Хорда – отрезок, соединяющий две точки окружности.
В частности, хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром .
Секущей к окружности называется прямая, которая пересекает окружность в двух различных точках.
Касательная к окружности — прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку.
Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать
Свойства
Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной
Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны.
Отрезки пересекающихся хорд связаны соотношением:
Произведения отрезков секущих, проведенных из одной точки, равны:
Квадрат отрезка касательной равен произведению отрезков секущей, проведенной из той же точки:
Если две окружности касаются внешним образом, то длина отрезка общей внешней касательной равна удвоенному среднему пропорциональному их радиусов Видеодоказательство
Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:
Видео:Окружность, касательная, секущая и хорда | МатематикаСкачать
Касательная к окружности
О чем эта статья:
Видео:ЗАДАНИЕ 1 ЕГЭ (ПРОФИЛЬ). ХОРДА, КАСАТЕЛЬНАЯ И СЕКУЩАЯ.Скачать
Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разница
В самом названии касательной отражается суть понятия — это прямая, которая не пересекает окружность, а лишь касается ее в одной точке. Взглянув на рисунок окружности ниже, несложно догадаться, что точку касания от центра отделяет расстояние, в точности равное радиусу.
Касательная к окружности — это прямая, имеющая с ней всего одну общую точку.
Если мы проведем прямую поближе к центру окружности — так, чтобы расстояние до него было меньше радиуса — неизбежно получится две точки пересечения. Такая прямая называется секущей, а отрезок, расположенный между точками пересечения, будет хордой (на рисунке ниже это ВС ).
Секущая к окружности — это прямая, которая пересекает ее в двух местах, т. е. имеет с ней две общие точки. Часть секущей, расположенная внутри окружности, будет называться хордой.
Видео:Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и ОкружностьСкачать
Свойства касательной к окружности
Выделяют четыре свойства касательной, которые необходимо знать для решения задач. Два из них достаточно просты и легко доказуемы, а вот еще над двумя придется немного подумать. Рассмотрим все по порядку.
Касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания, взаимно перпендикулярны.
Не будем принимать это на веру, попробуем доказать. Итак, у нас даны:
окружность с центральной точкой А;
прямая а — касательная к ней;
радиус АВ, проведенный к касательной.
Докажем, что касательная и радиус АВ взаимно перпендикулярны, т.е. а ⟂ АВ.
Пойдем от противного — предположим, что между прямой а и радиусом АВ нет прямого угла и проведем настоящий перпендикуляр к касательной, назвав его АС.
В таком случае наш радиус АВ будет считаться наклонной, а наклонная, как известно, всегда длиннее перпендикуляра. Получается, что АВ > АС. Но если бы это было на самом деле так, наша прямая а пересекалась бы с окружностью два раза, ведь расстояние от центра А до нее — меньше радиуса. Но по условию задачи а — это касательная, а значит, она может иметь лишь одну точку касания.
Итак, мы получили противоречие. Делаем вывод, что настоящим перпендикуляром к прямой а будет вовсе не АС, а АВ.
Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.
Задача
У нас есть окружность, центр которой обозначен О. Из точки С проведена прямая, и она касается этой окружности в точке А. Известно, что ∠АСО = 28°. Найдите величину дуги АВ.
Мы знаем, что касательная АС ⟂ АО, следовательно ∠САО = 90°.
Поскольку нам известны величины двух углов треугольника ОАС, не составит труда найти величину и третьего угла.
Поскольку вершина угла АОС лежит в центре окружности, можно вспомнить свойство центрального угла — как известно, он равен дуге, на которую опирается. Следовательно, АВ = 62°.
Если провести две касательных к окружности из одной точки, лежащей вне этой окружности, то их отрезки от этой начальной точки до точки касания будут равны.
Докажем и это свойство на примере. Итак, у нас есть окружность с центром А, давайте проведем к ней две касательные из точки D. Обозначим эти прямые как ВD и CD . А теперь выясним, на самом ли деле BD = CD.
Для начала дополним наш рисунок, проведем еще одну прямую из точки D в центр окружности. Как видите, у нас получилось два треугольника: ABD и ACD . Поскольку мы уже знаем, что касательная и радиус к ней перпендикулярны, углы ABD и ACD должны быть равны 90°.
Итак, у нас есть два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой AD. Учитывая, что радиусы окружности всегда равны, мы понимаем, что катеты AB и AC у этих треугольников тоже одинаковой длины. Следовательно, ΔABD = ΔACD (по катету и гипотенузе).. Значит, оставшиеся катеты, а это как раз наши BD и CD (отрезки касательных к окружности), аналогично равны.
Важно: прямая, проложенная из стартовой точки до центра окружности (в нашем примере это AD), делит угол между касательными пополам.
Задача 1
У нас есть окружность с радиусом 4,5 см. К ней из точки D, удаленной от центра на 9 см, провели две прямые, которые касаются окружности в точках B и C. Определите градусную меру угла, под которым пересекаются касательные.
Решение
Для этой задачи вполне подойдет уже рассмотренный выше рисунок окружности с радиусами АВ и АC. Поскольку касательная ВD перпендикулярна радиусу АВ , у нас есть прямоугольный треугольник АВD. Зная длину его катета и гипотенузы, определим величину ∠BDA.
∠BDA = 30° (по свойству прямоугольного треугольника: угол, лежащий напротив катета, равного половине гипотенузы, составляет 30°).
Мы знаем, что прямая, проведенная из точки до центра окружности, делит угол между касательными, проведенными из этой же точки, пополам. Другими словами:
∠BDC = ∠BDA × 2 = 30° × 2 = 60°
Итак, угол между касательными составляет 60°.
Задача 2
К окружности с центром О провели две касательные КМ и КN. Известно, что ∠МКN равен 50°. Требуется определить величину угла ∠NМК.
Решение
Согласно вышеуказанному свойству мы знаем, что КМ = КN. Следовательно, треугольник МNК является равнобедренным.
Углы при его основании будут равны, т.е. ∠МNК = ∠NМК.
∠МNК = (180° — ∠МКN) : 2 = (180° — 50°) : 2 = 65°
Соотношение между касательной и секущей: если они проведены к окружности из одной точки, лежащей вне окружности, то квадрат расстояния до точки касания равен произведению длины всей секущей на ее внешнюю часть.
Данное свойство намного сложнее предыдущих, и его лучше записать в виде уравнения.
Начертим окружность и проведем из точки А за ее пределами касательную и секущую. Точку касания обозначим В, а точки пересечения — С и D. Тогда CD будет хордой, а отрезок AC — внешней частью секущей.
Задача 1
Из точки М к окружности проведены две прямые, пусть одна из них будет касательной МA, а вторая — секущей МB. Известно, что хорда ВС = 12 см, а длина всей секущей МB составляет 16 см. Найдите длину касательной к окружности МA.
Решение
Исходя из соотношения касательной и секущей МА 2 = МВ × МС.
Найдем длину внешней части секущей:
МС = МВ — ВС = 16 — 12 = 4 (см)
МА 2 = МВ × МС = 16 х 4 = 64
Задача 2
Дана окружность с радиусом 6 см. Из некой точки М к ней проведены две прямые — касательная МA и секущая МB . Известно, что прямая МB пересекает центр окружности O. При этом МB в 2 раза длиннее касательной МA . Требуется определить длину отрезка МO.
Решение
Допустим, что МО = у, а радиус окружности обозначим как R.
В таком случае МВ = у + R, а МС = у – R.
Поскольку МВ = 2 МА, значит:
МА = МВ : 2 = (у + R) : 2
Согласно теореме о касательной и секущей, МА 2 = МВ × МС.
(у + R) 2 : 4 = (у + R) × (у — R)
Сократим уравнение на (у + R), так как эта величина не равна нулю, и получим:
Поскольку R = 6, у = 5R : 3 = 30 : 3 = 10 (см).
Ответ: MO = 10 см.
Угол между хордой и касательной, проходящей через конец хорды, равен половине дуги, расположенной между ними.
Это свойство тоже стоит проиллюстрировать на примере: допустим, у нас есть касательная к окружности, точка касания В и проведенная из нее хорда AВ. Отметим на касательной прямой точку C, чтобы получился угол AВC.
Задача 1
Угол АВС между хордой АВ и касательной ВС составляет 32°. Найдите градусную величину дуги между касательной и хордой.
Решение
Согласно свойствам угла между касательной и хордой, ∠АВС = ½ АВ.
АВ = ∠АВС × 2 = 32° × 2 = 64°
Задача 2
У нас есть окружность с центром О, к которой идет прямая, касаясь окружности в точке K. Из этой точки проводим хорду KM, и она образует с касательной угол MKB, равный 84°. Давайте найдем величину угла ОMK.
Решение
Поскольку ∠МКВ равен половине дуги между KM и КВ, следовательно:
КМ = 2 ∠МКВ = 2 х 84° = 168°
Обратите внимание, что ОМ и ОK по сути являются радиусами, а значит, ОМ = ОК. Из этого следует, что треугольник ОMK равнобедренный.
∠ОКМ = ∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2
Так как центральный угол окружности равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то:
∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2 = (180° — 168°) : 2 = 6°
Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать
Тест «Окружность. Углы» 8 класс
«Окружность. Углы» Вариант 1
Расстояние от центра окружности до прямой равно 7 см, диаметр окружности равен 16 см. Определите, сколько общих точек имеют окружность и прямая.
Выберите один из 4 вариантов ответа:
Касательная к окружности изображена на рисунке:
Запишите букву: ___________________________
Угол АСВ равен 60 0 , тогда дуга АВ равна
Запишите число: ___________________________
По данным чертежа найдите
градусную меру угла α.
Запишите число: ___________________________
По данным чертежа найдите
градусную меру угла β. Объясните,
почему вы так считаете?
«Окружность. Углы» Вариант 2
Расстояние от центра окружности до прямой равно 7 см, диаметр окружности равен 14 см. Определите, сколько общих точек имеют окружность и прямая.
Выберите один из 4 вариантов ответа:
Вписанный в окружность угол изображён на рисунке:
Запишите букву: ___________________________
Угол АВС равен 70 0 , тогда угол АОС равен
Запишите число: ___________________________
Центральный угол больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу, на 40 0 . Тогда градусная мера вписанного угла будет равна
Запишите число: ___________________________
По данным чертежа найдите
градусную меру угла γ.
Объясните, почему вы так
«Окружность. Углы» Вариант 3
Расстояние от центра окружности до прямой равно 6 см, диаметр окружности равен 14 см. Определите, сколько общих точек имеют окружность и прямая.
Выберите один из 4 вариантов ответа:
Секущая к окружности изображена на рисунке:
Запишите букву: ___________________________
Угол АСВ равен 78 0 , тогда дуга АВ равна
Запишите число: ___________________________
По данным чертежа н айдите Х.
Запишите число: ___________________________
По данным чертежа
найдите градусную меру угла β.
Объясните, почему вы так считаете?
«Окружность. Углы» Вариант 4
Расстояние от центра окружности до прямой равно 8 см, диаметр окружности равен 16 см. Определите, сколько общих точек имеют окружность и прямая.
Выберите один из 4 вариантов ответа:
Центральный угол изображён на рисунке:
Запишите букву: ___________________________
Угол АВС равен 67 0 , тогда угол АОС равен
Запишите число: ___________________________
Центральный угол больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу, на 65 0 . Тогда градусная мера вписанного угла будет равна
Запишите число: ___________________________
По данным чертежа найдите градусную меру угла Х.
Объясните, почему вы так считаете?
«Окружность. Углы» Вариант 5
Расстояние от центра окружности до прямой равно 8 см, диаметр окружности равен 14 см. Определите, сколько общих точек имеют окружность и прямая.
Выберите один из 4 вариантов ответа:
Касательная к окружности изображена на рисунке:
Запишите букву: ___________________________
На рисунке АОС =100 0 . Тогда АВС =
Запишите число: ___________________________
По данным чертежа найдите Х.
Запишите число: ___________________________
По данным чертежа найдите
градусную меру угла Х. Объясните,
почему вы так считаете?
«Окружность. Углы» Вариант 6
Расстояние от центра окружности до прямой равно 10 см, диаметр окружности равен 16 см. Определите, сколько общих точек имеют окружность и прямая.
Выберите один из 4 вариантов ответа:
Центральный угол изображён на рисунке:
Запишите букву: ___________________________
͜ АВ=60 0 . Тогда АСВ =
Запишите число: ___________________________
Центральный угол больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу, на 58 0 . Тогда градусная мера вписанного угла будет равна
Запишите число: ___________________________
По данным чертежа найдите
градусную меру угла Х.
Объясните, почему вы так
Видео:7 класс. Геометрия. Секущая и касательная к окружности. 05.05.2020Скачать
«Управление общеобразовательной организацией: новые тенденции и современные технологии»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Сейчас обучается 948 человек из 80 регионов
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Сейчас обучается 703 человека из 75 регионов
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Сейчас обучается 337 человек из 72 регионов
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Данный тест по геометрии для учащихся 8 класса. Тест представлен в 6 вариантах. В каждом варианте по 5 заданий, из них первые два задания с выбором ответа, три задания — задачи. Уровень сложности заданий увеличивается. Ко многим заданиям представлен рисунок, что облегчает их решение. Варианты теста равносильны.
Шляпникова Елена ИвановнаНаписать 7247 21.07.2015
Номер материала: 318686
21.07.2015 780
21.07.2015 2127
21.07.2015 471
21.07.2015 595
21.07.2015 713
21.07.2015 384
21.07.2015 2072
Не нашли то, что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
В Роспотребнадзоре заявили о широком распространении COVID-19 среди детей
Время чтения: 1 минута
Стартовал региональный этап Всероссийской олимпиады школьников
Время чтения: 2 минуты
В Подмосковье вводят систему голосования оценки качества школьных столовых
Время чтения: 1 минута
Более половины россиян сталкиваются с конфликтами в родительских чатах
Время чтения: 2 минуты
В Госдуме призвали обсуждать на школьных уроках тему опасности абортов
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
📹 Видео
Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.Скачать
ОГЭ за одну минуту | ОГЭ, математика, задание 16 (окружность и касательная)Скачать
Это Свойство Поможет Решить Задачи по Геометрии — Хорда, Окружность, Секущая (Геометрия)Скачать
Угол АСВ равен 60 0 , тогда дуга АВ равна
По данным чертежа найдите
По данным чертежа найдите
Угол АВС равен 70 0 , тогда угол АОС равен
По данным чертежа найдите
По данным чертежа н айдите Х.
По данным чертежа
На рисунке 
АОС =100 0 . Тогда 
По данным чертежа найдите
͜ АВ=60 0 . Тогда 
