезок. Очевидно, что любой треугольник имеет три биссектрисы (рис. 98). Все они также пересекаются в одной точке (этот факт будет доказан далее).

Сколько углов в треугольникеСколько углов в треугольнике

Определение:

Высотой треугольника называется перпендикуляр. опущенный из вершины треугольника на прямую, которая содержит его противолежащую сторону.

[1] Подчеркнем, что здесь и далее, приводя утверждения, которые будут доказаны позднее, мы не будем ссылаться на них до того момента, когда они будут доказаны.

На рисунке 99 отрезок ВН — высота треугольника ABC.

По теореме о существовании и единственности перпендикуляра к прямой, из каждой вершины треугольника можно провести только одну его высоту. Высоты треугольника не обязательно лежат внутри него. В отличие от медиан и биссектрис, некоторые из высот могут совпадать со сторонами или проходить вне треугольника (рис. 100).

Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке (это утверждение докажем позднее).

Сколько углов в треугольнике

Свойство медианы, биссектрисы и высоты равнобедренного треугольника

Теорема: (свойство медианы, биссектрисы и высоты равнобедренного треугольника)

В равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведенные к основанию, совпадают.

Доказательство:

Доказательство данной теоремы состоит из трех частей.

1) Пусть BD — медиана равнобедренного треугольника ABC , проведенная к основанию АС (рис. 101, а). Докажем, что BD является также биссектрисой и высотой треугольника ABC .

Сколько углов в треугольникеСколько углов в треугольнике

Рис. 101 Отрезок DB — медиана, биссектриса и высота равнобедренного треугольника ABC

Рассмотрим треугольники ABD и CBD . У них АВ = СВ по определению равнобедренного треугольника, Сколько углов в треугольникекак углы при основании равнобедренного треугольника, AD = CD по определению медианы. Следовательно, Сколько углов в треугольникепо первому признаку равенства треугольников. Из этого вытекает, что Сколько углов в треугольнике, то есть BD — биссектриса треугольника ABC .

Кроме того, Сколько углов в треугольникеа поскольку эти углы смежные, то оба они прямые. Значит, BD — высота треугольника ABC . Таким образом, отрезок BD — медиана треугольника ABC , проведенная к основанию,— является также биссектрисой и высотой треугольника.

2. Пусть теперь BD — биссектриса равнобедренного треугольника ABC, проведенная к основанию АС (рис. 101, б). Аналогично предыдущему случаю можно доказать, что BD является также медианой и высотой треугольника ABC. Действительно, в этом случае Сколько углов в треугольникено второму признаку Сколько углов в треугольникеОтсюда AD=CD, то есть BD — медиана треугольника, и Сколько углов в треугольнике, то есть BD — высота треугольника.

3. Пусть BD — высота треугольника ABC . Докажем от противного, что BD является медианой и биссектрисой данного треугольника. Пусть существуют медиана Сколько углов в треугольникеи биссектриса Сколько углов в треугольнике, не совпадающие с Сколько углов в треугольнике— Тогда по доказанному выше отрезки Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольникетакже являются высотами треугольника. Таким образом, из точки В к прямой АС проведены три различных перпендикуляра, что противоречит теореме о существовании и единственности перпендикуляра к прямой. Из этого противоречия следует, что отрезки Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольникесовпадают,

то есть BD — медиана и биссектриса данного треугольника.

Итак, в равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведенные к основанию, совпадают.

Медиана — от латинского «медианус» — средний

В равностороннем треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведенные из одной вершины, совпадают.

Теорема, обратная данной, также верна: если в треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведанные из одной вершины, совпадают, то такой треугольник равнобедренный (докажите это утверждение самостоятельно).

На практике для решения задач вместо доказанной теоремы часто используют утверждение с условием совпадения лишь двух из трех указанных отрезков:

  1. если в треугольнике медиана и высота, проведенные из одной вершины, совпадают, то такой треугольник равнобедренный;
  2. если в треугольнике биссектриса и высота, проведенные из одной вершины, совпадают, то такой треугольник равнобедренный;
  3. если в треугольнике медиана и биссектриса, проведенные из одной вершины, совпадают, то такой треугольник равнобедренный. Первые два утверждения докажите самостоятельно. Третье утверждение мы рассмотрим в п. 12.3.

Пример №19

Докажите равенство равнобедренных Треугольников по углу, противолежащему основанию, и медиане, проведенной к основанию

Решение:

Пусть Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольнике— данные равнобедренные треугольники с основаниями Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольникеСколько углов в треугольнике, Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольнике— Медианы этих треугольников, причем Сколько углов в треугольнике(рис. 102). Докажем, что Сколько углов в треугольнике

Рассмотрим треугольники Сколько углов в треугольнике. По условию Сколько углов в треугольнике. Поскольку по свойству медианы биссектрисы и высоты равнобедренного треугольника Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольникеявляются также биссектрисами равных углов Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольнике, то Сколько углов в треугольникеотрезки Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольнике— высоты равнобедренных треугольников, поэтому Сколько углов в треугольнике90°. Таким образом,Сколько углов в треугольнике, по второму признаку равенства треугольников, откуда Сколько углов в треугольникетогда и Сколько углов в треугольнике Сколько углов в треугольникеЗначит, треугольники Сколько углов в треугольникеравны по перво му признаку равенства треугольников. • . ;

Сколько углов в треугольнике

Дополнительные построения в геометрических задачах. Метод удвоения медианы .

Для решения некоторых геометрических задач необходимо проводить дополнительные построения, то есть достраивать отрезки и углы, не упомянутые в условии задачи. Это нужно для получения вспомогательных фигур, рассмотрение которых позволяет найти или доказать требуемое. Существуют определенные виды дополнительных построений, применяемые чаще других. Один из них мы рассмотрим в следующей задаче.

Пример №20

Если в треугольнике медиана и биссектриса, проведенные из одной вершины, совладают, то такой треугольник равнобедренный. Докажите.

Решение:

Пусть 80 — медиана и биссектриса данного треугольника ABC (рис; 103). Докажем, что треугольник ABC равнобедренный.

Сколько углов в треугольнике

На луче ВD от точки D отложим отрезок Сколько углов в треугольникеравный BD (то есть удвоим медиану ВО). Рассмотрим треугольники Сколько углов в треугольникеУ них АD = СD по определению медианы, Сколько углов в треугольникепо построению, Сколько углов в треугольникекак вертикальные. Таким образом, Сколько углов в треугольникепо первому признаку равенства треугольников. Отсюда следует, что Сколько углов в треугольнике Сколько углов в треугольнике. Рассмотрим теперь треугольник Сколько углов в треугольникеС учетом того, что BD — биссектриса угла ABC , имеем Сколько углов в треугольникетогда Сколько углов в треугольникеПо признаку равнобедренного треугольника, треугольник Сколько углов в треугольникеравнобедренный с основанием Сколько углов в треугольникеОтсюда Сколько углов в треугольникеа поскольку по доказанному Сколько углов в треугольникеТаким образом, треугольник ABC равнобедренный, что и требовалось доказать.

[1] Здесь и далее звездочкой обозначен теоретический материал, изучение которого не является обязательным.

Проанализируем решение этой задачи. Отображение всех данных условия на рисунке не выявило набора элементов, позволяющих сразу начать доказательство. Это обусловило необходимость дополнительного построения, благодаря которому образовался вспомогательный треугольник Сколько углов в треугольнике. Доказав его равенство с треугольником Сколько углов в треугольнике, мы получили дополнительные равенства отрезков и углов и решили задачу.

Дополнительное построение состояло в удвоении отрезка BD . Такое построение используется чаще всего именно для медиан треугольников, поэтому основанн ый на нем метод доказательства называют методом удвоения медианы.

Третий признак равенства треугольников и его применение

Третий признак равенства треугольников

Применим свойства равнобедренного треугольника для доказательства третьего признака равенства треугольников.

Теорема: (третий признак равенства треугольников — по трем сторонам)

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Пусть даны треугольники Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольнике, у которых Сколько углов в треугольнике. Докажем, что Сколько углов в треугольнике.

Приложим треугольник Сколько углов в треугольникек треугольнику Сколько углов в треугольникетак, чтобы вершина А1 совместилась с вершиной Сколько углов в треугольнике, вершина Сколько углов в треугольнике— с вершиной В, а точки Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольникележали по разные стороны от прямой АВ. Возможны три случая:

  1. луч Сколько углов в треугольникепроходит внутри угла АСВ (рис. 107, а);
  2. луч Сколько углов в треугольникепроходит вне угла АСВ (рис. 107, б);
  3. луч Сколько углов в треугольникесовпадает с одной из сторон угла АСВ (рис. 107, в).

Сколько углов в треугольнике Сколько углов в треугольникеСколько углов в треугольнике

Рис. Прикладывание треугольника Сколько углов в треугольникек треугольнику Сколько углов в треугольнике

Рассмотрим случаи 1 и 2, Поскольку по условию теоремы Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольнике, то треугольники Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольникеравнобедренные с основанием Сколько углов в треугольнике. По свойству равнобедренного треугольника Сколько углов в треугольнике. Тогда Сколько углов в треугольникекак суммы (или разности) равных углов. Таким образом, Сколько углов в треугольникепо первому признаку равенства треугольников. В случае 3 равенство углов Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольникеследует из свойства равнобедренного треугольника с основаниемСколько углов в треугольнике, а дальнейшее доказательство проводится аналогично. Теорема доказана.

Обобщая признаки равенства треугольников, можно увидеть, что во всех трех признаках равенство треугольников следует из равенства трех пар соответствующих элементов. И это не случайно: как правило, треугольник можно задать (построить) именно по трем элементам, но не произвольным, а определяющим единственный треугольник. Например, треугольник однозначно определяется длинами трех его сторон (это следует из только что доказанного третьего признака). Однако, например, градусные меры трех углов не задают треугольник однозначно. Попробуйте самостоятельно построить соответствующий контрпример — два неравных треугольника с соответственно равными углами.

Пример №21

Докажите равенство треугольников по двум сторонам и медиане, проведенной к одной из них.

Решение:

Пусть Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольнике— данные треугольники с медианами Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольнике, соответственно, причем Сколько углов в треугольникеСколько углов в треугольнике(рис. 108). Рассмотрим сначала треугольники Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольникеВ них Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольнике, по условию, Сколько углов в треугольникекак половины равных сторон Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольникето есть Сколько углов в треугольникепо третьему признаку. Отсюда, в частности, следует, что Сколько углов в треугольникеТогда Сколько углов в треугольникепо первому признаку Сколько углов в треугольникепо условию, Сколько углов в треугольникепо доказанному).

Сколько углов в треугольнике

Свойства и признаки

Проанализируем признаки равенства треугольников. Все эти утверждения одинаковы по структуре: если треугольники имеют некоторую особенность, то они равны. Эта особенность (равенство трех пар соответствующих элементов) и составляет признак равенства треугольников. Нетрудно догадаться по аналогии, что, скажем, признак параллельности прямых может выглядеть так: «Если две прямые имеют определенную особенность, то они параллельны» (вспомните, рассматривались ли ранее похожие утверждения).

Во многих геометрических утверждениях мы получаем новые особенности фигур с помощью уже известных: например, если два угла вертикальные, то они равны. В этом случае равенство является свойством вертикальных углов. По аналогии, свойство смежных углов будет иметь следующий вид: «Если два угла смежные, то они имеют определенную особенность». Нетрудно догадаться, какое из изученных утверждений является свойством смежных углов.

Отметим еще один интересный факт. Если нам дан равнобедренный треугольник, то равенство двух его углов — свойство равнобедренного треугольника. Если же из условия равенства двух углов некоторого треугольника мы делаем заключение, что этот треугольник равнобедренный, то равенство этих углов — признак равнобедренного треугольника. Таким образом, одна и та же особенность фигуры в зависимости от условия задачи может рассматриваться либо как свойство, либо как признак.

Приведем примеры свойств и признаков, не связанные с геометрией. Наличие длинной шеи является свойством жирафа (если животное — жираф, то оно имеет длинную шею). Но длинную шею имеют также и страусы, то есть не любое животное с длинной шеей — жираф. Таким образом, наличие длинной шеи не является признаком жирафа. Другой пример: повышение температуры — признак болезни (ведь если у человека высокая температура, то он болен), но повышение температуры не свойство болезни (ведь многие болезни не сопровождаются повышением температуры). И наконец, пример из арифметики: последняя цифра 0 — и свойство, и признак чисел, которые делятся на 10.

Попробуйте привести собственные примеры свойств и признаков, изучаемых в школе.

Признаки параллельности прямых

Углы, образованные при пересечении двух прямых третьей

Пусть прямая с пересекает каждую из двух прямых a и b (рис. 118). В таком случае говорят, что прямая с является секущей прямых а и b. При таком пересечении двух прямых третьей образуются пары неразвернутых углов, имеющих специальные названия:

Сколько углов в треугольнике

  • внутренние накрест лежащие углы лежат между прямыми а и b по разные стороны от секущей: 3 и 6, 4 и 5;
  • внутренние односторонние углы лежат между прямыми а и & по одну сторону от секущей: 3 и 5, 4 и 6;
  • соответственные углы лежат по одну сторону от секущей, причем сторона одного из них является частью стороны другого: 1 и 5, 3 и 7, 2 и 6, 4 и 8.

Признаки параллельности прямых

Вы уже изучили две теоремы, которые утверждают, что две прямые параллельны:

  1. если две прямые параллельны третьей, то они параллельны;
  2. если две прямые перпендикулярны третьей, то они параллельны.

Докажем еще несколько признаков параллельности прямых.

Теорема: (признак параллельности двух прямых, которые пересекаются секущей)

Если при пересечении двух прямых, секущей внутренние накрестлежащие углы равны; то прямые параллельны.

Доказательство:

Пусть прямая с пересекает прямые а и b в точках А и В соответственно, причем Сколько углов в треугольнике(рис. 119). Докажем, что Сколько углов в треугольнике.

Сколько углов в треугольнике

Если углы 1 и 2 прямые, то Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольнике. Тогда Сколько углов в треугольникепо теореме о двух прямых, перпендикулярных третьей. Рассмотрим случай, когда углы 1 и 2 не прямые. Проведем из точки О — середины отрезка АВ — перпендикуляр Сколько углов в треугольнике, к прямой O. Пусть Н2 — точка пересечения прямых Сколько углов в треугольнике

Рассмотрим треугольники Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольнике. У них Сколько углов в треугольникепо условию, Сколько углов в треугольникекак вертикальные и Сколько углов в треугольникепо построению. Итак, Сколько углов в треугольникепо второму признаку равенства треугольников. Отсюда Сколько углов в треугольникето есть прямая Сколько углов в треугольникеперпендикулярна прямым а и b. Тогда Сколько углов в треугольникепо теореме о двух прямых, перпендикулярных третьей. Теорема доказана.

Для доказательства параллельности прямых можно использовать не только внутренние накрест лежащие углы, но и другие пары образовавшихся углов.

Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна Сколько углов в треугольнике, то прямые параллельны.

Действительно, если Сколько углов в треугольнике(рис. 120) и по теореме о смежных углах Сколько углов в треугольнике, то Сколько углов в треугольникеТогда по доказанной теореме Сколько углов в треугольнике.

Сколько углов в треугольнике

Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Действительно, если Сколько углов в треугольнике(рис. 121), a Сколько углов в треугольникекак вертикальные, то Сколько углов в треугольникеТогда но доказанной теореме Сколько углов в треугольнике

Сколько углов в треугольнике

Следствия 1 и 2 можно объединить с доказанной теоремой в одно утверждение, выражающее признаки параллельности прямых.

Если при пересечении двух прямых секущей выполняется хотя бы одно из условий:

  1. внутренние накрест лежащие углы равны;
  2. сумма внутренних односторонних углов равна 180°;
  3. соответственные углы равны, то данные прямые параллельны.

Если выполняется одно из трех приведенных условий, то выполняются и два других (докажите это самостоятельно).

Пример №22

На рисунке 122 Сколько углов в треугольнике— биссектриса угла Сколько углов в треугольникеДокажите, что Сколько углов в треугольнике

Сколько углов в треугольнике

Решение:

По условию задачи треугольник Сколько углов в треугольникеравнобедренный с основанием Сколько углов в треугольникеПо свойству углов равнобедренного треугольника Сколько углов в треугольникеВместе с тем Сколько углов в треугольникетак как АС — биссектриса угла BAD. Отсюда, Сколько углов в треугольнике Сколько углов в треугольникеУглы 2 и 3 внутренние накрест лежащие при прямых Сколько углов в треугольникеи секущей Сколько углов в треугольникеПоскольку эти уг лы равны, то по признаку параллельности прямых Сколько углов в треугольникечто и требовалось доказать.

О существовании прямой, параллельной данной

Доказанные признаки параллельности прямых позволяют подробнее проанализировать формулировку аксиомы параллельных прямых (аксиомы Евклида, п. 4.1). В этой аксиоме утверждалась единственность прямой, проходящей через данную точку и параллельной данной прямой, но не утверждалось ее существование.

На основании признака параллельности прямых существование такой прямой можно доказать.

Пусть даны прямая АВ и точка С, не принадлежащая этой прямой (рис. 123). Проведем прямую АС. От луча СА отложим угол ACD, равный углу CAB, так, как показано на рисунке. Тогда углы ACD и CAB — внутренние накрест лежащие при прямых АВ и CD и секущей АС. По доказанному признаку AB || CD , то есть существует прямая, проходящая через точку С параллельна прямой АВ.

Сколько углов в треугольнике

Таким образом, мы можем объединить доказанный факт с аксиомой параллельных прямых в следующей теореме.

Теорема: (о существовании и единственности прямой, параллельной данной)

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, я притом только одну.

Вообще, аксиома Евклида и связанные с ней утверждения были предметом особого внимания ученых на протяжении многих веков. В начале позапрошлого столетия выдающийся русский математик Николай Иванович Лобачевский создал неевклидову геометрию, в которой аксиома параллельных прямых не выполняется.

Свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей.

Теорема о свойствах углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей

В предыдущем параграфе мы установили соотношения углов между двумя прямыми и секущей, гарантирующие параллельность данных прямых. Но обязательно ли эти соотношения сохраняются для любой пары параллельных прямых, пересеченных секущей? Докажем утверждение, обратное признаку параллельности прямых.

Теорема: (свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей)

Если секущая пересекает две параллельные прямые, то:

  1. внутренние накрестлежащие углы равны;
  2. сумма внутренних односторонних углов равна 180°;
  3. соответственные углы равны.

Доказательство:

Докажем первое из утверждений теоремы.

Пусть секущая с пересекает параллельные прямые а и b в точках A и В соответственно (рис. 132). Докажем методом от противного, что внутренние накрест лежащие углы при этих прямых равны.

Сколько углов в треугольнике

Пусть эти углы не равны. Проведем через точку А прямую Сколько углов в треугольникетак, чтобы внутренние накрест лежащие углы при прямых Сколько углов в треугольникеи b и секущей с были равны. Тогда по признаку параллельности прямых имеем Сколько углов в треугольникеНо Сколько углов в треугольникепо условию теоремы, а по аксиоме параллельных прямых через точку А можно провести лишь одну прямую, параллельную b. Таким образом, мы получили противоречие.

Следовательно, наше предположение ошибочно, то есть внутренние накрест лежащие углы равны. Из доказанного утверждения нетрудно получить другие два утверждения теоремы (сделайте это самостоятельно).

Следствие Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой прямой

Это следствие обоснуйте самостоятельно по рисунку 133.

Сколько углов в треугольнике

Пример №23

Сумма двух внутренних углов, образовавшихся при пересечении двух параллельных прямых секущей, равна 210°. Найдите все образовавшиеся углы.

Решение:

Пусть а || b, с — секущая. Внутренние углы, о которых говорится в условии, могут быть односторонними, накрест лежащими или смежными. Поскольку при пересечении параллельных прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180° и сумма смежных углов также равна 180°, то данные углы — внутренние накрест лежащие. Пусть Сколько углов в треугольнике(рис. 134). Поскольку Сколько углов в треугольникето Сколько углов в треугольникеТогда:

Сколько углов в треугольнике°, так как углы 1 и 5 соответственные; Сколько углов в треугольнике, так как углы 3 и 5 внутренние односторонние; Сколько углов в треугольникетак как углы 2 и 3 вертикальные; Сколько углов в треугольникетак как углы 5 и 6 смежные; Сколько углов в треугольникетак как углы 7 и 3 соответственные; Сколько углов в треугольникетак как углы 8 и 4 соответственные.

Сколько углов в треугольнике

Расстояние между параллельными прямыми

Как вы уже знаете, расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую. Можно предположить, что расстояние между параллельными прямыми тоже будет определяться с помощью перпендикуляра. Но прежде чем сформулировать определение, докажем еще одно свойство параллельных прямых.

Теорема: (о расстояниях от точек прямой до параллельной прямой)

Расстояния от любых двух точек прямой до параллельной ей прямой равны

Доказательство:

Пусть а и b — данные параллельные прямые, Сколько углов в треугольнике— расстояния от точек Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольникепрямой Сколько углов в треугольникедо прямой Сколько углов в треугольнике(рис. 135). Докажем, что

Сколько углов в треугольнике

Сколько углов в треугольнике

Поскольку по определению расстояния от точки до прямой Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольнике, то по теореме о двух прямых, перпендикулярных третьей, Сколько углов в треугольнике

Рассмотрим треугольники Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольникеУ них сторона Сколько углов в треугольникеобщая, Сколько углов в треугольникекак внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольникеи секущей Сколько углов в треугольникекак внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольникеи секущей Сколько углов в треугольнике. Таким образом, Сколько углов в треугольникепо второму признаку равенства треугольников, откуда Сколько углов в треугольникеТеорема доказана.

Из только что доказанной теоремы следует, что расстояние от точки прямой а до прямой b не зависит от выбора точки, то есть одинаково для всех точек прямой a. Это позволяет сформулировать следующее определение.

Определение:

Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от любой точки одной из этих прямых до другой прямой.

Таким образом, расстояние между параллельными прямыми — длина перпендикуляра, опущенного из произвольной точки одной прямой на другую прямую.

На рисунке 136 Сколько углов в треугольникето есть АВ — расстояние между прямыми а и b. Заметим, что по следствию теоремы о свойствах углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей, Сколько углов в треугольнике, то есть Сколько углов в треугольнике— общий перпендикуляр к прямым а и b.

Сколько углов в треугольнике

Сумма углов треугольника

Теорема о сумме углов треугольника и ее следствия

Теорема: (о сумме углов треугольника)

Сумма углов треугольника равна 180°.

Доказательство:

Пусть ABC — произвольный треугольник. Докажем, что Сколько углов в треугольникеПроведем через вершину В прямую b , параллельную АС (рис. 141). Тогда углы 1 и 4 равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых b и АС и секущей АВ. Аналогично Сколько углов в треугольникекак внутренние накрест лежащие при тех же параллельных прямых, но секущей ВС. Имеем: Сколько углов в треугольникеТеорема доказана.

Сколько углов в треугольнике

В любом треугольнике по крайней мере два угла острые.

Действительно, если треугольник имел бы два неострых угла (тупых или прямых), то сумма всех углов превышала бы 180°, что противоречит доказанной теореме.

Каждый угол равностороннего треугольника равен 60°.

Поскольку все углы равностороннего треугольника равны, то каждый из них равен Сколько углов в треугольнике.

Рассмотрим еще одно важное утверждение, которое следует из доказанной теоремы.

Пример №24

Если в равнобедренном треугольнике один из углов равен 60°, то этот треугольник равносторонний. Докажите.

Решение:

Пусть ABC — равнобедренный треугольник с основанием АС. Рассмотрим два случая.

  1. Пусть угол 60° — один из углов при основании, например Сколько углов в треугольнике(рис. 142, а). Тогда Сколько углов в треугольникекак углы при основании равнобедренного треугольника. Таким образом, Сколько углов в треугольникеСколько углов в треугольникеЗначит, Сколько углов в треугольникето есть ABC — равносторонний треугольник.
  2. Пусть угол 60° — угол, противолежащий основанию, то есть Сколько углов в треугольнике(рис. 142, б). Тогда Сколько углов в треугольникекак углы при основании равнобедренного треугольника. Каждый из этих углов равен (180° — 60°) : 2 = 60°. Снова имеем, что все углы треугольника ABC равны, значит, этот треугольник равносторонний.

Только что решенная задача является опорной, то есть на нее можно ссылаться при решении других задач, кратко пересказывая ее содержание. В дальнейшем условия таких задач в учебнике будут выделены полужирным шрифтом и словом «опорная».

Виды треугольников по величине углов. Классификация

Как уже было доказано, любой треугольник имеет не менее двух острых углов. Это означает, что возможны три случая:

  1. все углы треугольника острые — остроугольный треугольник;
  2. два угла треугольника острые, а третий угол прямой — прямоугольный треугольник;
  3. два угла треугольника острые, а третий угол тупой — тупоугольный треугольник.

Исходя из этого, все треугольники можно разделить по величине углов на три вида: остроугольные, прямоугольные и тупоугольные (рис. 143).

Сколько углов в треугольнике

Обратим внимание на то, что величина углов — это признак, по которому любой данный треугольник можно отнести лишь к одному из трех названных видов. Такое деление объектов на отдельные виды по определенному признаку называют классификацией. Признак, по которому осуществляется классификация, является ее основанием. Так, треугольники можно разделить и по другому основанию — длине сторон — на разносторонние (то есть не имеющие равных сторон), равнобедренные, но не равносторонние (у которых только две стороны равны) и равносторонние треугольники.

Классификация считается правильной, если любой из объектов можно отнести лишь к одному из названных классов. Так, неправильно будет разделять прямые на плоскости по взаимному расположению на параллельные, пересекающиеся и перпендикулярные (ведь перпендикулярность — частный случай пересечения). Ошибочно подразделять по величине неразвернутые углы на острые и тупые, поскольку есть еще и прямые углы.

Очень важно проводить классификацию лишь по одному основанию. Например, неверным было бы разделять треугольники на остроугольные, прямоугольные, тупоугольные и равнобедренные, ведь равнобедренным может быть и остроугольный, и прямоугольный, и тупоугольный треугольник. Допустить такую ошибку — то же самое, что разделить всех людей на мужчин, женщин и учителей.

Примеры классификаций нетрудно найти и в других науках. Так, филологи делят члены предложения на главные (подлежащее и сказуемое) и второстепенные (дополнение, определение и обстоятельство). Попробуйте найти примеры классификации в физике, географии, биологии.

Внешний угол треугольника

Определение:

Внешним углом треугольника называется угол, смежный с внутренним углом данного треугольника.

На рисунке 144 угол DAB — внешний угол треугольника ABC при вершине А.

Сколько углов в треугольнике

Очевидно, что при любой вершине треугольника можно построить два внешних угла, которые по отношению друг к другу являются вертикальными (рис. 145).

Сколько углов в треугольнике

Теорема: (о внешнем угле треугольника)

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Доказательство:

Пусть углы 1, 2 и 3 — внутренние углы треугольника ABC, a Сколько углов в треугольнике— внешний угол, смежный с углом 1 (рис. 146). По теореме о сумме углов треугольника Сколько углов в треугольникеС другой стороны, по теореме о смежных углах Сколько углов в треугольникеОтсюда, Сколько углов в треугольникечто и требовалось доказать.

Сколько углов в треугольнике

Сумма внешних углов треугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360°.

Действительно, по доказанной теореме (рис. 146) Сколько углов в треугольникеТогда для их суммы имеем: Сколько углов в треугольникеСколько углов в треугольникеСколько углов в треугольнике

Прямоугольные треугольники

Элементы прямоугольного треугольника

Как известно, прямоугольный треугольник имеет один прямой и два острых угла. Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой, две другие стороны — катетами. На рисунке 147 в треугольнике Сколько углов в треугольнике, AC — гипотенуза, АВ и ВС — катеты.

Сколько углов в треугольнике

Из теоремы о сумме углов треугольника следует: сумма острых углов прямоугольного трек- угольника равна 90°. Имеет место и обратное утверждение — признак прямоугольного треугольника: если в треугольнике сумма двух углов равна 90°, то этот треугольник прямоугольный.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Пользуясь признаками равенства треугольников и теоремой о сумме углов треугольника, можно сформулировать признаки равенства, характерные только для прямоугольных треугольников.

Приведем сначала два из них.

Признак равенства прямоугольных треугольников по двум катетам (рис. 148) Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Сколько углов в треугольнике

Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему острому углу (рис. 149)

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Сколько углов в треугольнике

Данные признаки — частные случаи первого и второго признаков равенства треугольников.

Следующие два признака нетрудно получить из второго признака равенства треугольников, используя теорему о сумме углов треугольника.

Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему углу (рис. 150) Если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему ему углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Сколько углов в треугольнике

Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу (рис. 151)

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Сколько углов в треугольнике

Действительно, если данный треугольники имеют по равному острому углу Сколько углов в треугольнике, то другие острые углы этих треугольников равны Сколько углов в треугольнике, то есть также соответственно равны.

Еще один признак равенства прямоугольных треугольников докажем отдельно.

Гипотенуза — от греческого «гипотейнуса» — стягивающая. Название связано со способом построения прямоугольных реугольников натягиванием бечевки.

Теорема: (признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету)

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Пусть Сколько углов в треугольнике— данные прямоугольные треугольники, в которых Сколько углов в треугольнике90° , Сколько углов в треугольнике(рис. 152). Докажем, что Сколько углов в треугольнике

На продолжениях сторон Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольникеотложим отрезки Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольнике, равные катетам Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольникесоответственно. Тогда Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольнике, по двум катетам. Таким образом, Сколько углов в треугольнике. Это значит, что Сколько углов в треугольникепо трем сторонам. Отсюда Сколько углов в треугольникеИ наконец, Сколько углов в треугольнике, по гипотенузе и острому углу. Теорема доказана.

Обратим внимание на дополнительное построение, состоящее в достраивании прямоугольного треугольника до равнобедренного.

Такой прием позволяет применять свойства равнобедренного треугольника при решении задач, в условиях которых о равнобедренном треугольнике речь не идет.

Сколько углов в треугольникеСколько углов в треугольнике

Рис. 152. Прямоугольные треугольники ABC и Сколько углов в треугольникеравны по гипотенузе и катету.

Прямоугольный треугольник с углом 30°

Прямоугольный треугольников котором один из острых углов равен 30°, имеет полезное свойство.

Опорная задача

В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы. Докажите.

Решение

Пусть в треугольнике Сколько углов в треугольнике. Докажем, что Сколько углов в треугольникеОчевидно, что в треугольнике Сколько углов в треугольникеОтложим на продолжении стороны Сколько углов в треугольникеотрезок Сколько углов в треугольнике, равный Сколько углов в треугольнике(рис. 153). Прямоугольные треугольники Сколько углов в треугольникеравны по двум катетам. Отсюда следует, что Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольнике Сколько углов в треугольникеТаким образом, треугольник Сколько углов в треугольникеравносторонний, а отрезок Сколько углов в треугольнике— его медиана, то есть Сколько углов в треугольникечто и требовалось доказать.

Сколько углов в треугольнике

Имеет место также обратное утверждение (опорное): если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, противолежащий данному катету, равен 30°.

Попробуйте доказать это утверждение самостоятельно при помощи дополнительного построения, аналогичного только что описанному.

Катет — от греческого «катетос» — отвес.

Сравнение сторон и углов треугольника

Соотношения между сторонами и углами треугольника

Теорема: (соотношения между сторонами и углами треугольника)

  1. против большей стороны лежит больший угол;
  2. против большего угла лежит большая сторона.

Доказательство:

Данная теорема содержит два утверждения — прямое и обратное. Докажем каждое из них отдельно.

1. Пусть в треугольнике Сколько углов в треугольнике. Докажем, что Сколько углов в треугольнике. Отложим на стороне АВ отрезок AD, равный стороне АС (рис. 156). Поскольку Сколько углов в треугольникето точка D лежит между точками А к В, значит, угол 1 является частью угла С, то есть Сколько углов в треугольникеОчевидно, что треугольник ADC равнобедренный с основанием DC, откуда Сколько углов в треугольникеКроме того, угол 2 — внешний угол треугольника Сколько углов в треугольнике, поэтому Сколько углов в треугольнике. Следовательно, имеем: Сколько углов в треугольникеоткуда Сколько углов в треугольнике

2. Пусть в треугольнике Сколько углов в треугольникеДокажем от противного, что Сколько углов в треугольнике. Если это не так, то Сколько углов в треугольникеили Сколько углов в треугольнике. В первом случае треугольник ABC равнобедренный с основанием ВС, то есть Сколько углов в треугольнике. Во втором случае, по только что доказанному утверждению, против большей стороны должен лежать больший угол, то есть Сколько углов в треугольнике. В обоих случаях имеем противоречие условию Сколько углов в треугольнике. Таким образом, наше предположение неверно, то есть Сколько углов в треугольнике. Теорема доказана.

Сколько углов в треугольнике

В тупоугольном треугольнике сторона, лежащая против тупого угла, — наибольшая.

В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

Неравенство треугольника

Теорема: (неравенство треугольника)

В треугольнике длина каждой стороны меньше суммы длин двух других сторон.

Доказательство:

Рассмотрим произвольный треугольник ABC и докажем, что Сколько углов в треугольнике. Отложим на продолжении стороны АВ отрезок BD, равный стороне ВС (рис. 157). Треугольник BСD равнобедренный с основанием CD, откуда Сколько углов в треугольникеНо угол 2 является частью угла ACD, то есть Сколько углов в треугольникеТаким образом, в треугольнике Сколько углов в треугольнике. Учитывая соотношение между сторонами и углами тре угольника, имеем: Сколько углов в треугольникеТеорема доказана.

Сколько углов в треугольнике

Если для трех точек А, В, С справедливо равенство АС = АВ + ВС, то эти тонки лежат на одной прямой, причем точка В лежит между точками А и С.

Действительно, если точка В не лежит на прямой АС, то по неравенству треугольника АС Сколько углов в треугольнике АВ + ВС . Если точка В лежит на прямой АС вне отрезка АС, это неравенство также очевидно справедливо. Остается единственная возможность: точка В лежит на отрезке АС.

Неравенство треугольника позволяет проанализировать возможность построения треугольника с заданными сторонами. В частности, если хотя бы одно из трех положительных чисел а, b, с больше или равно сумме двух других, то построить треугольник со сторонами а, b, с невозможно.

С неравенством треугольника связана классическая задача о нахождении кратчайшего пути на плоскости. Ее решение было известно еще великому древнегреческому ученому Архимеду (287—212 гг. до н. э.).

Пример №25

Точки А и В лежат по одну сторону от прямой с. Найдите на данной прямой такую точку С, чтобы сумма расстояний АС + СВ была наименьшей (рис. 158).

Сколько углов в треугольнике

Решение:

Опустим из точки А перпендикуляр АО к прямой с и отложим на его продолжении отрезок Сколько углов в треугольникеравный Сколько углов в треугольникеДля любой точки С прямой с прямоугольные треугольники Сколько углов в треугольникеравны по двум катетам, откуда Сколько углов в треугольникеОчевидно, что по следствию неравенства треугольника сумма Сколько углов в треугольникебудет наименьшей в случае, когда точки Сколько углов в треугольникележат на одной прямой. Таким образом, искомая точка должна быть точкой пересечения отрезка Сколько углов в треугольникес прямой с.

Отметим, что в условиях данной задачи прямые АС и СB образуют с прямой с равные углы. Именно так распространяется луч света, который исходит из точки A, отражается от прямой с и попадает в точку В. Физики в таком случае говорят, что угол падения светового луча равен углу отражения.

Историческая справка

Аксиомы Евклида. Аксиомы, сформулированные Евклидом, легли в основу современной геометрии. Ученые на протяжении более двух тысяч лет исследовали, возможно ли доказать некоторые из евклидовых постулатов (аксиом), опираясь на другие. Особое внимание вызывала аксиома параллельных прямых (аксиома Евклида). Среди великих геометров прошлого не было, пожалуй, ни одного, кто не попытался бы доказать ее как теорему. И только в начале XIX века выдающийся русский математик Николай Иванович Лобачевский (1792—1856) доказал, что эту аксиому невозможно вывести из других аксиом.

Неевклидова геометрия. Лобачевский создал другую, неевклидову геометрию. По Лобачевскому, прямая, параллельная данной прямой и проходящая через данную точку вне ее, не является единственной. Большинство современников это открытие не приняли. Такая же судьба постигла и работы других ученых, получивших аналогичные результаты: венгра Яноша Больяи и немца Карла Гаусса. И только через столетие неевклидова геометрия была признана и оценена как выдающееся научное открытие.

Сколько углов в треугольнике

Становление геометрической аксиоматики. В XX в. исследования вопросов аксиоматического построения геометрии вышли на качественно новый уровень. Немецкий математик Давид Гильберт (1862—1943) обобщил и усовершенствовал систему евклидовых аксиом. Авторский вариант геометрических аксиом, разработанный на основе трудов Евклида и Гильберта, предложил наш соотечественник Алексей Васильевич Погорелов (1919-2002).

Геометрия треугольников. Евклид ввел понятие о равенстве геометрических фигур, совмещаемых наложением. В исследованиях древнегреческих геометров многие задачи и теоремы сводились к доказательству равенства треугольников (доказательство второго признака равенства треугольников приписывают Фалесу). Грекам была известна и теорема о сумме углов треугольника (впервые она встречается в комментариях Прокла к «началам» Евклида).

Сколько углов в треугольнике

Геометрия треугольника стала основой для изучения более сложных видов многоугольников, которые можно разбить на треугольники.

Видео:Все про окружность для задания 16 на ОГЭ по математикеСкачать

Все про окружность для задания 16 на ОГЭ по математике

Справочный материал по треугольнику

Треугольники

Треугольник и его элементы. Равные треугольники

  • ✓ Три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой, соединены отрезками (рис. 245). Образовавшаяся фигура ограничивает часть плоскости, которую вместе с отрезками АВ, ВС и СА называют треугольником. Точки А, В, С называют вершинами, а отрезки АВ, ВС, СА — сторонами треугольника.

Сколько углов в треугольнике

  • ✓ Треугольник называют и обозначают по его вершинам.
  • ✓ В треугольнике АВС угол В называют углом, противолежащим стороне АС, а углы А и С — углами, прилежащими к стороне АС.
  • ✓ Периметром треугольника называют сумму длин всех его сторон.
  • ✓ Треугольник называют остроугольным, если все его углы острые; прямоугольным, если один из его углов прямой; тупоугольным, если один из его углов тупой.
  • ✓ Сторону прямоугольного треугольника, противолежащую прямому углу, называют гипотенузой, а стороны, прилежащие к прямому углу, — катетами.
  • ✓ Неравенство треугольника. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон.
  • ✓ Два треугольника называют равными, если их можно совместить наложением. Те пары сторон и углов, которые совмещаются при наложении равных треугольников, называют соответственными сторонами и соответственными углами.
  • ✓ В треугольнике против равных сторон лежат равные углы.
  • ✓ В треугольнике против равных углов лежат равные стороны.
  • ✓ В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и наоборот, против большего угла лежит большая сторона.

Высота, медиана, биссектриса треугольника

  • ✓ Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противолежащую сторону, называют высотой треугольника.
  • ✓ Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны, называют медианой треугольника.
  • ✓ Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противолежащей стороны, называют биссектрисой треугольника.

Признаки равенства треугольников

  • ✓ Первый признак равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними. Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
  • ✓ Второй признак равенства треугольников: по стороне и двум прилежащим к ней углам. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
  • ✓ Третий признак равенства треугольников: по трем сторонам. Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Равнобедренный треугольник и его свойства. Равносторонний треугольник

  • ✓ Треугольник, у которого две стороны равны, называют равнобедренным.
  • ✓ Равные стороны треугольника называют боковыми сторонами, а третью сторону — основанием равнобедренного треугольника.
  • ✓ Вершиной равнобедренного треугольника называют общую точку его боковых сторон.

✓ В равнобедренном треугольнике:

  • 1) углы при основании равны;
  • 2) биссектриса треугольника, проведенная к его основанию, является медианой и высотой треугольника.

✓ Треугольник, у которого все стороны равны, называют равносторонним.

✓ В равностороннем треугольнике:

  • 1) все углы равны;
  • 2) биссектриса, высота и медиана, проведенные из одной вершины, совпадают.

Признаки равнобедренного треугольника

  • ✓ Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник равнобедренный.
  • ✓ Если медиана треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный.
  • ✓ Если биссектриса треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный.
  • ✓ Если медиана треугольника является его биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный.

Сумма углов треугольника. Внешний угол треугольника

  • ✓ Сумма углов треугольника равна 180°.
  • ✓ Среди углов треугольника по крайней мере два угла острые.
  • ✓ Внешним углом треугольника называют угол, смежный с углом этого треугольника.
  • ✓ Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.
  • ✓ Внешний угол треугольника больше каждого из углов треугольника, не смежных с ним.

Средняя линия треугольника и ее свойства

Средней линией треугольника называют отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

На рисунке 105 Сколько углов в треугольнике— средняя линия треугольника Сколько углов в треугольнике

Теорема 1 (свойство средней линии треугольника). Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Доказательство:

Пусть Сколько углов в треугольнике— средняя линия треугольника Сколько углов в треугольнике(рис. 105). Докажем, что Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольнике

1) Проведем через точку Сколько углов в треугольникепрямую, параллельную Сколько углов в треугольникеПо теореме Фалеса она пересекает сторону Сколько углов в треугольникев ее середине, то есть в точке Сколько углов в треугольникеСледовательно, эта прямая содержит среднюю линию Сколько углов в треугольникеПоэтому Сколько углов в треугольнике

2) Проведем через точку Сколько углов в треугольникепрямую, параллельную Сколько углов в треугольникекоторая пересекает Сколько углов в треугольникев точке Сколько углов в треугольникеТогда Сколько углов в треугольнике(по теореме Фалеса). Четырехугольник Сколько углов в треугольнике— параллелограмм.

Сколько углов в треугольнике(по свойству параллелограмма), но Сколько углов в треугольнике

Поэтому Сколько углов в треугольнике

Сколько углов в треугольнике

Пример №26

Докажите, что середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма, один из углов которого равен углу между диагоналями четырехугольника.

Доказательство:

Пусть Сколько углов в треугольнике— данный четырехугольник, а точки Сколько углов в треугольнике— середины его сторон (рис. 106). Сколько углов в треугольнике— средняя линия треугольника Сколько углов в треугольникепоэтому Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольникеАналогично Сколько углов в треугольнике

Таким образом, Сколько углов в треугольникеТогда Сколько углов в треугольнике— параллелограмм (по признаку параллелограмма).

Сколько углов в треугольнике— средняя линия треугольника Сколько углов в треугольникеПоэтому Сколько углов в треугольникеСледовательно, Сколько углов в треугольнике— также параллелограмм, откуда: Сколько углов в треугольнике

Рассмотрим свойство медиан треугольника.

Теорема 2 (свойство медиан треугольника). Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2 : 1, считая от вершины треугольника.

Сколько углов в треугольнике

Доказательство:

Пусть Сколько углов в треугольнике— точка пересечения медиан Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольникетреугольника Сколько углов в треугольнике(рис. 107).

1) Построим четырехугольник Сколько углов в треугольникегде Сколько углов в треугольнике— середина Сколько углов в треугольнике— середина Сколько углов в треугольнике

2) Сколько углов в треугольнике— средняя линия треугольника

Сколько углов в треугольникепоэтому Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольнике

3) Сколько углов в треугольнике— средняя линия треугольника Сколько углов в треугольникепоэтому Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольнике

4) Следовательно, Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольникеЗначит, Сколько углов в треугольнике— параллелограмм (по признаку параллелограмма).

5) Сколько углов в треугольнике— точка пересечения диагоналей Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольникепараллелограмма Сколько углов в треугольникепоэтому Сколько углов в треугольникеНо Сколько углов в треугольнике Сколько углов в треугольникеТогда Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольникеСледовательно, точка Сколько углов в треугольникеделит каждую из медиан Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольникев отношении 2:1, считая от вершин Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольникесоответственно.

6) Точка пересечения медиан Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольникедолжна также делить в отношении 2 : 1 каждую медиану. Поскольку существует единственная точка — точка Сколько углов в треугольникекоторая в таком отношении делит медиану Сколько углов в треугольникето медиана Сколько углов в треугольникетакже проходит через эту точку.

7) Следовательно, три медианы треугольника пересекаются в одной точке и этой точкой делятся в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.

Точку пересечения медиан еще называют центром масс треугольника, или центроидом треугольника.

Треугольник и его элементы

Треугольником называют фигуру, состоящую из трех точек, которые не лежат на одной прямой, и трех отрезков, соединяющих эти точки (рис. 267).

Точки Сколько углов в треугольникевершины треугольника; отрезки Сколько углов в треугольнике Сколько углов в треугольникестороны треугольника; Сколько углов в треугольнике Сколько углов в треугольникеуглы треугольника.

Сколько углов в треугольнике

Периметром треугольника называют сумму длин всех его сторон. Сколько углов в треугольнике

Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

На рисунке 268 Сколько углов в треугольнике— медиана треугольника Сколько углов в треугольнике

Биссектрисой треугольника называют отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противолежащей стороны.

На рисунке 269 Сколько углов в треугольнике— биссектриса треугольника Сколько углов в треугольнике

Высотой треугольника называют перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника на прямую, содержащую его противолежащую сторону.

Сколько углов в треугольнике

На рисунке 270 Сколько углов в треугольнике— высота Сколько углов в треугольникеСумма углов треугольника равна 180°.

Неравенство треугольника. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

В треугольнике: 1) против большей стороны лежит больший угол; 2) против большего угла лежит большая сторона.

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 271).

Сколько углов в треугольнике

Второй признак равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 272).

Сколько углов в треугольнике

Третий признак равенства треугольников (по трем сторонам ). Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого, то такие треугольники равны (рис. 273).

Сколько углов в треугольнике

Виды треугольников

Треугольник называют равнобедренным, если две его стороны равны.

На рисунке 274 Сколько углов в треугольнике— равнобедренный, Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольнике— его боковые стороны, Сколько углов в треугольникеоснование.

Свойство углов равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Сколько углов в треугольнике

Признак равнобедренного треугольника. Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

Треугольник, все стороны которого равны, называют равносторонним.

На рисунке 275 Сколько углов в треугольнике— равносторонний.

Свойство углов равностороннего треугольника. Каждый угол равностороннего треугольника равен 60°.

Признак равностороннего треугольника. Если в треугольнике все углы равны, то он равносторонний.

Треугольник, все стороны которого имеют разную длину, называют разносторонним.

Свойство биссектрисы равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

На рисунке 276 биссектриса Сколько углов в треугольникепроведенная к основанию Сколько углов в треугольникеравнобедренного треугольника Сколько углов в треугольникеявляется его медианой и высотой.

В зависимости от углов рассматривают следующие виды треугольников:

  • остроугольные (все углы которого — острые — рис. 277);
  • прямоугольные (один из углов которых — прямой, а два других — острые — рис. 278);
  • тупоугольные (один из углов которых — тупой, а два других — острые — рис. 279).

Сколько углов в треугольнике

Внешний угол треугольника

Внешним углом треугольника называют угол, смежный с углом этого треугольника.

На рисунке 280 Сколько углов в треугольнике— внешний угол треугольника Сколько углов в треугольнике

Свойство внешнего угла треугольника. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, то есть Сколько углов в треугольнике

Сколько углов в треугольнике

Прямоугольные треугольники

Если Сколько углов в треугольникето Сколько углов в треугольнике— прямоугольный (рис. 281). Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольникекатеты прямоугольного треугольника; Сколько углов в треугольникегипотенуза прямоугольного треугольника.

Свойства прямоугольных треугольников:

  1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
  2. Гипотенуза больше любого из катетов.
  3. Катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы.
  4. Если катет равен половине гипотенузы, то противолежащий ему угол равен 30°.
  5. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

  1. По двум катетам. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.
  2. По катету и прилежащему острому углу. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему углу другого, то такие треугольники равны.
  3. По гипотенузе и острому углу. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.
  4. По катету и противолежащему углу. Если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему ему углу другого, то такие треугольники равны.
  5. По катету и гипотенузе. Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника равны соответственно катету и гипотенузе другого, то такие треугольники равны.

Видео:сколько углов у треугольника?Скачать

сколько углов у треугольника?

Всё о треугольнике

Как, не накладывая треугольники один на другой, узнать, что они равны? Какими особыми свойства ми обладают равнобедренный и равносторонний треугольники? Как «устроена» теорема?

На эти и многие другие вопросы вы найдете ответы в данном параграфе.

Равные треугольники. Высота, медиана, биссектриса треугольника

Рассмотрим три точки Сколько углов в треугольнике, Сколько углов в треугольнике, Сколько углов в треугольнике, не лежащие на одной прямой. Соединим их отрезками Сколько углов в треугольнике, Сколько углов в треугольнике, Сколько углов в треугольнике. Полученная фигура ограничивает часть плоскости, выделенную на рисунке 109 зеленым цветом. Эту часть плоскости вместе с отрезками Сколько углов в треугольнике, Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольникеназывают треугольником. Точки Сколько углов в треугольнике, Сколько углов в треугольнике, Сколько углов в треугольникеназывают вершинами, а отрезки Сколько углов в треугольнике, Сколько углов в треугольнике, Сколько углов в треугольникесторонами треугольника.

Сколько углов в треугольнике

Треугольник называют и обозначают по его вершинам. Треугольник, изображенный на рисунке 109, обозначают так: Сколько углов в треугольнике, или Сколько углов в треугольнике, или Сколько углов в треугольникеи т. д. (читают: «треугольник Сколько углов в треугольнике, треугольник Сколько углов в треугольнике» и т. д.). Углы Сколько углов в треугольнике, Сколько углов в треугольнике, Сколько углов в треугольнике(рис. 110) называют углами треугольника Сколько углов в треугольнике.

В треугольнике Сколько углов в треугольнике, например, угол Сколько углов в треугольникеназывают углом, противолежащим стороне Сколько углов в треугольнике, углы Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольнике— углами, прилежащими к стороне Сколько углов в треугольнике, сторону Сколько углов в треугольникестороной, противолежащей углу Сколько углов в треугольнике, стороны Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольникесторонами, прилежащими к углу Сколько углов в треугольнике(рис. 110).

Сколько углов в треугольнике

Определение. Периметром треугольника называют сумму длин всех его сторон.

Например, для периметра треугольника Сколько углов в треугольникеиспользуют обозначение Сколько углов в треугольнике.

Определение. Треугольник называют прямоугольным, если один из его углов прямой; тупоугольным, если один из его углов тупой. Если все углы острые, то треугольник называют остроугольным (рис. 111).

Сколько углов в треугольнике

Теорема7.1 (неравенство треугольника). Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон.

Доказательство: Рассмотрим Сколько углов в треугольнике(рис. 109). Точка Сколько углов в треугольникене принадлежит отрезку Сколько углов в треугольнике. Тогда в силу основного свойства длины отрезка Сколько углов в треугольнике. Аналогично доказывают остальные два неравенства: Сколько углов в треугольнике, Сколько углов в треугольнике.

Из доказанной теоремы следует, что если ZK длина одного из трех данных отрезков не меньше суммы длин двух других, то эти отрезки не могут служить сторонами треугольника (рис. 112).

Сколько углов в треугольнике

Если любой из трех данных отрезков меньше суммы двух других, то эти отрезки могут служить сторонами треугольника.

Определение. Два треугольника называют равными, если их можно совместить наложением.

Сколько углов в треугольнике

На рисунке 113 изображены равные треугольники Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольнике. Записывают: Сколько углов в треугольникеСколько углов в треугольнике. Эти треугольники можно совместить так, что вершины Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольнике, Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольнике, Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольникесовпадут. Тогда можно записать: Сколько углов в треугольнике, Сколько углов в треугольникеСколько углов в треугольнике.

Те стороны и те углы, которые совмещаются при наложении треугольников, называют соответственными сторонами и соответственными углами. Так, на рисунке 113 углы Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольнике, стороны Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольнике— соответственные.

Обычно на рисунках равные стороны отмечают одинаковым количеством черточек, а равные углы — одинаковым количеством дуг. На рисунке ИЗ таким способом отмечены соответственные стороны и углы.

Заметим, что в равных треугольниках против соответственных углов лежат соответственные стороны, и наоборот: против соответственных сторон лежат соответственные углы.

То, что для каждого треугольника существует равный ему треугольник, обеспечивает такое основное свойство равенства треугольников. Для данного треугольника Сколько углов в треугольникеи луча Сколько углов в треугольникесуществует треугольник Сколько углов в треугольникеравный треугольнику Сколько углов в треугольнике, такой, что Сколько углов в треугольникеи сторона Сколько углов в треугольникепринадлежит лучу Сколько углов в треугольнике, а вершина Сколько углов в треугольникележит в заданной полуплоскости относительно прямой Сколько углов в треугольнике(рис. 114).

Сколько углов в треугольнике

Теорема 7.2. Через точку, не принадлежащую данной прямой, проходит только одна прямая, перпендикулярная данной.

Доказательство: Рассмотрим прямую Сколько углов в треугольникеи не принадлежащую ей точку Сколько углов в треугольнике(рис. 115). Предположим, что через точку Сколько углов в треугольникепроходят две прямые Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольнике, перпендикулярные прямой Сколько углов в треугольнике.

Сколько углов в треугольнике

В силу основного свойства равенства треугольников существует треугольник Сколько углов в треугольнике, равный треугольнику Сколько углов в треугольнике(рис. 116). Тогда Сколько углов в треугольнике. Отсюда Сколько углов в треугольнике, а значит, точки Сколько углов в треугольнике, Сколько углов в треугольнике( лежат на одной прямой.

Аналогично доказывают, что точки Сколько углов в треугольникетакже лежат на одной прямой. Но тогда прямые Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольникеимеют две точки пересечения: Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольнике. А это противоречит теореме 1.1. Следовательно, наше предположение неверно.

Сколько углов в треугольнике

Возможно, вы заметили, что определения равных отрезков, равных углов и равных треугольников очень похожи. Поэтому целесообразно принять следующее

Определение. Две фигуры называют равными, если их можно совместить наложением.

Сколько углов в треугольнике

На рисунке 117 изображены равные фигуры Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольнике. Пишут: Сколько углов в треугольнике. Понятно, что любые две прямые (два луча, две точки).

Определение. Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону, называют высотой треугольника.

Сколько углов в треугольнике

На рисунке 118 отрезки Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольнике— высоты треугольника Сколько углов в треугольнике. Определение. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называют медианой треугольника.

Сколько углов в треугольнике

На рисунке 119 отрезок Сколько углов в треугольнике— медиана треугольника Сколько углов в треугольнике.

Определение. Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называют биссектрисой треугольника.

Сколько углов в треугольнике

На рисунке 120 отрезок Сколько углов в треугольнике— биссектриса треугольника Сколько углов в треугольнике.

Далее, говоря «биссектриса угла треугольника», будем иметь в виду биссектрису треугольника, проведенную из вершины этого угла. Ясно, что каждый треугольник имеет три высоты, три медианы и три биссектрисы.

Часто длины сторон, противолежащих углам Сколько углов в треугольнике, обозначают соответственно Сколько углов в треугольнике. Длины высот обозначают Сколько углов в треугольнике, Сколько углов в треугольнике, Сколько углов в треугольнике, медиан — Сколько углов в треугольнике, Сколько углов в треугольнике, Сколько углов в треугольнике, биссектрис — Сколько углов в треугольнике. Индекс показывает, к какой стороне проведен отрезок (рис. 121).

Сколько углов в треугольнике

Первый и второй признаки равенства треугольников

Если для треугольников Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольникевыполняются шесть условий Сколько углов в треугольнике, Сколько углов в треугольнике,Сколько углов в треугольнике, Сколько углов в треугольнике, Сколько углов в треугольникеСколько углов в треугольнике, Сколько углов в треугольникето очевидно, что эти треугольники совпадут при наложении, значит, они равны. Попробуем уменьшить количество условий. Например, оставим лишь два равенства: Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольнике. Но тогда треугольники не обязательно окажутся равными (рис. 127).

Сколько углов в треугольнике

Как же сократить список требований до минимума, но при этом сохранить равенство треугольников? На этот вопрос отвечают теоремы, которые называют признаками равенства треугольников.

Теорема 8.1 (первый признак равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум, сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Сколько углов в треугольнике

Доказательство: Рассмотрим треугольники Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольникеу которых Сколько углов в треугольнике(рис. 128). Докажем, что Сколько углов в треугольникеСколько углов в треугольнике

Наложим Сколько углов в треугольникена Сколько углов в треугольникетак, чтобы луч Сколько углов в треугольникесовместился с лучом Сколько углов в треугольнике, а луч Сколько углов в треугольникесовместился с лучом Сколько углов в треугольнике. Это можно сделать, так как по условию Сколько углов в треугольникеПоскольку по условию Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольнике, то при таком наложении сторона Сколько углов в треугольникесовместится со стороной Сколько углов в треугольнике, а сторона Сколько углов в треугольнике— со стороной Сколько углов в треугольнике. Следовательно, Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольникеполностью совместятся, значит, они равны.

Определение. Прямую, перпендикулярную отрезку и проходящую через его середину, называют серединным перпендикуляром отрезка.

Сколько углов в треугольнике

На рисунке 129 прямая а является серединным перпендикуляром отрезка Сколько углов в треугольнике.

Теорема 8.2. Каждая точка серединного перпендикуляра отрезка равноудалена от концов этого отрезка.

Сколько углов в треугольнике

Доказательство: Пусть Сколько углов в треугольнике— произвольная точка серединного перпендикуляра Сколько углов в треугольникеотрезка Сколько углов в треугольнике, точка Сколько углов в треугольнике— середина отрезка Сколько углов в треугольнике. Надо доказать, что Сколько углов в треугольнике. Если точка Сколько углов в треугольникесовпадает с точкой Сколько углов в треугольнике(а это возможно, так как Сколько углов в треугольнике— произвольная точка прямой а), то Сколько углов в треугольнике. Если точки Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольникене совпадают, то рассмотрим треугольники Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольнике(рис. 130).

В этих треугольниках Сколько углов в треугольнике, так как Сколько углов в треугольнике— середина отрезка Сколько углов в треугольнике. Сторона Сколько углов в треугольнике— общая, Сколько углов в треугольнике. Следовательно, Сколько углов в треугольникепо первому признаку равенства треугольников. Значит, отрезки Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольникеравны как соответственные стороны равных треугольников.

Теорема 8.3 (второй признак равенства треугольников: по стороне и двум прилежащим к ней углам). Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Сколько углов в треугольнике

Доказательство: Рассмотрим треугольники Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольнике, у которых Сколько углов в треугольнике, Сколько углов в треугольнике, Сколько углов в треугольнике, (рис. 131). Докажем, что Сколько углов в треугольникеСколько углов в треугольнике.

Наложим Сколько углов в треугольникена Сколько углов в треугольникетак, чтобы точка Сколько углов в треугольникесовместилась с точкой Сколько углов в треугольнике, отрезок Сколько углов в треугольнике— с отрезком Сколько углов в треугольнике(это возможно, так как Сколько углов в треугольнике) и точки Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольникележали в одной полуплоскости относительно прямой Сколько углов в треугольнике. Поскольку Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольникето луч Сколько углов в треугольникесовместится с лучом Сколько углов в треугольнике, а луч Сколько углов в треугольнике— с лучом Сколько углов в треугольнике. Тогда точка Сколько углов в треугольнике— общая точка лучей Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольнике— совместится с точкой Сколько углов в треугольнике— общей точкой лучей Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольнике. Значит, Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольнике, полностью совместятся, следовательно, они равны.

Сколько углов в треугольнике

Пример №27

На рисунке 132 точка Сколько углов в треугольнике— середина отрезка Сколько углов в треугольнике. Докажите, что Сколько углов в треугольнике.

Решение:

Рассмотрим Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольнике. Сколько углов в треугольнике, так как точка Сколько углов в треугольнике— середина отрезка Сколько углов в треугольнике. Сколько углов в треугольникепо условию. Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольникеравны как вертикальные. Следовательно, Сколько углов в треугольникепо / стороне и двум прилежащим углам. Рассмотрим Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольнике. Сколько углов в треугольнике, Сколько углов в треугольнике, так как Сколько углов в треугольнике. Сколько углов в треугольнике— общая сторона. Следовательно, Сколько углов в треугольникепо двум сторонам и углу между ними. Тогда Сколько углов в треугольнике.

Равнобедренный треугольник и его свойства

Определение. Треугольник, у которого две стороны равны, называют равнобедренным.

Сколько углов в треугольнике

На рисунке 155 изображен равнобедренный треугольник Сколько углов в треугольнике, у которого Сколько углов в треугольнике.

Равные стороны треугольника называют боковыми сторонами, а третью сторону — основанием равнобедренного треугольника.

Вершиной равнобедренного треугольника называют общую точку его боковых сторон (точка Сколько углов в треугольникена рисунке 155). При этом угол Сколько углов в треугольникеназывают углом при вершине, а углы Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольникеуглами при основании равнобедренного треугольника.

Определение. Треугольник, у которого все стороны равны, называют равносторонним.

Сколько углов в треугольнике

На рисунке 156 изображен равносторонний треугольник Сколько углов в треугольнике. Равносторонний треугольник — частный случай равнобедренного треугольника.

Теорема 9.1. В равнобедренном треугольнике: 1) углы при основании равны; 2) биссектриса угла при вершине является медианой и высотой.

Сколько углов в треугольнике

Доказательство: Рассмотрим равнобедренный треугольник Сколько углов в треугольнике, у которого Сколько углов в треугольнике, отрезок Сколько углов в треугольнике— его биссектриса (рис. 157). Требуется доказать, что Сколько углов в треугольнике, Сколько углов в треугольнике, Сколько углов в треугольнике.

В треугольниках Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольникесторона Сколько углов в треугольнике— общая, Сколько углов в треугольнике, так как по условию Сколько углов в треугольнике— биссектриса угла Сколько углов в треугольнике, стороны Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольникеравны как боковые стороны равнобедренного треугольника. Следовательно, Сколько углов в треугольникепо первому признаку равенства треугольников.

Отсюда можно сделать такие выводы:

  1. Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольникеравны как соответственные углы в равных треугольниках;
  2. отрезки Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольникеравны как соответственные стороны равных треугольников, следовательно, Сколько углов в треугольнике— медиана;
  3. Сколько углов в треугольнике. Но Сколько углов в треугольнике. Отсюда следует, что Сколько углов в треугольнике, значит, Сколько углов в треугольнике— высота.

Из этой теоремы следует, что:

  1. в треугольнике против равных сторон лежат равные углы;
  2. в равнобедренном треугольнике биссектриса, высота и медиана, проведенные из его вершины, совпадают;
  3. в равностороннем треугольнике все углы равны;
  4. в равностороннем треугольнике биссектриса, высота и медиана, проведенные из одной вершины, совпадают.

Определение. Если в треугольнике все стороны имеют разную длину, то такой треугольник называют разносторонним.

Сколько углов в треугольнике

Пример №28

Отрезок Сколько углов в треугольнике— медиана равнобедренного треугольника Сколько углов в треугольнике, проведенная к основанию. На сторонах Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольникеотмечены соответственно точки Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольникетак, что Сколько углов в треугольнике. Докажите равенство треугольников Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольнике.

Решение:

Имеем:Сколько углов в треугольнике, Сколько углов в треугольнике(рис. 158). Так как Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольнике, то Сколько углов в треугольнике. Сколько углов в треугольнике, поскольку медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является его биссектрисой. Сколько углов в треугольнике— общая сторона треугольников Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольнике. Следовательно, Сколько углов в треугольникепо двум сторонам и углу между ними.

Признаки равнобедренного треугольника

В предыдущем пункте мы рассмотрели свойства равнобедренного треугольника. А как среди треугольников «распознавать» равнобедренные? На этот вопрос дают ответ следующие теоремы.

Теорема 10.1. Если медиана треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный.

Сколько углов в треугольнике

Доказательство: Рассмотрим треугольник Сколько углов в треугольнике, у которого отрезок Сколько углов в треугольнике— медиана и высота. Надо доказать, что Сколько углов в треугольнике(рис. 168). Из условия теоремы следует, что прямая Сколько углов в треугольнике— серединный перпендикуляр отрезка Сколько углов в треугольнике.

Тогда по свойству серединного перпендикуляра Сколько углов в треугольнике.

Теорема 10.2. Если биссектриса треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный.

Сколько углов в треугольнике

Доказательство: Рассмотрим треугольник Сколько углов в треугольнике, у которого отрезок Сколько углов в треугольнике— биссектриса и высота. Надо доказать, что Сколько углов в треугольнике(рис. 169). В треугольниках Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольникесторона Сколько углов в треугольнике— общая, Сколько углов в треугольнике, так как по условию Сколько углов в треугольнике— биссектриса угла Сколько углов в треугольнике, Сколько углов в треугольнике, так как по условию Сколько углов в треугольнике— высота. Следовательно, Сколько углов в треугольнике Сколько углов в треугольникепо второму признаку равенства треугольников. Тогда стороны Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольникеравны как соответственные стороны равных треугольников.

Теорема 10.3. Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник равнобедренный.

Доказательство: Рассмотрим треугольник Сколько углов в треугольнике, у которогоСколько углов в треугольнике. Надо доказать, что Сколько углов в треугольнике.

Проведем серединный перпендикуляр Сколько углов в треугольникестороны Сколько углов в треугольнике. Докажем, что прямая Сколько углов в треугольникепроходит через вершину Сколько углов в треугольнике.

Сколько углов в треугольнике

Предположим, что это не так. Тогда прямая Сколько углов в треугольникепересекает или сторону Сколько углов в треугольнике(рис. 170), или сторону Сколько углов в треугольнике(рис. 171).

Рассмотрим первый из этих случаев. Пусть Сколько углов в треугольнике— точка пересечения прямой Сколько углов в треугольникесо стороной Сколько углов в треугольнике. Тогда по свойству серединного перпендикуляра (теорема 8.2) Сколько углов в треугольнике. Следовательно, Сколько углов в треугольнике— равнобедренный, а значит Сколько углов в треугольнике. Но по условиюСколько углов в треугольнике. Тогда имеем: Сколько углов в треугольнике, что противоречит основному свойству величины угла (п. 3).

Аналогично получаем противоречие и для второго случая (рис. 171).

Сколько углов в треугольнике

Следовательно, наше предположение неверно. Прямая Сколько углов в треугольникепроходит через точку Сколько углов в треугольнике(рис. 172), и по свойству серединного перпендикуляра Сколько углов в треугольнике.

Из этой теоремы следует, что в треугольнике против равных углов лежат равные стороны.

Теорема 10.4. Если медиана треугольника является его биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный.

Сколько углов в треугольнике

Доказательство: Рассмотрим треугольник Сколько углов в треугольнике, у которого отрезок Сколько углов в треугольнике— медиана и биссектриса (рис. 173). Надо доказать, что Сколько углов в треугольнике. На луче Сколько углов в треугольникеотложим отрезок Сколько углов в треугольнике, равный отрезку Сколько углов в треугольнике(рис. 173). В треугольниках Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольнике, так как по условию Сколько углов в треугольнике— медиана, Сколько углов в треугольникепо построению, Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольникеравны как вертикальные. Следовательно, Сколько углов в треугольнике Сколько углов в треугольникепо первому признаку равенства треугольников. Тогда стороны Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольнике, Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольникеравны как соответственные элементы равных треугольников. Поскольку Сколько углов в треугольнике— биссектриса угла Сколько углов в треугольнике, то Сколько углов в треугольникеСколько углов в треугольнике. С учетом доказанного получаем, что Сколько углов в треугольникеСколько углов в треугольнике. Тогда по теореме 10.3 Сколько углов в треугольнике— равнобедренный, откуда Сколько углов в треугольнике. Но уже доказано, что Сколько углов в треугольнике. Следовательно, Сколько углов в треугольнике.

Сколько углов в треугольнике

Пример №29

В треугольнике Сколько углов в треугольникепроведена биссектриса Сколько углов в треугольнике(рис. 174), Сколько углов в треугольнике,Сколько углов в треугольнике. Докажите, что Сколько углов в треугольнике.

Решение:

Так как Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольнике— смежные, то Сколько углов в треугольникеСколько углов в треугольнике. Следовательно, в треугольнике Сколько углов в треугольникеСколько углов в треугольнике.

Тогда Сколько углов в треугольнике— равнобедренный с основанием Сколько углов в треугольнике, и его биссектриса Сколько углов в треугольнике( Сколько углов в треугольнике— точка пересечения Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольнике) является также высотой, т. е. Сколько углов в треугольнике.

Третий признак равенства треугольников

Теорема 11.1 (третий признак равенства треугольников: по трем сторонам). Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Сколько углов в треугольнике

Доказательство: Рассмотрим треугольники Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольнике(рис. 177), у которых Сколько углов в треугольнике, Сколько углов в треугольнике, Сколько углов в треугольнике Сколько углов в треугольнике(эти равенства указывают, какие стороны треугольников соответствуют друг другу). Докажем, что Сколько углов в треугольникеСколько углов в треугольнике.

Сколько углов в треугольнике

Расположим треугольники Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольнике, так, чтобы вершина Сколько углов в треугольникесовместилась с вершиной Сколько углов в треугольникевершина Сколько углов в треугольнике— с Сколько углов в треугольникеа вершины Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольникележали в разных полуплоскостях относительно прямой Сколько углов в треугольнике(рис. 178). Проведем отрезок Сколько углов в треугольнике. Поскольку Сколько углов в треугольнике, то треугольник Сколько углов в треугольнике— равнобедренный, значит, Сколько углов в треугольнике. Аналогично можно доказать, что Сколько углов в треугольнике. Следовательно, Сколько углов в треугольнике. Тогда Сколько углов в треугольнике Сколько углов в треугольникепо первому признаку равенства треугольников.

Казалось бы, доказательство завершено. Однако мы рассмотрели лишь случай, когда отрезок Сколько углов в треугольникепересекает отрезок Сколько углов в треугольникево внутренней точке. На самом деле отрезок Сколько углов в треугольникеможет проходить через один из концов отрезка Сколько углов в треугольнике, например, через точку Сколько углов в треугольнике(рис. 179), или не иметь общих точек с отрезком Сколько углов в треугольнике(рис. 180). В обоих этих случаях доказательства будут аналогичными приведенному. Проведите их самостоятельно.

Сколько углов в треугольнике

Из третьего признака равенства треугольников следует, что треугольникжесткая фигура. Действительно, если четыре рейки скрепить так, как показано на рисунке 181, а, то такая конструкция не будет жесткой (рис. 181, б, в).

Сколько углов в треугольнике

Если же добавить еще одну рейку, создав два треугольника (рис. 181, г), то полученная конструкция станет жесткой.

Этот факт широко используют в практике (рис. 182).

Сколько углов в треугольнике

Теорема 11.2. Если точка равноудалена от концов отрезка, то она принадлежит серединному перпендикуляру этого отрезка.

Сколько углов в треугольнике

Доказательство: Пусть точка Сколько углов в треугольникеравноудалена от концов отрезка Сколько углов в треугольнике, т. е. Сколько углов в треугольнике(рис. 183). Рассмотрим треугольники Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольнике, где Сколько углов в треугольнике— середина отрезка Сколько углов в треугольнике. Тогда Сколько углов в треугольникепо третьему признаку равенства треугольников. Отсюда Сколько углов в треугольнике. Но сумма этих углов равна 180°, следовательно, каждый из них равен 90°. Значит, прямая Сколько углов в треугольнике— серединный перпендикуляр отрезка Сколько углов в треугольнике.

Заметим, что мы рассмотрели случай, когда точка Сколько углов в треугольникене принадлежит прямой Сколько углов в треугольнике. Если точка Сколько углов в треугольникепринадлежит прямой Сколько углов в треугольнике, то она совпадает с серединой отрезка Сколько углов в треугольнике, а значит, принадлежит его серединному перпендикуляру.

Теоремы

Вы видите, что в учебнике появляется все больше и больше теорем. И это не удивительно: ведь геометрия в основном состоит из теорем и их доказательств. Формулировки всех теорем, которые мы доказали, состоят из двух частей. Первую часть теоремы (то, что дано) называют условием теоремы, вторую часть теоремы (то, что требуется доказать) — заключением.

Например, в теореме 8.1 (первый признак равенства треугольников) условием является то, что две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, а заключением — равенство треугольников.

Все знакомые вам теоремы можно условно разделить на теоремы-свойства и теоремы-признаки. Например, теорема 1.1 устанавливает свойство пересекающихся прямых, теорема 9.1 — свойство равнобедренного треугольника.

Теоремы-признаки перечисляют свойства, по которым можно распознать фигуру, т. е. отнести ее к тому или иному виду (классу). Так, теоремы-признаки равенства треугольников указывают требования, по которым два треугольника можно причислить к классу равных. Например, в теоремах 10.1-10.4 сформулированы свойства, по которым «распознают» равнобедренный треугольник. Теоремы, которые следуют непосредственно из аксиом или теорем, называют теоремами-следствиями или просто следствиями.

Например, теорема 7.1 (неравенство треугольника) является следствием из основного свойства длины отрезка. Свойство углов, противолежащих равным сторонам треугольника, является следствием из теоремы 9.1.

Если в теореме 8.2 о свойстве серединного перпендикуляра поменять местами условие и заключение, то получим теорему 11.2. В таких случаях теоремы называют взаимно обратными. Если какую-то из этих теорем назвать прямой, то вторую теорему будем называть обратной.

При формулировке обратной теоремы надо быть очень внимательными: не всегда можно получить истинное утверждение. Например, утверждение, обратное теореме 4.1 о сумме смежных углов, неверно. Действительно, если сумма каких-то двух углов равна 180°, то совершенно не обязательно, чтобы эти углы были смежными. В таких случаях говорят, что обратная теорема неверна. Вы знаете, что справедливость теоремы устанавливают путем логических рассуждений, т. е. доказательства.

Первая теорема этого учебника была доказана методом от противного. Название этого метода фактически отражает его суть. Мы предположили, что заключение теоремы 1.1 неверно. На основании этого предположения с помощью логических рассуждений был получен факт, который противоречил основному свойству прямой.

Методом от противного также были доказаны и другие теоремы, например теоремы 2.1, 5.1, 10.3.

Очень важно, чтобы доказательство теоремы было полным. Так, полное доказательство теоремы 11.1 (третий признак равенства треугольников) потребовало рассмотрения всех трех возможных случаев. Умение видеть все тонкости доказательства — важнейшее качество, формирующее математическую культуру. Если бы, например, при доказательстве теоремы 8.2 о свойстве серединного перпендикуляра мы не рассмотрели отдельно случай, когда точка Сколько углов в треугольникеявляется серединой отрезка Сколько углов в треугольнике, то обращение к треугольникам Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольникебыло бы не совсем «законным». При доказательстве теоремы 10.4 (признак равнобедренного треугольника) мы использовали прием дополнительного построения: чертеж дополнили элементами, о которых не шла речь в условии теоремы. Этот метод является ключом к решению многих задач и доказательству ряда теорем. Поэтому очень важно научиться видеть «выгодное» (результативное) дополнительное построение.

А как приобрести такое «геометрическое зрение»? Вопрос непростой, и на него сложно ответить конкретными рекомендациями. Но все же мы советуем, во-первых, не быть равнодушными к геометрии, а полюбить этот красивый предмет, во-вторых, решать больше задач, чтобы развить интуицию и приобрести нужный опыт. Дерзайте!

Видео:Сколько углов у треугольника?Скачать

Сколько углов у треугольника?

Параллельные прямые. Сумма углов треугольника

Как установить параллельность двух прямых? Какими свойствами обладают параллельные прямые? Чему равна сумма углов любого треугольника? Какими свойствами обладает прямоугольный треугольник? Изучив материал этого параграфа, вы получите ответы на поставленные вопросы.

Параллельные прямые

Определение. Две прямые называют параллельными, если они не пересекаются.

Сколько углов в треугольнике

На рисунке 192 изображены параллельные прямые Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольнике. Пишут: Сколько углов в треугольнике(читают: «прямые Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольникепараллельны» или «прямая а параллельна прямой Сколько углов в треугольнике»). Если два отрезка лежат на параллельных прямых, то их также называют параллельными.

Сколько углов в треугольнике

На рисунке 193 отрезки Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольникепараллельны. Пишут: Сколько углов в треугольнике.

Сколько углов в треугольнике

Также можно говорить о параллельности двух лучей, луча и отрезка, прямой и луча, отрезка и прямой. Например, на рисунке 194 изображены параллельные лучи.

Теорема 13.1 (признак параллельности прямых). Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.

Сколько углов в треугольнике

Доказательство: На рисунке 195 Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольнике. Надо доказать, чтоСколько углов в треугольнике.

Сколько углов в треугольнике

Предположим, что прямые Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольникепересекаются в некоторой точке Сколько углов в треугольнике(рис. 196). Тогда через точку Сколько углов в треугольнике, не принадлежащую прямой Сколько углов в треугольнике, проходят две прямые Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольнике, перпендикулярные прямой Сколько углов в треугольнике. Это противоречит теореме 7.2. Следовательно, Сколько углов в треугольнике.

Доказанная теорема позволяет с помощью линейки и угольника строить параллельные прямые (рис. 197).

Сколько углов в треугольнике

Следствие. Через данную точку Сколько углов в треугольнике, не принадлежащую прямой Сколько углов в треугольнике, можно провести прямую Сколько углов в треугольнике, параллельную прямой Сколько углов в треугольнике.

Доказательство: Пусть точка Сколько углов в треугольнике не принадлежит прямой Сколько углов в треугольнике (рис. 198).

Сколько углов в треугольнике

Проведем (например, с помощью угольника) через точку Сколько углов в треугольнике прямую Сколько углов в треугольнике, перпендикулярную прямой Сколько углов в треугольнике. Теперь через точку Сколько углов в треугольнике проведем прямую Сколько углов в треугольнике, перпендикулярную прямой Сколько углов в треугольнике. В силу теоремы 13.1 Сколько углов в треугольнике.

Можно ли через точку Сколько углов в треугольнике(рис. 198) провести еще одну прямую, параллельную прямой Сколько углов в треугольнике? Ответ дает следующее

Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Теорема 13.2. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Доказательство: Пусть Сколько углов в треугольникеиСколько углов в треугольнике. Докажем, что Сколько углов в треугольнике.

Сколько углов в треугольнике

Предположим, что прямые Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольникене параллельны, а пересекаются в некоторой точке Сколько углов в треугольнике(рис. 199). Получается, что через точку Сколько углов в треугольникепроходят две прямые, параллельные прямой Сколько углов в треугольнике, что противоречит аксиоме параллельности прямых. Следовательно, Сколько углов в треугольнике.

Пример №30

Докажите, что если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Сколько углов в треугольнике

Решение:

Пусть прямые Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольникепараллельны, прямая Сколько углов в треугольникепересекает прямую Сколько углов в треугольникев точке Сколько углов в треугольнике(рис. 200). Предположим, что прямая Сколько углов в треугольникене пересекает прямую Сколько углов в треугольнике, тогда Сколько углов в треугольнике. Но в этом случае через точку Сколько углов в треугольникепроходят две прямые Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольнике, параллельные прямой Сколько углов в треугольнике, что противоречит аксиоме параллельности прямых. Следовательно, прямая Сколько углов в треугольникепересекает прямую Сколько углов в треугольнике.

Сколько углов в треугольнике

Признаки параллельности двух прямых

Если две прямые Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольникепересечь третьей прямой Сколько углов в треугольнике, то образуется восемь углов (рис. 204). Прямую с называют секущей прямых Сколько углов в треугольникеа и Сколько углов в треугольнике.

Сколько углов в треугольнике

  • Углы 3 и 6, 4 и 5 называют односторонними.
  • Углы 3 и 5, 4 и 6 называют накрест лежащими.
  • Углы 6и 2, 5 и 1, 3 и 7, 4 и 8 называют соответственными.

Теорема 14.1. Если накрест лежащие углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.

Сколько углов в треугольнике

Доказательство: На рисунке 205 прямая Сколько углов в треугольникеявляется секущей прямых Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольнике, Сколько углов в треугольнике. Докажем, что Сколько углов в треугольнике.

Сколько углов в треугольнике

Если Сколько углов в треугольнике(рис. 206), то параллельность прямых Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольникеследует из теоремы 13.1.

Сколько углов в треугольнике

Пусть теперь прямая Сколько углов в треугольникене перпендикулярна ни прямой Сколько углов в треугольнике, ни прямой Сколько углов в треугольнике. Отметим точку Сколько углов в треугольнике— середину отрезка Сколько углов в треугольнике(рис. 207). Через точку Сколько углов в треугольникепроведем перпендикуляр Сколько углов в треугольникек прямой Сколько углов в треугольнике. Пусть прямая Сколько углов в треугольникепересекает прямую Сколько углов в треугольникев точке Сколько углов в треугольнике. Имеем: Сколько углов в треугольникепо условию; Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольникеравны как вертикальные.

Следовательно, Сколько углов в треугольникепо второму признаку равенства треугольников. Отсюда Сколько углов в треугольнике. Мы показали, что прямые Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольникеперпендикулярны прямой Сколько углов в треугольнике, значит, они параллельны.

Теорема 14.2. Если сумма односторонних углов, образующихся при пересечении двух прямых секущей, равна 180°, то прямые параллельны.

Сколько углов в треугольнике

Доказательство: На рисунке 208 прямая Сколько углов в треугольникеявляется секущей прямых Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольнике, Сколько углов в треугольнике. Докажем, что Сколько углов в треугольнике.

Углы 1 и 3 смежные, следовательно, Сколько углов в треугольнике. Тогда Сколько углов в треугольнике. Но они накрест лежащие. Поэтому в силу теоремы 14.1 Сколько углов в треугольнике.

Теорема 14.3. Если соответственные углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.

Сколько углов в треугольнике

Доказательство: На рисунке 209 прямая Сколько углов в треугольникеявляется секущей прямых Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольнике, Сколько углов в треугольнике. Докажем, что Сколько углов в треугольнике.

Углы 1 и 3 равны как вертикальные. Следовательно, Сколько углов в треугольнике. Но они накрест лежащие. Поэтому в силу теоремы 14.1 Сколько углов в треугольнике. ▲

Сколько углов в треугольнике

Пример №31

На рисунке 210 Сколько углов в треугольнике, Сколько углов в треугольнике. Докажите, что Сколько углов в треугольнике.

Решение:

Рассмотрим Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольнике. Сколько углов в треугольнике, Сколько углов в треугольнике— по условию. Сколько углов в треугольнике— общая сторона. Значит, Сколько углов в треугольникепо двум сторонам и углу между ними. Тогда Сколько углов в треугольнике. Кроме того, Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольнике— накрест лежащие при прямых Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольникеи секущей Сколько углов в треугольнике. Следовательно, Сколько углов в треугольнике.

Пятый постулат Евклида

В качестве аксиом выбирают очевидные утверждения. Тогда почему бы, например, теоремы 1.1-5.1 не включить в список аксиом: ведь они тоже очевидны? Ответ на этот вопрос совершенно ясен: если какое-то утверждение можно доказать с помощью аксиом, то это утверждение — теорема, а не аксиома.

С этих позиций очень поучительна история, связанная с пятым постулатом Евклида (напомним, что в рассказе «Из истории геометрии» мы сформулировали первых четыре постулата).

Сколько углов в треугольнике

V постулат. И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороны от секущей, с которой эта сумма меньше двух прямых углов (рис. 225).

Можно показать, что пятый постулат и сформулированная нами в п. 13 аксиома параллельности прямых равносильны, т. е. из постулата следует аксиома и наоборот — из аксиомы следует постулат.

Более 20 веков многие ученые пытались доказать пятый постулат (аксиому параллельности прямых), т. е. вывести его из других аксиом Евклида. Лишь в начале XIX века несколько матема- / тиков независимо друг от друга пришли ДР к выводу: утверждение, что через данную точку, не лежащую на данной, прямой, можно провести только одну прямую, парал- а + р 0 .

Доказательство: Рассмотрим произвольный треугольник Сколько углов в треугольнике. Требуется доказать, что Сколько углов в треугольнике.

Сколько углов в треугольнике

Через вершину Сколько углов в треугольникепроведем прямую Сколько углов в треугольнике, параллельную прямой Сколько углов в треугольнике(рис. 245). Имеем: Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольникеравны как накрест лежащие при параллельных прямых Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольникеи секущей Сколько углов в треугольнике. Аналогично доказываем, что Сколько углов в треугольнике. Но углы 1, 2, 3 составляют развернутый угол с вершиной Сколько углов в треугольнике. Следовательно, Сколько углов в треугольнике.

Следствие. Среди углов треугольника хотя бы два угла острые.

Докажите эту теорему самостоятельно.

Определение. Внешним углом треугольника называют угол, смежный с углом этого треугольника.

Сколько углов в треугольнике

На рисунке 246 углы 1, 2, 3 являются внешними углами треугольника Сколько углов в треугольнике.

Теорема 16.2. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

Доказательство: На рисунке 246 Сколько углов в треугольнике— внешний. Надо доказать, что Сколько углов в треугольнике.

Очевидно, что Сколько углов в треугольнике. Та как Сколько углов в треугольникеСколько углов в треугольнике, то Сколько углов в треугольнике, отсюда Сколько углов в треугольнике.

Следствие. Внешний угол треугольника больше каждого из углов треугольника, не смежных с ним.

Докажите эту теорему самостоятельно.

Вы уже знаете, что в треугольнике против равных сторон лежат равные углы, и наоборот, против равных углов лежат равные стороны (п. 9, 10). Это свойство дополняет следующая

Теорема 16.3. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и наоборот, против большего угла лежит большая сторона.

Сколько углов в треугольнике

Доказательство: Рассмотрим треугольник Сколько углов в треугольнике, у которого Сколько углов в треугольнике. Надо доказать, что Сколько углов в треугольнике(рис. 247).

Поскольку Сколько углов в треугольнике, то на стороне Сколько углов в треугольникенайдется такая точка Сколько углов в треугольнике, что Сколько углов в треугольнике. Получили равнобедренный треугольник Сколько углов в треугольнике, в котором Сколько углов в треугольнике.

Так как Сколько углов в треугольнике— внешний угол треугольника Сколько углов в треугольнике, то Сколько углов в треугольнике. Следующая «цепочка» доказывает первую часть теоремы:

Сколько углов в треугольнике

Рассмотрим треугольник Сколько углов в треугольнике, у которого Сколько углов в треугольнике. Надо доказать, что Сколько углов в треугольнике.

Сколько углов в треугольнике

Поскольку Сколько углов в треугольнике, то угол Сколько углов в треугольникеможно разделить на два угла Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольникетак, что Сколько углов в треугольнике(рис. 248). Тогда Сколько углов в треугольнике— равнобедренный с равными сторонами Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольнике.

Используя неравенство треугольника, получим: Сколько углов в треугольнике.

Пример №34

Медиана Сколько углов в треугольникетреугольника Сколько углов в треугольникеравна половине стороны Сколько углов в треугольнике. Докажите, что Сколько углов в треугольнике— прямоугольный.

Сколько углов в треугольнике

Решение:

По условию Сколько углов в треугольнике(рис. 249). Тогда в треугольнике Сколько углов в треугольнике. Аналогично Сколько углов в треугольнике, и в треугольнике Сколько углов в треугольнике. В Сколько углов в треугольнике: Сколько углов в треугольнике. Учитывая, что Сколько углов в треугольникеСколько углов в треугольнике, имеем:

Сколько углов в треугольнике.

Следовательно, Сколько углов в треугольнике— прямоугольный.

Прямоугольный треугольник

На рисунке 255 изображен прямоугольный треугольник Сколько углов в треугольнике, у которого Сколько углов в треугольнике.

Сторону прямоугольного треугольника, противолежащую прямому углу, называют гипотенузой, а стороны, прилежащие к прямому углу, — катетами (рис. 255).

Сколько углов в треугольнике

Для доказательства равенства двух треугольников находят их равные элементы. У любых двух прямоугольных треугольников такие элементы есть всегда — это прямые углы. Поэтому для прямоугольных треугольников можно сформулировать «персональные» признаки равенства.

Теорема17.1 (признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету). Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

Сколько углов в треугольнике

Доказательство: Рассмотрим треугольники Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольнике, у которых Сколько углов в треугольнике, Сколько углов в треугольнике, Сколько углов в треугольнике(рис. 256). Надо доказать, что Сколько углов в треугольнике.

Расположим треугольники Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольникетак, чтобы вершина Сколько углов в треугольникесовместилась Сколько углов в треугольникевершиной Сколько углов в треугольникевершина Сколько углов в треугольнике— с вершиной Сколько углов в треугольнике, а точки Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольникележали в разных полуплоскостях относительно прямой Сколько углов в треугольнике(рис. 257).

Сколько углов в треугольнике

Имеем: Сколько углов в треугольнике. Значит, угол Сколько углов в треугольнике— развернутый, и тогда точки Сколько углов в треугольникележат на одной прямой. Получили равнобедренный треугольник Сколько углов в треугольникес боковыми сторонами Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольнике, и высотой Сколько углов в треугольнике(рис. 257). Тогда Сколько углов в треугольнике— медиана этого треугольника, и Сколько углов в треугольнике Сколько углов в треугольникеСледовательно, Сколько углов в треугольникепо третьему признаку равенства треугольников.

При решении задач удобно пользоваться и другими признаками равенства прямоугольных треугольников, непосредственно вытекающими из признаков равенства треугольников.

Признак равенства прямоугольных треугольников по двум к а т е т а м. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.

Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему острому углу. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.

Очевидно, что если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то равны и два других острых угла. Воспользовавшись этим утверждением, список признаков равенства прямоугольных треугольников можно дополнить еще двумя признаками.

Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему острому углу. Если катет и противолежащий ему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему ему острому углу другого, то такие треугольники равны. Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

Пример №35

Докажите равенство прямоугольных треугольников по острому углу и биссектрисе, проведенной из вершины этого угла.

Сколько углов в треугольнике

Решение:

В треугольниках Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольнике(рис. 258) Сколько углов в треугольнике, Сколько углов в треугольникеотрезки Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольнике— биссектрисы, Сколько углов в треугольнике.

Так как Сколько углов в треугольнике

Сколько углов в треугольнике

то прямоугольные треугольники Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольникеравны по гипотенузе и острому углу. Тогда Сколько углов в треугольникеи прямоугольные треугольники Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольникеравны по катету и прилежащему острому углу.

Свойства прямоугольного треугольника

Теорема 18.1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

Доказательство: Каждый из катетов лежит против острого угла, а гипотенуза лежит против прямого угла. Прямой угол больше острого угла, следовательно, в силу теоремы 16.3 гипотенуза больше любого из катетов.

Следствие. Если из одной точки, не лежащей на прямой, к этой прямой проведены перпендикуляр и наклонная, то перпендикуляр меньше наклонной.

Сколько углов в треугольнике

На рисунке 267 отрезок Сколько углов в треугольнике— перпендикуляр, отрезок Сколько углов в треугольнике— наклонная, Сколько углов в треугольнике. Часто при решении задач используют результаты следующих двух задач.

Пример №36

Катет, лежащий против угла, величина которого равна 30°, равен половине гипотенузы.

Решение:

Рассмотрим треугольник Сколько углов в треугольнике, в котором Сколько углов в треугольнике, Сколько углов в треугольнике. Надо доказать, что Сколько углов в треугольнике.

Сколько углов в треугольнике

На прямой Сколько углов в треугольникеотложим отрезок Сколько углов в треугольнике, равный отрезку Сколько углов в треугольнике(рис. 268). Тогда Сколько углов в треугольникепо двум катетам. Действительно, стороны Сколько углов в треугольникеи Сколько углов в треугольникеравны по построению, Сколько углов в треугольнике— общая сторона этих треугольников и Сколько углов в треугольнике. Тогда Сколько углов в треугольнике. Отсюда Сколько углов в треугольнике. Следовательно, Сколько углов в треугольникеи треугольник Сколько углов в треугольнике— равносторонний. Значит,

Сколько углов в треугольнике

Пример №37

Если катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.

Решение:

Рассмотрим треугольник Сколько углов в треугольнике, в котором Сколько углов в треугольнике, Сколько углов в треугольнике. Надо доказать, что Сколько углов в треугольнике. На прямой Сколько углов в треугольникеотложим отрезок Сколько углов в треугольнике, равный отрезку Сколько углов в треугольнике(рис. 268). Тогда Сколько углов в треугольнике. Кроме того, отрезок Сколько углов в треугольникеявляется медианой и высотой треугольника Сколько углов в треугольнике, следовательно, по признаку равнобедренного треугольника Сколько углов в треугольнике. Теперь ясно, что Сколько углов в треугольникеи треугольник Сколько углов в треугольнике— равносторонний. Так как отрезок Сколько углов в треугольнике— биссектриса треугольника Сколько углов в треугольнике, то Сколько углов в треугольнике.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Решение треугольников
  • Треугольники и окружность
  • Площадь треугольника
  • Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника
  • Геометрические фигуры и их свойства
  • Основные фигуры геометрии и их расположение в пространстве
  • Пространственные фигуры — виды, изображения, свойства
  • Взаимное расположения прямых на плоскости

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Виды угловСкачать

Виды углов

Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники.

Виды треугольников

Остроугольный треугольник — это треугольник,
в котором все углы острые.

Прямоугольный треугольник — это треугольник,
в котором один из углов прямой.

Тупоугольный треугольник — это треугольник,
в котором один из углов тупой.

Как определить вид треугольника

Для того, чтобы понять какой треугольник — остроугольный, прямоугольный или тупоугольный
нужно знать какая градусная мера у углов в треугольнике.

Если один из углов в треугольнике прямой, значит треугольник прямоугольный. Все углы острые в треугольнике — значит треугольник остроугольный. Если в треугольнике один из углов тупой, значит треугольник тупоугольный.

В произвольном треугольнике все углы острые, или два угла острые, а третий прямой или тупой. Если в треугольнике вам известно, что один углов тупой или прямой, значит сумма двух других углов не больше 90 градусов.

В прямоугольном треугольнике стороны напротив острых углов называются катетами, а сторона напротив прямого угла называется гипотенузой.

Градусные меры острого, тупого, прямого углов в треугольниках

Чтобы понять как называется угол и как называется треугольник с этими углами — надо знать его градусную меру:

  1. Острый угол в любом из треугольников не больше 90 градусов.
  2. Прямой угол в любом из треугольников равен 90 градусам.
  3. Тупой угол в любом из треугольников больше 90 градусов, но меньше 180 градусов.

🎦 Видео

сколько углов у треугольникаСкачать

сколько углов у треугольника

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать

Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | Математика

Сколько углов у треугольника подпишисьСкачать

Сколько углов у треугольника подпишись

Только 1 может решить эту хитрую задачу ★ Найдите углы треугольника ★ Супер ЖЕСТЬСкачать

Только 1 может решить эту хитрую задачу ★ Найдите углы треугольника ★ Супер ЖЕСТЬ

Сколько углов у треугольникаСкачать

Сколько углов у треугольника

Сколько углов у ТреугольникаСкачать

Сколько углов у Треугольника

Сколько треугольников на картинке? Расскажу, как посчитать это за 7 секунд!Скачать

Сколько треугольников на картинке? Расскажу, как посчитать это за 7 секунд!

Сколько углов у Треугольника Школьные вопросы #shortsСкачать

Сколько углов у Треугольника Школьные вопросы #shorts

Сколько углов в треугольнике ? 😅🤣 - Тик Ток Прикол Смешно ВидеоСкачать

Сколько углов в треугольнике ? 😅🤣 - Тик Ток Прикол Смешно Видео

Геометрия 7 класс (Урок№23 - Сумма углов треугольника.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№23 - Сумма углов треугольника.)

Сумма внутренних углов многоугольника. Выпуклые и невыпуклые многоугольники. 8 класс.Скачать

Сумма внутренних углов многоугольника. Выпуклые и невыпуклые многоугольники. 8 класс.

Математика 2 класс (Урок№33 - Угол. Виды углов: прямой, острый, тупой.)Скачать

Математика 2 класс (Урок№33 - Угол. Виды углов: прямой, острый, тупой.)
Поделиться или сохранить к себе: