Сформулируйте докажите теорему об окружности вписанной в правильный многоугольник

Теорема

Доказательство

Доказать: в многоугольник А₁А₂А₃. А_n можно вписать окружность, и притом только одну.

Доказательство:

А₁ОА₂ = А₂ОА₃ = . = А₁ОА_n по трем сторонам (ОА₁ = ОА₂ = . = ОА_n, как радиусы описанной окружности и А₁А₂ = А₂А₃ = . = А_nА₁, как стороны правильного многоугольника), тогда и высоты этих треугольников, проведенные из вершины О, также будут равны: ОН₁ = ОН₂ = . = ОН_n. Следовательно, окружность с центром О и радиусом ОН₁ проходит через точки Н₁, Н₂, . , Н_n и касается сторон многоугольника в этих точках, т.е. эта окружность вписана в данный правильный многоугольник А₁А₂А₃. А_n.

Докажем, что вписать можно только одну окружность.

Пусть существует окружность с центром О₁, вписанная в многоугольник А₁А₂А₃. А_n, отличная от окружности с центром О и радиусом ОН₁. Тогда ее центр О₁ равноудален от сторон многоугольника, т.е. точка О₁ лежит на каждой из биссектрис углов многоугольника А₁А₂А₃. А_n и, следовательно, совпадает с точкой О пересечения этих биссектрис (смотри теорему об окружности, описанной около правильного многоугольника). Радиус этой окружности равен расстоянию от точки О до сторон многоугольника,т.е. равен ОН₁. Значит, получаем, что вторая окружность совпадает с первой. Следовательно, наше предположение неверно, и в правильный многоугольник вписать можно только одну окружность. Теорема доказана.

Следствие 1

Следствие 2

Эта точка называется центром правильного многоугольника.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Окружность, вписанная в правильный многоугольник

На этом занятии мы рассмотрим следующую тему – «Окружность, вписанная в правильный многоугольник». В первую очередь дадим определение правильному многоугольнику. После чего докажем теорему о том, что внутри любого правильного многоугольника можно вписать окружность, и притом только одну. Кроме того, рассмотрим следствия из этой теоремы.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Основы геометрии»

Правильные многоугольники

Вы будете перенаправлены на Автор24

Понятие правильного многоугольника

Правильный многоугольник — выпуклый многоугольник, у которого все стороны и все углы равны между собой (Рис. 1).

Рисунок 1. Правильные многоугольники

Как мы знаем, сумма углов многоугольника находится по формуле$(n-2)cdot ^0$

Значит, градусная мера одного угла правильного многоугольника равняется

Теорема об описанной около правильного многоугольника окружности

Около любого правильного многоугольника можно описать единственную окружность.

Доказательство.

Существование. Пусть нам дан правильный многоугольник $A_1A_2A_3dots A_n$. Пусть биссектрисы углов $A_1 и A_2$ пересекаются в точке $O$. Соединим с этой точкой все остальные вершины правильного многоугольника (Рис. 2).

Рисунок 2. Описанная вокруг правильного многоугольника окружность

Так как углы $A_1 и A_2$ равны и $A_1O и A_2O$ — биссектрисы, то угол $OA_1A_2$ равен углу $O_1$. Следовательно, треугольник $OA_1A_2$ равнобедренный, и, значит, $A_1O=A_2O$.

Так как $A_1A_2=A_2A_3$, $angle O_1=angle O_3$ и сторона $A_2O$ — общая, то треугольники $O_1$ и $O_3$ равны. Следовательно, $OA_2=OA_3$.

Аналогично доказывают другие равенства. В результате, будем иметь

То есть точка $O$ равноудалена от всех вершин многоугольника, а, значит, точка $O$ — центр описанной вокруг правильного многоугольника окружности.

Единственность. Рассмотрим три вершины многоугольника. Очевидно, что через них проходит только одна окружность, следовательно, вокруг правильного многоугольника можно описать только одну окружность.

Готовые работы на аналогичную тему

Теорема доказана.

Теорема вписанной в правильный многоугольник окружности

В любой правильный многоугольник можно вписать единственную окружность.

Доказательство.

Пусть нам дан правильный многоугольник $A_1A_2A_3dots A_n$. Пусть точка $O$ — центр описанной вокруг данного многоугольника окружности (Рис. 3).

Рисунок 3. Вписанная в правильный многоугольник окружность

Так как углы $A_1 и A_2$ равны и $A_1O и A_2O$ — биссектрисы, то угол $OA_1A_2$ равен углу $O_1$. Следовательно, треугольник $OA_1A_2$ равнобедренный, и, значит, $A_1O=A_2O$.

Так как $A_1A_2=A_2A_3$, $angle O_1=angle O_3$ и сторона $A_2O$ — общая, то треугольники $O_1$ и $O_3$ равны.

Аналогично доказывается равенство других треугольников. То есть, мы получим

Значит и высоты этих треугольников равны между собой

Тогда окружность с центром в точке $O$ и радиусом, равным $_1$ проходит через точки $H_1, H_2,dots ,H_n$, то есть касается всех сторон данного многоугольника. Следовательно. Является вписанной для правильного многоугольника.

Единственность. Предположим противное. Пусть существует еще одна вписанная в этот многоугольник окружность. Обозначим её центр $O’$. Тогда $O’$ равноудалена от всех сторон многоугольника, а значит лежит в точке пересечения биссектрис его углов. Но тогда точка $O’$ совпадает с точкой $O$ и, следовательно, эти окружности также совпадают.

Теорема доказана.

Из этих двух теорем можно сформулировать следующие следствия:

Следствие 1: Вписанная в правильный многоугольник окружность касается его в серединах его сторон.

Следствие 2: Центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в этот же правильный многоугольник. Этот центр называется центром правильного многоугольника.

Формулы для правильного многоугольника

Дадим теперь несколько формул, относящихся к понятию правильного многоугольника (без их вывода).

Введем следующие обозначения. Пусть $S$ — площадь правильного многоугольника, $P$ — периметр правильного многоугольника, $a$ — сторона правильного многоугольника, $r$ — радиус вписанной в правильный многоугольник окружности, $R$ — радиус описанной около правильного многоугольника окружности. Тогда

Пример задачи на понятие правильного многоугольника

Чему равна сумма внешних углов правильного $n$-угольника. Если при каждой вершине взят только один внешний угол.

Решение.

Очевидно, что все внешние углы будут равны между собой и их количество равно $n$. Найдем один из них. Внешний угол $beta $ многоугольника будет смежным с внутренним углом многоугольника. Используя формулу нахождения угла правильного $n$-угольника $alpha =frac<^0(n-2)>$, получим

Значит, сумма всех внешних углов равна

Ответ: $^0.$

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 15 04 2021