Сколько имеет высот треугольника

Высота треугольника

Расстояние между вершиной треугольника и противоположной стороной называется высотой. Формально, это самый короткий отрезок между вершиной треугольника и (с возможным продлением) противоположной стороной.

Сколько имеет высот треугольника

Каждый треугольник имеет 3 высоты которые пересекаются в одной точке — ортоцентре. Если мы используем стандартные обозначения, в треугольнике ABC , есть три высоты: AHa, BHb, CHc . Эти три отрезка пересекаются в одной точке — ортоцентре (точка H на рисунке) треугольника. Для тупого треугольника (имеющего один угол, больше чем 90°), ортоцентр находится за пределами треугольника.

Высоты остроугольного треугольника

Сколько имеет высот треугольника

Ортоцентр — это точка внутри треугольника.

∠ AHB = 180 — γ = α + β
∠ BHC = 180 — α = β + γ
∠ AHC = 180 — β = α + γ
∠ AHHc = β, ∠ BHHc = α, ∠ BHHa = γ

Высоты тупоугольного треугольника

Сколько имеет высот треугольника

Ортоцентр находится вне треугольнка.
Две высоты также всегда лежат вне треугольника.
∠ AHHc = ∠ CBA = β
∠ HcHB = ∠ CAB = α

Правый треугольник

Сколько имеет высот треугольника

Высота AHa совпадает с AC.
Высота BHb совпадает с BC.
Ортоцентр H совпадает с C.
∠ ACHc = β, ∠ BCHc

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)

Формулы

R — радиус описанной окружности
r — радиус вписанной окружности
p — полуперимерт: (a + b + c)/2

Видео:7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Высота треугольника. Задача Фаньяно

Сколько имеет высот треугольникаВысота треугольника. Свойство высоты прямоугольного треугольника
Сколько имеет высот треугольникаРасположение высот у треугольников различных типов
Сколько имеет высот треугольникаОртоцентр треугольника
Сколько имеет высот треугольникаРасположение ортоцентров у треугольников различных типов
Сколько имеет высот треугольникаОртоцентрический треугольник
Сколько имеет высот треугольникаЗадача Фаньяно

Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

Высота треугольника. Свойство высоты прямоугольного треугольника

Определение 1 . Высотой треугольника называют перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противолежащую сторону треугольника. Основанием высоты называют основание этого перпендикуляра (рис.1).

Сколько имеет высот треугольника

На рисунке 1 изображена высота BD , проведённая из вершины B треугольника ABC . Точка D – основание высоты.

Для высоты прямоугольного треугольника, проведённой из вершины прямого угла, справедливо следующее утверждение.

Утверждение . Длина высоты прямоугольного треугольника, опущенной на гипотенузу, является средним геометрическим между длинами отрезков, на которые основание высоты делит гипотенузу (рис.2).

Сколько имеет высот треугольника

Доказательство . Углы треугольников BCD и ACD (рис.2) удовлетворяют соотношениям

Сколько имеет высот треугольника

Сколько имеет высот треугольника

Сколько имеет высот треугольника

Сколько имеет высот треугольника

Таким образом, длина отрезка CD является средним геометрическим между длинами отрезков BD и AD , что и требовалось доказать.

Высоты можно провести из каждой вершины треугольника, однако у треугольников различных типов высоты располагаются по-разному, как показано в следующей таблице.

Видео:КАК НАЙТИ ВЫСОТУ ТРЕУГОЛЬНИКА? ЕГЭ и ОГЭ #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэ #треугольникСкачать

КАК НАЙТИ ВЫСОТУ ТРЕУГОЛЬНИКА? ЕГЭ и ОГЭ #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэ #треугольник

Расположение высот у треугольников различных типов

ФигураРисунокОписание
Остроугольный треугольникСколько имеет высот треугольникаВсе высоты остроугольного треугольника лежат внутри треугольника.
Сколько имеет высот треугольника
Сколько имеет высот треугольника
Прямоугольный треугольникСколько имеет высот треугольникаВысоты прямоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, совпадают с катетами треугольника. Высота, проведённая из вершины прямого угла, лежит внутри треугольника
Сколько имеет высот треугольника
Сколько имеет высот треугольника
Тупоугольный треугольникСколько имеет высот треугольникаВысоты тупоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, лежат вне треугольника. Высота, проведённая из вершины тупого угла, лежит внутри треугольника
Сколько имеет высот треугольника
Сколько имеет высот треугольника
Остроугольный треугольник
Сколько имеет высот треугольникаСколько имеет высот треугольникаСколько имеет высот треугольника
Все высоты остроугольного треугольника лежат внутри треугольника.
Прямоугольный треугольник
Сколько имеет высот треугольникаСколько имеет высот треугольникаСколько имеет высот треугольника
Высоты прямоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, совпадают с катетами треугольника. Высота, проведённая из вершины прямого угла, лежит внутри треугольника
Тупоугольный треугольник
Сколько имеет высот треугольникаСколько имеет высот треугольникаСколько имеет высот треугольника
Высоты тупоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, лежат вне треугольника. Высота, проведённая из вершины тупого угла, лежит внутри треугольника

Сколько имеет высот треугольника

Сколько имеет высот треугольника

Сколько имеет высот треугольника

Все высоты остроугольного треугольника лежат внутри треугольника.

Сколько имеет высот треугольника

Сколько имеет высот треугольника

Сколько имеет высот треугольника

Высоты прямоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, совпадают с катетами треугольника. Высота, проведённая из вершины прямого угла, лежит внутри треугольника

Сколько имеет высот треугольника

Сколько имеет высот треугольника

Сколько имеет высот треугольника

Сколько имеет высот треугольника

Сколько имеет высот треугольника

Сколько имеет высот треугольника

Высоты тупоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, лежат вне треугольника. Высота, проведённая из вершины тупого угла, лежит внутри треугольника

Видео:Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.Скачать

Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.

Ортоцентр треугольника

Теорема 1 . Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим произвольный треугольник ABC и проведём через каждую из его вершин прямую, параллельную противолежащей стороне (рис.3).

Сколько имеет высот треугольника

Сколько имеет высот треугольника

Обозначим точки пересечения этих прямых символами A1 , B1 и C1 , как показано на рисунке 3.

Следовательно, точка B является серединой стороны C1A1 .

Следовательно, точка A является серединой стороны C1B1 .

Следовательно, точка C является серединой стороны B1A1 .

Сколько имеет высот треугольника

Сколько имеет высот треугольника

и в силу теоремы о серединных перпендикулярах пересекаются в одной точке.

Теорема 1 доказана.

Определение 2 . Точку пересечения высот треугольника (или их продолжений) называют ортоцентром треугольника.

У треугольников различных типов ортоцентры располагаются по-разному, как показано в следующей таблице.

Видео:Медианы, биссектрисы и высоты треугольника | Геометрия 7-9 класс #18 | ИнфоурокСкачать

Медианы, биссектрисы и высоты треугольника | Геометрия 7-9 класс #18 | Инфоурок

Расположение ортоцентров у треугольников различных типов

Ортоцентр остроугольного треугольника лежит внутри треугольника.

Ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла

Сколько имеет высот треугольника

Сколько имеет высот треугольника

Ортоцентр тупоугольного треугольника лежит вне треугольника.
В ортоцентре тупоугольного треугольника пересекаются не высоты, а продолжения высот треугольника.

Сколько имеет высот треугольника

Ортоцентр остроугольного треугольника лежит внутри треугольника.

Сколько имеет высот треугольника

Ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла

Сколько имеет высот треугольника

Сколько имеет высот треугольника

Ортоцентр тупоугольного треугольника лежит вне треугольника.
В ортоцентре тупоугольного треугольника пересекаются не высоты, а продолжения высот треугольника.

Видео:Высоты треугольника.Скачать

Высоты треугольника.

Ортоцентрический треугольник

Решим следующую задачу.

Задача . В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AD и BE (рис.5). Доказать, что треугольник DCE подобен треугольнику ABC .

Сколько имеет высот треугольника

Решение . Рассмотрим треугольники ADC и BEC . Эти треугольники подобны в силу признака подобия прямоугольных треугольников с равными острыми углами (угол C общий). Следовательно, справедливо равенство

Сколько имеет высот треугольника

Это равенство, а также наличие общего угла C позволяют на основании признака подобия треугольников заключить, что и треугольники DCE и ABC подобны. Решение задачи завершено.

Сколько имеет высот треугольника

Сколько имеет высот треугольника

Определение 3 . Ортоцентрическим треугольником (ортотреугольником) называют треугольник, вершинами которого служат основания высот исходного треугольника (рис 6).

Сколько имеет высот треугольника

Из определения 3 и следствия 1 вытекает следствие 2.

Следствие 2 . Пусть FDE – ортоцентрический треугольник с вершинами в основаниях высот остроугольного треугольника ABC (рис 7).

Сколько имеет высот треугольника

Тогда справедливы равенства

Сколько имеет высот треугольника

Сколько имеет высот треугольника

Из следствия 2 вытекает теорема 2.

Теорема 2 . Высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами углов его ортоцентрического треугольника (рис.7).

Доказательство . Воспользовавшись следствием 2, получаем:

Сколько имеет высот треугольника

Сколько имеет высот треугольника

что и требовалось доказать.

Видео:Медиана, высота и биссектриса треугольника. Центроид, инцентр, ортоцентр. Геометрия 7 класс.Скачать

Медиана, высота и биссектриса треугольника. Центроид, инцентр, ортоцентр. Геометрия 7 класс.

Задача Фаньяно

Задача Фаньяно . Рассматриваются всевозможные треугольники DEF , вершины D, E и F которых лежат на сторонах BC, AC и AB остроугольного треугольника ABC соответственно. Доказать, что из всех треугольников DEF наименьшим периметром обладает ортоцентрический треугольник треугольника ABC .

Решение . Пусть DEF – один из рассматриваемых треугольников. Обозначим символом D1 точку, симметричную точке D относительно прямой AC , и обозначим символом D2 точку, симметричную точке D относительно прямой AB (рис.8).

Сколько имеет высот треугольника

Поскольку отрезок прямой – кратчайшее расстояние между двумя точками, то периметр треугольника DEF оказывается не меньшим, чем длина отрезка D1D2 . Отсюда вытекает, что при фиксированной точке D наименьшим периметром обладает такой треугольник DEF , вершины F и E которого являются точками пересечения прямой D1D2 с прямыми AB и AC соответственно. Периметр этого треугольника равен длине отрезка D1D2 (рис.9).

Сколько имеет высот треугольника

Заметим также, что выполнено равенство

Кроме того, выполнено равенство

Сколько имеет высот треугольника

Сколько имеет высот треугольника

Сколько имеет высот треугольника

Отсюда вытекает, что длина отрезка D1D2 будет наименьшей тогда, когда длина отрезка AD будет наименьшей, т.е. в том случае, когда отрезок AD является высотой треугольника ABC . Другими словами, наименьшим периметром обладает такой треугольник DEF , у которого вершина D является основанием высоты треугольника ABC , проведённой из вершины A , а вершины E и F построены по описанной выше схеме. Таким образом, среди всевозможных треугольников DEF треугольник с наименьшим периметром является единственным.

Если обозначить длину высоты, проведённой из вершины A , длину стороны AB и радиус описанной около треугольника ABC окружности буквами h, c и R соответственно, то, воспользовавшись теоремой синусов, получим:

Сколько имеет высот треугольника

Сколько имеет высот треугольника

Сколько имеет высот треугольника

Следовательно, наименьший периметр рассматриваемых треугольников DEF равен

Сколько имеет высот треугольника

Теперь докажем, что ортоцентрический треугольник и является треугольником с наименьшим периметром. Для этого воспользуемся следующей леммой.

Лемма . Пусть DEF – ортоцентрический треугольник треугольника ABC (рис.10).

Сколько имеет высот треугольника

В этом случае отрезок D1D2 проходит через точки F и E .

Доказательство . Заметим, что в силу следствия 2 выполняются равенства:

Сколько имеет высот треугольника

Сколько имеет высот треугольника

Кроме того, в силу равенства треугольников DFK и KFD2 , а также в силу равенства треугольников DEL и LED1 выполняются равенства:

Сколько имеет высот треугольника

Сколько имеет высот треугольника

Сколько имеет высот треугольника

Сколько имеет высот треугольника

откуда вытекает, что углы AEF и D1EL , а также AFE и D2FK являются вертикальными углами. Это означает, что точки D1 , F, E , D2 лежат на одной прямой. Лемма доказана.

Доказательство леммы и завершает решение задачи Фаньяно.

Видео:Построение высоты в треугольникеСкачать

Построение высоты в треугольнике

Высота треугольника онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти высоту треугольника. Для нахождения высоты треугольника введите известные элементы треугольника и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть смотрите ниже.

ФигураРисунокОписание
Остроугольный треугольникСколько имеет высот треугольника
Прямоугольный треугольникСколько имеет высот треугольника
Открыть онлайн калькулятор

Видео:Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать

Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?

Высота треугольника. Определение

Определение 1. Отрезок, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника.

Сколько имеет высот треугольникаСколько имеет высот треугольникаСколько имеет высот треугольника

Высота треугольника может содержаться внутри треугольника (Рис.1), совпадать со стороной треугольника (при прямоугольном треугольнике высота совпадает с катетом (Рис.2) ), проходить вне треугольника (при тупоугольном треугольнике(Рис.3)).

Видео:ВЫСОТА ТРЕУГОЛЬНИКА 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

ВЫСОТА ТРЕУГОЛЬНИКА 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ

Теорема о пересечении высот треугольника

Теорема 1. Все три высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Сколько имеет высот треугольника

Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник ABC (Рис.4). Докажем, что высоты ( small AA_1 ,) ( small BB_1 ,) ( small CC_1 ) пересекаются в одной точке. Из каждой вершины треугольника проведем прямую, параллельно противоположной стороне. Получим треугольник ( small A_2B_2C_2. ) Покажем, что точки ( small A, B, C ) являются серединами сторон треугольника ( small A_2B_2C_2. ) ( small AB=A_2C ) так как они являются противоположными сторонами параллелограмма ( small ABA_2C. ) ( small AB=CB_2 ) так как они являются противоположными сторонами параллелограмма ( small ABCB_2. ) Тогда ( small CB_2=CA_2, ) то есть точка ( small C ) является серединой стороны ( small A_2B_2 ) треугольника ( small A_2B_2C_2. ) Аналогично доказывается, что точки ( small A ) и ( small B ) являются серединами сторон ( small B_2C_2 ) и ( small A_2C_2, ) соответственно.

Далее из ( small AA_1⊥BC ) следует, что ( small AA_1⊥B_2C_2 ) поскольку ( small BC ǁ B_2C_2 ). Аналогично, ( small BB_1⊥A_2C_2, ) ( small CC_1⊥A_2B_2. ) Получили, что ( small AA_1,) ( small BB_1, ) ( small CC_1) являются серединными перпендикулярами сторон ( small B_2C_2, ) ( small A_2C_2, ) ( small A_2B_2, ) соответственно. Но серединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке (см. статью Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника). Следовательно высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке.

Точка пересечения высот треугольника называется ортоцентром.

Видео:Высота в прямоугольном треугольнике. 8 класс.Скачать

Высота в прямоугольном треугольнике. 8 класс.

Высота треугольника по основанию и площади

Пусть известны сторона треугольника и площадь. Найти высоту треугольника, отпущенная на известную сторону (Рис.5).

Сколько имеет высот треугольника

Решение. Площадь треугольника по основанию и высоте вычисляется из формулы:

Сколько имеет высот треугольника.
Сколько имеет высот треугольника.(1)

Пример 1. Сторона треугольника равна ( small a=5 ) а площадь ( small S=7. ) Найти высоту треугольника.

Применим формулу (1). Подставляя значения ( small a ) и ( small S ) в (1), получим:

Сколько имеет высот треугольника

Ответ: Сколько имеет высот треугольника

Видео:Вычисляем высоту через координаты вершин 1Скачать

Вычисляем высоту через координаты вершин  1

Высота треугольника по трем сторонам

Формула площади треугольника по трем сторонам имеет следующий вид (см. статью на странице Площадь треугольника онлайн):

Сколько имеет высот треугольника(2)

где ( small a, b, c ) стороны треугольника а полупериод ( small p ) вычисляется из формулы:

Сколько имеет высот треугольника(3)

Высота треугольника, отпущенная на сторону ( small a) вычисляется из формулы (1). Подставляя (2) в (1), получим формулу вычисления высоты треугольника по трем сторонам:

Сколько имеет высот треугольника.(4)

Пример 2. Известны стороны треугольника: ( small a=5, ) ( small b= 4, ) ( small c=7. ) Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону ( small a. )

Решение: Найдем, сначала полупериод ( small p ) треугольника из формулы (3):

Сколько имеет высот треугольника

Подставляя значения ( small a , b, c ) и ( small p ) в (4), получим:

Сколько имеет высот треугольника

Ответ: Сколько имеет высот треугольника

Видео:Теорема о пересечении высот треугольника | Геометрия 7-9 класс #73 | ИнфоурокСкачать

Теорема о пересечении высот треугольника  | Геометрия 7-9 класс #73 | Инфоурок

Высота треугольника по двум сторонам и радиусу описанной окружности

Сколько имеет высот треугольника

Рассмотрим треугольник на рисунке 6. Из теоремы синусов имеем:

Сколько имеет высот треугольника(5)
Сколько имеет высот треугольника(6)

Далее, из теоремы синусов имеем:

Сколько имеет высот треугольника(7)

Подставляя (6) в (7), получим:

Сколько имеет высот треугольника
Сколько имеет высот треугольника(8)

Отметим, что радиус описанной окружности должен удовлетворять следующему неравенству:

(small max (b,c) ≤2R Пример 3. Известны стороны треугольника: ( small b=7, ) ( small c= 3 ) и радиус описанной окружности ( small R=4. ) Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону ( small a. )

Решение: Проверим сначала условие (9):

(small max (7,3) ≤2 cdot 4 Ответ: ( small 2frac. )

Видео:Уравнения стороны треугольника и медианыСкачать

Уравнения стороны треугольника и медианы

Высота треугольника по стороне и прилежащему к ней углу

Сколько имеет высот треугольника

Найдем высоту ( small h_a ) треугольника на рисунке 7. Из теоремы синусов имеем:

( small frac=frac, )
( small h_a=c cdot sin angle B. )(11)

Пример 4. Известны сторона ( small c=12 ) треугольника и прилежащий угол ( small angle B=30°. ) Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону ( small a. )

Решение: Для нахождения высоты треугольника подставим значения ( small c=12 ) и ( small angle B=30° ) в (11). Имеем:

📹 Видео

Сколько треугольников?Скачать

Сколько треугольников?

Свойства высот треугольникаСкачать

Свойства высот треугольника

№196. Дан треугольник ABC. Сколько прямых, параллельных стороне АВ, можно провестиСкачать

№196. Дан треугольник ABC. Сколько прямых, параллельных стороне АВ, можно провести

Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать

Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnline

Задача, которую боятсяСкачать

Задача, которую боятся
Поделиться или сохранить к себе: