Расчет треугольника по тангенсу

Треугольник. Расчет сторон прямоугольного треугольника через тригонометрические функции.

Проанализируем прямоугольный треугольник ABC в котором обозначим катеты как а, b и гипотенузу как с соответственно.

Расчет треугольника по тангенсу

Вполне логично сделать вывод, будут верны следующие равенства:

Значит катет прямоугольного треугольника допускается представить как произведение гипотенузы и синуса угла, противолежащего этому катету, либо и косинуса угла, прилежащего к нему.

На основе этих соотношений так же можно определить гипотенузу прямоугольного треугольника:

Иначе говоря, гипотенуза будет частным от деления катета либо на синус противолежащего к нему угла, либо на косинус прилежащего к катету угла.

Значит, катет прямоугольного треугольника допускается представить как произведением другого катета на тангенс угла, противолежащего первому катету, либо на котангенс угла, прилежащего к первому катету.

Содержание
  1. Углы прямоугольного треугольника
  2. Калькулятор расчёта углов прямоугольного треугольника
  3. Формула тангенса
  4. Углы треугольника
  5. Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления
  6. Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике
  7. Теорема Пифагора
  8. Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника
  9. Решение прямоугольных треугольников
  10. Пример №1
  11. Пример №2
  12. Пример №3
  13. Пример №4
  14. Четырехугольник, его элементы. Сумма углов четырехугольника
  15. Пример №5
  16. Пример №6
  17. Пример №7
  18. Пример №8
  19. Пример №9
  20. Пример №10
  21. Пример №11
  22. Перпендикуляр и наклонная, их свойства
  23. Пример №12
  24. Пример №13
  25. Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника. Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике
  26. Пример №14
  27. Пример №15
  28. Пример №16
  29. Пример №17
  30. Вычисление прямоугольных треугольников
  31. Решение прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу
  32. Решение прямоугольных треугольников по катету и острому углу
  33. Решение прямоугольных треугольников по двум катетам
  34. Решение прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе
  35. Определение прямоугольных треугольников
  36. Синус, косинус и тангенс
  37. Пример №18
  38. Тригонометрические тождества
  39. Пример №19
  40. Вычисление значений тригонометрических функций. Формулы дополнения
  41. Значения тригонометрических функций углов 30 45 60
  42. Решение прямоугольных треугольников
  43. Нахождение неизвестных сторон прямоугольного треугольника
  44. Пример №20
  45. Примеры решения прямоугольных треугольников
  46. Пример №21
  47. Пример №22
  48. Пример №23
  49. Пример №24
  50. Пример №25
  51. Пример №26
  52. Историческая справка
  53. Приложения
  54. Теорема (обобщенная теорема Фалеса)
  55. Теорема (формула площади прямоугольника)
  56. Золотое сечение
  57. Пример №27
  58. Пример №28
  59. Пример №29
  60. Вычисление значений sin a, cos а и tg а
  61. Пример №31
  62. Как решать прямоугольные треугольники
  63. Пример №32
  64. Пример №33
  65. Пример №34
  66. Пример №35
  67. Пример №36
  68. Пример №37
  69. 📹 Видео

Видео:Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТСкачать

Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТ

Углы прямоугольного треугольника

Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ | Синус, Косинус, Тангенс, КотангенсСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ | Синус, Косинус, Тангенс, Котангенс

Калькулятор расчёта углов прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник — это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками соединяющихся тремя точками, у которой все углы внутренние, при этом один из углов прямой (равен 90°).

Тангенс угла tg(α) — это тригонометрическая функция выражающая отношение противолежащего катета a к прилежащему катету b.

Формула тангенса

  • tg α — тангенс угла α
  • a — противолежащий катет
  • b — прилежащий катет

Арктангенс — это обратная тригонометрическая функция. Арктангенсом числа x называется такое значение угла α, выраженное в радианах, для которого tg α = x . Вычислить арктангенс, означает найти угол α, тангенс которого равен числу x.

Видео:Как видеть тангенс? Тангенс угла с помощью единичного круга.Скачать

Как видеть тангенс? Тангенс угла с помощью единичного круга.

Углы треугольника

Сумма углов треугольника всегда равна 180 градусов:

Так как у прямоугольного треугольника один из углов равен 90°, то сумма двух других углов равна 90°.

Поэтому, если известен один из острых углов треугольника, второй угол можно посчитать по формуле:

Острый угол — угол, значение которого меньше 90°.

У прямоугольного треугольника один угол прямой, а два других угла — острые.

Видео:ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать

ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | Математика

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Содержание:

В этой лекции вы ознакомитесь со знаменитой теоремой Пифагора. Вы научитесь по известным сторонам и углам прямоугольного треугольника находить его неизвестные стороны и углы.

Видео:Нахождение стороны прямоугольного треугольникаСкачать

Нахождение стороны прямоугольного треугольника

Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике

На рисунке 173 отрезок CD — высота прямоугольного треугольника ABC Расчет треугольника по тангенсу

Расчет треугольника по тангенсу

Отрезки AD и DB называют проекциями катетов АС и СВ соответственно на гипотенузу.

Лемма. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе делит треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.

Докажите лемму самостоятельно.

Теорема 15.1. Квадрат высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, равен произведению проекций катетов на гипотенузу. Квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

Доказательство. На рисунке 173 отрезок CD — высота прямоугольного треугольника ABC Расчет треугольника по тангенсу

Докажем, что Расчет треугольника по тангенсу

  • Поскольку Расчет треугольника по тангенсуОтсюда Расчет треугольника по тангенсу
  • Поскольку Расчет треугольника по тангенсуОтсюда Расчет треугольника по тангенсу
  • Поскольку Расчет треугольника по тангенсуОтсюда Расчет треугольника по тангенсу

Если длины отрезков на рисунке 173 обозначить так:

АС = Ь, Расчет треугольника по тангенсуто доказанные соотношения принимают вид:
Расчет треугольника по тангенсу
Эти равенства называют метрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике.

Пример:

Даны два отрезка, длины которых равны а и b (рис. 174). Постройте третий отрезок, длина которого равна Расчет треугольника по тангенсу

Расчет треугольника по тангенсу

Решение:

Рассмотрим треугольник ADC Расчет треугольника по тангенсув котором отрезок DB является высотой (рис. 175). Имеем: Расчет треугольника по тангенсуЕсли обозначить Расчет треугольника по тангенсу

Расчет треугольника по тангенсу

Проведенный анализ показывает, как провести построение.

На произвольной прямой отметим точку А и отложим последовательно отрезки АВ и ВС так, чтобы АВ = а, ВС = b. Построим окружность с диаметром АС. Через точку В проведем прямую, перпендикулярную прямой АС (рис. 175).

Докажем, что отрезок DB искомый. Действительно, Расчет треугольника по тангенсукак вписанный угол, опирающийся на диаметр АС. Тогда по теореме 15.1 Расчет треугольника по тангенсу

Видео:Как просто запомнить, что такое sin, cos, tg?! #косинус #синус #тангенс #математика #огэ #егэСкачать

Как просто запомнить, что такое sin, cos, tg?! #косинус #синус #тангенс #математика #огэ #егэ

Теорема Пифагора

Теорема 16.1 (теорема Пифагора). В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Доказательство. На рисунке 176 изображен прямоугольный треугольник ABC Расчет треугольника по тангенсуДокажем, что Расчет треугольника по тангенсу
Проведем высоту CD. Применив теорему 15.1 для катетов АС и ВС, получаем:
Расчет треугольника по тангенсуСложив почленно эти равенства, получим:
Расчет треугольника по тангенсу

Далее имеем: Расчет треугольника по тангенсу

Если в прямоугольном треугольнике длины катетов равны а и b, а длина гипотенузы равна с, то теорему Пифагора можно выразить следующим равенством: Расчет треугольника по тангенсу

Теорема Пифагора позволяет по двум сторонам прямоугольного треугольника найти его третью сторону:

Расчет треугольника по тангенсу

Из равенства Расчет треугольника по тангенсутакже следует, что Расчет треугольника по тангенсуотсюда Расчет треугольника по тангенсуто есть гипотенуза больше любого из катетов 1 .

1 Другим способом этот факт был установлен в курсе геометрии 7 класса.

Пифагор:

Вы изучили знаменитую теорему, которая носит имя выдающегося древнегреческого ученого Пифагора.

Исследования древних текстов свидетельствуют о том, что утверждение этой теоремы было известно задолго до Пифагора. Почему же ее приписывают Пифагору? Скорее всего потому, что именно Пифагор нашел доказательство этого утверждения.

Расчет треугольника по тангенсу

О жизни Пифагора мало что известно достоверно. Он родился на греческом острове Самос. По преданиям, он много путешествовал, приобретая знания и мудрость.

Поселившись в греческой колонии Кротон (на юге Италии), он окружил себя преданными учениками и единомышленниками. Так возник пифагорейский союз (или кротонское братство). Влияние этого союза было столь велико, что даже спустя столетия после смерти Пифагора многие выдающиеся математики Древнего мира Пифагор называли себя пифагорейцами.

Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника

На рисунке 180 изображен прямоугольный треугольник АВС Расчет треугольника по тангенсуНапомним, что катет ВС называют противолежащим углу А, а катет АС — прилежащим к этому углу.

Определение. Синусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Синус угла А обозначают так: sin А (читают: «синус А»). Для острых углов А и В прямоугольного треугольника АВС имеем:
Расчет треугольника по тангенсу
Для прямоугольного треугольника, изображенного на рисунке 181, можно записать: Расчет треугольника по тангенсу

Расчет треугольника по тангенсу

Рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник АВС Расчет треугольника по тангенсув котором АС = ВС = а (рис. 182).

Имеем: Расчет треугольника по тангенсу
По определению Расчет треугольника по тангенсуотсюда Расчет треугольника по тангенсуВидим, что синус острого угла прямоугольного равнобедренного треугольника не зависит от размеров треугольника, так как полученное значение синуса одинаково для всех значений а. Поскольку Расчет треугольника по тангенсуЭту запись не связывают с конкретным прямоугольным равнобедренным треугольником.

Вообще, если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны.

Действительно, эти прямоугольные треугольники подобны по первому признаку подобия треугольников. Поэтому отношение катета к гипотенузе одного треугольника равно отношению соответственного катета к гипотенузе другого треугольника.

Например, запись sin 17° можно отнести ко всем углам, градусные меры которых равны 17°. Значение этого синуса можно вычислить один раз, выбрав произвольный прямоугольный треугольник с острым углом 17°.
Следовательно, синус острого угла зависит только от величины этого угла.

Определение. Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Косинус угла А обозначают так: cos А (читают: «косинус А»).
Для острых углов А и В прямоугольного треугольника АВС (рис. 180) можно записать: Расчет треугольника по тангенсу

Отметим, что катет прямоугольного треугольника меньше его гипотенузы, а поэтому синус и косинус острого угла меньше 1.

Определение. Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к прилежащему.

Тангенс угла А обозначают так: tg А (читают: «тангенс А»).
Для острых углов А и В прямоугольного треугольника АВС (рис. 180) можно записать:
Расчет треугольника по тангенсу

Определение. Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего катета к противолежащему.

Котангенс угла А обозначают так: ctg А (читают: «котангенс А»). Для острых углов А и В прямоугольного треугольника АВС (рис. 180) можно записать:
Расчет треугольника по тангенсу
Для прямоугольного треугольника, изображенного на рисунке 181, записывают: Расчет треугольника по тангенсуРасчет треугольника по тангенсу

Как было установлено, синус угла зависит только от величины угла. Рассуждая аналогично, можно прийти к следующему выводу: косинус, тангенс и котангенс острого угла зависят только от величины этого угла.

Вообще, каждому острому углу а соответствует единственное число — значение синуса (косинуса, тангенса, котангенса) этого угла. Поэтому зависимость значения синуса (косинуса, тангенса, котангенса) острого угла от величины этого угла является функциональной. Функцию, соответствующую этой зависимости, называют тригонометрической. Так, Расчет треугольника по тангенсу Расчет треугольника по тангенсу— тригонометрические функции, аргументами которых являются острые углы.

С древних времен люди составляли таблицы приближенных значений тригонометрических функции с некоторым шагом, один раз вычисляя значения тригонометрических функций для конкретного аргумента. Затем эти таблицы широко использовались во многих областях науки и техники.

В наше время значения тригонометрических функций острых углов удобно находить с помощью микрокалькулятора.

Тангенс и котангенс острого угла можно выразить через синус и косинус этого же угла. Рассмотрим прямоугольный треугольник (рис. 181).

Запишем: Расчет треугольника по тангенсуСледовательно, получаем такие формулы: Расчет треугольника по тангенсу

Заметим, что тангенс и котангенс одного и того же острого угла являются взаимно обратными числами, то есть имеет место равенство:

Расчет треугольника по тангенсу

По теореме Пифагора Расчет треугольника по тангенсуОбе части этого равенства делим на Расчет треугольника по тангенсуИмеем: Расчет треугольника по тангенсуУчитывая, что Расчет треугольника по тангенсу Расчет треугольника по тангенсуполучим: Расчет треугольника по тангенсу

Принято записывать: Расчет треугольника по тангенсу

Отсюда имеем: Расчет треугольника по тангенсу
Эту формулу называют основным тригонометрическим тождеством.

Отметим, что Расчет треугольника по тангенсуРасчет треугольника по тангенсуПоскольку Расчет треугольника по тангенсуто получаем такие формулы:

Расчет треугольника по тангенсу

Мы уже знаем, что Расчет треугольника по тангенсуНайдем теперь cos 45°, tg 45° и ctg 45°.

Имеем: Расчет треугольника по тангенсу

Найдем синус, косинус, тангенс и котангенс углов 30° и 60°. Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, в котором Расчет треугольника по тангенсу(рис. 183).

Расчет треугольника по тангенсу

Пусть ВС = а. Тогда по свойству катета, лежащего против угла 30°, получаем, что АВ = 2а. Из теоремы Пифагора следует, что Расчет треугольника по тангенсу

Имеем: Расчет треугольника по тангенсу
Отсюда находим: Расчет треугольника по тангенсуРасчет треугольника по тангенсу

Поскольку 60° = 90° — 30°, то получаем:
Расчет треугольника по тангенсу

Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов 30°, 45° и 60° полезно запомнить.

Расчет треугольника по тангенсу

Решение прямоугольных треугольников

На рисунке 185 изображен прямоугольный треугольник с острыми углами Расчет треугольника по тангенсукатеты которого равны а и b, а гипотенуза равна с.
По определению синуса острого угла прямоугольного треугольника Расчет треугольника по тангенсу

Отсюда Расчет треугольника по тангенсу

Следовательно, катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на синус угла, противолежащего этому катету.

По определению косинуса острого угла прямоугольного треугольника Расчет треугольника по тангенсуОтсюда Расчет треугольника по тангенсу

Следовательно, катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на косинус угла, прилежащего к этому катету.

Расчет треугольника по тангенсу

По определению тангенса острого угла прямоугольного треугольника Расчет треугольника по тангенсуОтсюда Расчет треугольника по тангенсу

Следовательно, катет прямоугольного треугольника равен произведению второго катета на тангенс угла, противолежащего первому катету.

По определению котангенса острого угла прямоугольного треугольника Расчет треугольника по тангенсуОтсюда Расчет треугольника по тангенсу
Следовательно, катет прямоугольного треугольника равен произведению второго катета на котангенс угла, прилежащего к первому катету.
Из равенств Расчет треугольника по тангенсуполучаем: Расчет треугольника по тангенсу
Следовательно, гипотенуза прямоугольного треугольника равна частному от деления катета на синус противолежащего ему угла;

  • гипотенуза прямоугольного треугольника равна частному от деления катета на косинус прилежащего к нему угла.

Решить прямоугольный треугольник означает найти его стороны и углы по известным сторонам и углам.

Приведенные выше правила позволяют решать прямоугольный треугольник по одной стороне и одному острому углу.

В задачах на решение прямоугольных треугольников, если не обусловлено иначе, приняты такие обозначения (см. рис. 185): с — гипотенуза, а и b — катеты, Расчет треугольника по тангенсу— углы, противолежащие катетам а и b соответственно.

Пример №1

Решите прямоугольный треугольник по катету и острому углу: a = 14 см, Расчет треугольника по тангенсу= 38°. (Значения тригонометрических функций найдите с помощью микрокалькулятора и округлите их до сотых. Значения длин сторон округлите до десятых.)

Решение:

Расчет треугольника по тангенсу
Ответ: Расчет треугольника по тангенсу

Отметим, что эту задачу можно было решить и другим способом: например, найти гипотенузу, используя теорему Пифагора.

Пример №2

Решите прямоугольный треугольник по катету и гипотенузе:

a = 26 см, с = 34 см.

Решение:

Имеем: Расчет треугольника по тангенсу

Вычисляем угол Расчет треугольника по тангенсус помощью микрокалькулятора: Расчет треугольника по тангенсуТогда Расчет треугольника по тангенсу
Расчет треугольника по тангенсу
Ответ: Расчет треугольника по тангенсу

Пример №3

Высота AD треугольника АВС (рис. 186) делит его сторону ВС на отрезки BD и CD такие, что Расчет треугольника по тангенсуНайдите стороны АВ и АС, если Расчет треугольника по тангенсу

Решение:

Из треугольника Расчет треугольника по тангенсуполучаем:
Расчет треугольника по тангенсу

Из треугольника Расчет треугольника по тангенсуполучаем:Расчет треугольника по тангенсу
Ответ: Расчет треугольника по тангенсу

Расчет треугольника по тангенсу

Пример №4

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна b, угол при основании равен Расчет треугольника по тангенсуНайдите радиус окружности, вписанной в треугольник.

Решение:

В треугольнике АВС (рис. 187) Расчет треугольника по тангенсу

Проведем высоту BD.

Из треугольника Расчет треугольника по тангенсуполучаем: Расчет треугольника по тангенсу

Точка О — центр окружности, вписанной в треугольник АВС. Следовательно, точка О принадлежит высоте ВD и биссектрисе АО угла ВАС. Поскольку Расчет треугольника по тангенсуто вписанная окружность касается стороны АС в точке D. Таким образом, OD — радиус вписанной окружности. Отрезок АО — биссектриса угла BAD, поэтому
Расчет треугольника по тангенсу

Из треугольника Расчет треугольника по тангенсуполучаем: Расчет треугольника по тангенсу

Ответ: Расчет треугольника по тангенсу

Напомню:

Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике

  • Квадрат высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, равен произведению проекций катетов на гипотенузу.
  • Квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

Теорема Пифагора

  • В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Синус острого угла прямоугольного треугольника

  • Синусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинус острого угла прямоугольного треугольника

  • Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника

  • Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенс острого угла прямоугольного треугольника

  • Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего катета к противолежащему.

Тригонометрические формулы

Расчет треугольника по тангенсу

Расчет треугольника по тангенсу— основное тригонометрическое тождество

Расчет треугольника по тангенсу

Соотношения между сторонами и значениями тригонометрических функций углов в прямоугольном треугольнике

  • Катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на синус угла, противолежащего этому катету.
  • Катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на косинус угла, прилежащего к этому катету.
  • Катет прямоугольного треугольника равен произведению второго катета на тангенс угла, противолежащего первому катет>г.
  • Катет прямоугольного треугольника равен произведению второго катета на котангенс угла, прилежащего к первому’ катету.
  • Гипотенуза прямоугольного треугольника равна частному от деления катета на синус противолежащего ему угла.
  • Гипотенуза прямоугольного треугольника равна частному от деления катета на косинус прилежащего к нему угла.

Четырехугольник, его элементы. Сумма углов четырехугольника

Рассмотрим одну из важнейших теорем геометрии, которая показывает зависимость между катетами и гипотенузой прямоугольного треугольника.

Теорема 1 (теорема Пифагора). В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

На сегодняшний день известны более ста доказательств этой теоремы. Рассмотрим одно из них.

Доказательство:

Пусть Расчет треугольника по тангенсу-данный прямоугольный треугольник, у которого Расчет треугольника по тангенсу(рис. 172). Докажем, что

Расчет треугольника по тангенсу

Расчет треугольника по тангенсу

1) Проведем высоту Расчет треугольника по тангенсу
2) По теореме о средних пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике имеем:

Расчет треугольника по тангенсуи Расчет треугольника по тангенсу

3) Сложим эти два равенства почленно. Учитывая, что Расчет треугольника по тангенсуполучим:

Расчет треугольника по тангенсу

4) Следовательно, Расчет треугольника по тангенсу

Расчет треугольника по тангенсу

Если в треугольнике Расчет треугольника по тангенсуобозначить Расчет треугольника по тангенсу(рис. 173), то теорему Пифагора можно записать формулой:

Расчет треугольника по тангенсу

Таким образом, зная две стороны прямоугольного треугольника, с помощью теоремы Пифагора можно найти третью. В этом нам поможет следующая схема:

Расчет треугольника по тангенсу

Пример №5

Катеты прямоугольного треугольника равны 7 см и 24 см. Найдите гипотенузу.

Решение:

Пусть Расчет треугольника по тангенсутогда Расчет треугольника по тангенсу

Расчет треугольника по тангенсу

Пример №6

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 17 см, а один из катетов — 15 см. Найдите второй катет.

Решение:

Пусть Расчет треугольника по тангенсутогда Расчет треугольника по тангенсу

Расчет треугольника по тангенсу

Пример №7

Найдите диагональ квадрата, сторона которого равнаРасчет треугольника по тангенсу

Решение:

Рассмотрим квадрат Расчет треугольника по тангенсуу которого Расчет треугольника по тангенсу(рис. 174). Тогда

Расчет треугольника по тангенсу

Ответ. Расчет треугольника по тангенсу

Расчет треугольника по тангенсу

Пример №8

Найдите медиану равностороннего треугольника со стороной Расчет треугольника по тангенсу

Решение:

Рассмотрим равносторонний треугольник Расчет треугольника по тангенсусо стороной Расчет треугольника по тангенсу— его медиана (рис. 175).

Расчет треугольника по тангенсу

Так как Расчет треугольника по тангенсу— медиана равностороннего треугольника, то она является и его высотой.

Из Расчет треугольника по тангенсуТогда

Расчет треугольника по тангенсу

Ответ: Расчет треугольника по тангенсу

Пример №9

Основания равнобокой трапеции равны 12 см и 22 см, а боковая сторона — 13 см. Найдите высоту трапеции.

Решение:

Пусть Расчет треугольника по тангенсу— данная трапеция, Расчет треугольника по тангенсу Расчет треугольника по тангенсу(рис. 176).

Расчет треугольника по тангенсу

1) Проведем высоты Расчет треугольника по тангенсуи Расчет треугольника по тангенсу

2) Расчет треугольника по тангенсу(по катету и гипотенузе), поэтому

Расчет треугольника по тангенсу

3) Из Расчет треугольника по тангенсупо теореме Пифагора имеем:

Расчет треугольника по тангенсу

Пример №10

Один из катетов прямоугольного треугольника равен 8 см, а второй на 2 см меньше гипотенузы. Найдите неизвестный катет треугольника.

Решение:

Пусть Расчет треугольника по тангенсусм и Расчет треугольника по тангенсусм- катеты треугольника, тогда Расчет треугольника по тангенсусм — его гипотенуза.

Так как по теореме Пифагора Расчет треугольника по тангенсуполучим уравнение: Расчет треугольника по тангенсуоткуда Расчет треугольника по тангенсу(см).

Следовательно, неизвестный катет равен 15 см.

Верно и утверждение, обратное теореме Пифагора.

Теорема 2 (обратная теореме Пифагора). Если для треугольника Расчет треугольника по тангенсусправедливо равенство Расчет треугольника по тангенсуто угол Расчет треугольника по тангенсуэтого треугольника — прямой.

Доказательство:

Пусть в треугольнике Расчет треугольника по тангенсу Расчет треугольника по тангенсуДокажем, что Расчет треугольника по тангенсу(рис. 177).

Рассмотрим Расчет треугольника по тангенсуу которого Расчет треугольника по тангенсуРасчет треугольника по тангенсуТогда по теореме Пифагора Расчет треугольника по тангенсуа следовательно, Расчет треугольника по тангенсу

Расчет треугольника по тангенсу

Но Расчет треугольника по тангенсупо условию, поэтому Расчет треугольника по тангенсуто есть Расчет треугольника по тангенсу

Таким образом, Расчет треугольника по тангенсу(по трем сторонам), откуда Расчет треугольника по тангенсу

Так как Расчет треугольника по тангенсуто треугольник со сторонами 3, 4 и 5 является прямоугольным. Такой треугольник часто называют египетским, потому что о том, что он прямоугольный, было известно еще древним египтянам.

Тройку целых чисел, удовлетворяющую теореме Пифагора, называют пифагоровой тройкой чисел, а треугольник, стороны которого равны этим числам, — пифагоровым треугольником. Например, пифагоровой является не только тройка чисел 3, 4, 5, но и 7, 24, 25 или 9, 40, 41 и т. п.

Заметим, что из теоремы Пифагора и теоремы, ей обратной, следует, что

треугольник является прямоугольным тогда и только тогда, когда квадрат наибольшей стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон.

Пример №11

Является ли прямоугольным треугольник со сторонами: 1) 6; 8; 10; 2) 5; 7; 9?

Решение:

1) Так как Расчет треугольника по тангенсуто треугольник является прямоугольным.

2) Так как Расчет треугольника по тангенсуто треугольник не является прямоугольным.

Ответ. 1) Да; 2) нет.

Теорема, названная в честь древнегреческого философа и математика Пифагора, была известна задолго до него. В текстах давних вавилонян о ней вспоминалось еще за 1200 лет до Пифагора. Скорее всего, доказывать эту теорему вавилоняне не умели, а зависимость между катетами и гипотенузой прямоугольного треугольника установили опытным путем. Также эта теорема была известна в Древнем Египте и Китае.

Расчет треугольника по тангенсу

Считается, что Пифагор — первый, кто предложил строгое доказательство теоремы. Он сформулировал теорему так: «Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах». Именно в такой формулировке она и была доказана Пифагором.

Расчет треугольника по тангенсу

Рисунок к этому доказательству еще называют «пифагоровыми штанами».

Зная, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 является прямоугольным, землемеры Древнего Египта использовали его для построения прямого угла. Бечевку делили узлами на 12 равных частей и соединяли ее концы. Потом веревку растягивали и с помощью колышков фиксировали на земле в виде треугольника со сторонами 3; 4; 5. В результате угол, противолежащий стороне, длина которой 5, был прямым.

Расчет треугольника по тангенсу

Перпендикуляр и наклонная, их свойства

Пусть Расчет треугольника по тангенсуперпендикуляр, проведенный из точки Расчет треугольника по тангенсук прямой Расчет треугольника по тангенсу(рис. 185). Точку Расчет треугольника по тангенсуназывают основанием перпендикуляра Расчет треугольника по тангенсуПусть Расчет треугольника по тангенсу— произвольная точка прямой Расчет треугольника по тангенсуотличающаяся от Расчет треугольника по тангенсуОтрезок Расчет треугольника по тангенсуназывают наклонной, проведенной из точки Расчет треугольника по тангенсук прямой Расчет треугольника по тангенсуа точку Расчет треугольника по тангенсуоснованием наклонной. Отрезок Расчет треугольника по тангенсуназывают проекцией наклонной Расчет треугольника по тангенсуна прямую Расчет треугольника по тангенсу

Расчет треугольника по тангенсу

Рассмотрим свойства перпендикуляра и наклонной.

1. Перпендикуляр, проведенный из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведенной из этой точки к этой прямой.

Действительно, в прямоугольном треугольнике Расчет треугольника по тангенсу-катет, Расчет треугольника по тангенсу— гипотенуза (рис. 185). Поэтому Расчет треугольника по тангенсу

2. Если две наклонные, проведенные к прямой из одной точки, равны, то равны и их проекции.

Пусть из точки Расчет треугольника по тангенсук прямой Расчет треугольника по тангенсупроведены наклонные Расчет треугольника по тангенсуи Расчет треугольника по тангенсуи перпендикуляр Расчет треугольника по тангенсу(рис. 186). Тогда Расчет треугольника по тангенсу(по катету и гипотенузе), поэтому Расчет треугольника по тангенсу

Расчет треугольника по тангенсу

Верно и обратное утверждение.

3. Если проекции двух наклонных, проведенных из точки к прямой, равны, то равны и сами наклонные.

Расчет треугольника по тангенсу(по двум катетам), поэтому Расчет треугольника по тангенсу(рис. 186).

4. Из двух наклонных, проведенных из точки к прямой, большей является та, у которой больше проекция.

Пусть Расчет треугольника по тангенсуи Расчет треугольника по тангенсу— наклонные, Расчет треугольника по тангенсу(рис. 187). Тогда Расчет треугольника по тангенсу(из Расчет треугольника по тангенсу), Расчет треугольника по тангенсу(из Расчет треугольника по тангенсу). Но Расчет треугольника по тангенсупоэтому Расчет треугольника по тангенсуследовательно, Расчет треугольника по тангенсу

Свойство справедливо и в случае, когда точки Расчет треугольника по тангенсуи Расчет треугольника по тангенсулежат на прямой по одну сторону от точки Расчет треугольника по тангенсу

Верно и обратное утверждение.

5. Из двух наклонных, проведенных из точки к прямой, большая наклонная имеет большую проекцию.

Пусть Расчет треугольника по тангенсуи Расчет треугольника по тангенсу— наклонные, Расчет треугольника по тангенсу(рис. 187).

Расчет треугольника по тангенсу

Тогда Расчет треугольника по тангенсу(из Расчет треугольника по тангенсу),

Расчет треугольника по тангенсу(из Расчет треугольника по тангенсу). Но Расчет треугольника по тангенсупоэтому Расчет треугольника по тангенсуследовательно, Расчет треугольника по тангенсу

Пример №12

Из точки к прямой проведены две наклонные. Длина одной из них равна 10 см, а ее проекции — 6 см. Найдите длину второй наклонной, если она образует с прямой угол 30°.

Решение:

Пусть на рисунке 187 Расчет треугольника по тангенсу Расчет треугольника по тангенсуРасчет треугольника по тангенсу

1) Из Расчет треугольника по тангенсу(см).

2) Из Расчет треугольника по тангенсупо свойству катета, противолежащего углу 30°,

будем иметь: Расчет треугольника по тангенсу

Поэтому Расчет треугольника по тангенсу

Ответ. 16 см.

Пример №13

Из точки Расчет треугольника по тангенсупрямой проведены две наклонные, проекции которых равны 30 см и 9 см. Найдите длины наклонных, если их разность равна 9 см.

Решение:

Пусть на рисунке 187 Расчет треугольника по тангенсуПо свойству 4: Расчет треугольника по тангенсуОбозначим Расчет треугольника по тангенсусм. Тогда Расчет треугольника по тангенсусм.

Из Расчет треугольника по тангенсупоэтому Расчет треугольника по тангенсу

Из Расчет треугольника по тангенсупоэтому Расчет треугольника по тангенсу

Левые части полученных равенств равны, следовательно, равны и правые их части.

Имеем уравнение: Расчет треугольника по тангенсуоткуда Расчет треугольника по тангенсуСледовательно, Расчет треугольника по тангенсусм, Расчет треугольника по тангенсу(см).

Ответ. 41 см, 50 см.

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника. Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике

Рассмотрим прямоугольный треугольник Расчет треугольника по тангенсус прямым углом Расчет треугольника по тангенсу(рис. 190). Для острого угла Расчет треугольника по тангенсукатет Расчет треугольника по тангенсуявляется противолежащим катетом, а катет Расчет треугольника по тангенсу— прилежащим катетом. Для острого угла Расчет треугольника по тангенсукатет Расчет треугольника по тангенсуявляется противолежащим, а катет Расчет треугольника по тангенсу— прилежащим.

Расчет треугольника по тангенсу

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Синус угла Расчет треугольника по тангенсуобозначают так: Расчет треугольника по тангенсуСледовательно,

Расчет треугольника по тангенсу
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Косинус угла Расчет треугольника по тангенсуобозначают так: Расчет треугольника по тангенсуСледовательно,

Расчет треугольника по тангенсу

Так как катеты Расчет треугольника по тангенсуи Расчет треугольника по тангенсуменьше гипотенузы Расчет треугольника по тангенсуто синус и косинус острого угла прямоугольного треугольника меньше единицы.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к прилежащему.

Тангенс угла Расчет треугольника по тангенсуобозначают так: Расчет треугольника по тангенсуСледовательно,

Расчет треугольника по тангенсу

Докажем, что если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.

Рассмотрим прямоугольные треугольники Расчет треугольника по тангенсуи Расчет треугольника по тангенсуу которых Расчет треугольника по тангенсу(рис. 191). Тогда Расчет треугольника по тангенсу(по острому углу). Поэтому Расчет треугольника по тангенсу

Расчет треугольника по тангенсу

Из этого следует, что Расчет треугольника по тангенсуи поэтому Расчет треугольника по тангенсу

Аналогично Расчет треугольника по тангенсупоэтому Расчет треугольника по тангенсу

поэтому Расчет треугольника по тангенсу

Таким образом, приходим к выводу: синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника зависят только от градусной меры угла.

Из определений синуса, косинуса и тангенса угла получаем следующие соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.

1. Катет равен гипотенузе, умноженной на синус противолежащего ему угла или на косинус прилежащего: Расчет треугольника по тангенсуи Расчет треугольника по тангенсу
2. Гипотенуза равна катету, деленному на синус противолежащего ему угла или на косинус прилежащего:

Расчет треугольника по тангенсу

3. Катет, противолежащий углу Расчет треугольника по тангенсуравен произведению второго катета на тангенс этого угла: Расчет треугольника по тангенсу
4. Катет, прилежащий к углу Расчет треугольника по тангенсуравен частному от деления другого катета на тангенс этого угла: Расчет треугольника по тангенсу

Значения Расчет треугольника по тангенсуможно находить с помощью специальных таблиц, калькулятора или компьютера. Для вычислений используем клавиши калькулятора Расчет треугольника по тангенсуи Расчет треугольника по тангенсу(на некоторых калькуляторах Расчет треугольника по тангенсуПоследовательность вычислений у разных калькуляторов может быть разной. Поэтому советуем внимательно познакомиться с инструкцией к калькулятору.

Пример №14

В треугольнике Расчет треугольника по тангенсу Расчет треугольника по тангенсуНайдите Расчет треугольника по тангенсу

Решение:

Расчет треугольника по тангенсу(рис. 190). Расчет треугольника по тангенсу(см).

Пример №15

В треугольнике Расчет треугольника по тангенсуРасчет треугольника по тангенсуНайдите Расчет треугольника по тангенсу(с точностью до десятых сантиметра).

Решение:

Расчет треугольника по тангенсу(рис. 190). С помощью таблиц или калькулятора находим Расчет треугольника по тангенсуСледовательно, Расчет треугольника по тангенсу

Ответ. Расчет треугольника по тангенсу2,9 см.

С помощью таблиц, калькулятора или компьютера можно по данному значению Расчет треугольника по тангенсуили Расчет треугольника по тангенсунаходить угол Расчет треугольника по тангенсуДля вычислений используем клавиши калькулятора Расчет треугольника по тангенсу Расчет треугольника по тангенсуи Расчет треугольника по тангенсу

Пример №16

В треугольнике Расчет треугольника по тангенсу Расчет треугольника по тангенсу

Найдите острые углы треугольника.

Решение:

Расчет треугольника по тангенсу(рис. 190). С помощью калькулятора находим значение угла Расчет треугольника по тангенсув градусах: 51,34019. Представим его в градусах и минутах (в некоторых калькуляторах это возможно сделать с помощью специальной клавиши): Расчет треугольника по тангенсуТогда Расчет треугольника по тангенсу

Ответ. Расчет треугольника по тангенсу

Найдем синус, косинус и тангенс углов 30° и 60°. Рассмотрим Расчет треугольника по тангенсуу которого Расчет треугольника по тангенсуРасчет треугольника по тангенсу(рис. 192).

Расчет треугольника по тангенсу

Тогда по свойству катета, противолежащего углу 30°, Расчет треугольника по тангенсу

По теореме Пифагора:

Расчет треугольника по тангенсу

Расчет треугольника по тангенсуто есть Расчет треугольника по тангенсу

Расчет треугольника по тангенсуто есть Расчет треугольника по тангенсу

Расчет треугольника по тангенсуто есть Расчет треугольника по тангенсу

Расчет треугольника по тангенсуто есть Расчет треугольника по тангенсу

Расчет треугольника по тангенсуто есть Расчет треугольника по тангенсу

Расчет треугольника по тангенсуто есть Расчет треугольника по тангенсу

Найдем синус, косинус и тангенс угла 45°.

Рассмотрим Расчет треугольника по тангенсуу которого Расчет треугольника по тангенсу

Расчет треугольника по тангенсу(рис. 193). Тогда Расчет треугольника по тангенсуПо теореме Пифагора:

Расчет треугольника по тангенсу

Расчет треугольника по тангенсуто есть Расчет треугольника по тангенсу

Расчет треугольника по тангенсуто есть Расчет треугольника по тангенсу

Расчет треугольника по тангенсуто есть Расчет треугольника по тангенсу

Расчет треугольника по тангенсу

Систематизируем полученные данные в таблицу:

Расчет треугольника по тангенсу

Пример №17

Найдите высоту равнобедренного треугольника, проведенную к основанию, если основание равно 12 см, а угол при вершине треугольника равен 120°.

Решение:

Пусть Расчет треугольника по тангенсу— данный треугольник, Расчет треугольника по тангенсу Расчет треугольника по тангенсу(рис. 194).

Расчет треугольника по тангенсу

Проведем к основанию Расчет треугольника по тангенсувысоту Расчет треугольника по тангенсуявляющуюся также медианой и биссектрисой. Тогда

Расчет треугольника по тангенсу

Из Расчет треугольника по тангенсу

отсюда Расчет треугольника по тангенсу(см).

Ответ. Расчет треугольника по тангенсусм.

Вычисление прямоугольных треугольников

Решить треугольник — значит найти все неизвестные его стороны и углы по известным сторонам и углам.

Для того чтобы можно было решить прямоугольный треугольник, известными должны быть или две стороны треугольника или одна из сторон и один из острых углов треугольника.

Используя в прямоугольном треугольнике Расчет треугольника по тангенсуобозначение Расчет треугольника по тангенсу Расчет треугольника по тангенсу(рис. 198) и соотношение между его сторонами и углами:

Расчет треугольника по тангенсу

Расчет треугольника по тангенсу(теорема Пифагора);

Расчет треугольника по тангенсу

можно решить любой прямоугольный треугольник.

Расчет треугольника по тангенсу

Рассмотрим четыре вида задач на решение прямоугольных треугольников.

Образцы записи их решения в общем виде и примеры задач представлены в виде таблиц.

Решение прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу

Пример:

Дано гипотенузу Расчет треугольника по тангенсуи острый угол Расчет треугольника по тангенсупрямоугольного треугольника. Найдите второй острый угол треугольника и его катеты.

Расчет треугольника по тангенсу

Решение прямоугольных треугольников по катету и острому углу

Пример:

Дано катет Расчет треугольника по тангенсуи острый угол Расчет треугольника по тангенсупрямоугольного треугольника. Найдите второй острый угол треугольника, второй катет и гипотенузу.

Расчет треугольника по тангенсу

Решение прямоугольных треугольников по двум катетам

Пример:

Дано катеты Расчет треугольника по тангенсуи Расчет треугольника по тангенсупрямоугольного треугольника. Найдите гипотенузу и острые углы треугольника.

Расчет треугольника по тангенсу

Решение прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе

Пример:

Дано катет Расчет треугольника по тангенсуи гипотенуза Расчет треугольника по тангенсупрямоугольного треугольника. Найдите второй катет и острые углы треугольника.

Расчет треугольника по тангенсу

Пример:

Найдите высоту дерева Расчет треугольника по тангенсуоснование Расчет треугольника по тангенсукоторого является недоступным (рис. 199).

Решение:

Обозначим на прямой, проходящей через точку Расчет треугольника по тангенсу— основание дерева, точки Расчет треугольника по тангенсуи Расчет треугольника по тангенсуи измеряем отрезок Расчет треугольника по тангенсуи Расчет треугольника по тангенсуи Расчет треугольника по тангенсу

Расчет треугольника по тангенсу

1) В Расчет треугольника по тангенсу

2) В Расчет треугольника по тангенсу

3) Так как Расчет треугольника по тангенсуимеем:

Расчет треугольника по тангенсу

откуда Расчет треугольника по тангенсу

Ответ. Расчет треугольника по тангенсу

Видео:ОГЭ как найти тангенс угла, если нет треугольника #математика #огэ #огэматематика #геометрияСкачать

ОГЭ как найти тангенс угла, если нет треугольника #математика #огэ #огэматематика #геометрия

Определение прямоугольных треугольников

Из этой главы вы узнаете, как решать прямоугольные треугольники, т. е. находить их неизвестные стороны и углы по известным. Необходимые для этого теоретические знания можно почерпнуть из раздела математики, родственного как с геометрией, так и с алгеброй, — из тригонометрии. Собственно, само слово «тригонометрия» в переводе с греческого означает «измерение треугольников». Поэтому отношения сторон прямоугольного треугольника, с которыми вы познакомитесь далее, получили название тригонометрических функций.

Соотношения, которые будут применяться в этой главе, в полной мере можно считать проявлением подобия треугольников. Вообще, подобие треугольников, теорема Пифагора и площадь — это те три кита, на которых держится геометрия многоугольника. Именно исследование взаимосвязей между этими теоретическими фактами и составляет основное содержание курса геометрии в восьмом классе.

Синус, косинус и тангенс

Как уже было доказано, все прямоугольные треугольники, имеющие по равному острому углу, подобны. Свойство подобия обусловливает не только равенство отношений пропорциональных сторон этих треугольников, но и равенство отношений между катетами и гипотенузой каждого из этих треугольников. Именно эти отношения и будут предметом дальнейшего рассмотрения.

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами Расчет треугольника по тангенсугипотенузой Расчет треугольника по тангенсуи острым углом Расчет треугольника по тангенсу(рис. 168).

Расчет треугольника по тангенсу

Определение

Синусом острого угла Расчет треугольника по тангенсупрямоугольного треугольника (обозначается Расчет треугольника по тангенсуназывается отношение противолежащего катета к гипотенузе:

Расчет треугольника по тангенсу

Косинусом острого угла Расчет треугольника по тангенсупрямоугольного треугольника (обозначается Расчет треугольника по тангенсуназывается отношение прилежащего катета к гипотенузе:

Расчет треугольника по тангенсу

Тангенсом острого угла Расчет треугольника по тангенсупрямоугольного треугольника (обозначается Расчет треугольника по тангенсуназывается отношение противолежащего катета к прилежащему:

Расчет треугольника по тангенсу

Кроме синуса, косинуса и тангенса, рассматривают также котангенс острого угла Расчет треугольника по тангенсупрямоугольного треугольника (обозначается Расчет треугольника по тангенсукоторый равен отношению прилегающего катета к противолежащему:

Расчет треугольника по тангенсу

Поскольку катет прямоугольного треугольника меньше гипотенузы, то синус и косинус острого угла меньше единицы.

Покажем, что значения тригонометрических функций зависят только от величины угла. Пусть прямоугольные треугольники Расчет треугольника по тангенсуимеют равные острые углы Расчет треугольника по тангенсу(рис. 169).

Расчет треугольника по тангенсу

Эти треугольники подобны, отсюда Расчет треугольника по тангенсуили по основному свойству пропорции, Расчет треугольника по тангенсу

Правая и левая части этого равенства по определению равны синусам острых углов Расчет треугольника по тангенсусоответственно. Имеем:

Расчет треугольника по тангенсу

т.е. синус угла Расчет треугольника по тангенсуне зависит от выбора треугольника. Аналогичные рассуждения можно провести и для других тригонометрических функций (сделайте это самостоятельно). Таким образом, тригонометрические функции острого угла зависят только от величины угла.

Имеет место еще один важный факт: если значения некоторой тригонометрической функции для острых углов Расчет треугольника по тангенсуравны, то Расчет треугольника по тангенсуИначе говоря, каждому значению тригонометрической функции соответствует единственный острый угол.

Пример №18

Найдите синус, косинус и тангенс наименьшего угла египетского треугольника.

Решение:

Пусть в треугольнике Расчет треугольника по тангенсуРасчет треугольника по тангенсу(рис. 170).

Расчет треугольника по тангенсу

Поскольку в треугольнике наименьший угол лежит против наименьшей стороны, то угол Расчет треугольника по тангенсу— наименьший угол треугольника Расчет треугольника по тангенсуПо определению Расчет треугольника по тангенсуРасчет треугольника по тангенсу

Ответ: Расчет треугольника по тангенсу

Тригонометрические тождества

Выведем соотношения (тождества), которые выражают зависимость между тригонометрическими функциями одного угла.

Теорема (основное тригонометрическое тождество)

Для любого острого угла Расчет треугольника по тангенсу

Расчет треугольника по тангенсу

По определению синуса и косинуса острого угла прямоугольного треугольника (см. рис. 168) имеем:

Расчет треугольника по тангенсу

По теореме Пифагора числитель этой дроби равен Расчет треугольника по тангенсу

Следствие

Для любого острого углаРасчет треугольника по тангенсу

Расчет треугольника по тангенсу

Докажем еще несколько тригонометрических тождеств.

Непосредственно из определений синуса

sin a а b ас а и косинуса имеем: Расчет треугольника по тангенсут.е. Расчет треугольника по тангенсу

Аналогично доказывается, что Расчет треугольника по тангенсу

Отсюда следует, что Расчет треугольника по тангенсу

Пример №19

Найдите косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника, синус которого равен 0,8.

Решение:

Пусть для острого угла Расчет треугольника по тангенсуТогда Расчет треугольника по тангенсуРасчет треугольника по тангенсу

Поскольку Расчет треугольника по тангенсу

Ответ: Расчет треугольника по тангенсу

Вычисление значений тригонометрических функций. Формулы дополнения

Тригонометрические тождества, которые мы рассмотрели, устанавливают взаимосвязь между разными тригонометрическими функциями одного угла. Попробуем установить связь между функциями двух острых углов прямоугольного треугольника.

Теорема (формулы дополнения)

Для любого острого угла Расчет треугольника по тангенсу

Расчет треугольника по тангенсу

Рассмотрим прямоугольный треугольник Расчет треугольника по тангенсус гипотенузой Расчет треугольника по тангенсу(рис. 172).

Расчет треугольника по тангенсу

Если Расчет треугольника по тангенсуВыразив синусы и косинусы острых углов треугольника, получим:

Расчет треугольника по тангенсу

Следствие

Для любого острого угла Расчет треугольника по тангенсу

Расчет треугольника по тангенсу

Заметим, что название «формулы дополнения», как и название «косинус», в котором префикс «ко» означает «дополнительный», объясняется тем, что косинус является синусом угла, который дополняет данный угол до Расчет треугольника по тангенсуАналогично объясняется и название «котангенс».

Значения тригонометрических функций углов 30 45 60

Вычислим значения тригонометрических функций угла Расчет треугольника по тангенсуДля этого в равностороннем треугольнике Расчет треугольника по тангенсусо стороной Расчет треугольника по тангенсупроведем высоту Расчет треугольника по тангенсукоторая является также биссектрисой и медианой (рис. 173).

Расчет треугольника по тангенсу

В треугольнике Расчет треугольника по тангенсуи по теореме Пифагора Расчет треугольника по тангенсуИмеем:

Расчет треугольника по тангенсу
С помощью формул дополнения получаем значения тригонометрических функций угла Расчет треугольника по тангенсу

Расчет треугольника по тангенсу

Для вычисления значений тригонометрических функций угла Расчет треугольника по тангенсурассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник Расчет треугольника по тангенсус катетами Расчет треугольника по тангенсу(рис. 174).

Расчет треугольника по тангенсу

По теореме Пифагора Расчет треугольника по тангенсуИмеем:

Расчет треугольника по тангенсу

Представим значения тригонометрических функций углов Расчет треугольника по тангенсув виде таблицы.

Расчет треугольника по тангенсу

Значения тригонометрических функций других углов можно вычислить с помощью калькулятора или специальных таблиц (см. Приложение 3).

Решение прямоугольных треугольников

Нахождение неизвестных сторон прямоугольного треугольника

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами Расчет треугольника по тангенсугипотенузой Расчет треугольника по тангенсуи острыми углами Расчет треугольника по тангенсу(рис. 175).

Расчет треугольника по тангенсу

Зная градусную меру угла Расчет треугольника по тангенсуи длину любой из сторон треугольника, мы имеем возможность найти две другие его стороны. Правила нахождения неизвестных сторон прямоугольного треугольника непосредственно следуют из определений тригонометрических функций и могут быть обобщены в виде справочной таблицы.

Расчет треугольника по тангенсу

Заметим, что для нахождения неизвестных сторон прямоугольного треугольника можно использовать и Расчет треугольника по тангенсу(соответствующие правила и формулы получите самостоятельно).

Запоминать содержание справочной таблицы не обязательно. Для нахождения неизвестной стороны прямоугольного треугольника можно действовать по такому плану.

1. Выбрать формулу определения той тригонометрической функции данного угла, которая связывает искомую сторону с известной (этот этап можно выполнить устно).

2. Выразить из этой формулы искомую сторону.

3. Провести необходимые вычисления.

Пример №20

В прямоугольном треугольнике с гипотенузой 12 м найдите катет, прилежащий к углу Расчет треугольника по тангенсу

Решение:

Пусть в прямоугольном треугольнике (см. рисунок) Расчет треугольника по тангенсуНайдем катет Расчет треугольника по тангенсу

Поскольку Расчет треугольника по тангенсуРасчет треугольника по тангенсу

Ответ: 6 м.

Примеры решения прямоугольных треугольников

Решить треугольник означает найти его неизвестные стороны и углы по известным сторонам и углам. Прямоугольный треугольник можно решить по стороне и острому углу или по двум сторонам. Рассмотрим примеры конкретных задач на решение прямоугольных треугольников, пользуясь обозначениями рисунка 175. При этом договоримся округлять значения тригонометрических функций до тысячных, длины сторон — до сотых, а градусные меры углов — до единиц.

Пример №21

Решите прямоугольный треугольник по гипотенузе Расчет треугольника по тангенсуи острому углу Расчет треугольника по тангенсу(см. рисунок).

Расчет треугольника по тангенсу

Решение:

Поскольку сумма острых углов прямоугольного треугольника равна Расчет треугольника по тангенсу

Поскольку Расчет треугольника по тангенсу

т.е. Расчет треугольника по тангенсу

Поскольку Расчет треугольника по тангенсу

т.е. Расчет треугольника по тангенсу

Пример №22

Решите прямоугольный треугольник по катету Расчет треугольника по тангенсуи острому углу Расчет треугольника по тангенсу(см. рисунок).

Решение:

Поскольку сумма острых углов прямоугольного треугольника равна Расчет треугольника по тангенсу

Поскольку Расчет треугольника по тангенсу

Расчет треугольника по тангенсу

Поскольку Расчет треугольника по тангенсу

Расчет треугольника по тангенсу

Пример №23

Решите прямоугольный треугольник по гипотенузе Расчет треугольника по тангенсуи катету Расчет треугольника по тангенсу(см. рисунок).

Решение:

По теореме Пифагора Расчет треугольника по тангенсуРасчет треугольника по тангенсу

Поскольку Расчет треугольника по тангенсуоткуда Расчет треугольника по тангенсу

Поскольку сумма острых углов прямоугольного треугольника равна Расчет треугольника по тангенсу

Пример №24

Решите прямоугольный треугольник по катетам Расчет треугольника по тангенсу(см. рисунок).

Решение:

По теореме Пифагора Расчет треугольника по тангенсу

Расчет треугольника по тангенсу

Поскольку Расчет треугольника по тангенсуоткуда Расчет треугольника по тангенсу

Поскольку сумма острых углов прямоугольного треугольника равна Расчет треугольника по тангенсу

На отдельных этапах решения задач 1—4 можно использовать другие способы. Но следует заметить, что в том случае, когда одна из двух сторон треугольника найдена приближенно, для более точного нахождения третьей стороны целесообразно использовать определения тригонометрических функций.

Рассмотрим примеры применения решения треугольников в практических задачах.

Пример №25

Найдите высоту данного предмета (рис. 176).

Расчет треугольника по тангенсу

Решение:

На определенном расстоянии от данного предмета выберем точку Расчет треугольника по тангенсуи измерим угол Расчет треугольника по тангенсу

Поскольку в прямоугольном треугольнике Расчет треугольника по тангенсу

Расчет треугольника по тангенсу

Для определения высоты предмета необходимо прибавить к Расчет треугольника по тангенсувысоту Расчет треугольника по тангенсуприбора, с помощью которого измерялся угол. Следовательно, Расчет треугольника по тангенсу

Пример №26

Насыпь шоссейной дороги имеет ширину 60 м в верхней части и 68 м в нижней. Найдите высоту насыпи, если углы наклона откосов к горизонту равны Расчет треугольника по тангенсу

Решение:

Рассмотрим равнобедренную трапецию Расчет треугольника по тангенсу(рис. 177), в которой Расчет треугольника по тангенсуРасчет треугольника по тангенсу

Расчет треугольника по тангенсу

Проведем высоты Расчет треугольника по тангенсуПоскольку Расчет треугольника по тангенсу(докажите это самостоятельно), то Расчет треугольника по тангенсуВ треугольнике Расчет треугольника по тангенсу

Поскольку Расчет треугольника по тангенсу

т.е. Расчет треугольника по тангенсу

Ответ: Расчет треугольника по тангенсу

Синусом острого угла Расчет треугольника по тангенсуназывается отношение противолежащего катета к гипотенузе:

Расчет треугольника по тангенсу

Расчет треугольника по тангенсу

Косинусом острого угла Расчет треугольника по тангенсуназывается отношение прилежащего катета

Расчет треугольника по тангенсу

Расчет треугольника по тангенсу

Тангенсом острого угла Расчет треугольника по тангенсуназывается отношение противолежащего катета к прилежащему:

Расчет треугольника по тангенсу

Расчет треугольника по тангенсу

Котангенсом острого угла Расчет треугольника по тангенсуназывается отношение прилежащего катета к противолежащему:

Расчет треугольника по тангенсу

Расчет треугольника по тангенсу

Тригонометрические тождества

Расчет треугольника по тангенсу

Значения тригонометрических функций некоторых углов

Расчет треугольника по тангенсу

Расчет треугольника по тангенсу

Видео:8 класс, 29 урок, Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольникаСкачать

8 класс, 29 урок, Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Историческая справка

Умение решать треугольники необходимо при рассмотрении многих практических задач, возникающих в связи с потребностями географии, астрономии, навигации. Поэтому элементы тригонометрии появились еще в Древнем Вавилоне в период интенсивного развития астрономии. В работе греческого ученого Птолемея «Альмагест» (II в. н. где изложена античная система мира, содержатся элементы сферической тригонометрии.

В Древней Греции вместо синуса угла Расчет треугольника по тангенсурассматривали длину хорды, соответствующей центральному углу Расчет треугольника по тангенсуДействительно, если радиус окружности равен единице, то Расчет треугольника по тангенсуизмеряется половиной такой хорды (проверьте это самостоятельно). Первые тригонометрические таблицы были составлены Гиппархом во II в. н.э.

Синус и косинус как вспомогательные величины использовались индийскими математиками в V в., а тангенс и котангенс впервые появились в работах арабского математика X в. Абу-аль-Вефы.

Как отдельный раздел математики тригонометрия выделилась в произведениях персидского ученого Насреддина Туси (1201-1274), а системное изложение тригонометрии первым из европейцев представил немецкий математик и механик Иоганн Мюллер (1436-1476), более известный под псевдонимом Региомонтан.

Современную форму изложения и современную символику тригонометрия приобрела благодаря Леонарду Эйлеру в XVIII в. Кроме известных вам четырех тригонометрических функций иногда рассматриваются еще две:

секанс Расчет треугольника по тангенсу

и косеканс Расчет треугольника по тангенсу

Приложения

Обобщенная теорема Фалеса и площадь прямоугольника

В ходе доказательства некоторых геометрических теорем используется процедура деления отрезка на некоторое количество равных частей. Это позволяет дать числовые оценки в виде неравенств и с их помощью получить противоречие.

В курсе геометрии 8 класса такой подход целесообразно применить для доказательства двух приведенных ниже теорем.

Теорема (обобщенная теорема Фалеса)

Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на сторонах этого угла пропорциональные отрезки.

По данным рисунка 180 докажем три формулы:

Расчет треугольника по тангенсуРасчет треугольника по тангенсу

Докажем сначала формулу 1. Пусть отрезок Расчет треугольника по тангенсуможно разделить на Расчет треугольника по тангенсуравных отрезков так, что одна из точек деления совпадет с точкой Расчет треугольника по тангенсупричем на отрезке Расчет треугольника по тангенсубудут лежать Расчет треугольника по тангенсуточек деления. Тогда, проведя через точки деления прямые, параллельные Расчет треугольника по тангенсупо теореме Фалеса получим деление отрезков Расчет треугольника по тангенсусоответственно на Расчет треугольника по тангенсуравных отрезков. Следовательно, Расчет треугольника по тангенсучто и требовалось доказать.

Если описанное деление отрезка Расчет треугольника по тангенсуневозможно, то докажем формулу 1 от противного. Пусть Расчет треугольника по тангенсу

Рассмотрим случай, когда Расчет треугольника по тангенсу(другой случай рассмотрите самостоятельно).

Отложим на отрезке Расчет треугольника по тангенсуотрезок Расчет треугольника по тангенсу(рис. 181).

Расчет треугольника по тангенсу

Разобьем отрезок Расчет треугольника по тангенсуна такое количество равных отрезков чтобы одна из точек деления Расчет треугольника по тангенсупопала на отрезок Расчет треугольника по тангенсуПроведем через точки деления прямые, параллельные Расчет треугольника по тангенсуПусть прямая, проходящая через точку Расчет треугольника по тангенсупересекает луч Расчет треугольника по тангенсув точке Расчет треугольника по тангенсуТогда по доказанному Расчет треугольника по тангенсуУчитывая, что в этой пропорции Расчет треугольника по тангенсуимеем: Расчет треугольника по тангенсу

Это неравенство противоречит выбору длины отрезка Расчет треугольника по тангенсуСледовательно, формула 1 доказана полностью.

Докажем формулы 2 и 3. Пользуясь обозначениями рисунка 180,
по формуле 1 имеем Расчет треугольника по тангенсуРазделив в каждом из этих равенств числитель на знаменатель, получим: Расчет треугольника по тангенсу

Расчет треугольника по тангенсу

Откуда Расчет треугольника по тангенсуТаким образом, доказано, что Расчет треугольника по тангенсут.е. формулы 2 и 3 выполняются.

Теорема доказана полностью.

Из курса математики 5 класса известно, что площадь прямоугольника равна произведению двух его соседних сторон. Так, на рисунке 182 дан прямоугольник Расчет треугольника по тангенсукоторый делится на 15 квадратов площадью 1. Следовательно, по аксиомам площади, его площадь равна 15 кв. ед., то есть Рис- 182. Расчет треугольника по тангенсукв. ед.

Расчет треугольника по тангенсу

Таким способом легко найти площадь прямоугольника, у которого длины сторон выражены любыми целыми числами. Но справедливость этой формулы при условии, что длины сторон прямоугольника не являются целыми числами,— совсем неочевидная теорема. Докажем ее.

Теорема (формула площади прямоугольника)

Площадь прямоугольника равна произведению его соседних сторон:

Расчет треугольника по тангенсу— стороны прямоугольника.

Докажем сначала, что площади прямоугольников с одним равным измерением относятся как длины других измерений.

Пусть прямоугольники Расчет треугольника по тангенсуимеют общую сторону Расчет треугольника по тангенсу(рис. 183,
Расчет треугольника по тангенсу

Разобьем сторону Расчет треугольника по тангенсуравных частей. Пусть на отрезке Расчет треугольника по тангенсулежит Расчет треугольника по тангенсуточек деления, причем точка деления Расчет треугольника по тангенсуимеет номер Расчет треугольника по тангенсуа точка Расчет треугольника по тангенсу—номер Расчет треугольника по тангенсуТогда Расчет треугольника по тангенсуоткуда — Расчет треугольника по тангенсу

Расчет треугольника по тангенсу

Теперь проведем через точки деления прямые, параллельные Расчет треугольника по тангенсуОни разделят прямоугольник Расчет треугольника по тангенсуравных прямоугольников (т. е. таких, которые совмещаются при наложении). Очевидно, что прямоугольник Расчет треугольника по тангенсусодержится внутри прямоугольника Расчет треугольника по тангенсуа прямоугольник Расчет треугольника по тангенсусодержит прямоугольник Расчет треугольника по тангенсу

Следовательно, Расчет треугольника по тангенсу

Имеем: Расчет треугольника по тангенсу

Сравнивая выражения для Расчет треугольника по тангенсуубеждаемся, что оба эти отношения расположены между Расчет треугольника по тангенсут.е. отличаются не больше чем на Расчет треугольника по тангенсунатуральное число). Докажем от противного, что эти отношения равны.

Действительно, если это не так, т.е. Расчет треугольника по тангенсутакое натуральное число Расчет треугольника по тангенсучто Расчет треугольника по тангенсуПолученное противоречие доказывает, что площади прямоугольников с одним равным измерением относятся как длины других измерений.

Рассмотрим теперь прямоугольники Расчет треугольника по тангенсусо сторонами Расчет треугольника по тангенсу Расчет треугольника по тангенсусо сторонами Расчет треугольника по тангенсуи 1 и квадрат Расчет треугольника по тангенсусо стороной 1 (рис. 183, б).

Тогда по доказанному Расчет треугольника по тангенсу

Поскольку Расчет треугольника по тангенсукв. ед., то, перемножив полученные отношения, имеем Расчет треугольника по тангенсу

Золотое сечение

С давних времен люди старались познать мир путем поиска гармонии и совершенства. Одним из вопросов, которыми задавались еще древние греки, был поиск наилучшего соотношения неравных частей одного целого. Таким соотношением еще со времен Пифагора считали гармоническое деление, при котором меньшая часть относится к большей, как большая часть относится ко всему целому. Такое деление отрезка на части описано во II книге «Начал» Евклида и названо делением в среднем и крайнем отношении. Рассмотрим деление отрезка Расчет треугольника по тангенсуточкой Расчет треугольника по тангенсупри котором Расчет треугольника по тангенсу(рис. 184). Пусть длина отрезка Расчет треугольника по тангенсуравна Расчет треугольника по тангенсуа длина отрезка Расчет треугольника по тангенсуравна Расчет треугольника по тангенсуТогда

Расчет треугольника по тангенсуОтсюда Расчет треугольника по тангенсуПоскольку Расчет треугольника по тангенсуто геометрический смысл имеет только значение Расчет треугольника по тангенсуЗначит, если длина данного отрезка равна 1, то при делении в крайнем и среднем отношении его большая часть приблизительно равна 0,6. Полученное число обозначают греческой буквой Расчет треугольника по тангенсуКроме того, часто рассматривают и отношение Расчет треугольника по тангенсуЗаметим, что Расчет треугольника по тангенсу— первая буква имени древнегреческого скульптора Фидия, который часто использовал такое деление в своем творчестве (в частности, в знаменитой статуе Зевса Олимпийского, которую считают одним из семи чудес света).

В эпоху Возрождения (XV—XVII вв.) интерес к гармоническому делению чрезвычайно возрос. Выдающийся ученый и художник Леонардо да Винчи (1452—1519) назвал такое деление золотым сечением, а его современник и соотечественник, итальянский монах-математик Лука Па-чоли (1445—1514) — божественной пропорцией. Золотое сечение и близкие к нему пропорциональные отношения составляли основу композиционного построения многих произведений мирового искусства, в частности архитектуры Античности и Возрождения. Одно из величайших сооружений Древней Эллады — Парфенон в Афинах (V в. до н. э.) — содержит в себе золотые пропорции (в частности, отношение высоты к длине этого сооружения равно Расчет треугольника по тангенсу

Итак, дадим определение золотому сечению.

Определение:

Золотым сечением называется такое деление величины на две неравные части, при котором меньшая часть относится к большей, как большая часть относится ко всему целому.

Иначе говоря, золотое сечение — это деление величины в отношении Расчет треугольника по тангенсу(или Расчет треугольника по тангенсу

Построить золотое сечение отрезка заданной длины Расчет треугольника по тангенсус помощью циркуля и линейки довольно просто: для этого достаточно построить прямоугольный треугольник с катетами Расчет треугольника по тангенсуи провести две дуги из вершин острых углов так, как показано на рисунке 185.

Расчет треугольника по тангенсу

По теореме о пропорциональности отрезков секущей и касательной Расчет треугольника по тангенсуПоскольку по построению Расчет треугольника по тангенсуи Расчет треугольника по тангенсупо определению золотого сечения. Следовательно, Расчет треугольника по тангенсуУбедиться в правильности построения можно также с помощью теоремы Пифагора (сделайте это самостоятельно.)

С золотым сечением связывают геометрические фигуры, при построении которых используются отношения Расчет треугольника по тангенсуРассмотрим некоторые из них.

Равнобедренный треугольник называется золотым, если две его стороны относятся в золотом сечении. Докажем, что треугольник с углами Расчет треугольника по тангенсу(рис. 186, а) является золотым. Действительно, пусть в треугольнике Расчет треугольника по тангенсубиссектриса. Тогда Расчет треугольника по тангенсупо двум углам. Следовательно, Расчет треугольника по тангенсут. е. треугольник Расчет треугольника по тангенсу— золотой.

И наоборот: если в равнобедренном треугольнике Расчет треугольника по тангенсуто такой треугольник подобен треугольнику Расчет треугольника по тангенсут. е. имеет углы Расчет треугольника по тангенсу

Предлагаем самостоятельно убедиться в том, что золотым является также треугольник с углами Расчет треугольника по тангенсу(рис. 186, б) и других золотых треугольников не существует.

Расчет треугольника по тангенсу

Золотые треугольники связаны с правильным пятиугольником (т.е. выпуклым пятиугольником, у которого все стороны равны и все углы равны).

В правильном пятиугольнике:

1) диагональ относится к стороне в золотом сечении;

2) точка пересечения диагоналей делит каждую из них в золотом сечении;

3) диагональ делит другую диагональ на два отрезка, один из которых делится в золотом сечении еще одной диагональю.

Расчет треугольника по тангенсу

Согласно обозначениям рисунка 187 это означает, что Расчет треугольника по тангенсуДля доказательства этих свойств достаточно заметить, что в правильном пятиугольнике все углы равны Расчет треугольника по тангенсуследовательно, треугольники Расчет треугольника по тангенсуявляются золотыми. Подробные доказательства предлагаем провести самостоятельно.

Диагонали правильного пятиугольника образуют звезду, которая в древние времена олицетворяла совершенство и имела мистическое значение. Пифагорейцы называли ее пентаграммой и избрали символом своей научной школы. В наши дни пятиконечная звезда — самая распространенная геометрическая фигура на флагах и гербах многих стран (приведите соответствующие примеры из истории и географии).

Прямоугольник называется золотым, если его стороны относятся в золотом сечении. Для построения золотого прямоугольника произвольный квадрат перегибаем пополам (рис. 188, а), проводим диагональ одного из полученных прямоугольников (рис. 188, б) и радиусом, равным этой диагонали, проводим дугу окружности с центром Расчет треугольника по тангенсу(рис. 188, в). Полученный прямоугольник Расчет треугольника по тангенсу— золотой (убедитесь в этом самостоятельно).

Расчет треугольника по тангенсу
Если от золотого прямоугольника отрезать квадрат со стороной, равной меньшей стороне прямоугольника, то оставшийся прямоугольник также будет золотым. Действительно, на рисунке 189, а имеем Расчет треугольника по тангенсутогда Расчет треугольника по тангенсуНеограниченно продолжая этот процесс (рис. 189, б), можно получить так называемые вращающиеся квадраты, и весь данный прямоугольник будет составлен из таких квадратов.Расчет треугольника по тангенсу

Через противолежащие вершины квадратов проходит так называемая золотая спираль, которая часто встречается в природе. Например, по принципу золотой спирали располагаются семена в подсолнечнике; по золотой спирали закручены раковины улиток, рога архаров, паутина отдельных видов пауков и даже наша Солнечная система, как и некоторые другие галактики.

Отметим также, что золотое сечение имеет немало алгебраических свойств. Отношение Расчет треугольника по тангенсуприближенно может быть выражено дробями Расчет треугольника по тангенсутак называемые числа Фибоначчи. Приведем без доказательства две алгебраические формулы, связанные с числами Расчет треугольника по тангенсу

Расчет треугольника по тангенсу

Золотое сечение, золотые многоугольники и золотая спираль являются математическими воплощениями идеальных пропорций в природе. Недаром великий немецкий поэт Иоганн Вольфганг Гете считал их математическими символами жизни и духовного развития.
Приложение 3. Таблица значений тригонометрических функций

Расчет треугольника по тангенсу

Расчет треугольника по тангенсу

Значение тригонометрических функций острых углов можно приближенно определять с помощью специальных таблиц. Одна из таких таблиц представлена выше.

Таблица составлена с учетом формул дополнения. В двух крайних столбцах указаны градусные меры углов (в левом — от Расчет треугольника по тангенсув правом — от Расчет треугольника по тангенсуМежду этими столбцами содержатся четыре столбца значений тригонометрических функций:

1-й — синусы углов от Расчет треугольника по тангенсу(или косинусы углов от Расчет треугольника по тангенсу

2-й — тангенсы углов от Расчет треугольника по тангенсу(или котангенсы углов от Расчет треугольника по тангенсу

3-й — котангенсы углов от Расчет треугольника по тангенсу(или тангенсы углов от Расчет треугольника по тангенсу

4-й — косинусы углов от Расчет треугольника по тангенсу(или синусы углов от Расчет треугольника по тангенсу

Рассмотрим несколько примеров применения данной таблицы. 1) Определим Расчет треугольника по тангенсуПоскольку Расчет треугольника по тангенсунайдем в крайнем левом столбце значение 25 и рассмотрим соответствующую строку первого столбца значений. Углу Расчет треугольника по тангенсув ней соответствует число 0,423. Следовательно, Расчет треугольника по тангенсу

2) Определим Расчет треугольника по тангенсуПоскольку 45° ے C = 90° (рис. 412).

Доказать: Расчет треугольника по тангенсу

Расчет треугольника по тангенсу

Доказательство. Проведём из вершины прямого угла С высоту CD. Каждый катет прямоугольного треугольника является средним пропорциональным между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу. Поэтому Расчет треугольника по тангенсуи Расчет треугольника по тангенсу. Сложив равенства почленно и зная, что AD+ DB= АВ, получим: Расчет треугольника по тангенсу. Следовательно, Расчет треугольника по тангенсу

Если а и b — катеты прямоугольного треугольника, с — его гипотенуза, то из формулы Расчет треугольника по тангенсуполучим следующие формулы:

Расчет треугольника по тангенсу

Используя эти формулы, по двум любым сторонам прямоугольного треугольника находим его третью сторону (табл. 28).

Расчет треугольника по тангенсу

Расчет треугольника по тангенсу

Справедлива и теорема, обратная теореме Пифагора: если квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то этот треугольник — прямоугольный.

Согласно теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник со сторонами 3 см, 4 см и 5 см — прямоугольный, поскольку Расчет треугольника по тангенсу. Такой треугольник иногда называют египетским.

Пример №27

Сторона ромба равна 10 см, а одна из его диагоналей — 16 см. Найдите другую диагональ ромба.

Расчет треугольника по тангенсу

Решение:

Пусть ABCD— ромб (рис. 413), АС= 16см,AD = 10см. Найдём диагональ BD. Как известно, диагонали ромба пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам. Поэтому ∆AOD — прямоугольный ( ے 0= 90°). АС 16

В нём: катет Расчет треугольника по тангенсугипотенуза AD= 10 см.

Расчет треугольника по тангенсу

Для того чтобы найти определённый элемент фигуры (сторону, высоту, диагональ), выделите на рисунке прямоугольный треугольник, воспользовавшись свойствами фигуры, и примените теорему Пифагора.

Расчет треугольника по тангенсуРасчет треугольника по тангенсу

Пусть ВС — перпендикуляр, проведённый из точки В на прямую а (рис. 414). Возьмём произвольную точку А на прямой а, отличную от точки С, и соединим точки А и В. Отрезок АВ называется наклонной, проведённой из точки В на прямую а. Точка А называется основанием наклонной, а отрезок АС — проекцией наклонной.

Наклонные имеют следующие свойства. Если из данной точки к прямой провести перпендикуляр и наклонные, то:

  1. любая наклонная больше перпендикуляра;
  2. равные наклонные имеют равные проекции;
  3. из двух наклонных больше та, проекция которой больше.

Расчет треугольника по тангенсу

Покажем, что свойства наклонных следуют из теоремы Пифагора.

  1. По теореме Пифагора, Расчет треугольника по тангенсу(рис. 415), тогда Расчет треугольника по тангенсуили АВ > ВС.
  2. Из прямоугольных треугольников ABD и CBD (рис. 416) имеем:
  3. Расчет треугольника по тангенсуПоскольку в этих равенствах АВ = ВС (по условию), то AD = DC.
  4. Из прямоугольных треугольников ABD и CBD (рис. 417) имеем: Расчет треугольника по тангенсу. В этих равенствах AD > DC. Тогда АВ > ВС.

Пример №28

Из точки к прямой проведены две наклонные, проекции которых равны 5 см и 9 см. Найдите наклонные, если одна из них на 2 см больше другой.

Решение:

Пусть AD = 5 см, DC = 9 см (рис. 418). Поскольку AD ے A = a (рис. 441). Вы знаете, что катет а — противолежащий углу а, катет b — прилежащий к углу a . Отношение каждого катета к гипотенузе, а также катета к катету имеют специальные обозначения:

  • — отношение Расчет треугольника по тангенсуобозначают sin а и читают «синус альфа»;
  • — отношение Расчет треугольника по тангенсуобозначают cos а и читают «косинус альфа»;
  • — отношение Расчет треугольника по тангенсуобозначают tg а и читают «тангенс альфа».

Расчет треугольника по тангенсу

Сформулируем определения sin a, cos а и tg а.

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

Отношение сторон прямоугольного треугольника и их обозначения указаны в Расчет треугольника по тангенсу

Зависят ли синус, косинус и тангенс острого угла от размеров треугольника?

Расчет треугольника по тангенсу

Нет, не зависят. Итак, пусть ABC и Расчет треугольника по тангенсу-два прямоугольных треугольника, в которых Расчет треугольника по тангенсу(рис. 442). Тогда Расчет треугольника по тангенсупо двум углам (Расчет треугольника по тангенсу). Соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны: Расчет треугольника по тангенсу

Из этих равенств следует:

Расчет треугольника по тангенсу

Следовательно, в прямоугольных треугольниках с одним и тем же острым углом синусы этого утла равны, косинусы и тангенсы — равны. Если градусную меру угла изменить, то изменится и соотношение сторон прямоугольного треугольника. Это означает, что синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника зависят только от градусной меры угла и не зависят от размеров треугольника.

По исходному значению sin A, cos А или tg А можно построить угол А.

Пример №29

Постройте угол, синус которого равен Расчет треугольника по тангенсу.

Решение:

Выбираем некоторый единичный отрезок (1 мм, 1 см, 1 дм). Строим прямоугольный треугольник, катет ВС которого равен двум единичным отрезкам, а гипотенуза АВ — трём (рис. 443). Угол А, лежащий против катета ВС, — искомый, поскольку sin А = Расчет треугольника по тангенсу

Расчет треугольника по тангенсу

В прямоугольном треугольнике любой из двух катетов меньше гипотенузы. Поэтому sin а ے C = а (рис. 452). Проведём высоту BD. В прямоугольном треугольнике DBCкатет DC, прилежащий к углу а, равен произведению гипотенузы а на cos a: DC = a cos а. Поскольку высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, является медианой, то DC = AD. Тогда основание АС = 2 DC =2 a cos а.

В этой главе вы ознакомились с новыми приёмами вычисления длин сторон и градусных мер углов прямоугольного треугольника. Может возникнуть вопрос: Какова необходимость использования этих приёмов? Вы знаете, что в древности расстояния и углы сначала измеряли непосредственно инструментами. Например, транспортиром пользовались вавилоняне ещё за 2 ООО лет до н. э.

Но на практике непосредственно измерять расстояния и углы не всегда возможно. Как вычислить расстояние между двумя пунктами, которые разделяет препятствие (река, озеро, лес), расстояние до Солнца, Луны, как измерить высоту дерева, горы, как найти угол подъёма дороги либо угол при спуске с горы? Поэтому были открыты приёмы опосредствованного измерения расстояний и углов. При этом использовали равные либо подобные треугольники и геометрические построения. Строили на местности вспомогательный треугольник и измеряли необходимые его элементы.

Итак, вы знаете, как определить расстояние между пунктами А и В, разделёнными препятствием (рис. 453). Для этого строим ∆COD = ∆АОВ и вместо искомого расстояния Ив измеряем равное ему расстояние CD.

Расчет треугольника по тангенсу

Но при использовании этих приёмов получали недостаточно точные результаты, особенно при измерении значительных расстояний на местности. Кроме того, без угломерных инструментов нельзя найти градусные меры углов по длинам тех или других отрезков. Поэтому возникла необходимость в таких приёмах, когда непосредственные измерения сводились к минимуму, а результаты получали преимущественно вычислением элементов прямоугольного треугольника. В основе таких приёмов лежит использование cos а, sin а и tg а. Накопление вычислительных приёмов решения задач обусловило создание нового раздела математики, который в XVI в. назвали тригонометрией. Слово «тригонометрия» происходит от греческих слов trigonon — треугольник и metreo — измеряю. Греческих математиков Гиппарха (II в. до н. э.) и Птолемея (II в.) считают первыми, кто использовал тригонометрические приёмы для решения разных задач. В дальнейшем их усовершенствовали индийский математик Брамагупта (VI в.), узбекские математики аль-Каши и Улугбек (XII в.). В работах академика Леонарда Эйлера (XVIII в.) тригонометрия приобретает тот вид, который в основном имеет и в наше время.

Вычисление значений sin a, cos а и tg а

ЕЭ| Пусть в прямоугольном треугольнике ABC ZA = а, тогда ZB — 90° — а (рис. 467). Из определения синуса и косинуса следует:

Расчет треугольника по тангенсу

Расчет треугольника по тангенсуСравнивая эти два столбца, находим: sin а = cos (90° — а), cos а = sin (90° — а).

Как видим, между синусом и косинусом углов а и 90° — а, которые дополняют друг друга до 90°, существует зависимость: синус одного из этих углов равен косинусу другого.

Например: Расчет треугольника по тангенсу

Расчет треугольника по тангенсуРасчет треугольника по тангенсу

Найдём значения синуса, косинуса и тангенса для углов 45°, 30°, 60°. 1) Для угла 45°. Пусть ABC — прямоугольный треугольник с гипотенузой С и ے A = 45° (рис. 468). Тогда ے B = 45°. Следовательно, ∆ABC — равнобедренный. Пусть АС = ВС = а. Согласно теореме Пифагора,

Расчет треугольника по тангенсу

2) Для углов 30° и 60°.

Пусть ABC — прямоугольный треугольник с гипотенузой с и ے A = 30″ (рис. 469). Найдём катеты АС и ВС.

ВС = Расчет треугольника по тангенсукак катет, лежащий против угла 30°.

Согласно теореме Пифагора, Расчет треугольника по тангенсу

ТогдаРасчет треугольника по тангенсу

Расчет треугольника по тангенсу

Если в прямоугольном треугольнике ABC ے A = 30° (рис. 469),

Расчет треугольника по тангенсу

Составим таблицу 35 значений синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45°, 60°

Таблица 35 Расчет треугольника по тангенсу

Из таблицы видно, что при увеличении угла синус и тангенс острого угла возрастают, а косинус — уменьшается. При уменьшении угла синус и тангенс острого угла уменьшаются, а косинус — увеличивается. Расчет треугольника по тангенсу

Пример №31

Сторона ромба равна 6 см, а один из его углов Найдите высоту ромба.

Расчет треугольника по тангенсу

Решение:

Пусть ABCD — ромб (рис. 470), в котором АВ = 6 см, ے А = 60°. Проведём высоту ВМ. Из прямоугольного треугольника АВМ: Расчет треугольника по тангенсуКак вычислить значения синусов, косинусов и тангенсов углов, отличных от 30°, 45°, 60°?

При помощи инженерных калькуляторов (или программы «калькулятор» компьютера) либо специальных таблиц можно решить две задачи:

1) для заданного угла а найти sin a, cos а, tg а;

2) по заданному значению sin a, cos а, tg а найти угол а.

Если вы используете калькулятор, а угол указан в градусах и минутах, то минуты переведите в десятые доли градуса (разделите их на 60). Например, для угла 55°42° получите 55,7°. Если, например, для cos Расчет треугольника по тангенсу0,8796 нашли Расчет треугольника по тангенсу28,40585° то доли градуса переведите в минуты (умножьте дробную часть на 60). Округлив, получите: Расчет треугольника по тангенсу28°24°.

Значение sin a, cos а, tg а находим по таблицам.

Таблица синусов и косинусов (см. приложение 1) состоит из четырёх столбцов. В первом столбце слева указаны градусы от 0° до 45°, а в четвёртом — от 90° до 45°. Над вторым и третьим столбцами указаны названия «синусы» и «косинусы», а в нижней части этих столбцов — «косинусы» и «синусы».

Верхние названия «синусы» и «косинусы» отображают значения углов, которые меньше 45°, а нижние — больше 45°. Например, по таблице находим: sin34° Расчет треугольника по тангенсу0,559, cos67° Расчет треугольника по тангенсу0,391, sin85° Расчет треугольника по тангенсу0,996 и т. д. По таблице можно найти угол а по заданному значению sin a, cos а. Например, нужно найти угол а, если sin Расчет треугольника по тангенсу0,615. В столбцах синусов находим число, приближённое к 0,615. Таким числом является 0,616. Следовательно, Расчет треугольника по тангенсу38″.

Таблица тангенсов (см. приложение 2) состоит из двух столбцов: в одном указаны углы от 0° до 89°, в другом — значения тангенсов этих углов.

Например, tg 19° Расчет треугольника по тангенсу0,344. Если tg Расчет треугольника по тангенсу0,869, то Расчет треугольника по тангенсу41°.

1. Вы уже знаете, что каждой градусной мере угла а прямоугольного треугольника соответствует единственное значение sin a, cos а, tg а. Поэтому синус, косинус и тангенс угла а являются функциями данного угла. Эти функции называются тригонометрическими функциями, аргумент которых изменяется от О° до 90°.

2. Уточним происхождение слова «косинус». Именно равенство cos а = sin (90° — а) явилось основой образования латинского слова cosinus — дополнительный синус, то есть синус угла, дополняющий заданный до 90°.

3. Первые таблицы синусов углов от 0° до 90° составил греческий математик Гиппарх (II в. до н. э.). Эти таблицы не сохранились. Нам известны только тригонометрические таблицы, помещённые в работе «Альмагест» александрийского учёного Клавдия Птолемея (II в.). Птолемей Также сохранились таблицы синусов и косинусов индийского учёного Ариаб-хаты (V в.), таблицы тангенсов арабских учёных аль-Баттани и Абу-ль-Вефа (X в.).

Как решать прямоугольные треугольники

Решить прямоугольный треугольник — это означает по заданным двум сторонам либо стороне и острому углу найти другие его стороны и острые углы.

Возможны следующие виды задач, в которых требуется решить прямоугольный треугольник по: 1) катетам; 2) гипотенузе и катету; 3) гипотенузе и острому углу; 4) катету и острому углу. Алгоритмы решения этих четырёх видов задач изложены в таблице 36.

Расчет треугольника по тангенсу

Пример №32

Решите прямоугольный треугольник по гипотенузе с= 16 и углу а = 76°21′ (рис. 482).

Расчет треугольника по тангенсу

Решение. Это задача третьего вида. Алгоритм её решения указан в таблице 38.

Расчет треугольника по тангенсу

Решение многих прикладных задач основано на решении прямоугольных треугольников. Рассмотрим некоторые виды прикладных задач.

1. Задачи на нахождение высоты предмета, основание которого доступно.

Пример №33

Найдите высоту дерева (рис. 483).

Расчет треугольника по тангенсу

Решение:

На некотором расстоянии MN= а от дерева устанавливаем угломерный прибор AM (например, теодолит) и находим угол а между горизонтальным направлением АС и направлением на верхнюю точку В дерева. Из прямоугольного треугольника ABC получим: ВС= a • tg а. С учётом высоты угломерного прибора AM= h имеем формулу для вычисления высоты дерева: BN= о • tg а + h.

Пусть результаты измерения следующие: Расчет треугольника по тангенсу.

Тогда Расчет треугольника по тангенсу(м).

2. Задачи на нахождение высоты предмета, основание которого недоступно.

Пример №34

Найдите высоту башни, которая отделена от вас рекой (рис. 484).

Расчет треугольника по тангенсу

Решение:

На горизонтальной прямой, проходящей через основание башни (рис. 484), обозначим две точки М и N, измерим отрезок MN= а и углы Расчет треугольника по тангенсу. Из прямоугольных треугольников ADC и BDC получим: Расчет треугольника по тангенсу

Почленно вычитаем полученные равенства: Расчет треугольника по тангенсу

Отсюда Расчет треугольника по тангенсу

Следовательно, Расчет треугольника по тангенсу

Прибавив к DC высоту прибора AM= Н, которым измеряли углы, получим

формулу для вычисления высоты башни: Расчет треугольника по тангенсу

Пусть результаты измерения следующие: Расчет треугольника по тангенсу

Тогда Расчет треугольника по тангенсу

3. Задачи на нахождение расстояния между двумя пунктами, которые разделяет препятствие.

Пример №35

Найдите расстояние между пунктами А и В, разделёнными рекой (рис. 485).

Расчет треугольника по тангенсу

Решение:

Провешиваем прямую Расчет треугольника по тангенсуи отмечаем на ней точку С. Измеряем расстояние АС= а и угол а. Из прямоугольного треугольника ABC получим формулу АВ= a- tg а для определения расстояния между пунктами А и В. Пусть результаты измерения следующие: Расчет треугольника по тангенсу

Тогда АВ = Расчет треугольника по тангенсу

4. Задачи на нахождение углов (угла подъёма дороги; угла уклона; угла, под которым виден некоторый предмет, и т. д.).

Пример №36

Найдите угол подъёма шоссе, если на расстоянии 200 м высота подъёма составляет 8 м.

Расчет треугольника по тангенсу

Решение:

На рисунке 486 угол a — это угол подъёма дороги, АС— горизонтальная прямая. Проведём Расчет треугольника по тангенсу, тогда ВС- высота подъёма дороги. По условию, АВ = 200 м, ВС = 8 м. Угол a найдём из прямоугольного треугольника Расчет треугольника по тангенсуТогда Расчет треугольника по тангенсу

У вас может возникнуть вопрос: Почему в геометрии особое внимание уделяется прямоугольному треугольнику, хотя не часто встречаются предметы подобной формы?

Итак, поразмышляем. Как в химии изучают вначале элементы, а затем — их соединения, в биологии — одноклеточные, а потом — многоклеточные организмы, так и в геометрии изучают сначала простые геометрические фигуры — точки, отрезки и треугольники, из которых состоят другие геометрические фигуры. Среди этих фигур прямоугольный треугольник играет особую роль. Действительно, любой многоугольник можно разбить на треугольники (рис. 487).

Расчет треугольника по тангенсуРасчет треугольника по тангенсу

Умея находить угловые и линейные элементы этих треугольников, можно найти все элементы многоугольника. В свою очередь, любой треугольник можно разбить одной из его высот на два прямоугольных треугольника, элементы которых связаны более простой зависимостью (рис. 488). Найти элементы треугольника можно, если свести задачу к решению этих двух прямоугольных треугольников. Проиллюстрируем это на примере.

Пример №37

Расчет треугольника по тангенсу(рис. 489). Найдите ے B, ے C и сторону а.

Решение:

Проведём высоту BD. Точка D будет лежать между точками А и С, поскольку ے A — острый и b> с.

Расчет треугольника по тангенсу

Из прямоугольного треугольника ABD:

Расчет треугольника по тангенсу

Из прямоугольного треугольника Расчет треугольника по тангенсу

Из прямоугольного треугольника BDC:Расчет треугольника по тангенсуРасчет треугольника по тангенсу

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Параллелограмм
  • Теорема синусов и теорема косинусов
  • Параллельность прямых и плоскостей
  • Перпендикулярность прямой и плоскости
  • Площадь трапеции
  • Центральные и вписанные углы
  • Углы и расстояния в пространстве
  • Подобие треугольников

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

📹 Видео

Синус, косинус, тангенс ТУПОГО угла | Твой самый халявний балл на ОГЭ 2023!Скачать

Синус, косинус, тангенс ТУПОГО угла | Твой самый халявний балл на ОГЭ 2023!

ТРИГОНОМЕТРИЯ с нуля — Синус, косинус, тангенс и котангенс острого углаСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ с нуля — Синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла

расчет углов треугольникаСкачать

расчет углов треугольника

Зачем нужны тангенсы?Скачать

Зачем нужны тангенсы?

Зачем нужны синусы и косинусы?Скачать

Зачем нужны синусы и косинусы?

Урок СИНУС, КОСИНУС И ТАНГЕНС ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКАСкачать

Урок СИНУС, КОСИНУС И ТАНГЕНС ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА

Найдите тангенс угла B треугольника ABС | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 12 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Найдите тангенс угла B треугольника ABС | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 12 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Тригонометрия: Как запомнить? + ПОЛУЧИ ПОДАРОК от Ольги АлександровныСкачать

Тригонометрия: Как запомнить? + ПОЛУЧИ ПОДАРОК от Ольги Александровны

8 класс, 30 урок, Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30◦, 45◦ и 60◦Скачать

8 класс, 30 урок, Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30◦, 45◦ и 60◦

Синус, косинус произвольного угла. 9 класс.Скачать

Синус, косинус произвольного угла. 9 класс.

Основное тригонометрическое тождество. 8 класс.Скачать

Основное тригонометрическое тождество. 8 класс.

Что такое синус, косинус и тангенс угла в прямоугольном треугольнике. Часть 1Скачать

Что такое синус, косинус и тангенс угла в прямоугольном треугольнике. Часть 1
Поделиться или сохранить к себе: