Силовой треугольник теоретическая механика

Теоретическая механика (стр. 1 )
Силовой треугольник теоретическая механикаИз за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6

Силовой треугольник теоретическая механика

Министерство образования Российской Федерации

Владивостокский государственный университет

экономики и сервиса

Г. Л. ОВСЯННИКОВА

Рецензент , канд. техн. наук, профессор каф. ФХ и ПМ ВГУЭС

Ч 81 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА: Учебное посо­бие. Ч. 1. – Вла­дивосток: Изд-во ВГУЭС, 2003 – 128с.

Учебное пособие представляет собой комплекс, содержа­щий основные сведения о теории, необходимые для самостоя­тельного решения задач. В каждом разделе даны рекомендации о последовательности решения различных типов задач и приведены подробные методические указания к решению подобных задач. Может использоваться как теоретическая часть при подготовке к сдаче экзамена или зачета, так и в качестве методических указа­ний к решению задач на практических занятиях, при выполнении контрольных работ заочниками и расчётно-графических заданий.

Для студентов всех форм обучения.

ã Издательство Владивостокского

экономики и сервиса, 2003

Видео:Теоретическая механика. Нахождение реакций связей на при плоской системе сил. Задача 1, часть 1Скачать

Теоретическая механика. Нахождение реакций связей на при плоской системе сил. Задача 1, часть 1

Глава 1. ПЛОСКАЯ СИСТЕМА СХОДЯЩИХСЯ СИЛ

Видео:Техническая механика/ Определение равнодействующей. Плоская система сходящихся сил.Скачать

Техническая механика/ Определение равнодействующей. Плоская система сходящихся сил.

§ 1. Сложение двух сходящихся сил

Если в одной точке к телу приложены две силы под углом друг к другу, то их сложение выполняется по правилу параллело­грамма.

Модуль равнодействующей R может быть определен аналитиче­ски из треугольника АВС с помощью теоремы косинусов (рис. 1):

Силовой треугольник теоретическая механика

так как Силовой треугольник теоретическая механика.

Направление равнодействующей определяется углами Силовой треугольник теоретическая механикаи Силовой треугольник теоретическая механика, которые можно рассчитать, применив теорему синусов. Для тре­угольника ABC

Силовой треугольник теоретическая механика, (1)

откуда, учитывая, что Силовой треугольник теоретическая механика, получим

Силовой треугольник теоретическая механика, Силовой треугольник теоретическая механика. (2)

Вместо параллелограмма сил можно строить силовой треугольник (рис. 2). Выбрав любую точку на плоскости рисунка, проводят из нее, сохраняя масштаб, вектор, равный и параллельный одной из заданных сил, например F1.

Силовой треугольник теоретическая механикаСиловой треугольник теоретическая механика

Из конца вектора F1 проводят вектор, равный и параллельный второй силе, F2. Начало первого вектора соединяют с концом второго, замыкая треугольник. Замыкающая сторона треуголь­ника в данном масштабе представляет собой искомую равнодей­ствующую. Модуль и направление равнодействующей определяют аналитически, как было показано выше.

При построении треугольника сил необходимо придерживаться правила: стрелки составляющих векторов направлены в одну сторону, а равнодействующей – им навстречу.

Частные случаи: 1) если Силовой треугольник теоретическая механика, т. е. силы действуют по одной прямой в одну строну, то

Силовой треугольник теоретическая механика;

2) если , т. е. силы действуют по одной прямой в разные стороны, то

Силовой треугольник теоретическая механика;

3) если Силовой треугольник теоретическая механика, то Силовой треугольник теоретическая механика

Заметим, что определение равнодействующей двух сил по правилу параллелограмма или треугольника называется вектор­ным, или геометрическим, сложением.

Задача 1. Определить равнодействующую двух сил Силовой треугольник теоретическая механикаи , модули которых соответственно равны Р1 = 40 Н и Р2 = 80 Н; сила Силовой треугольник теоретическая механиканаправлена горизонтально вправо, а образует с Силовой треугольник теоретическая механикаугол a = 120° (рис. 3, а).

Силовой треугольник теоретическая механика

Задачу можно решить графоаналитическим методом, используя либо правило параллелограмма, либо правило треугольника.

Решение 1 – по правилу параллелограмма:

1. Используя условие задачи и приблизительно соблюдая мас­штаб, изображаем параллелограмм ABCD (рис. 3, б). Порядок построения такой: из точки А проводим отрезок , затем из той же точки А под углом 120° к отрезку АВ проводим отрезок , из точек В и С проводим прямые BD || АС и CD || AB и, наконец, проводим диагональ

2. Используя формулу (1), можем найти модуль равнодействующей:

Силовой треугольник теоретическая механикаСиловой треугольник теоретическая механика

Имея в виду, что cos120° = – sin 30° = – 0,5, получаем

Силовой треугольник теоретическая механикаН.

3. Применяя к D ABD (или к D ACD) (см. рис. 3, б) теорему синусов, получаем

Силовой треугольник теоретическая механика,

Силовой треугольник теоретическая механикаи Силовой треугольник теоретическая механика,

Силовой треугольник теоретическая механика; Силовой треугольник теоретическая механика

Таким образом, вектор равнодействующей Силовой треугольник теоретическая механикаперпендикулярен к силе ,

Угол j2 можно найти либо как разность

Силовой треугольник теоретическая механика

либо из теоремы синусов:

Силовой треугольник теоретическая механикаи j2 = 30°.

Один и тот же результат, полученный различными путями, под­тверждает правильность решения задачи.

Ответ. Равнодействующая данных сил равна 69,3 Н и линия ее действия образует с направлением силы Силовой треугольник теоретическая механикапрямой угол.

Решение 2 – по правилу треугольника.

1. Используя условие задачи, строим треугольник сил ABC (рис. 3, в). Порядок построения такой: из точки А проведем отре­зок Силовой треугольник теоретическая механика. Затем из точки В под углом a = 120° к направлению Силовой треугольник теоретическая механикапроводим отрезок Силовой треугольник теоретическая механикаи, наконец, «замкнем» треугольник отрезком АС, который изобразит искомую равнодействующую Силовой треугольник теоретическая механика

В получившемся треугольнике

Силовой треугольник теоретическая механика

2. Применяем к треугольнику ABC известную из тригонометрии теорему косинусов:

Силовой треугольник теоретическая механика

откуда модуль равнодействующей

Силовой треугольник теоретическая механикаН.

3. Углы j1 и j2, определяющие направление равнодействующей относительно заданных сил, находим, как и в первом решении, по теореме синусов.

Видео:определение реакций в стержнях от действия грузовСкачать

определение реакций в стержнях от действия грузов

§ 2. Разложение силы на две сходящиеся составляющие

Любую силу можно рассмотреть как равнодействующую двух произвольных, сходящихся под углом сил. Модуль и направление составляющих сил зависят от угла между ними. Можно построить множество параллелограммов, для которых данная сила R будет служить диагональю (рис. 4). Чтобы задача стала определенной, нужно знать одно из дополнительных условий: модули обеих составляющих, модуль и направление одной из составляющих, направление обеих составляющих, модуль одной из составляющих и направление другой.

Силовой треугольник теоретическая механика

Каждую из задач можно решить двумя способами: графическим и графоаналитическим.

При графическом решении задачи заданную силу откладывают на чертеже в выбранном масштабе, а затем производят несложные геометрические построения в зависимости от заданных условий.

Для графоаналитического решения нет надобности соблюдать масштаб, но при построении нужно сохранять примерное напра­вление сил. Модули составляющих сил либо углы, определяющие их направление, вычисляют, пользуясь формулами (1) и (2).

Например, если заданы только направления составляющих сил, то из точки А вектора R (рис. 5) проводим линии действия со­ставляющих AM и AN под известными углами Силовой треугольник теоретическая механикаи Силовой треугольник теоретическая механикаЗатем из точки В проводим прямые, параллельные этим линиям, т. е. строим параллелограмм, в котором стороны АС и AD предста­вляют собой искомые силы F1 и F2 в данном масштабе.

При графоаналитическом решении модули сил F1 и F2 определяют по формулам, полученным из выражения (1):

Силовой треугольник теоретическая механика; Силовой треугольник теоретическая механика.

Задача 2. Определить силы, растягивающие нити АВ и ВС, которые удер­живают груз весом G = 20 Н в равновесии (рис. 6, а).

Решение. Графическое (рис. 6, б): из точки О на плоскости рисунка строим в выбранном масштабе вектор силы G. Из точки О проводим прямые, параллельные нитям ОМ и ON. Затем из конца вектора G проводим прямые KL и КЕ, чтобы получился параллелограмм, у которого стороны OL и ОЕ соответ­ствуют в данном масштабе искомым силам.

Силовой треугольник теоретическая механика

Графоаналитическое (рис. 6, б): Так как известны все углы в треугольнике ОЕК, а также модуль силы G, можно использовать теорему синусов для опреде­ления модулей сил F1 и F2:

Силовой треугольник теоретическая механика,

где Силовой треугольник теоретическая механика Силовой треугольник теоретическая механика Силовой треугольник теоретическая механикаоткуда

Силовой треугольник теоретическая механика

Задача 3. Фонарь весом 80 Н подвешен на кронштейне ABC, укрепленном на вертикальной стене (рис. 7). Определить усилия, возникшие в горизонтальном стержне СВ и наклонной тяге АВ после подвески фонаря, если СВ = 1 м и АВ = 1,2 м. Соединения в точках А, В и С кронштейна – шарнирные.

Решим задачу графоаналитическим методом по правилу парал­лелограмма.

1. Используя рис. 7, на котором изображен кронштейн, строим параллелограмм сил. Через произвольную точку а (рис. 29) проводим прямые A1A2 и С1С2, параллельные соответственно тяге АВ и стержню СВ (рис. 7).

Силовой треугольник теоретическая механика

Из той же точки а откладываем вертикально вниз отрезок ab, который изображает силу Силовой треугольник теоретическая механикаИз точки b проводим прямые bd || С1С2 и bc || A1A2. В получившемся параллелограмме adbc стороны ad и ас изображают соответственно искомые усилия и Силовой треугольник теоретическая механика.

2. Теперь имеются две геометрические фигуры – треугольник ABC (см. рис. 7), изображающий заданный кронштейн, и силовой параллелограмм (рис. 8).

Силовой треугольник теоретическая механика

Геометрически D ABC (рис. 7) и D adb, или, что все равно, D abc

(рис. 8), подобны между собой.

Используя свойство подобных треугольников (замечаем, что db = ac = Nc), получаем

Силовой треугольник теоретическая механика.

3. Решая получившиеся пропорции, находим

Силовой треугольник теоретическая механикаи Силовой треугольник теоретическая механика.

Неизвестную в кронштейне длину АС найдем по теореме Пифа­гора (из условия задачи ясно, что угол АСВ – прямой)

Силовой треугольник теоретическая механикам.

Подставляя в выражения для и Nc исходные данные, получаем

Силовой треугольник теоретическая механикаH; Силовой треугольник теоретическая механикаH.

Задача 4. При помощи двух нерастяжимых нитей АС и ВС удерживается груз, вес которого 12 Н. Положение нитей и груза показано на рис. 9. Определить натяжения нитей.

Решим задачу графоаналитическим методом по правилу тре­угольника с использованием тригонометрических соотношений.

1. Прежде всего необходимо силу G = =12 Н разложить на две составляющие, линии действия которых совпадают с направлениями линий АС и ВС.

Силовой треугольник теоретическая механика

Силовой треугольник теоретическая механика

2. Изобразим силу Силовой треугольник теоретическая механикаотрезком (рис. 10). Затем проведем из точки С прямую CN, продолжив АС, а из точки L – прямую LM параллельно положению нити ВС. Получим силовой треуголь­ник CKL, в котором стороны СK и KL изображают искомые силы натяжения нитей АС и ВС.

3. Если в треугольнике CKL известны углы a, b и g, то зада­чу легко решить по теореме синусов:

Силовой треугольник теоретическая механика.

4. Из построения силового треугольника следует, что

Силовой треугольник теоретическая механика

(для наглядности положение нитей относительно вектора G пока­зано на рис. 10 штриховой линией). А так как треугольники D АСЕ и D BCD – прямоугольные, то из D ACE

Силовой треугольник теоретическая механика

Силовой треугольник теоретическая механика

Угол g легко найдем как дополнение к Ð 180°:

Силовой треугольник теоретическая механика.

5. И теперь, зная углы a, b и g, из уравнения (1)

Силовой треугольник теоретическая механикаН

Силовой треугольник теоретическая механикаН.

Таким образом, нить CA растягивается усилием, равным 6,25 Н, а нить СВ – усилием 10,75 Н.

Видео:Теоретическая механика термех Статика Нахождение реакции связей часть 1Скачать

Теоретическая механика термех  Статика  Нахождение реакции связей часть 1

§ 3. Сложение плоской системы сходящихся сил.
Силовой многоугольник

Равнодействующую плоскость системы сходящихся сил можно найти графически с помощью построения силового многоугольника.

Пусть дана система сил F1, F2, F3, F4 (рис. 11, a). Выберем на плоскости чертежа произвольную точку O (рис. 11, б). Из нее проводим в выбранном масштабе вектор, равный по модулю и параллельный силе f1. Из конца этого вектора проводим век­тор, равный силе F2. Из конца вектора силы F2 строим вектор, равный и параллельный силе F3, и т. д. Соединив точку О с концом последнего вектора, получим замыкающую сторону многоуголь­ника ON, которая в данном масштабе представляет собой искомую равнодействующую системы – R. Действительно, диагональ си­лового многоугольника OL равна вектору R1, который является геометрической суммой векторов F1 и F2: R1= F1+ F2 . Вторая диагональ ОМ равна R2= R1+ F3= F1+ F2+ F3. Очевидно, что замыкающая сторона R = R2 + R4 = F1 + F2 + F3 + F4 есть равнодействующая системы, равная геометрической сумме всех заданных сил. Точка приложения равнодействующей совпадает с точкой А.

Силовой треугольник теоретическая механика

Модуль и направление равнодействующей не изменятся, если изменить порядок, в котором откладываются векторы сил при построении силового многоугольника.

Следствие. Если система сил является уравновешенной, то равнодействующая системы равна нулю (R = 0). В этом случае си­ловой многоугольник замкнут, т. е. конец последнего вектора должен совпадать с началом первого.

Замкнутость силового много­угольника является геометрическим условием равновесия плоской си­стемы сходящихся сил. Это усло­вие используют при решении задач на равновесие.

Задача 5. Шар весом G = 20 Н (рис. 12, а) подвешен к вертикальной стене при помощи нити СВ. Определить натяжение нити и силу давления шара на стену, если угол между стеной и нитью a = 30°.

1. Рассмотрим равновесие шара под действием трех сил: силы тяжести G, реакции нити RC и реакции стены RA. Линии действия всех сил пересекаются в центре шара 0.

Силовой треугольник теоретическая механика

2. Строим замкнутый силовой треугольник, начиная с известного вектора G (рис. 12, б). Модули неизвестных сил RA и RC, равные соответственно давлению шара на стену и натяжению нити, определим из полученного треугольника:

Силовой треугольник теоретическая механика,

Силовой треугольник теоретическая механика

Силовой треугольник теоретическая механика.

Задача 6. Определить равнодействующую четырех сил: P1=18 Н, Р2 = 10 Н, Р3 = 6 Н и Р4 = 8 Н, приложенных к одной точке А и направленных, как показано на рис. 13.

Решение – методом проекций на координатные оси.

1. Изображаем на рисунке четыре данные силы и выбираем рас­положение осей проекций. В данном случае удобно начало осей поместить в точке А, а оси совместить с силами и Силовой треугольник теоретическая механика(рис. 13, а).

Силовой треугольник теоретическая механика

2. Находим проекции данных сил на ось х (рис. 13,б):

Силовой треугольник теоретическая механика

Силовой треугольник теоретическая механика

3. Находим проекции данных сил на ось у (рис. 13,в):

Силовой треугольник теоретическая механика

Силовой треугольник теоретическая механика

4. Находим проекции искомой равнодействующей на оси х и у:

Силовой треугольник теоретическая механика

Силовой треугольник теоретическая механика

Проекция на ось х получается отрицательной, а на ось у поло­жительной. Значит вектор Силовой треугольник теоретическая механиказаменяющий действие четырех данных сил и приложенный к точке А, должен быть направлен относительно оси у вверх, а относительно оси х – влево. Положение рав­нодействующей R показано отдельно на рис. 13, г.

5. Находим модуль равнодействующей:

Силовой треугольник теоретическая механикаН.

6. Находим угол j, определяющий направление R относительно оси у (см. рис. 13, а):

Силовой треугольник теоретическая механика

и, следовательно, Силовой треугольник теоретическая механика.

Для определения угла j использован D ABC (см. рис. 13, г), в котором Силовой треугольник теоретическая механикаПоэтому XR не имеет значения и в выра­жение tgj подставлена его абсолютная величина.

Угол j можно найти при помощи синуса:

Силовой треугольник теоретическая механика

Таким образом, равнодействующая четырех заданных сил равна 26,7 Н, направлена под углом 40°30′ к положительному направле­нию оси у и под углом 90° + 40°30′ = 130°30′ к положительному направлению оси х.

Задача 7. К концу В веревки АВ прикреплено кольцо, на которое действуют четыре силы: Р1 = 40 H, Р2 = 25 H, P3 = 25 H и P4 = 20 H, направленные, как показано на рис. 14, а (сила Р2 гори­зонтальна). Определить усилие, возникшее в веревке, и ее направ­ление относительно горизонтали.

Решение – методом проекций.

1. Веревка будет натянута равнодействующей четырех заданных сил. Следовательно, определив модуль равнодействующей, получим усилие, возникшее в веревке, а определив направление равнодей­ствующей, найдем положение натянутой веревки.

2. Изобразим точку В с действующими на нее силами на от­дельном рисунке (рис. 14, б) и совместим оси проекций с силами Силовой треугольник теоретическая механикаи Силовой треугольник теоретическая механика.

3. Найдем проекции заданных сил на ось х:

Силовой треугольник теоретическая механика

Силовой треугольник теоретическая механика

Силовой треугольник теоретическая механика

4. Найдем проекции заданных сил на ось у:

Силовой треугольник теоретическая механика

Силовой треугольник теоретическая механика

5. Найдем проекции равнодействующей на оси х и у:

Силовой треугольник теоретическая механика

Силовой треугольник теоретическая механика

6. Найдем модуль равнодействующей:

Силовой треугольник теоретическая механикаH.

Как видно, в данном случае проекция равнодействующей на ось у очень мала по сравнению с проекцией на ось х. Поэтому равно­действующая практически численно равна проекции на ось х. Сле­довательно, можно принять, что вектор равнодействующей направлен вдоль оси х вправо (проекция на ось х положительна), т. е. гори­зонтально.

Таким образом, четыре заданные силы натягивают веревку рав­нодействующей силой R, приложенной к точке В (к кольцу на конце веревки) и направленной горизонтально.

Другой конец веревки (точка А, рис. 14, а) закреплен, поэтому на кольцо В со стороны веревки действует еще одна сила, численно равная равнодействующей, но направленная в противоположную сторону. Эта сила называется уравновешивающей системы четырех сил.

На рис. 14, в показаны равнодействующая R и уравновешивающая Силовой треугольник теоретическая механика.

Задача 8. На конце В горизонтального стержня АВ необхо­димо прикрепить две нити с грузами Р1 = 4 кH и Р2 = 0,8 кH, как показано на рис. 15, а. Под каким углом к этому стержню следует присоединить второй стержень ВС, чтобы стержень АВ растягивался силой РА = 2 кН. Какое усилие при этом будет испытывать стер­жень ВС?

Соединения стержней между собой и с опорами шарнирные.

Решение – методом проекций.

1. На точку В действуют три силы: – вертикально вниз, Силовой треугольник теоретическая механика– вдоль нити от точки В к блоку (под углом 30° к горизонтали) и противодействие (реакция) стержня тому растягивающему дей­ствию, которое испытывает стержень. Изобразим эти три силы на рис. 15, б и найдем их равнодействующую, вдоль направления которой необходимо установить стержень ВС.

2. Оси проекций совместим с силами и Силовой треугольник теоретическая механикаи определим про­екции искомой равнодействующей сначала на ось х, а потом на ось у, зная, что каждая из них равна алгебраической сумме про­екций данных сил на соответствующую ось:

Силовой треугольник теоретическая механика

Силовой треугольник теоретическая механика

Силовой треугольник теоретическая механика

Силовой треугольник теоретическая механика

3. Обе проекции получаются отрицательными. Значит, равнодейст­вующая расположится так, как показано штриховым на рис. 15, б, и положение стержня ВС определится углом Силовой треугольник теоретическая механика.

Силовой треугольник теоретическая механика

4. Определим значение угла a из треугольника, образуемого и его проекциями (рис. 15, в):

Силовой треугольник теоретическая механика, Силовой треугольник теоретическая механика

5. Стержень ВС необходимо установить под Силовой треугольник теоретическая механикак стержню АВ, и тогда он будет сжиматься силой, равной

Силовой треугольник теоретическая механикакН.

Описанное положение стержня показано на рис. 15, г.

Если же установить стержень, как показано на рисунке штри­ховой линией ВС, то стержень будет испытывать растяжение, равное той же силе R = 3,83 кН.

Задача 9. Определить равнодействующую пяти сил:

Р1 = 52 Н, Р2 = 70 Н, Р3 = 69 Н, Р4 = 77 Н, Р5 = 70 Н, действующих на точку А, как показано на рис. 16, а.

Силовой треугольник теоретическая механика

Решение – методом проекций.

1. Так как силы и направлены друг к другу под прямым углом, то и совместим с этими силами ось проекций. Тогда векторы Силовой треугольник теоретическая механика, Силовой треугольник теоретическая механикаи будут образовывать с осями проекций углы, показан­ные на рис. 16, б.

2. Найдем проекцию равнодействующей на ось х:

Силовой треугольник теоретическая механика

Силовой треугольник теоретическая механика

3. Найдем проекцию равнодействующей на ось у:

Силовой треугольник теоретическая механика

Силовой треугольник теоретическая механика

4. Обе проекции искомой равнодействующей равны нулю, значит и сама равнодействующая также равна нулю.

Таким образом, данная система сил уравновешена. Иными сло­вами, любую из пяти заданных сил можно рассматривать как урав­новешивающую четыре остальных.

Видео:Математика это не ИсламСкачать

Математика это не Ислам

§ 4. Проекция силы на ось.
Проекция силы на две взаимно-перпендикулярные оси координат

Кроме рассмотренных выше графического и графоаналитического методов решения задач, в статике широко распространен аналитический метод их решения, или метод проекций.

Проекцией силы на ось (рис. 17) является отрезок оси, заключенный между проек­циями на эту ось начала и конца вектора силы. Проекцию обычно обозначают той же буквой, что и силу, но с индексом. Напри­мер, Fx – проекция силы F на ось х.

Силовой треугольник теоретическая механика

Проекция силы на ось есть величина скалярная. Она может быть положительной, отрицательной или равной нулю в зависимости от величины угла a между направлением силы и положи­тельным направлением оси. Из прямоугольного треугольника ABC следует, что Fx = F сos a, т. е. проекция силы на ось равна произ­ведению модуля силы на косинус угла между направлением силы и положительным направлением оси.

Если угол a острый, то проекция положительна (рис. 17), если угол a – тупой, то проекция отрицательна (рис. 18, а):

Силовой треугольник теоретическая механика

Силовой треугольник теоретическая механика

Нетрудно убедиться, что проекция силы на ось будет равна нулю, если a = 90° или 270° (рис. 18, б), и равна модулю силы, если a = 0 или a = 180° (рис. 18, в).

Модуль и направление силы можно определить по ее проек­циям на две взаимно перпендикулярные оси (рис. 18, в):

Силовой треугольник теоретическая механика

Из треугольника ABC, поскольку АС = Fx и ВС = Fy, сле­дует, что модуль силы F равен

Силовой треугольник теоретическая механика(3)

Направление силы определяют косинусы углов (рис. 19):

Силовой треугольник теоретическая механика; Силовой треугольник теоретическая механика. (4)

Силовой треугольник теоретическая механика

Задача 10. В точке В кронштейна ABC (рис. 20, а) подвешен груз М весом 8 кН. Определить реакции стержней кронштейна, если углы кронштейна a = 110°, b = 30° и крепления в точках А, В и С шарнирные.

Силовой треугольник теоретическая механика

Решение – методом проекций при помощи уравнений равновесия.

1. Так как три силы Силовой треугольник теоретическая механика, и , действующие на точку В (рис. 21), образуют уравновешенную систему, то алгебраические суммы проек­ций этих сил на каждую из двух осей координат равны нулю.

Силовой треугольник теоретическая механика

2. Выберем оси координат так, чтобы одна из осей совпадала с линией действия одной из неизвестных сил (рис. 21), и со­ставим два уравнения равновесия:

Силовой треугольник теоретическая механика(1)

Силовой треугольник теоретическая механика(2)

Силовой треугольник теоретическая механикакН.

Силовой треугольник теоретическая механика

Задача 11. К шарниру В кронштейна ABC прикреплена ве­ревка, перекинутая через блок, к другому концу которой прикреп­лен груз весом G = l,5 кН (рис. 22). Определить усилия в стерж­нях АВ и СВ кронштейна, если крепления в точках А и С шар­нирные, a = 35° и b = 100°.

Силовой треугольник теоретическая механика

Решим задачу методом проекций.

1. Изобразив шарнир В вместе с дей­ствующими на него силами Силовой треугольник теоретическая механика и и расположив оси проекций, как показано на рис. 19, составим уравнения равновесия:

Силовой треугольник теоретическая механика(1)

Силовой треугольник теоретическая механика(2)

2. Из уравнения (2)

Силовой треугольник теоретическая механикакН,

а из уравнения (1)

Силовой треугольник теоретическая механика

Итак, реакции стержней (их действия на шарнирный болт В) равны NA = 2,57 кН и = l,85 кН. Точно с такими же усилиями действует шарнирный болт на стержни. Стержень АВ растянут силой 2,57 кН, а стержень СВ сжат силой 1,85 кН.

Видео:Как решать РК по статикеСкачать

Как решать РК по статике

Геометрический способ сложения сходящихся сил

Силовой треугольник теоретическая механика

Геометрический способ сложения сходящихся сил

Системой сходящихся сил называется система сил, линии действия которых пересекаются в одной точке (рис. 15,а). Если мы перенесем все силы такой системы но линиям их действия в общую точку пересечения этих

Силовой треугольник теоретическая механика

линии, то, согласно первому следствию из аксиом статики, действие системы на абсолютно твердое тело не изменится. Таким образом, любую систему сходящихся сил можно заменить эквивалентной системой сил, приложенных в одной точке.

Задача о сложении двух сил, приложенных к одной точке, геометрически решается построением соответствующего параллелограмма сил (рис. 16) или силового треугольника (рис. 17), изображающего одну из половин параллелограмма.

Для построения силового треугольника из конца вектора одной силы Силовой треугольник теоретическая механикапроводим вектор Силовой треугольник теоретическая механика, изображающий вторую силу Силовой треугольник теоретическая механика. Замыкающая сторона Силовой треугольник теоретическая механикатреугольника изображает но модулю и по направлению равнодействующую Силовой треугольник теоретическая механикадвух данных сходящихся сил.

Силовой треугольник теоретическая механика

Последовательно применяя правило треугольника, можно найти равнодействующую любого числа сходящихся сил, например четырех сил Силовой треугольник теоретическая механикаи Силовой треугольник теоретическая механика(рис. 15, а). Для этого из_произвольной точки Силовой треугольник теоретическая механика(рис. 15,6) отложим вектор Силовой треугольник теоретическая механика, изображающий в принятом масштабе силу Силовой треугольник теоретическая механика, из конца его— вектор Силовой треугольник теоретическая механика, из его конца — вектор Силовой треугольник теоретическая механикаи т. д., помещая всякий раз начало следующего вектора в конце предыдущего, пока не исчерпаем все силы.

Полученный многоугольник Силовой треугольник теоретическая механика, стороны которого в выбранном масштабе равны модулям составляющих сил и одинаково с ними направлены, называется силовым многоугольником.

Очевидно, что равнодействующая Силовой треугольник теоретическая механикасил Силовой треугольник теоретическая механикаи Силовой треугольник теоретическая механикаизображается (рис. 15,6) вектором Силовой треугольник теоретическая механика, равнодействующая Силовой треугольник теоретическая механикасил Силовой треугольник теоретическая механикаи Силовой треугольник теоретическая механикаизображается вектором Силовой треугольник теоретическая механика) и замыкающая сторона Силовой треугольник теоретическая механикасилового многоугольника, направленная от начала вектора первой силы к концу вектора последней, изображает в выбранном масштабе равнодействующую данной системы сходящихся сил (т. е. сил Силовой треугольник теоретическая механикаи Силовой треугольник теоретическая механика) как по модулю, так и по направлению.

Правило сложения сходящихся сил по способу многоугольника является общим правилом сложения любых векторов и называется их геометрическим сложением.

Геометрическая сумма всех сил любой системы называется главным вектором Силовой треугольник теоретическая механикаэтой системы

Силовой треугольник теоретическая механика

Силовой треугольник теоретическая механика

Таким образом, можно сказать, что равнодействующая Силовой треугольник теоретическая механикасистемы сходящихся сил проходит через общую точку пересечения линий действия этих сил и равна по модулю и направлению их главному вектору.

Геометрическая сумма векторов не зависит от перемены мест слагаемых и, следовательно, при изменении порядка сложения сил их главный векгор не изменяется.

В частном случае трех сходящихся сил Силовой треугольник теоретическая механикаи Силовой треугольник теоретическая механикане лежащих в одной плоскости (рис. 18), их равнодействующая Силовой треугольник теоретическая механикаизображается по модулю и направлению диагональю параллелепипеда, построенного на векторах составляющих сил (правило параллелепипеда).

Эта теория взята с полного курса лекций на странице решения задач с подробными примерами по предмету теоретическая механика:

Возможно вам будут полезны эти дополнительные темы:

Силовой треугольник теоретическая механика

Силовой треугольник теоретическая механика Силовой треугольник теоретическая механика Силовой треугольник теоретическая механика Силовой треугольник теоретическая механика Силовой треугольник теоретическая механика Силовой треугольник теоретическая механика Силовой треугольник теоретическая механика Силовой треугольник теоретическая механика Силовой треугольник теоретическая механика Силовой треугольник теоретическая механика Силовой треугольник теоретическая механика Силовой треугольник теоретическая механика Силовой треугольник теоретическая механика Силовой треугольник теоретическая механика Силовой треугольник теоретическая механика Силовой треугольник теоретическая механика Силовой треугольник теоретическая механика Силовой треугольник теоретическая механика Силовой треугольник теоретическая механика Силовой треугольник теоретическая механика Силовой треугольник теоретическая механика Силовой треугольник теоретическая механика Силовой треугольник теоретическая механика Силовой треугольник теоретическая механика Силовой треугольник теоретическая механика Силовой треугольник теоретическая механика Силовой треугольник теоретическая механика Силовой треугольник теоретическая механика Силовой треугольник теоретическая механика Силовой треугольник теоретическая механика Силовой треугольник теоретическая механика Силовой треугольник теоретическая механика Силовой треугольник теоретическая механика Силовой треугольник теоретическая механика Силовой треугольник теоретическая механика Силовой треугольник теоретическая механика Силовой треугольник теоретическая механика Силовой треугольник теоретическая механика Силовой треугольник теоретическая механика Силовой треугольник теоретическая механика Силовой треугольник теоретическая механика Силовой треугольник теоретическая механика Силовой треугольник теоретическая механика Силовой треугольник теоретическая механика Силовой треугольник теоретическая механика Силовой треугольник теоретическая механика Силовой треугольник теоретическая механика Силовой треугольник теоретическая механика Силовой треугольник теоретическая механика Силовой треугольник теоретическая механика Силовой треугольник теоретическая механика Силовой треугольник теоретическая механика Силовой треугольник теоретическая механика

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Видео:Пространственная система сил. Решение задачи 6.4 из МещерскогоСкачать

Пространственная система сил. Решение задачи 6.4 из Мещерского

Техническая механика

Видео:Теоретическая механика: лекция 2 Часть6Скачать

Теоретическая механика: лекция 2 Часть6

Плоская система сходящихся сил

Геометрический способ определения равнодействующей плоской системы сходящихся сил

Система сил, линии действия которых лежат в одной плоскости и все пересекаются в одной точке, называется плоской системой сходящихся сил.

Теорема

Плоская система сходящихся сил в общем случае эквивалентна равнодействующей, которая равна векторной сумме этих сил; линия действия равнодействующей проходит через точку пересечения линий действия составляющих.

Пусть дана плоская система трех сил F1 , F2 и F3 , линии действия которых сходятся в точке А (см. рисунок а) .
Силовой треугольник теоретическая механикаНа основании следствия из аксиом III и IV перенесем эти силы вдоль линий их действия в точку А . Сложив первые две силы F1 и F2 по правилу параллелограмма, получим их равнодействующую R (см. рисунок а) :
R = F1 + F2 .

Пользуясь той же аксиомой параллелограмма, сложим равнодействующую R с силой F3 :

где FΣ – равнодействующая данной системы трех сил.

Аналогичные рассуждения можно провести для любого количества сходящихся сил, в результате чего получим:
FΣ = F1 + F2 + F3 +…+ Fn .
Сокращенно это равенство можно записать так:
FΣ = ΣFi , где i – все целые числа от единицы до n .

Очевидно, что построения, выполненные на рисунке a , можно заменить более простым, как показано на рисунке b . Многоугольник АВСD называют силовым многоугольником. Сторона AD , соединяющая начало первого с концом последнего вектора, называется замыкающей стороной.

Необходимо помнить, что стрелки векторов слагаемых сил образуют определенное направление обхода по контуру силового многоугольника, а замыкающая сторона, определяющая модуль и направление равнодействующей, имеет стрелку, направленную против обхода (см. рисунок b) .

Если определить равнодействующую из силового многоугольника с помощью геометрии и тригонометрии, то такой способ будет называться геометрическим.

Если сделать чертеж силового многоугольника в определенном масштабе, то равнодействующая определится простым измерением замыкающей стороны с последующим умножением на масштаб. Такой способ нахождения равнодействующей называется графическим.

Порядок сложения векторов при построении силового многоугольника на величину равнодействующей не влияет, так как векторная сумма от перемены мест слагаемых не меняется.

Геометрическое условие равновесия плоской системы сходящихся сил

При построении силового многоугольника возможен случай, когда конец последнего вектора совпадает с началом первого. В этом случае замыкающей стороны не будет, и такой силовой многоугольник называется замкнутым.

Очевидно, что равнодействующая FΣ системы сходящихся сил, образующих замкнутый силовой многоугольник, равна нулю, т. е. система сил находится в равновесии. Отсюда вытекает условие, при котором плоская система сходящихся сил будет находиться в равновесии. Это условие выражается равенством:

и формулируется так: для равновесия плоской системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник был замкнут.

Условия равновесия, записанные в виде равенств, содержащих неизвестные величины, называются уравнениями равновесия.

Применяя геометрическое условие равновесия, удобно решать задачи, в которых на тело действуют три силы, так как в этом случае замкнутый силовой многоугольник представляет собой треугольник.

Решение большинства задач статики проводят в три этапа:
— выбирают тело, равновесие которого будет рассматриваться;
— отбрасывают связи, заменяя их реакциями, и устанавливают, какая система сил действует на тело;
— пользуясь условиями равновесия, находят неизвестные величины.

При решении задач статики следует строго соблюдать правило: размерности и единицы величин всех слагаемых и обеих частей равенства должны быть одинаковыми.

В сомнительных случаях целесообразно использовать это правило для проверки правильности хода решения задач, для чего следует подставить в слагаемые проверяемого равенства единицы всех входящих в них величин и, произведя возможные сокращения, сравнить полученные единицы правой и левой частей.

Пример решения задачи

В качестве примера решения задачи с использованием изложенных выше методов, определим натяжение веревки F и силу давления шара P на стену, если сила тяжести шара равна G .

Силовой треугольник теоретическая механика

Рассмотрим условие равновесия шара. Применив принцип освобождаемости, отбросим связи и заменим их реакциями. Реакция N гладкой стены перпендикулярна стене и проходит через центр шара (так как шар однородный, его геометрический центр совпадает с центром тяжести).
Реакция F веревки направлена вдоль линии натяжения веревки и тоже проходит через центр шара (согласно теореме о равновесии трех непараллельных сил). Применим к системе сил уравнение равновесия:

ΣFi = 0 , или G + N + R = 0.

Строим замкнутый силовой треугольник, начиная с изображения в произвольном масштабе вектора известной силы G (см. рисунок) . Направление обхода треугольника (т. е. направление стрелок) определяется направлением этой силы. Из построенного силового треугольника получим соотношения:

N = G tg α ; R = G/cos α

Искомая сила давления P шара на стену, согласно аксиоме взаимодействия, по модулю равна реакции N стены, но направлена в противоположную сторону.
Натяжение веревки F равно по модулю ее реакции R .

Эту же задачу можно решить, разложив силу тяжести шара G по реальным направлениям (направлениям реакций) на составляющие P (сила давления шара на стену) и F (натяжение веревки) , причем согласно аксиоме взаимодействия:

Из построенного параллелограмма (см. рисунок) легко определить искомые величины.
Такой метод решения задачи называют методом разложения силы.

Проекция силы на оси координат

В тех случаях, когда на тело действует более трех сил, а также когда неизвестны направления некоторых сил, удобнее при решении задач пользоваться не геометрическим, а аналитическим условием равновесия, которое основано на методе проекций сил на оси координат.

Проекцией силы на ось называют отрезок оси, заключенный между двумя перпендикулярами, опущенными на ось из начала и конца вектора силы.

На приведенном ниже рисунке видно, что проекции силы P на оси x и y можно определить при помощи тригонометрических функций:
Px = Pcos α, Py = Psin α .

Силовой треугольник теоретическая механика

Проекция силы на ось есть величина алгебраическая, которая может быть положительной или отрицательной, что устанавливается по направлению проекции — проекция, направленная в положительном направлении оси считается положительной, в противном случае — отрицательной.
Возможны два частных случая:
— если сила перпендикулярна оси, то ее проекция равна нулю (сила проецируется в точку) ;
— если сила параллельна оси, то она проецируется на ось в натуральную величину.

Зная проекции силы на координатные оси, можно определить ее величину (модуль) , используя теорему Пифагора, учитывая, что проекции являются катетами прямоугольного треугольника, а сама сила — гипотенузой.
Направляющий тангенс угла между вектором силы P и осью x можно определить из отношения:
tgα = Py/Px .

Отметим, что силу P можно представить, как равнодействующую двух составляющих сил Px и Py , параллельных осям координат, но эти составляющие не будут являться проекциями силы по определению, поскольку сила (в т. ч. и составляющая силы) есть величина векторная, а проекция — алгебраическая.

Аналитический способ определения равнодействующей плоской системы сил

Пусть дана плоская система сходящихся сил F1, F2, F3, F4. Fn .
Равнодействующая этой системы FΣ = ΣFi .

В плоскости действия данной системы сил выберем ось координат и спроецируем данные силы и их равнодействующую на эту ось. Из математики известно свойство проекции векторной суммы, на основании которого можно утверждать, что проекция равнодействующей на ось равна алгебраической сумме проекций составляющих сил на ту же ось, т. е. FΣx = ΣFix .
Правую часть этого равенства можно представить упрощенно: FΣx = ΣX .

Для того чтобы определить равнодействующую любой плоской системы сходящихся сил, спроецируем их на оси координат x и y , алгебраически сложим проекции всех сил и найдем таким образом проекции равнодействующей:

Зная проекции, определим модуль и направление равнодействующей:
Модуль равнодействующей:

FΣ = √(FΣx 2 + FΣy 2 ) (здесь и далее √ — знак корня);

Направляющий тангенс угла между вектором FΣ и осью x :

Линия действия равнодействующей проходит через точку пересечения линий действия составляющих сил.

Аналитические условия равновесия плоской системы сходящихся сил

Если данная плоская система сходящихся сил находится в равновесии, то равнодействующая такой системы, а значит и проекции равнодействующей на оси координат равны нулю.
Математически это выражение можно записать так:

Учитывая, что FΣx = ΣX; FΣy = ΣY , получаем равенства, выражающие аналитические условия равновесия плоской системы сходящихся сил:

Силовой треугольник теоретическая механика

Формулируется это условие следующим образом: для равновесия плоской системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций этих сил на каждую из двух координатных осей равнялась нулю.

С помощью уравнений равновесия можно определить два неизвестных элемента данной системы сил, например модуль и направление одной силы или модули двух сил, направления которых известны и т. п.

Выведенные условия равновесия справедливы для любой системы координат, но для упрощения расчетов рекомендуется оси координат по возможности выбирать перпендикулярными неизвестным силам, чтобы каждое уравнение равновесия содержало одно неизвестное.
Когда направление искомой силы неизвестно, ее можно разложить на две составляющие по заданным направлениям, обычно по направлениям координатных осей; по найденным двум составляющим легко определяется неизвестная сила.

Если при решении задач аналитическим способом искомая реакция получается отрицательной, то это означает, что действительное ее направление противоположно направлению, принятому при расчетах.

Поделиться или сохранить к себе: