Расположение четвертей в окружности

Четверть числовой окружности

Если посмотреть на числовую окружность , то можно заметить, что оси абсцисс и ординат разбивают ее на четыре части. Эти части называют четвертями и нумеруют в том порядке как их проходят, двигаясь в положительном направлении (против часовой стрелки).

Расположение четвертей в окружности

(() (frac) (;2π)) — четвертая четверть

Видео:Как искать точки на тригонометрической окружности.Скачать

Как искать точки на тригонометрической окружности.

Почему так важно определять какой четверти принадлежит угол?

Дело в том, что каждая четверть уникальна в плане знаков тригонометрических функций .

Например, для любого угла из второй четверти — синус положителен, а косинус , тангенс и котангенс отрицательны. А для любого угла из первой четверти — все четыре функции будут положительны.

Расположение четвертей в окружности

Теперь давайте рассмотрим пример задачи, которую не решить без использования знаний про четверти.

Пример (ЕГЭ):

Нам известен косинус, а найти нужно синус того же угла. Какая тригонометрическая формула связывает синус и косинус того же угла?
Основное тригонометрическое тождество. Запишем его.

Подставим известное, и проведем вычисления.

Видео:10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

10 класс, 11 урок, Числовая окружность

Про непостоянство четвертей:

Важно понимать, что, например, первой четверти принадлежат не только углы от (0) до (frac) , но и углы от (2π) до (frac) , и от (4π) до (frac) , и от (6π) до (frac) и так далее. Ведь как только мы заканчиваем полный оборот – кончается четвертая четверть и опять начинается первая.

Кроме того, нужно помнить, что углы могут откладываться в отрицательную сторону (по часовой стрелке), и тогда мы попадем в первую четверть только в конце круга. Ведь сначала мы пройдем четвертую четверть, потом в третью и т.д.

Расположение четвертей в окружности

((0;-) (frac) ()) — четвертая четверть

Ну и, конечно, мы можем в отрицательную сторону делать обороты, так же как и в положительную.

Видео:Тригонометрическая окружность. Как выучить?Скачать

Тригонометрическая окружность. Как выучить?

Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке

Тригонометрический круг — это самый простой способ начать осваивать тригонометрию. Он легко запоминается, и на нём есть всё необходимое.
Тригонометрический круг заменяет десяток таблиц.

  • Расположение четвертей в окружности

Вот что мы видим на этом рисунке:

  • Перевод градусов в радианы и наоборот. Полный круг содержит градусов, или радиан.
  • Значения синусов и косинусов основных углов. Помним, что значение косинуса угла мы находим на оси , а значение синуса — на оси .
  • И синус, и косинус принимают значения от до .
  • Значение тангенса угла тоже легко найти — поделив на . А чтобы найти котангенс — наоборот, косинус делим на синус.
  • Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
  • Синус — функция нечётная, косинус — чётная.
  • Тригонометрический круг поможет увидеть, что синус и косинус — функции периодические. Период равен .
  • Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

    Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

    А теперь подробно о тригонометрическом круге:

    Нарисована единичная окружность — то есть окружность с радиусом, равным единице, и с центром в начале системы координат. Той самой системы координат с осями и , в которой мы привыкли рисовать графики функций.

    Мы отсчитываем углы от положительного направления оси против часовой стрелки.

    Полный круг — градусов.
    Точка с координатами соответствует углу ноль градусов. Точка с координатами отвечает углу в , точка с координатами — углу в . Каждому углу от нуля до градусов соответствует точка на единичной окружности.

    Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

    Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

    Всё это легко увидеть на нашем рисунке.

    Итак, косинус и синус — координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус — абсцисса , синус — ордината . Поскольку окружность единичная, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от до :

    Простым следствием теоремы Пифагора является основное тригонометрическое тождество:

    Для того, чтобы узнать знаки синуса и косинуса какого-либо угла, не нужно рисовать отдельных таблиц. Всё уже нарисовано! Находим на нашей окружности точку, соответствующую данному углу , смотрим, положительны или отрицательны ее координаты по (это косинус угла ) и по (это синус угла ).

    Принято использовать две единицы измерения углов: градусы и радианы. Перевести градусы в радианы просто: градусов, то есть полный круг, соответствует радиан. На нашем рисунке подписаны и градусы, и радианы.

    Если отсчитывать угол от нуля против часовой стрелки — он положительный. Если отсчитывать по часовой стрелке — угол будет отрицательным. Например, угол — это угол величиной в , который отложили от положительного направления оси по часовой стрелке.

    Легко заметить, что

    Углы могут быть и больше градусов. Например, угол — это два полных оборота по часовой стрелке и еще . Поскольку, сделав несколько полных оборотов по окружности, мы возвращаемся в ту же точку с теми же координатами по и по , значения синуса и косинуса повторяются через . То есть:

    где — целое число. То же самое можно записать в радианах:

    Можно на том же рисунке изобразить ещё и оси тангенсов и котангенсов, но проще посчитать их значения. По определению,

    Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

    Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

    Тригонометрический круг со всеми значениями

    Расположение четвертей в окружности

    Тригонометрический круг один из основных элементов геометрии для решения уравнений с синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом.

    Каково определение данного термина, как строить данный круг, как определить четверть в тригонометрии, как узнать углы в построенном тригонометрическом круге — об этом и многом другом расскажем далее.

    Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

    Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.

    Тригонометрическая окружность

    Тригонометрическим видом числовой окружности в математике является круг, имеющий одинарный радиус с центром в начале координатной плоскости. Как правило, она образована пространством из формул синуса с косинусом, тангенсом и котангенсом на системе координат.

    Расположение четвертей в окружности

    Назначение такой сферы с n-мерным пространством в том, что благодаря ей могут быть описаны тригонометрические функции. Выглядит она просто: круг, внутри которого находится система координат и множественные прямоугольного вида треугольники, образованные из этой окружности по тригонометрическим функциям.

    Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ - Единичная Окружность // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

    ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ - Единичная Окружность // Подготовка к ЕГЭ по Математике

    Что такое синус, косинус, тангенс, котангенс в прямоугольном треугольнике

    Прямоугольный вид треугольника — это тот, у которого один из углов равен 90°. Он образован катетами и гипотенузой со всеми значениями тригонометрии. Катеты две стороны треугольника, которые прилегают к углу 90°, а третья гипотенуза, она всегда длиннее катетов.

    Расположение четвертей в окружности

    Синусом называется отношение одного из катетов к гипотенузе, косинусом отношение другого катета к ней, а тангенсом отношение двух катетов. Отношение символизирует деление. Также тангенсом является деление острого угла на синус с косинусом. Котангенсом является противоположное тангенсу отношение.

    Формулы последних двух отношений выглядят следующим образом: tg(a) = sin(a) / cos(a) и ctg(a) = cos(a) / sin(a).

    Видео:В какой четверти находится точка единичной окружности, полученная при повороте Ро(1;0) на угол...Скачать

    В какой четверти находится точка единичной окружности, полученная при повороте Ро(1;0) на угол...

    Построение единичной окружности

    Построение единичной окружности сводится к ее прорисовке с единичным радиусом в центре системы координат. Затем для построения нужно отсчитать углы и, двигаясь против часовой стрелки, обойти по целому кругу, проставляя соответствующие им линии координаты.

    Расположение четвертей в окружности

    Начинается построение после черчения круга и установки точки в его центре с размещения системы координат ОХ. Точкой О сверху оси координат является синус, а Х косинус. Соответственно они являются абсциссой и ординатой. Затем нужно провести измерения ∠. Они проводятся градусами и радианами.

    Сделать перевод этих показателей просто полный круг равен двум пи радиан. Угол от нуля против часовой стрелки идет со знаком +, а ∠ от 0 по часовой стрелке со знаком -. Положительные и отрицательные значения синуса с косинусом повторяются каждый оборот круга.

    Видео:начертить окружность. Привести уравнение окружности к стандартному виду. Координаты центра и радиус.Скачать

    начертить окружность. Привести уравнение окружности к стандартному виду. Координаты центра и радиус.

    Углы на тригонометрическом круге

    Для того, чтобы освоить теорию тригонометрической окружности, нужно понять, как считаются ∠ на ней, и в чем они измеряются. Считаются они очень просто.

    Расположение четвертей в окружности

    Окружность делится системой координат на четыре части. Каждая часть образует ∠ 90°. Половина от этих углов равняется 45 градусам. Соответственно две доли окружности равняются 180°, а три 360°. Как пользоваться этой информацией?

    Если требуется решить задачу по нахождению ∠, прибегают к теоремам о треугольниках и основным Пифагоровым законам, связанных с ними.

    Измеряются углы в радианах:

    • от 0 до 90° значения углов от 0 до ∏/2,
    • от 90 до 180° значения углов от ∏/2 до ∏,
    • от 180 до 270° от ∏ до 3*∏/2,
    • последняя четверть от 2700 до 3600 — значения от 3*∏/2 до 2*∏.

    Расположение четвертей в окружности

    Чтобы узнать конкретное измерение, перевести радианы в градусы или наоборот, следует прибегнуть к таблице-шпаргалке.

    Видео:Как найти координаты точек на тригонометрической окружностиСкачать

    Как найти координаты точек на тригонометрической окружности

    Перевод углов из градусов в радианы

    Углы возможно измерить в градусах либо радианах. Требуется осознавать связь между обоими значениями. Эта взаимосвязь выражена в тригонометрии с помощью специальной формулы. Благодаря пониманию связи, можно научиться оперативным образом управлять углами и переходить от градусов к радианам обратно.

    Для того чтобы точно узнать, чему равен один радиан, можно воспользоваться следующей формулой:

    1 рад. = 180 / ∏ = 180 / 3,1416 = 57,2956

    В конечном итоге, 1 радиан равен 57°, а в 1 градусе 0,0175 радиан:

    1 градус = (∏ /180) рад. = 3,1416 / 180 рад. = 0,0175 рад.

    Расположение четвертей в окружности

    Видео:✓ Всё, что нужно знать про окружность | ЕГЭ. Задания 1 и 16. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать

    ✓ Всё, что нужно знать про окружность | ЕГЭ. Задания 1 и 16. Профильный уровень | Борис Трушин

    Косинус, синус, тангенс, котангенс на тригонометрической окружности

    Косинус с синусом, тангенсом и котангенсом на тригонометрической окружности функции углов альфа от 0 до 360 градусов. Каждая функция обладает положительным или отрицательным значением в зависимости от того, какая величина у угла. Они символизируют отношения к прямоугольным треугольникам, образованным в круге.

    Расположение четвертей в окружности

    Расположение четвертей в окружности

    Расположение четвертей в окружности

    Расположение четвертей в окружности

    Видео:Радианная Мера Угла - Как Переводить Градусы в Радианы // Урок Алгебры 10 классСкачать

    Радианная Мера Угла - Как Переводить Градусы в Радианы // Урок Алгебры 10 класс

    Заключение

    В целом, тригонометрическая окружность – единичная окружность, необходимая для решения соответствующих задач и описания функций. Она состоит из многих составляющих, запомнить которые нужно обязательно для правильного решения последующих задач.

    🔍 Видео

    Соответствие чисел точкам числовой окружностиСкачать

    Соответствие чисел точкам числовой окружности

    Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и ОкружностьСкачать

    Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и Окружность

    Числовая окружностьСкачать

    Числовая окружность

    Аксонометрические Проекции Окружности #черчение #окружность #проекции #изометрияСкачать

    Аксонометрические Проекции Окружности  #черчение #окружность #проекции #изометрия

    1. Числовая окружность. 10 классСкачать

    1. Числовая окружность. 10 класс

    ВСЁ ПРО ГРАФИКИ ЕГЭ 2024 (Прямая, Парабола, Окружность, Модуль, Гипербола, Корень, Области, Сдвиги)Скачать

    ВСЁ ПРО ГРАФИКИ ЕГЭ 2024 (Прямая, Парабола, Окружность, Модуль, Гипербола, Корень, Области, Сдвиги)

    46 Где расположены на единичной окружности точки π/3,π/6 и другиеСкачать

    46 Где расположены на единичной окружности точки π/3,π/6 и другие

    Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

    Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика
    Поделиться или сохранить к себе: