Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.
а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.
а) Обозначим центры окружностей O1 и O2 соответственно. Пусть общая касательная, проведённая к окружностям в точке K, пересекает AB в точке M. По свойству касательных, проведённых из одной точки, AM = KM и KM = BM. Треугольник AKB, у которого медиана равна половине стороны, к которой она проведена, — прямоугольный.
Вписанный угол AKD прямой, поэтому он опирается на диаметр AD. Значит, AD ⊥ AB. Аналогично получаем, что BC ⊥ AB. Следовательно, прямые AD и BC параллельны.
б) Пусть, для определенности, первая окружность имеет радиус 4, а радиус второй равен 1.
Треугольники BKC и AKD подобны, 
Пусть 
тогда 
У треугольников AKD и AKB общая высота, следовательно, 
то есть SAKB = 4S. Аналогично, SCKD = 4S. Площадь трапеции ABCD равна 25S.
Вычислим площадь трапеции ABCD. Заметим, что 
Проведём к AD перпендикуляр O2H, равный высоте трапеции, и найдём его из прямоугольного треугольника O2HO1: 
Тогда 
Следовательно, 25S = 20, откуда S = 0,8 и SAKB = 4S = 3,2.
Приведем вариант решения п. б) предложенный Рамилем Багавиевым.
Из первого решения известно, что 
Из подобия треугольников AKD и AKB следует 
таким образом AK = 2BK. Напишем теорему Пифагора для треугольника AKB 
Теперь несложно вычислить 
Две окружности касаются внутренним образом. Третья окружность касается первых двух и их линии центров.
а) Докажите, что периметр треугольника с вершинами в центрах трёх окружностей равен диаметру наибольшей из этих окружностей.
б) Найдите радиус третьей окружности, если известно, что радиусы первых двух равны 4 и 1.
а) Пусть АВ — диаметр большей из трёх окружностей, О — её центр, O1 — центр окружности радиуса r у касающейся окружности с диаметром АВ в точке А, O2 — центр окружности радиуса R, касающейся окружности с диаметром АВ в точке С, окружности с центром O1 — в точке D, отрезка АВ — в точке Е. Точки О, O2 и С лежат на одной прямой, поэтому OO2 = ОС − O2С = ОС − R. Аналогично ОО1 = OA − О1А = ОА − r и O1O2 = O1D + O2D = r + R. Следовательно, периметр треугольника OO1O2 равен
а так как О1E = OO1 + ОЕ, то 
Полученное уравнение не имеет корней, что означает, что данная конфигурация невозможна.
Рассмотрим случай, когда точка Е лежит между точками О и А. В этом случае О1E = OO1 − ОЕ, то есть 
Из этого уравнения находим, что 
Ответ: 
Хорды AD, BE и CF окружности делят друг друга на три равные части.
а) Докажите, что эти хорды равны.
б) Найдите площадь шестиугольника ABCDEF, если точки A, B, C, D, E, F последовательно расположены на окружности, а радиус окружности равен 
а) Пусть две хорды равны 3x и 3y. По теореме о произведении пересекающихся хорд 2x · x = 2y · y. Отсюда находим, что x = y, значит, эти хорды равны. Аналогично докажем, что третья хорда равна каждой из первых двух.
б) Равные хорды равноудалены от центра окружности, поэтому центр равностороннего треугольника с вершинами в точках попарного пересечения хорд совпадает с центром данной окружности. Пусть хорды BE и CF пересекают хорду AD в точках P и Q соответственно, хорды BE и FC пересекаются в точке T, а H — проекция центра O на хорду AD. Тогда H — общая середина отрезков AD и PQ, а OH — радиус вписанной окружности равностороннего треугольника PQT со стороной PQ.
Через точку T проведём прямую, параллельную AD, через точку P — прямую, параллельную CF, а через точку Q — прямую, параллельную BE. Эти прямые и хорды AD, BE и CF разбивают шестиугольник ABCDEF на 13 одинаковых равносторонних треугольников.
Обозначим PQ = 2a. Тогда
Отсюда находим, что a = 3, значит, PQ = 2a = 6, 
Ответ: 
Я решил другим, но верным способом через площади 6 равных треугольников, перепроверил с репититором, у нас выходит ответ 126 корней из 3. Кстати именно такого альтернативного способа не хватает в решении.
Наверное, в этот момент стоило бы сравнить ваше решение с нашим и попробовать найти ошибку. В математике все просто: или ошибка есть, или ее нет.
Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках K и M соответственно.
а) Докажите, что прямые KM и BC параллельны.
б) пусть L — точка пересечения отрезков KM и AP. Найдите AL, если радиус большей окружности равен 10, а BC = 16.
а) Пусть O — центр большей окружности. Линия центров касающихся окружностей проходит через точку касания, поэтому OA — диаметр меньшей окружности.
Точка K лежит на окружности с диаметром OA, значит, ∠AKO = 90°. Отрезок OK — перпендикуляр, опущенный из центра большей окружности на хорду AB. Поэтому K — середина AB. Аналогично, M — середина AC, поэтому KM — средняя линия треугольника ABC. Следовательно, прямые MK и BC параллельны.
б) Опустим перпендикуляр OH на хорду BC. Тогда H — середина BC. Из прямоугольного треугольника OHB находим, что
Пусть Q — центр меньшей окружности. Тогда прямые QP и OH параллельны. Опустим перпендикуляр QF из центра меньшей окружности на OH. Тогда
PH 2 = QF 2 = QO 2 − OF 2 = 25 − 1 =24,
OP 2 = OH 2 + PH 2 = 36 + 24 = 60,
а из прямоугольного треугольника APO находим, что
Отрезок KM — средняя линия треугольника ABC, поэтому L средина AP. Следовательно,
Ответ: б) 
Приведём решение Марии Ковалёвой (Москва).
а) Проведём общую касательную к окружностям AT, как показано на рисунке слева. Тогда 
и 
поскольку угол между касательной и хордой равен половине заключённой между ними дуги. Тогда 
равны Соответственные углы при пересечении прямых KM и BC равны, поэтому данные прямые параллельны.
б) По обобщенной теореме синусов, в треугольниках AKM и ABC стороны KM и BC относятся так же, как радиусы данных в условии окружностей, то есть как 1 : 2. Следовательно, KM — средняя линия треугольника ABC, и 
по теореме Фалеса. Осталось найти AР.
Опустим перпендикуляр OH на хорду BC (см. рисунок справа). Тогда H — середина BC. Из прямоугольного треугольника OHB находим, что
Треугольник OAP прямоугольный, так как угол OРA опирается на диаметр. Углы OAP и OPH равны по теореме об угле между касательной и хордой. Следовательно, прямоугольные треугольники OAP и OPH подобны по острому углу. Имеем: 
то есть 
Следовательно, 
По теореме Пифагора, 
Окончательно получаем:
Решение «сыпется», если концы хорды ВС расположить по разные стороны от диаметра (ОА). Тогда ОН, по-прежнему равный 6 из теоремы Пифагора, будет по чертежу меньше, чем параллельный ему радиус QP=5 меньшей окружности
Да, Ваше рассуждение доказывает, что этот случай невозможен.
Почему К середина АВ при условии,что ОК перпендикуляр? Что за свойство?
Свойство высоты равнобедренного треугольника. Треугольник ОАВ — равнобедренный, ОК — его высота, проведенная к основанию
Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.
а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.
Задание а). Обозначим центры окружностей 
и 
соответственно. Пусть общая касательная, проведённая к окружностям в точке K, пересекает AB в точке 
По свойству касательных, проведённых из одной точки, 
и. 
Треугольник AKB, у которого медиана равна половине стороны, к которой она проведена, — прямоугольный.
Вписанный угол 
прямой, поэтому он опирается на диаметр 
Значит, 
Аналогично получаем, что 
Следовательно, прямые AD и BC параллельны.
Задание б). Пусть, для определенности, первая окружность имеет радиус 4, а радиус второй равен 1.
Треугольники BKC и AKD подобны, Пусть тогда
У треугольников 
общая высота, следовательно, то есть 
Аналогично, 
Площадь трапеции ABCD равна 
Вычислим площадь трапеции 
Проведём к AD перпендикуляр 
равный высоте трапеции, и найдём его из прямоугольного треугольника 
Тогда
Следовательно, 
откуда 
и 
Видео:Геометрия Окружности радиусов 25 и 100 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружСкачать
Окружности касаются внешним образом
Окружности радиусов 44 и 77 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.
Соединим центры окружностей — точки O1 и O2 — с точками A и C соответственно.
Обозначим O1A=r, O2C=R.
Проведём перпендикуляр AF к прямой CD и перпендикуляр O1N к прямой CO2.
AF — искомое расстояние между прямыми AB и CD.
Четырёхугольник AO1NC — прямоугольник (так как у него три угла прямые).
Рассмотрим прямоугольный треугольник O1O2N.
Продлим касательные AC и BD до пересечения в точке M. Проведём луч MO2.
Окружности с центрами в точках O1 и O2 вписаны в угол CMD, значит MP — биссектриса угла CMD.
MC=MD (как отрезки касательных, проведённых из одной точки). Значит треугольник CMD — равнобедренный с основанием CD. Следовательно, биссектриса MP является также его высотой.
В прямоугольном треугольнике CMP ∠MCP=90°-∠CMP.
В прямоугольном треугольнике CMO2 ∠CO2M=90°-∠CMP.
Отсюда ∠MCP=∠CO2M. Следовательно, прямоугольные треугольники AFC и O1NO2 подобны (по острому углу).
Видео:Три окружности касаются прямой и друг друга внешним образомСкачать
Задание 16 Профильного ЕГЭ по математике. Планиметрия. Задача 3
Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C
а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.
а) Другими словами, в пункте (а) надо доказать, что точка D лежит на прямой , а точка C — на прямой .
— прямоугольная трапеция, поскольку (как радиусы, проведенные в точку касания), .
Если , то (как односторонние углы),
Тогда — диаметр первой окружности; — диаметр второй окружности, так как вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой.
AK — высота в , где
Рассмотрев прямоугольную трапецию , где , найдем, что .
💡 Видео
Окружности касаются внешним образом #егэ2023 #математика #егэ #школа #shorts #fypСкачать
ОГЭ Задание 26 Внешнее касание двух окружностейСкачать
Задача. Две окружности касаются внутренним образом.Скачать
ОГЭ № 25. "Окружности касаются внешним образом... "Скачать
Две окружности | Резерв досрока ЕГЭ-2019. Задание 16. Профильный уровень | Борис Трушин |Скачать
ОГЭ. Понятный разбор задачи №26. Две окружности радиусов 44 и 77 касаются внешним образом...Скачать
Г: Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке С. Радиусы окружностей равны 2 и 7Скачать
Геометрия Две окружности с центрами O1 и O3 и радиусами 4,5 и 2,5 касаются друг с другом внешнимСкачать
Геометрия Окружность радиуса 4 касается внешним образом второй окружности в точке B. ОбщаяСкачать
две окружности касаются внешним образом в точке КСкачать
Две окружности касаются внешним образом. Задание 16 (40)Скачать
Геометрия Две окружности радиусом R = 3 см и r = 1 см касаются внешним образом. Найти расстояние отСкачать
Две окружности разных радиусов касаются внешним образом в точке КСкачать
Задача на окружности из ОГЭ-2023!! Разбор за 30 секСкачать
Поступайте правильно Математика ЕГЭСкачать
ОГЭ по математике. 9 класс. Задача 26. Вариант 5.Скачать
Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать
Геометрия Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причем меньшая окружность проходитСкачать
