Расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности

Please wait.

Видео:8 Расстояние от вершины треугольника до точек касания вписанной окружности со сторонамиСкачать

8 Расстояние от вершины треугольника до точек касания вписанной окружности со сторонами

We are checking your browser. mathvox.ru

Видео:Треугольник. Расстояние от вершины до точки касания вневписанной окружности. Задание 16Скачать

Треугольник. Расстояние от вершины до точки касания вневписанной окружности. Задание 16

Why do I have to complete a CAPTCHA?

Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

What can I do to prevent this in the future?

If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.

If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.

Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.

Cloudflare Ray ID: 6d7407f0d9dc1498 • Your IP : 85.95.188.35 • Performance & security by Cloudflare

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружностиСуществование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружностиФормулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружностиВывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

Расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

Расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

Расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности

что и требовалось доказать.

Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла.

Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

Расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности

Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

что и требовалось доказать.

Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны.

Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

Расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности

Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .

Расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности

Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Видео:№143. Расстояние от точки М до каждой из вершин правильного треугольника ABC равно 4 смСкачать

№143. Расстояние от точки М до каждой из вершин правильного треугольника ABC равно 4 см

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.

Расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности

a, b, c – стороны треугольника,
S – площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

Расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности.

Расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности

Расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности

Расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности

a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности

ФигураРисунокФормулаОбозначения
Произвольный треугольникРасстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности
Равнобедренный треугольникРасстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности
Равносторонний треугольникРасстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности
Прямоугольный треугольникРасстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности

Расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности.

Расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности.

Расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности

Расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности

Произвольный треугольник
Расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности
Равнобедренный треугольник
Расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности
Равносторонний треугольник
Расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности
Прямоугольный треугольник
Расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности
Произвольный треугольник
Расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности

Расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности.

Расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности

Расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности.

Равнобедренный треугольникРасстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности

Расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности

Равносторонний треугольникРасстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности

Расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Прямоугольный треугольникРасстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности

Расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

Расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, Расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности– полупериметр (рис. 6).

Расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности

Расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности

с помощью формулы Герона получаем:

Расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности

Расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности

Расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности

что и требовалось.

Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

Расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

Расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности

Расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности

Расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

Расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности

Расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности

Расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности

Расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности

Расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности

Расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности

что и требовалось.

Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

Расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

Расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности

Расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности

то, в случае равностороннего треугольника, когда

Расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности

Расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

Расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности

Расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности

Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно,

В силу теоремы 3 справедливы равенства

Расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности

Расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности

Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

Расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности

Расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

Видео:ВСЕ свойства ортоцентра для №16 на ЕГЭ 2023 по математикеСкачать

ВСЕ свойства ортоцентра для №16 на ЕГЭ 2023 по математике

Расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности

ч ФТЕХЗПМШОЙЛ УП УФПТПОБНЙ 6, 10, Й 12 ЧРЙУБОБ ПЛТХЦОПУФШ. л ПЛТХЦОПУФЙ РТПЧЕДЕОБ ЛБУБФЕМШОБС ФБЛ, ЮФП ПОБ РЕТЕУЕЛБЕФ ДЧЕ ВПМШЫЙЕ УФПТПОЩ. оБКДЙФЕ РЕТЙНЕФТ ПФУЕЮЈООПЗП ФТЕХЗПМШОЙЛБ.

рПДУЛБЪЛБ

тБУУФПСОЙЕ ПФ ЧЕТЫЙОЩ ФТЕХЗПМШОЙЛБ ДП ВМЙЦБКЫЕК ФПЮЛЙ ЛБУБОЙС У ЧРЙУБООПК ПЛТХЦОПУФША ТБЧОП ТБЪОПУФЙ РПМХРЕТЙНЕФТБ Й РТПФЙЧПМЕЦБЭЕК УФПТПОЩ.

тЕЫЕОЙЕ

рХУФШ K — ФПЮЛБ ЛБУБОЙС ПЛТХЦОПУФЙ, ЧРЙУБООПК Ч ФТЕХЗПМШОЙЛ ABC , УП УФПТПОПК AB ( AB = 10, AC = 12, BC = 6).

еУМЙ p — РПМХРЕТЙНЕФТ ФТЕХЗПМШОЙЛБ, ФП

Б ДМЙОБ ПФТЕЪЛБ AK ТБЧОБ РПМХРЕТЙНЕФТХ ПФУЕЮЈООПЗП ФТЕХЗПМШОЙЛБ.

🎦 Видео

Отрезки касательных из одной точки до точек касания окружности равны | Окружность | ГеометрияСкачать

Отрезки касательных из одной точки до точек касания окружности равны | Окружность |  Геометрия

#2str. Счет отрезковСкачать

#2str. Счет отрезков

Треугольник. Вписанная окружностьСкачать

Треугольник. Вписанная окружность

Разбор Задачи №16 из Варианта Ларина №282Скачать

Разбор Задачи №16 из Варианта Ларина №282

Вписанная окружность 1Скачать

Вписанная окружность 1

8 класс, 38 урок, Вписанная окружностьСкачать

8 класс, 38 урок, Вписанная окружность

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

ЕГЭ 2021 Математика. Метод площадей. Теорема Чевы. Вневписанная окружностьСкачать

ЕГЭ 2021 Математика. Метод площадей. Теорема Чевы. Вневписанная окружность

#7str. Как использовать инверсию?Скачать

#7str. Как использовать инверсию?

✓ Как вневписанная окружность Герону помогла | Ботай со мной #083 | Борис ТрушинСкачать

✓ Как вневписанная окружность Герону помогла | Ботай со мной #083 | Борис Трушин

Вневписанная окружность | Теоремы об окружностях - 3Скачать

Вневписанная окружность | Теоремы об окружностях - 3
Поделиться или сохранить к себе: