Равнобедренная трапеция вписана в окружность найти радиус окружности

Узнать ещё

Знание — сила. Познавательная информация

Видео:Трапеция вписана в окружность. Найти радиус окружностиСкачать

Трапеция вписана в окружность.  Найти радиус окружности

Трапеция вписана в окружность

Рассмотрим несколько направлений решения задач, в которых трапеция вписана в окружность.

Когда трапецию можно вписать в окружность? Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна 180º. Отсюда следует, что вписать в окружность можно только равнобокую трапецию.

Радиус окружности, описанной около трапеции, можно найти как радиус окружности, описанной около из одного из двух треугольников, на которые трапецию делит ее диагональ.

Где находится центр окружности, описанной около трапеции? Это зависит от угла между диагональю трапеции и ее боковой стороной.

Равнобедренная трапеция вписана в окружность найти радиус окружностиЕсли диагональ трапеции перпендикулярна ее боковой стороне, то центр окружности, описанной около трапеции, лежит на середине ее большего основания. Радиус описанной около трапеции окружности в этом случае равен половине ее большего основания:

Равнобедренная трапеция вписана в окружность найти радиус окружности

Равнобедренная трапеция вписана в окружность найти радиус окружности

Если диагональ трапеции образует с боковой стороной острый угол, центр окружности, описанной около трапеции лежит внутри трапеции.

Равнобедренная трапеция вписана в окружность найти радиус окружности

Если диагональ трапеции образует с боковой стороной тупой угол, центр описанной около трапеции окружности лежит вне трапеции, за большим основанием.

Радиус описанной около трапеции окружности можно найти по следствию из теоремы синусов. Из треугольника ACD

Равнобедренная трапеция вписана в окружность найти радиус окружности

Из треугольника ABC

Равнобедренная трапеция вписана в окружность найти радиус окружности

Другой вариант найти радиус описанной окружности —

Равнобедренная трапеция вписана в окружность найти радиус окружности

Равнобедренная трапеция вписана в окружность найти радиус окружности

Равнобедренная трапеция вписана в окружность найти радиус окружности

Синусы угла D и угла CAD можно найти, например, из прямоугольных треугольников CFD и ACF:

Равнобедренная трапеция вписана в окружность найти радиус окружности

Равнобедренная трапеция вписана в окружность найти радиус окружности

Равнобедренная трапеция вписана в окружность найти радиус окружностиПри решении задач на трапецию, вписанную в окружность, можно также использовать то, что вписанный угол равен половине соответствующего ему центрального угла. Например,

Равнобедренная трапеция вписана в окружность найти радиус окружности

Равнобедренная трапеция вписана в окружность найти радиус окружностиКстати, использовать углы COD и CAD можно и для нахождения площади трапеции. По формуле нахождения площади четырехугольника через его диагонали

Равнобедренная трапеция вписана в окружность найти радиус окружности

Равнобедренная трапеция вписана в окружность найти радиус окружности

В равнобедренном треугольнике AMD углы при основании равны. Внешний угол CMD равен сумме внутренних углов, не смежных с ним:

Видео:Радиус описанной окружности трапецииСкачать

Радиус описанной окружности трапеции

Радиус описанной окружности трапеции

Как найти радиус описанной окружности для трапеции?

В зависимости от данных условия, сделать это можно разными способами. Готовой формулы радиуса описанной около трапеции окружности нет.

I. Радиус описанной около трапеции окружности как радиус окружности, описанной около треугольника, вершины которого — вершины трапеции

Описанная около трапеции окружность проходит через все её вершины, следовательно, является описанной для любого из треугольников, вершины которых являются вершинами трапеции.

В общем случае радиус описанной около треугольника окружности может быть найден по одной из формул

Равнобедренная трапеция вписана в окружность найти радиус окружности

где a — сторона треугольника, α — противолежащий ей угол;

либо по формуле

Равнобедренная трапеция вписана в окружность найти радиус окружности

где a, b, c — стороны, S — площадь треугольника.

Равнобедренная трапеция вписана в окружность найти радиус окружности

Для трапеции ABCD радиус может быть найден, например, как радиус окружности, описанной около треугольника ABD:

Равнобедренная трапеция вписана в окружность найти радиус окружности

Равнобедренная трапеция вписана в окружность найти радиус окружности

где синус угла A можно найти из прямоугольного треугольника ABF:

Равнобедренная трапеция вписана в окружность найти радиус окружности

III. Радиус описанной около трапеции окружности как расстояние до точки пересечения серединных перпендикуляров

Равнобедренная трапеция вписана в окружность найти радиус окружностиРадиус описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров с сторонам трапеции. (Можно рассуждать иначе: в равнобедренном треугольнике AOD (AO=OD=R) высота ON является также медианой. Для треугольника BOC — аналогично).

Если известна высота трапеции KN=h, основания AD=a, BC=b, можно обозначить ON=x.

Если центр окружности лежит внутри трапеции, OK=h-x, из прямоугольных треугольников ANO и BKO можно выразить

Равнобедренная трапеция вписана в окружность найти радиус окружности

Равнобедренная трапеция вписана в окружность найти радиус окружности

и приравнять правые части

Равнобедренная трапеция вписана в окружность найти радиус окружности

Равнобедренная трапеция вписана в окружность найти радиус окружности

Равнобедренная трапеция вписана в окружность найти радиус окружности

Решив это уравнения относительно x, можно найти R.

IV. Если диагональ трапеции перпендикулярна боковой стороне, центр описанной окружности лежит на середине большего основания и радиус равен половине большего основания.

Равнобедренная трапеция вписана в окружность найти радиус окружности

Равнобедренная трапеция вписана в окружность найти радиус окружности

точка O — середина AD

Равнобедренная трапеция вписана в окружность найти радиус окружности

Равнобедренная трапеция вписана в окружность найти радиус окружностиЕсли диагональ трапеции образует с боковой стороной тупой угол, центр описанной окружности лежит вне трапеции, за большим основанием.

I вариант нахождения радиуса для этого случая не изменяется.

Равнобедренная трапеция вписана в окружность найти радиус окружностиВо II случае OK=h+x, соответственно, изменяется уравнение для нахождения x и R.

Позже рассмотрим конкретные задачи нахождения радиуса описанной около трапеции окружности.

Видео:Геометрия Задача № 26 Найти радиус вписанной в трапецию окружностиСкачать

Геометрия Задача № 26  Найти радиус вписанной в трапецию окружности

Радиус вписанной окружности в трапецию, формула

Радиус вписанной окружности в трапецию равен половине высоты трапеции.

Главное чтобы выполнялось условие при котором в данную трапецию возможно вписать окружность. В четырехугольник окружность можно вписать только в том случае, если суммы его противоположных сторон равны. т.е.:

Иначе в данную трапецию нельзя вписать окружность.

бедро трапеции выражается через высоту по теореме Пифагора:

Отсюда — зная все стороны трапеции вычислим такую высоту трапеции, которая удовлетворяет условию вписанной окружности (3).

после небольших преобразований получим

используем формулы Квадрат суммы и Квадрат разности и после раскрытия скобок и упрощения получим

И соответственно радиус вписанной окружности в трапецию

📹 Видео

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Задача про трапецию, описанную около окружностиСкачать

Задача про трапецию, описанную около окружности

Задание 26 Равнобедренная трапеция вписанная в окружностьСкачать

Задание 26 Равнобедренная трапеция вписанная в окружность

Задание 26_Равнобедренная трапеция. Вписанная окружность.Скачать

Задание 26_Равнобедренная трапеция. Вписанная окружность.

Геометрия Равнобокая трапеция вписана в окружность, центр которой принадлежит одному из основанияСкачать

Геометрия Равнобокая трапеция вписана в окружность, центр которой принадлежит одному из основания

Трапеция, вписанная в окружностьСкачать

Трапеция, вписанная в окружность

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

Основания равнобедренной трапеции равны 72 и 30. Центр окружности, описанной около трапеции... (ЕГЭ)Скачать

Основания равнобедренной трапеции равны 72 и 30. Центр окружности, описанной около трапеции... (ЕГЭ)

Задание 16 ОГЭ по математике. Окружность вписана в трапецию.Скачать

Задание 16 ОГЭ по математике. Окружность вписана в трапецию.

Геометрия В прямоугольную трапецию вписана окружность. Найдите её радиус, если основания трапецииСкачать

Геометрия В прямоугольную трапецию вписана окружность. Найдите её радиус, если основания трапеции

Геометрия В равнобедренную трапецию вписана окружность радиуса R. Верхнее основание трапеции в 2Скачать

Геометрия В равнобедренную трапецию вписана окружность радиуса R. Верхнее основание трапеции в 2

ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 РАДИУС ОКРУЖНОСТИ ВПИСАННОЙ В ТРАПЕЦИЮ РАВЕН 18. НАЙДИТЕ ВЫСОТУ ЭТОЙ ТРАПЕЦИИСкачать

ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 РАДИУС ОКРУЖНОСТИ ВПИСАННОЙ В ТРАПЕЦИЮ РАВЕН 18. НАЙДИТЕ ВЫСОТУ ЭТОЙ ТРАПЕЦИИ

Задание 26 Равнобедренная трапеция, описанная и вписанная окружностиСкачать

Задание 26 Равнобедренная трапеция, описанная и вписанная окружности

Радиус вписанной окружности #ShortsСкачать

Радиус вписанной окружности #Shorts

Всегда ли трапеция вписанная в окружность РАВНОБЕДРЕННАЯ? Задача. ЕГЭ, ОГЭ.Скачать

Всегда ли трапеция вписанная в окружность РАВНОБЕДРЕННАЯ? Задача. ЕГЭ, ОГЭ.

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Окружность, вписанная в трапециюСкачать

Окружность, вписанная в трапецию
Поделиться или сохранить к себе: