Этот онлайн-калькулятор показывает уравнение окружности в стандартной, параметрической и общей формах, по заданному центру и радиусу окружности. Описание и формулы приведены под калькулятором
- Уравнение окружности по заданному центру и радиусу в различных формах
- Центр окружности
- Уравнение окружности
- Общее уравнение окружности
- Стандартное уравнение окружности
- Параметрическое уравнение окружности
- Уравнение окружности в полярных координатах
- Окружность на координатной плоскости
- Окружность радиуса R с центром в начале координат представляется уравнением:
- Как найти радиус и центр окружности
- Декартовы координаты точек плоскости. Уравнение окружности
- Числовая ось
- Прямоугольная декартова система координат на плоскости
- Формула для расстояния между двумя точками координатной плоскости
- Уравнение окружности на координатной плоскости
- 📽️ Видео
Уравнение окружности по заданному центру и радиусу в различных формах
Центр окружности
Видео:Как найти координаты точек на тригонометрической окружностиСкачать
Уравнение окружности
Уравнение окружности — это алгебраический способ описания всех точек, лежащих на некоторой окружности. То есть если координаты точки x и y обращают уравнение окружности в равенство — эта точка принадлежит данной окружности. Существуют разные формы записи уравнения окружности:
- общее уравнение окружности
- стандартное уравнение окружности 1
- параметрическое уравнение окружности
- уравнение окружности в полярных координатах
Видео:10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать
Общее уравнение окружности
Общее уравнение окружности с центром и радиусом выглядит так:
,
где
В таком виде довольно сложно судить о свойствах заданной этим уравнением окружности, а именно, о координатах центра и радиусе. Но эту форму достаточно легко привести к стандартной форме (ниже), которая гораздо нагляднее.
Видео:Расчет угловых координат с окружности 👍Скачать
Стандартное уравнение окружности
Стандартное уравнение окружности с центром и радиусом выглядит так:
Переход от общей формы к стандартной заключается в применении метода выделения полного квадрата. Получив стандартную форму, можно легко узнать координаты центра и радиус. Подробнее можно посмотреть здесь — Метод выделения полного квадрата и здесь — Нахождение центра и радиуса окружности по общему уравнению окружности.
Видео:Алгебра 10 класс Поворот точки вокруг начала координат ЛекцияСкачать
Параметрическое уравнение окружности
Параметрическое уравнение окружности с центром и радиусом выглядит так:
Уравнение называется «параметрическим», потому что и x и y зависят от «параметра» тета. Это переменная, которая может принимать любые значения (но конечно это должно быть одно и то же значение в обоих уравнениях). Для параметрического уравнения используется определение синуса и косинуса в прямоугольном треугольнике построенном на радиусе и перпендикуляров от точки на окружности до координатных осей.
Видео:10 класс, 12 урок, Числовая окружность на координатной плоскостиСкачать
Уравнение окружности в полярных координатах
Для записи уравнения окружности в полярных координатах требуются полярные координаты центра окружности по отношению к началу координат. Если полярные координаты центра окружности — это , то полярные координаты точки окружности должны удовлетворять следующему уравнению:
,
где a — радиус окружности.
Так, во всяком случае, его называют в англоязычной литературе. Насчет русского термина я не уверен, по-моему эту форму рассматривают просто как еще один способ записи общего уравнения окружности, тем более что переход от общего уравнения к стандартному довольно простой. ↩
Видео:Как искать точки на тригонометрической окружности.Скачать
Окружность на координатной плоскости
Окружность на плоскости — это множество точек на плоскости равноудаленных от точки центра. На рисунке данная точка обозначена C.
Видео:Тригонометрическая окружность. Как выучить?Скачать
Окружность радиуса R с центром в начале координат представляется уравнением:
Окружность радиуса R с центром в точке C(a;b) представляется уравнением:
Расстояние от центра окружности С(a;b) до точки M(x;y) называется радиусом окружности R (на рисунке красная линия ).
Это уравнение можно записать в виде:
Если уравнение помножить на любое число A, то получим
Примечание
Окружность относится к линии второго порядка, так как представляется уравнением второй степени.
Необходимые условия для этого:
1. Отсутствие в уравнение второй степени члена с произведением xy;
2. Коэффициенты при x 2 и y 2 были равны в уравнение вида:
3. Если выполняется неравенство
Видео:Coordinates on Circle - Координаты точек окружностиСкачать
Как найти радиус и центр окружности
Уравнение Ax 2 +Bx+Ay 2 +Cy+D=0 если оно удовлетворяет примечаниям (1, 2 и 3), то тогда (a;b) и радиус R окружности можно найти по формулам:
Пример 1
Уравнение 5x 2 -10x+5y 2 +20y-20=0
Здесь
A=5, B=-10, C=20, D=-20
Оно удовлетворяет примечаниям 1, 2 и выполняется неравенство
Решая, получаем что центр есть (1;-2), а радиус R=3
Анимационный график окружности
Пример 2
Уравнение второй степени x 2 +4xy+y 2 =1 не является окружностью, так как в нём есть член 4xy.
Пример 3
Уравнение второй степени 4x 2 +9y 2 =36 не представляет окружность, так как в нём коэффициенты при x 2 и y 2 не равны.
Насколько публикация полезна?
Нажмите на звезду, чтобы оценить!
Средняя оценка 4.3 / 5. Количество оценок: 4
Видео:Как видеть тангенс? Тангенс угла с помощью единичного круга.Скачать
Декартовы координаты точек плоскости. Уравнение окружности
Числовая ось |
Прямоугольная декартова система координат на плоскости |
Формула для расстояния между двумя точками координатной плоскости |
Уравнение окружности на координатной плоскости |
Видео:9 класс, 6 урок, Уравнение окружностиСкачать
Числовая ось
Определение 1 . Числовой осью ( числовой прямой, координатной прямой ) Ox называют прямую линию, на которой точка O выбрана началом отсчёта (началом координат) (рис.1), направление
указано в качестве положительного направления и отмечен отрезок, длина которого принята за единицу длины.
Определение 2 . Отрезок, длина которого принята за единицу длины, называют масштабом .
Каждая точка числовой оси имеет координату , являющуюся вещественным числом. Координата точки O равна нулю. Координата произвольной точки A , лежащей на луче Ox , равна длине отрезка OA . Координата произвольной точки A числовой оси, не лежащей на луче Ox , отрицательна, а по абсолютной величине равна длине отрезка OA .
Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ - Единичная Окружность // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать
Прямоугольная декартова система координат на плоскости
Определение 3 . Прямоугольной декартовой системой координат Oxy на плоскости называют две взаимно перпендикулярных числовых оси Ox и Oy с одинаковыми масштабами и общим началом отсчёта в точке O , причём таких, что поворот от луча Ox на угол 90° до луча Oy осуществляется в направлении против хода часовой стрелки (рис.2).
Замечание . Прямоугольную декартову систему координат Oxy , изображённую на рисунке 2, называют правой системой координат , в отличие от левых систем координат , в которых поворот луча Ox на угол 90° до луча Oy осуществляется в направлении по ходу часовой стрелки. В данном справочнике мы рассматриваем только правые системы координат, не оговаривая этого особо.
Если на плоскости ввести какую-нибудь систему прямоугольных декартовых координат Oxy , то каждая точка плоскости приобретёт две координаты – абсциссу и ординату, которые вычисляются следующим образом. Пусть A – произвольная точка плоскости. Опустим из точки A перпендикуляры AA1 и AA2 на прямые Ox и Oy соответственно (рис.3).
Определение 4 . Абсциссой точки A называют координату точки A1 на числовой оси Ox , ординатой точки A называют координату точки A2 на числовой оси Oy .
Обозначение . Координаты (абсциссу и ординату) точки A в прямоугольной декартовой системе координат Oxy (рис.4) принято обозначать A (x ; y) или A = (x ; y).
Замечание . Точка O , называемая началом координат , имеет координаты O (0 ; 0) .
Определение 5 . В прямоугольной декартовой системе координат Oxy числовую ось Ox называют осью абсцисс , а числовую ось Oy называют осью ординат (рис. 5).
Определение 6 . Каждая прямоугольная декартова система координат делит плоскость на 4 четверти ( квадранта ), нумерация которых показана на рисунке 5.
Определение 7 . Плоскость, на которой задана прямоугольная декартова система координат, называют координатной плоскостью .
Замечание . Ось абсцисс задаётся на координатной плоскости уравнением y = 0 , ось ординат задаётся на координатной плоскости уравнением x = 0.
Видео:Алгебра 10 класс. 20 сентября. Числовая окружность #6 координаты точекСкачать
Формула для расстояния между двумя точками координатной плоскости
Утверждение 1 . Расстояние между двумя точками координатной плоскости
вычисляется по формуле
Доказательство . Рассмотрим рисунок 6.
| A1A2| 2 = = ( x2 – x1) 2 + ( y2 – y1) 2 . | (1) |
что и требовалось доказать.
Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать
Уравнение окружности на координатной плоскости
Поскольку расстояние от любой точки окружности до центра равно радиусу, то, в соответствии с формулой (1), получаем:
Уравнение (2) и есть искомое уравнение окружности радиуса R с центром в точке A0 (x0 ; y0) .
Следствие . Уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат имеет вид
📽️ Видео
Уравнение окружности ? Окружность в системе координат / Функция окружностиСкачать
Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать
9 класс, 11 урок, Формулы для вычисления координат точкиСкачать
начертить окружность. Привести уравнение окружности к стандартному виду. Координаты центра и радиус.Скачать
Уравнение окружности (1)Скачать
УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИСкачать
Найти центр и радиус окружностиСкачать