Развертка конуса высота конуса радиус окружности

Развертка (выкройка) конуса

Калькулятор рассчитывает развертку (выкройку) на плоскости прямого кругового конуса и усеченного прямого кругового конуса.

Калькулятор рассчитывает параметры развертки прямого кругового конуса на плоскости. Картинка ниже иллюстрирует задачу.

Развертка конуса высота конуса радиус окружности

Про конус нам известен радиус основания и высота конуса (или высота усеченного конуса). Для описания развертки нам надо найти радиус внешней дуги, радиус внутренней дуги (если конус усеченный), длину образующей и центральный угол.

Длину образующей можно посчитать по теореме Пифагора:
,
при этом для полного конуса r1 просто обращается в ноль.

Радиус внутренней дуги можно найти из подобия треугольников:
,
опять же, для полного конуса она равна нулю.

Соответственно, радиус внешней дуги:
,
для полного конуса он совпадает с L.

Видео:Простой расчёт развёртки конусаСкачать

Простой расчёт развёртки конуса

Построение развертки конуса

Развертка поверхности конуса — это плоская фигура, полученная путем совмещения боковой поверхности и основания конуса с некоторой плоскостью.

Варианты построения развертки:

Видео:Усеченный конус. 11 класс.Скачать

Усеченный конус. 11 класс.

Развертка прямого кругового конуса

Развертка боковой поверхности прямого кругового конуса представляет собой круговой сектор, радиус которого равен длине образующей конической поверхности l, а центральный угол φ определяется по формуле φ=360*R/l, где R – радиус окружности основания конуса.

Развертка конуса высота конуса радиус окружности

В ряде задач начертательной геометрии предпочтительным решением является аппроксимация (замена) конуса вписанной в него пирамидой и построение приближенной развертки, на которую удобно наносить линии, лежащие на конической поверхности.

  1. Вписываем в коническую поверхность многоугольную пирамиду. Чем больше боковых граней у вписанной пирамиды, тем точнее соответствие между действительной и приближенной разверткой.
  2. Строим развертку боковой поверхности пирамиды способом треугольников. Точки, принадлежащие основанию конуса, соединяем плавной кривой.

На рисунке ниже в прямой круговой конус вписана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF, и приближенная развертка его боковой поверхности состоит из шести равнобедренных треугольников – граней пирамиды.

Развертка конуса высота конуса радиус окружности

Рассмотрим треугольник S0A0B0. Длины его сторон S0A0 и S0B0 равны образующей l конической поверхности. Величина A0B0 соответствует длине A’B’. Для построения треугольника S0A0B0 в произвольном месте чертежа откладываем отрезок S0A0=l, после чего из точек S0 и A0 проводим окружности радиусом S0B0=l и A0B0= A’B’ соответственно. Соединяем точку пересечения окружностей B0 с точками A0 и S0.

Точки A, B, C, D, E и F, лежащие в основании конуса, соединяем плавной кривой – дугой окружности, радиус которой равен l.

Видео:развертка конусаСкачать

развертка конуса

Развертка наклонного конуса

Рассмотрим порядок построения развертки боковой поверхности наклонного конуса методом аппроксимации (приближения).

Развертка конуса высота конуса радиус окружности

  1. Вписываем в окружность основания конуса шестиугольник 123456. Соединяем точки 1, 2, 3, 4, 5 и 6 с вершиной S. Пирамида S123456, построенная таким образом, с некоторой степенью приближения является заменой конической поверхности и используется в этом качестве в дальнейших построениях.
  2. Определяем натуральные величины ребер пирамиды, используя способ вращения вокруг проецирующей прямой: в примере используется ось i, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций и проходящая через вершину S.
    Так, в результате вращения ребра S5 его новая горизонтальная проекция S’5’1 занимает положение, при котором она параллельна фронтальной плоскости π2. Соответственно, S’’5’’1 – натуральная величина S5.
  3. Строим развертку боковой поверхности пирамиды S123456, состоящую из шести треугольников: S01060, S06050, S05040, S04030, S03020, S02010. Построение каждого треугольника выполняется по трем сторонам. Например, у △S01060 длина S010=S’’1’’0, S060=S’’6’’1, 1060=1’6’.

Степень соответствия приближенной развертки действительной зависит от количества граней вписанной пирамиды. Число граней выбирают, исходя из удобства чтения чертежа, требований к его точности, наличия характерных точек и линий, которые нужно перенести на развертку.

Перенос линии с поверхности конуса на развертку

Линия n, лежащая на поверхности конуса, образована в результате его пересечения с некоторой плоскостью (рисунок ниже). Рассмотрим алгоритм построения линии n на развертке.

Развертка конуса высота конуса радиус окружности

  1. Находим проекции точек A, B и C, в которых линия n пересекает ребра вписанной в конус пирамиды S123456.
  2. Определяем натуральную величину отрезков SA, SB, SC способом вращения вокруг проецирующей прямой. В рассматриваемом примере SA=S’’A’’, SB=S’’B’’1, SC=S’’C’’1.
  3. Находим положение точек A0, B0, C0 на соответствующих им ребрах пирамиды, откладывая на развертке отрезки S0A0=S’’A’’, S0B0=S’’B’’1, S0C0=S’’C’’1.
  4. Соединяем точки A0, B0, C0 плавной линией.

Видео:Геометрия 11 класс (Урок№7 - Конус.)Скачать

Геометрия 11 класс (Урок№7 - Конус.)

Развертка усеченного конуса

Описываемый ниже способ построения развертки прямого кругового усеченного конуса основан на принципе подобия.

Видео:Конус. Развертка конуса. Задание 14Скачать

Конус. Развертка конуса. Задание 14

Что такое развертка конуса и как ее построить? Формулы и пример решения задачи

Каждый школьник слышал о круглом конусе и представляет, как выглядит эта объемная фигура. В данной статье дается определение развертки конуса, приводятся формулы, описывающие ее характеристики, а также описывается способ ее построения с помощью циркуля, транспортира и линейки.

Видео:Усеченный конус ч.1 Развертка усечённого конуса.Скачать

Усеченный конус ч.1   Развертка усечённого конуса.

Круглый конус в геометрии

Приведем геометрическое определение этой фигуры. Круглым конусом называется поверхность, которая образована прямыми отрезками, соединяющими все точки некоторой окружности с одной-единственной точкой пространства. Эта единственная точка не должна принадлежать плоскости, в которой лежит окружность. Если вместо окружности взять круг, то указанный способ также приводит к получению конуса.

Развертка конуса высота конуса радиус окружности Вам будет интересно: Юридический колледж в Иваново: специальности, приемная комиссия, отзывы

Круг называется основанием фигуры, его окружность — это директриса. Отрезки, соединяющие точку с директрисой, называются генератрисами или образующими, а точка, где они пересекаются — это вершина конуса.

Круглый конус может быть прямым и наклонным. Обе фигуры показаны ниже на рисунке.

Развертка конуса высота конуса радиус окружности

Развертка конуса высота конуса радиус окружности Вам будет интересно: Термофильные бактерии: польза и вред для человека

Разница между ними заключается в следующем: если перпендикуляр из вершины конуса падает точно в центр окружности, то конус будет прямым. Для него перпендикуляр, который называется высотой фигуры, является частью его оси. В случае конуса наклонного высота и ось образуют некоторый острый угол.

Ввиду простоты и симметричности фигуры далее будем рассматривать свойства только прямого конуса с круглым основанием.

Видео:№547. Высота конуса равна 15 см, а радиус основания равен 8 см. Найдите образующую конуса.Скачать

№547. Высота конуса равна 15 см, а радиус основания равен 8 см. Найдите образующую конуса.

Получение фигуры с помощью вращения

Перед тем как перейти к рассмотрению развертки поверхности конуса, полезно узнать, как с помощью вращения можно получить эту пространственную фигуру.

Предположим, что у нас имеется прямоугольный треугольник со сторонами a, b, c. Первые две из них являются катетами, c — это гипотенуза. Поставим треугольник на катет a и начнем его вращать вокруг катета b. Гипотенуза c при этом опишет коническую поверхность. Эта простая методика получения конуса изображена ниже на схеме.

Развертка конуса высота конуса радиус окружности

Очевидно, что катет a будет радиусом основания фигуры, катет b — его высотой, а гипотенуза c соответствует образующей круглого прямого конуса.

Видео:№561. Вычислите площадь основания и высоту конуса, если разверткой его боковой поверхностиСкачать

№561. Вычислите площадь основания и высоту конуса, если разверткой его боковой поверхности

Вид развертки конуса

Как можно догадаться, конус образован двумя типами поверхностей. Одна из них — это плоский круг основания. Предположим, что он имеет радиус r. Вторая поверхность является боковой и называется конической. Пусть ее образующая будет равна g.

Если у нас имеется бумажный конус, то можно взять ножницы и отрезать от него основание. Затем, коническую поверхность следует разрезать вдоль любой образующей и развернуть ее на плоскости. Таким способом мы получили развертку боковой поверхности конуса. Две поверхности вместе с исходным конусом показаны на схеме ниже.

Развертка конуса высота конуса радиус окружности

Внизу справа изображен круг основания. По центру показана развернутая коническая поверхность. Оказывается, что она соответствует некоторому круговому сектору круга, радиус которого равен длине образующей g.

Видео:Геометрия. 11 класс. Конус и его элементы. Развертка, площадь боковой и полной поверхности конусаСкачать

Геометрия. 11 класс. Конус и его элементы. Развертка, площадь боковой и полной поверхности конуса

Угол и площадь развертки

Теперь получим формулы, которые по известным параметрам g и r позволяют рассчитать площадь и угол развертки конуса.

Очевидно, что дуга кругового сектора, показанного выше на рисунке, имеет длину, равную длине окружности основания, то есть:

Если бы весь круг радиусом g был построен, то его бы длина составила:

Поскольку длина L соответствует 2*pi радианам, тогда угол, на который опирается дуга l, можно определить из соответствующей пропорции:

Тогда неизвестный угол φ будет равен:

Подставляя выражения для длин l и L, приходим к формуле для угла развертки боковой поверхности конуса:

Угол φ здесь выражен в радианах.

Для определения площади Sb кругового сектора воспользуемся найденным значением φ. Составляем еще одну пропорцию, только уже для площадей. Имеем:

Откуда следует выразить Sb, а затем, подставить значение угла φ. Получаем:

Sb = φ*g2*pi/(2*pi) = 2*pi*r/g*g2/2 = pi*r*g.

Для площади конической поверхности мы получили достаточно компактную формулу. Величина Sb равна произведению трех множителей: числа пи, радиуса фигуры и ее образующей.

Тогда площадь всей поверхности фигуры будет равна сумме Sb и So (площадь круглого основания). Получаем формулу:

S = Sb + So = pi*r*(g + r).

Видео:№555. Высота конуса равна 10 см. Найдите площадь сечения, проходящего через вершину конусаСкачать

№555. Высота конуса равна 10 см. Найдите площадь сечения, проходящего через вершину конуса

Построение развертки конуса на бумаге

Развертка конуса высота конуса радиус окружности

Для выполнения этой задачи понадобится лист бумаги, карандаш, транспортир, линейка и циркуль.

В первую очередь начертим прямоугольный треугольник со сторонами 3 см, 4 см и 5 см. Его вращение вокруг катета в 3 см даст искомый конус. У фигуры r = 3 см, h = 4 см, g = 5 см.

Построение развертки начнем с рисования циркулем окружности радиусом r. Ее длина будет равна 6*pi см. Теперь рядом с ней нарисуем еще одну окружность, но уже радиусом g. Ее длина будет соответствовать 10*pi см. Теперь нам нужно от большой окружности отрезать круговой сектор. Его угол φ равен:

φ = 2*pi*r/g = 2*pi*3/5 = 216o.

Теперь откладываем транспортиром этот угол на окружности с радиусом g и проводим два радиуса, которые будут ограничивать круговой сектор.

Таким образом, мы построили развертку конуса с указанными параметрами радиуса, высоты и образующей.

Видео:ГЕОМЕТРИЯ 11 класс: Конус Площадь конуса. Усеченный конусСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 11 класс: Конус  Площадь конуса. Усеченный конус

Пример решения геометрической задачи

Развертка конуса высота конуса радиус окружности

Дан круглый прямой конус. Известно, что угол его боковой развертки равен 120o. Необходимо найти радиус и образующую этой фигуры, если известно, что высота h конуса равна 10 см.

Задача не является сложной, если вспомнить, что круглый конус — это фигура вращения прямоугольного треугольника. Из этого треугольника следует однозначная связь между высотой, радиусом и образующей. Запишем соответствующую формулу:

Вторым выражением, которое следует использовать при решении, является формула для угла φ:

Таким образом, мы имеем два уравнения, связывающих две неизвестные величины (r и g).

Выражаем из второй формулы g и подставляем результат в первую, получаем:

h2 + r2 = 4*pi2*r2/φ2 =>

Угол φ = 120o в радианах равен 2*pi/3. Подставляем это значение, получаем конечные формулы для r и g:

Остается подставить значение высоты и получить ответ на вопрос задачи: r ≈ 3,54 см, g ≈ 10,61 см.

🔍 Видео

Построение развертки конусаСкачать

Построение развертки конуса

Геометрия. 11 класс. Конус и его элементы. Развертка, площадь боковой и полной поверхности конусаСкачать

Геометрия. 11 класс. Конус и его элементы. Развертка, площадь боковой и полной поверхности конуса

Задание 42. УСЕЧЕННЫЙ КОНУС. Часть 2Скачать

Задание 42. УСЕЧЕННЫЙ КОНУС. Часть 2

№558. Разверткой боковой поверхности конуса является сектор с дугой α. Найдите α, еслиСкачать

№558. Разверткой боковой поверхности конуса является сектор с дугой α. Найдите α, если

11 класс, 18 урок, Усеченный конусСкачать

11 класс, 18 урок, Усеченный конус

Развертка конусаСкачать

Развертка конуса

Конус. 11 класс.Скачать

Конус. 11 класс.

Жестяные работы. Усечённый конус. Расчет усечённого конуса с онлайн калькулятора | ссылка⬇️Скачать

Жестяные работы. Усечённый конус. Расчет усечённого конуса с онлайн калькулятора | ссылка⬇️

Цилиндр, конус, шар, 6 классСкачать

Цилиндр, конус, шар, 6 класс
Поделиться или сохранить к себе: