Сколько окружностей поместится в круге (8 видео)

Сколько малых одинаковых окружностей радиуса r можно вписать в большую окружность радиуса R

Этот калькулятор оценивает число малых окружностей заданного радиуса r можно разместить внутри большой окружности заданного радиуса R.

Этот калькулятор выводит максимальное число малых окружностей заданного радиуса r можно разместить внутри большой окружности заданного радиуса R. Например это могут быть малые трубы внутри большой, провода в кабель канале, круги, вырезаемые из круговой же заготовки и так далее.

Вы можете подумать, что для решения такой задачи должна быть выведена формула, но на самом деле это не так — формулы нет. Эта задача относится к классу оптимизационных задач, а точнее, задач упаковки. Эта задача известна как Упаковка кругов в круге. Упаковка кругов в круге — это двумерная задача упаковки, целью которой является упаковка единичных кругов в как можно меньший круг. См. Упаковка кругов в круге.

Для этой задачи найденное решение еще и должно быть проанализировано на оптимальность. Статья в википедии по ссылке выше приводит первые 20 решений (иными словами, приводит минимальные радиусы больших окружностей вмещающих заданное число единичных окружностей. Между прочим, по умолчанию входные параметры калькулятора дают ответ 11 кругов, что соответствует следующей диаграмме:

Хорошей новостью является то, что есть проект в интернете, целиком посвященный задачам упаковки — сайт Packomania. На сегодняшний день он содержит все найденные решения, автор сайта, Экард Спехт (Eckard Specht), сам участвует в поиске решений, и большинство решений, на самом деле найдены им. Оттуда можно взять соотношения r к R для решений, позволяющих упаковать от 1 до 2600 окружностей внутри большой, с графическими диаграммами решения.

Соотношения r/R, приведенные на сайте и использует калькулятор ниже для поиска оптимального решения. Если соотношение не попадает в диапазон известных решений, калькулятор выдает ошибку.

Содержание

Круги в круге
Задача
Подсказка 1
Подсказка 2
Решение
Послесловие
Простая задача про круги, которая выглядит сложной
Строим внутренний треугольник
Строим проекцию
Вычисляем длину секций
📸 Видео

Видео:Длина окружности. Площадь круга - математика 6 классСкачать

Круги в круге

Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Задача

Чему равен наименьший радиус круга, в котором можно разместить без наложений 7 единичных кругов? Обоснуйте ваш ответ.

Примечание. Единичный круг — круг радиуса 1. «Без наложений» означает, что круги могут касаться, но не должны иметь общих внутренних точек.

Видео:Радиус и диаметрСкачать

Подсказка 1

Радиус равен 3, а «оптимальная картинка» выглядит именно так, как вы ее себе, скорее всего, и представили (рис. 1).

Видео:Математика 3 класс (Урок№33 - Круг. Окружность (центр, радиус, диаметр)Скачать

Подсказка 2

Удобно избавиться от понятия «наложение», перейдя от этой задачи к такой:
Рассмотрим вместо кругов только их центры. В круг какого наименьшего радиуса можно их все уместить?

В «оптимальной картинке» все центры являются вершинами и центром правильного шестиугольника со стороной 2 (рис. 2). При этом расстояние между любыми двумя вершинами и центром такого шестиугольника тоже равно 2, поэтому все точки лежат в круге радиуса 2. Нужно обосновать, что все эти точки нельзя уместить в круг меньшего радиуса. Для этого попробуйте рассмотреть случаи, сколько именно (из шести отличных от центра) точек образуют выпуклый многоугольник.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Решение

Будем действовать методом «от противного». Предположим, что шесть точек с попарным расстоянием 2 (или большим двух), удалось поместить в круг радиуса R BA и CH > CA. То есть при сдвиге A в H расстояния до точек B и C увеличились.

Наконец, если все точки лежат на единичной окружности, то они делят ее на 6 дуг, поэтому длина наименьшей из дуг не больше, чем 1/6 длины окружности, то есть не больше 2π/6. Это значит, что величина центрального угла этой дуги также не превышает 2π/6, а значит, расстояние между двумя точками, являющимися концами этой дуги, не больше 2sin(π/6) = 1.

Видео:Окружность. Круг. 5 класс.Скачать

Послесловие

Эта задача является примером огромного класса так называемых «минимаксных» задач вычислительной геометрии. В минимаксных задачах ищется наибольшее возможное значение какой-то величины, которая сама определена как наименьшее значение другой величины. В нашем случае минимаксная задача (к которой мы свели исходную) была такой: сначала среди всех 15 попарных расстояний между шестью точками в единичном круге выбирается наименьшее, а затем ищется такая конфигурация шести точек, для которой это расстояние будет максимальным из возможных.

Приведенное нами утверждение и его доказательство принадлежат замечательному американскому математику Рональду Грэхему (Ronald Graham), они опубликованы в 1968 году. Грэхем доказал даже более общую оценку для наименьшего расстояния d между какими-то из k точек, лежащих в единичном круге. Эта оценка имеет вид

(то есть d не превышает наибольшего из двух чисел — единицы и удвоенного синуса). Оценка Грэхема является оптимальной для 2 ≤ k ≤ 7, то есть существуют картинки, для которых достигаются значения из правой части этого неравенства. Для больших значений k указанная оценка неточна, поскольку она дает d ≤ 1, а на самом деле наибольшее из возможных значений минимального расстояния между точками строго меньше 1.

Естественное обобщение нашей задачи — поиск кругов наименьшего радиуса, в которые можно поместить N единичных кругов (или, что то же самое, поиск решения минимаксной задачи об N точках в единичном круге). В этом поиске усилия математиков сконцентрировались на двух направлениях — компьютерном моделировании и доказательствах оптимальности. Ниже на рис. 5 показаны несколько очевидных оптимальных картинок.

Оптимальность первых трех из них следует из приведенного выше результата Р. Грэхема. Оптимальность последней (для 8 кругов) была доказана в 1963 году голландцем Boele L. J. Braaksma в его диссертации под труднопроизносимым названием «Асимптотические расширения и аналитические продолжения для одного класса интегралов Барнса». Следующее продвижение, а также оптимальность вот такой вот картинки (рис. 6) с двумя внутренними кругами (для 10 кругов)

было получено немцем U. Pirl в 1969 году. Оптимальность аналогичной картинки для 11 кругов доказана еще на 25 лет позже, а для 12, 13 и 19 кругов — еще позже (последний из результатов — в 2003 году).

И. всё. Остальные результаты об упаковке кругов в круг на сегодняшний день находятся в состоянии «оптимальность предполагается, но не доказана». Так что просто полюбуйтесь на картинки (рис. 7) с доказанной оптимальностью (N = 12 и N = 19) и оцените: всего каких-то 15 лет назад это была терра инкогнита, обе задачи еще ждали своего решателя.

А следующие две картинки (для N = 14 и N = 15 соответственно) являются этой самой «инкогнитой» и сейчас (рис. 8). Дерзайте.

См. также:
1) Circle packing in a circle («Упаковка кругов в круг»). Достаточно детальная статья английской Википедии.
2) Circles in Circles. Страничка Эрика Фридмана, откуда мы позаимствовали большую часть иллюстраций. Там же на соседних страницах packing center рассказано о других задачах упаковки.
3) K. A. Dowsland, M. Gilbert, G. Kendall. A local search approach to a circle cutting problem arising in the motor cycle industry (PDF, 346 Кб). Статья в научном журнале Operational Research Society — международного сообщества, занимающегося исследованием операций, то есть научной дисциплиной, чья основная задача — обоснование оптимальности применения каких-либо научных достижений на практике.
В статье объясняется, как можно оптимизировать изготовление «звездочек» и других профилированных колёс (для зубчатых передач и др.) при производстве велосипедов и мотоциклов. С точки зрения математики — абсолютно ничего нового, но связь с практикой очень забавна. Интересно, появится ли когда-нибудь подобная статья для домохозяек — об оптимизации раскладывания котлет на сковородке?

Видео:Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Простая задача про круги, которая выглядит сложной

Но на деле она точно простая.

Разберём свежую задачу с канала MindYourDecisions. Это не про программирование, но развивает логическое мышление.

Дано: есть три одинаковых круга с диаметром в 1 метр. Круги соприкасаются друг с другом, а вокруг них натянута эластичная лента.

Что нужно: найти длину этой ленты.

Кажется, что это очень сложная задача, где нужно знать сложные формулы расчёта кривизны и точек натяжения, но на деле всё будет гораздо проще. Если знаете английский — посмотрите оригинальный ролик, там классная анимация:

Видео:Окружность и круг, 6 классСкачать

Строим внутренний треугольник

Первое, что мы сделаем, — соединим центры всех кругов в один треугольник:

В геометрии есть такое правило, что если круги касаются друг друга, то через их центры можно провести прямую линию, и точка касания кругов будет лежать на этой линии. Раз у нас диаметр равен 1, то радиус каждого круга равен 0,5. Обозначим это на рисунке:

Получается, что длина каждой стороны треугольника равна 0,5 + 0,5 = 1. Запомним это и идём дальше.

Видео:5 класс, 22 урок, Окружность и кругСкачать

Строим проекцию

От каждой вершины треугольника проведём под прямым углом линии к ленте:

Получились прямоугольники. У прямоугольников противоположные стороны равны, поэтому раз стороны треугольника равны единице, то и эти отрезки на ленте тоже будут равны единице:

Осталось найти длину оставшихся секций:

Видео:ПЛОЩАДЬ КРУГА. ЛАЙФХАК #math #логика #загадка #математика #геометрияСкачать

Вычисляем длину секций

Здесь нам поможет знание о том, что полный оборот внутри круга — это 360 градусов.

Так как во внутреннем треугольнике все стороны равны, то это равносторонний треугольник. А раз так, то углы в нём равны 60 градусов. Добавим сюда по два прямых угла по 90 градусов из прямоугольников:

Решаем уравнение: 90 + 60 + 90 + X = 360 → X = 120 градусов.

Но 120 градусов — это ровно треть круга, а у нас таких частей как раз три:

Это значит, что из них можно составить один целый круг. При этом мы знаем, что у этого круга радиус 0,5, а диаметр тогда равен единице. Этого достаточно, чтобы посчитать длину окружности: L = π × d → L = 3,14.

Складываем это число с длинами трёх отрезков и получаем полную длину: 3 + π