- Правильный восьмиугольник
- Свойства[править | править код]
- Формулы расчёта параметров правильного восьмиугольника[править | править код]
- Площадь через квадрат[править | править код]
- Симметрия[править | править код]
- Разрезание правильного восьмиугольника[править | править код]
- Применение восьмиугольников[править | править код]
- Другие использования[править | править код]
- Производные фигуры[править | править код]
- Связанные многогранники[править | править код]
- См. также[править | править код]
- Примечания[править | править код]
- Литература[править | править код]
- Восьмиугольник, виды, свойства и формулы
- Восьмиугольник, виды, свойства и формулы.
- Восьмиугольник, выпуклый и невыпуклый восьмиугольник:
- Правильный восьмиугольник (понятие и определение):
- Свойства правильного восьмиугольника:
- Формулы правильного восьмиугольника:
- Правильный восьмиугольник в природе, технике и культуре:
- Свойства
- Формулы расчёта параметров правильного восьмиугольника
- Площадь через квадрат
- Симметрия
- Разрезание правильного восьмиугольника
- Применение восьмиугольников
- Другие использования
- Производные фигуры
- Связанные многогранники
- См. также
- Примечания
- Литература
- Восьмиугольник — Octagon
- Свойства общего восьмиугольника
- Область
- Циркумрадиус и внутренний радиус
- Диагонали
- Конструкция и элементарные свойства
- Стандартные координаты
- Расслоение
- Наклонный восьмиугольник
- Полигоны Петри
- Симметрия восьмиугольника
- Использование восьмиугольников
- Другое использование
- Производные цифры
- Правильный многоугольник
- Формулы, признаки и свойства правильного многоугольника
- Признаки правильного многоугольника
- Основные свойства правильного многоугольника
- Формулы правильного n-угольника
- Формулы длины стороны правильного n-угольника
- Формула стороны правильного n-угольника через радиус вписанной окружности
- Формула стороны правильного n-угольника через радиус описанной окружности
- Формулы радиуса вписанной окружности правильного n-угольника
- Формула радиуса вписанной окружности n-угольника через длину стороны
- Формула радиуса описанной окружности правильного n-угольника
- Формула радиуса описанной окружности n-угольника через длину стороны
- Формулы площади правильного n-угольника
- Формула площади n-угольника через длину стороны
- Формула площади n-угольника через радиус вписанной окружности
- Формула площади n-угольника через радиус описанной окружности
- Формула периметра правильного многоугольника
- Формула периметра правильного n-угольника
- Формула определения угла между сторонами правильного многоугольника
- Формула угла между сторонами правильного n-угольника
- Правильный треугольник
- Формулы правильного треугольника
- Формула стороны правильного треугольника через радиус вписанной окружности
- Формула стороны правильного треугольника через радиус описанной окружности
- Формула площади правильного треугольника через длину стороны
- Формула площади правильного треугольника через радиус вписанной окружности
- Формула площади правильного треугольника через радиус описанной окружности
- Углы между сторонами правильного треугольника
- Правильный четырехугольник
- Формулы правильного четырехугольника
- Формула стороны правильного четырехугольника через радиус вписанной окружности
- Формула стороны правильного четырехугольника через радиус описанной окружности
- Формула радиуса вписанной окружности правильного четырехугольника через длину стороны
- Формула радиуса описанной окружности правильного четырехугольника через длину стороны
- Формула площади правильного четырехугольника через длину стороны
- Формула площади правильного четырехугольника через радиус вписанной окружности
- Формула площади правильного четырехугольника через радиус описанной окружности
- Углы между сторонами правильного четырехугольника
- Правильный шестиугольник
- Формулы правильного шестиугольник
- Формула стороны правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности
- Формула стороны правильного шестиугольника через радиус описанной окружности
- Формула радиуса вписанной окружности правильного шестиугольника через длину стороны
- Формула радиуса описанной окружности правильного шестиугольника через длину стороны
- Формула площади правильного шестиугольника через длину стороны
- Формула площади правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности
- Формула площади правильного шестиугольника через радиус описанной окружности
- Углы между сторонами правильного шестиугольника
- Правильный восьмиугольник
- Восьмиугольник, виды, свойства и формулы
- Формулы расчёта параметров правильного восьмиугольника
- Правильный восьмиугольник (понятие и определение):
- Литература
- Применение восьмиугольников
- Построение
- Точное построение
- Примерное построение
- Признаки и свойства
- Другие восемнадцатиугольники фигуры
- Правильный многоугольник
- Формулы, признаки и свойства правильного многоугольника
- Признаки правильного многоугольника
- Основные свойства правильного многоугольника
- Формулы правильного n-угольника
- Формулы длины стороны правильного n-угольника
- Формула стороны правильного n-угольника через радиус вписанной окружности
- Формула стороны правильного n-угольника через радиус описанной окружности
- Формулы радиуса вписанной окружности правильного n-угольника
- Формула радиуса вписанной окружности n-угольника через длину стороны
- Формула радиуса описанной окружности правильного n-угольника
- Формула радиуса описанной окружности n-угольника через длину стороны
- Формулы площади правильного n-угольника
- Формула площади n-угольника через длину стороны
- Формула площади n-угольника через радиус вписанной окружности
- Формула площади n-угольника через радиус описанной окружности
- Формула периметра правильного многоугольника
- Формула периметра правильного n-угольника
- Формула определения угла между сторонами правильного многоугольника
- Формула угла между сторонами правильного n-угольника
- Правильный треугольник
- Формулы правильного треугольника
- Формула стороны правильного треугольника через радиус вписанной окружности
- Формула стороны правильного треугольника через радиус описанной окружности
- Формула площади правильного треугольника через длину стороны
- Формула площади правильного треугольника через радиус вписанной окружности
- Формула площади правильного треугольника через радиус описанной окружности
- Углы между сторонами правильного треугольника
- Правильный четырехугольник
- Формулы правильного четырехугольника
- Формула стороны правильного четырехугольника через радиус вписанной окружности
- Формула стороны правильного четырехугольника через радиус описанной окружности
- Формула радиуса вписанной окружности правильного четырехугольника через длину стороны
- Формула радиуса описанной окружности правильного четырехугольника через длину стороны
- Формула площади правильного четырехугольника через длину стороны
- Формула площади правильного четырехугольника через радиус вписанной окружности
- Формула площади правильного четырехугольника через радиус описанной окружности
- Углы между сторонами правильного четырехугольника
- Правильный шестиугольник
- Формулы правильного шестиугольник
- Формула стороны правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности
- Формула стороны правильного шестиугольника через радиус описанной окружности
- Формула радиуса вписанной окружности правильного шестиугольника через длину стороны
- Формула радиуса описанной окружности правильного шестиугольника через длину стороны
- Формула площади правильного шестиугольника через длину стороны
- Формула площади правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности
- Формула площади правильного шестиугольника через радиус описанной окружности
- Углы между сторонами правильного шестиугольника
- Правильный восьмиугольник
- Радиус описанной окружности правильного многоугольника
- Свойства
Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать
Правильный восьмиугольник
Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 7 апреля 2021; проверки требует 1 правка.
Правильный восьмиугольник (октагон) — геометрическая фигура из группы правильных многоугольников. У него восемь сторон и восемь углов, все углы и стороны равны между собой.
Правильный восьмиугольник имеет символ Шлефли [1] и может быть построен также как квазиправильный усечённый квадрат, t , в котором перемежаются два типа граней. Усечённый восьмиугольник (t ) является шестнадцатиугольником (t ).
Видео:9 класс, 24 урок, Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороныСкачать
Свойства[править | править код]
Построение правильного восьмиугольника
Построение правильного 8-угольника путём складывания листа бумаги
- Восьмиугольник можно построить проведя к сторонам квадрата серединные перпендикуляры и соединив точки их пересечения с описанной окружностью квадрата с его сторонами.
- Сумма всех внутренних углов правильного восьмиугольника составляет 1080°
- Угол правильного восьмиугольника составляет
Видео:Формулы радиусов описанной и вписанной окружностей правильного многоугольника 2Скачать
Формулы расчёта параметров правильного восьмиугольника[править | править код]
- t — длина стороны восьмиугольника
- r — радиус вписанной окружности
- R — радиус описанной окружности
- S — площадь восьмиугольника
- k — константа, равная ≈ 2.414213562373095
Так как правильный восьмиугольник можно получить соответствующим отсечением углов квадрата со стороной , радиус вписанной окружности, радиус описанной окружности и площадь правильного восьмиугольника можно вычислить и без использования тригонометрических функций:
- Радиус вписанной окружности правильного восьмиугольника:
- Радиус описанной окружности правильного восьмиугольника:
- Площадь правильного восьмиугольника:
Через сторону восьмиугольника
Через радиус описанной окружности
Через апофему (высоту)
Видео:Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать
Площадь через квадрат[править | править код]
Площадь можно также вычислить как усечение квадрата
где A — ширина восьмиугольника (вторая меньшая диагональ), а a — длина его стороны. Это легко показать, если провести через противоположные стороны прямые, что даст квадрат. Легко показать, что угловые треугольники равнобедренные с основанием, равным a. Если их сложить (как на рисунке), получится квадрат со стороной a.
Если задана сторона a, то длина A равна
Тогда площадь равна:
Площадь через A (ширину восьмиугольника)
Ещё одна простая формула площади:
Часто значение A известно, в то время как величину стороны a следует найти, как, например, при отрезании от квадратного куска материала углов с целью получения правильного восьмиугольника. Из формул выше имеем
Два катета углового треугольника можно получить по формуле
Видео:112. Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписаннойСкачать
Симметрия[править | править код]
11 симметрий правильного восьмиугольника. Линии зеркальных отражений показаны цветом — синие линии проходят через вершины, фиолетовые проходят через середины рёбер, число поворотов указано в центре. Вершины раскрашены согласно симметрии.
Правильный восьмиугольник имеет группу симметрии Dih8 порядка 16. Имеется 3 диэдральные подгруппы — Dih4, Dih2 и Dih2, а также 4 циклические подгруппы — Z8, Z4, Z2 и Z1. Последняя подгруппа подразумевает отсутствие симметрии.
Правильный восьмиугольник имеет 11 различных симметрий. Джон Конвей обозначил полную симметрию как r16 [2]. Диэдральные симметрии делятся на симметрии, проходящие через вершины (обозначены как d — от diagonal), или через рёбра (обозначены как p — от perpendiculars). Циклические симметрии в среднем столбце обозначены буквой g и для них указан порядок группы вращения. Полная симметрия правильного восьмиугольника обозначена как r16 а отсутствие — как a1.
На рисунке слева показаны типы симметрий восьмиугольников. Наиболее общие симметрии восьмиугольников — p8, равноугольный[en] восьмиугольник, построенный четырьмя зеркалами и имеющий перемежающиеся длинные короткие стороны, и d8, изотоксальный восьмиугольник, имеющий рёбра равной длины, но вершины имеют два разных внутренних угла. Эти две формы являются двойственным[en] друг другу и имеют порядок, равный половине симметрии правильного восьмиугольника.
Каждая подгруппа симметрии даёт одну или более степеней свободы для неправильных форм. Только подгруппа g8 не имеет степеней свободы, но может рассматриваться как имеющая ориентированные рёбра.
Видео:Задача 6 №27916 ЕГЭ по математике. Урок 133Скачать
Разрезание правильного восьмиугольника[править | править код]
Коксетер утверждает, что любой 2m-угольник с параллельными противоположными сторонами можно разрезать на m(m-1)/2 ромбов. Для восьмиугольника m=4 и он разрезается на 6 ромбов, как показано на рисунке ниже. Это разрезание можно рассматривать как 6 из 24 граней проекции многоугольника Петри тессеракта [3].
Видео:9 класс, 22 урок, Окружность, описанная около правильного многоугольникаСкачать
Применение восьмиугольников[править | править код]
Восьмиугольный план Купола Скалы
В странах, принявших Венскую конвенцию о дорожных знаках и сигналах (в том числе в России), а также во многих других странах, знак «Движение без остановки запрещено» имеет вид красного восьмиугольника.
Восьмиугольные формы часто используются в архитектуре. Купол Скалы имеет восьмиугольный план. Башня Ветров в Афинах — ещё один пример восьмиугольной структуры. Восьмиугольный план встречается также в архитектуре церквей, таких как Собор Святого Георгия (Аддис-Абеба), Сан-Витале (в городе Равенна, Италия), Замок Кастель-дель-Монте (Апулия, Италия), Флорентийский баптистерий и восьмиугольные церкви Норвегии[en]. Центральное пространство в Ахенский собор, Капелла Карла Великого имеют планы в виде правильного восьмиугольника.
Другие использования[править | править код]
Зонты часто имеют восьмиугольную форму
Знаменитая восьмиугольная чашка с острова Белитунг
Видео:Формулы для вычисления площади правильного многоугольника,его стороны и радиуса вписанной окружностиСкачать
Производные фигуры[править | править код]
Связанные многогранники[править | править код]
Восьмиугольник в качестве усечённого квадрата, является первым в последовательности усечённых гиперкубов:
Восьмиугольник в качестве растянутого квадрата является первым в последовательности растянутых гиперкубов:
Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать
См. также[править | править код]
- Восьмерик
- Восьмиугольное число
- Октаграмма
- Площадь Октогон в Будапеште, Венгрия
- Сглаженный восьмиугольник
Видео:Геометрия 9 класс (Урок№21 - Правильный многоугольник. Описанная и вписанная окружность.)Скачать
Примечания[править | править код]
Видео:110. Окружность, описанная около правильного многоугольникаСкачать
Литература[править | править код]
- У. Болл, Г. Коксетер. Математические эссе и развлечения. — Москва: «Мир», 1986.
- Magnus J. Wenninger. Polyhedron Models. — Cambridge University Press, 1974. — 208 с. — ISBN 9780521098595. books.google (англ.) Есть перевод на русский Веннинджер, «Модели многогранников», но в ней символы Шлефли не приведены.
- John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss. Chapter 20, Generalized Schaefli symbols, Types of symmetry of a polygon // The Symmetries of Things. — 2008. — С. 275-278. — ISBN 978-1-56881-220-5.
Многоугольники |
|
---|