Прямая окружность имеет только одну общую точку если расстояние

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Окружность

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Свойства хорд и дуг окружности

Фигура	Рисунок	Свойство
Диаметр, перпендикулярный к хорде		Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хорды		Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хорды		Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружности		Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длины		Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дуги		У равных дуг равны и хорды.
Параллельные хорды		Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Диаметр, перпендикулярный к хорде

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

У равных дуг равны и хорды.

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:Расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника и их радиусами #ShortsСкачать

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Фигура	Рисунок	Теорема
Пересекающиеся хорды

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Пересекающиеся хорды

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Пересекающиеся хорды

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Видео:Касание окружностейСкачать

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Тогда справедливо равенство

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:Касательная к окружности. 8 классСкачать

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Видео:ОГЭ № 25. "Окружности касаются внешним образом... "Скачать

Взаимное расположение прямой и окружности

Существует 3 случая взаимного расположения прямой и окружности в зависимости от соотношения между радиусом r окружности и расстоянием d прямой от центра окружности.

1. d r. Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек.

Прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности. Прямая, имеющая с окружностью две общие точки, называется секущей.

Теоремы о касательных и секущих

1. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.

1. Если из данной точки проведены к окружности две касательные, то отрезки касательных равны между собой и центр окружности лежит на биссектрисе угла с вершиной в этой точке: (AB=AC) .

1. Если из данной точки проведены к окружности касательная и секущая, то квадрат длины отрезка касательной равен произведению всего отрезка секущей на его внешнюю часть: (AC^2=CDcdot BC) .

1. Произведение всего отрезка одной секущей на его внешнюю часть равно произведению всего отрезка другой секущей на его внешнюю часть: (ACcdot BC=ECcdot DC) .

Видео:Геометрия. 7 класс. Взаимное расположение прямой и окружности /13.04.2021/Скачать

Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, то прямая и окружность имеют только одну общую точку. r H M O. — презентация

Презентация была опубликована 8 лет назад пользователемВиктория Мишенина

Похожие презентации

Видео:Окружность и прямая: варианты взаимного расположенияСкачать

Презентация на тему: » Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, то прямая и окружность имеют только одну общую точку. r H M O.» — Транскрипт:

2 Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, то прямая и окружность имеют только одну общую точку. r H M O

3 Касательная к окружности Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности. А точка касания. о A p

4 Касательная к окружности. Теорема: касательная окружности перпендикулярна к радиусу,проведенному в точку касания. Доказательство: пусть p — касательная к окружности с центром O,А- точка касания.Докажем,что касательная p перпендикулярна к радиусу ОА. Предположим,что это не так. Тогда радиус ОА является наклонной к прямой p.Так как перпендикуляр, проведенный из точки O к прямой p, меньше наклонной OA, то расстояние от центра О окружности до прямой p меньше радиуса. Следовательно, прямая p и окружность имеют две общие точки.Но это противоречит условию: прямая p — касательная.Таким образом,прямая p перпендикулярна к радиусу OA. Теорема доказана. O A P

5 Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности. По теореме о свойстве касательной 1 и 2 прямые, поэтому АВО и АСО прямоугольные. Они равны, так как имеют общую гипотенузу АО и равные катеты ОВ и ОС. Следовательно, АВ = АС и 3 = 4, что и требовалось доказать A O BC

6 Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной Из условия теоремы следует, что радиус является перпендикуляром, проведенным из центра окружности к данной прямой. Поэтому расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, и следовательно, прямая и окружность имеет только одну общую точку. Но это и означает, что данная прямая является касательной к окружности.

7 Угол с вершиной в центре окружности называется ее центральным углом. Пусть стороны центрального угла окружности с центром О пересекают ее в точках А и В. Центральному АОВ соответствуют две дуги с концами А и В. Если АОВ развернутый, то ему соответствуют две полуокружности. ALB = 180º O A B L

8 Если АОВ (центральный) неразвернутый, то говорят, что АВ, расположенная внутри этого угла, меньше полуокружности. Про дугу с концами А и В говорят, что она больше полуокружности. L O B A

9 Дугу окружности можно измерять в градусах. Если АВ окружности с центром в точке О меньше полуокружности или является полуокружностью, то ее градусная мера считается равной градусной мере центрального АОВ. B L A O L B O A

10 Если же АВ больше полуокружности, то ее градусная мера считается равной 360 º — АОВ ( центральный). ALB = 360 º — АОВ. L B O A

11 Угол вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом. Вписанный АВС опирается на АМС. B O C M A

12 Вписанный угол измеряется половиной дуги на которую он опирается Пусть АВС – вписанный угол окружности с центром О, опирающийся на АС. Докажем, что АВС = половине АС (на которую он опирается). Существует 3 возможных случая расположения луча ВО относительно АВС. Рассмотрим их.

13 Рассмотрим 1 случай расположения луча ВО относительно АВС. Например луч совпадает со стороной ВС в этом случае АС меньше полуокружности, поэтому АОС= АС. Так как АОС внешний угол равнобедренного АВО, а 1 и 2 при основании равнобедренного треугольника равны, то АОС = 1+ 2 = 2 1. Отсюда следует, что 2 1 = АС или АВС = 1 = 1/2 АС. O B 2 1 C A

14 Рассмотрим 2 случай, когда луч ВО делит АВС на два угла. В этом случае луч ВО пересекает АС в некоторой точке D. Точка D разделяет АС на две дуги: АD и DC. По доказанному в п.1 АВD = 1/2 AD и DBC= 1/2 DC. Складывая эти равенства попарно, получаем: ABD + DBC = 1/2 АD + 1/2 DC, или АВС= 1/2 АС. A B C D

AOD = 1 + 2 = 2 1 = AD, следовательно ABD = 1/2 AD. Аналогично: ВСО равнобедр. COD — внешний, следовательно СВD= 1/2 CD. Сл» title=»Рассмотрим 3 случай расположения луча ВО относительно АВС АВD равнобедренный, AOD — внешний, т.к. ABD — равнобедр. То 1 = 2 => AOD = 1 + 2 = 2 1 = AD, следовательно ABD = 1/2 AD. Аналогично: ВСО равнобедр. COD — внешний, следовательно СВD= 1/2 CD. Сл» > 15 Рассмотрим 3 случай расположения луча ВО относительно АВС АВD равнобедренный, AOD — внешний, т.к. ABD — равнобедр. То 1 = 2 => AOD = = 2 1 = AD, следовательно ABD = 1/2 AD. Аналогично: ВСО равнобедр. COD — внешний, следовательно СВD= 1/2 CD. Следовательно, АВС=1/2 АС A O B C D AOD = 1 + 2 = 2 1 = AD, следовательно ABD = 1/2 AD. Аналогично: ВСО равнобедр. COD — внешний, следовательно СВD= 1/2 CD. Сл»> AOD = 1 + 2 = 2 1 = AD, следовательно ABD = 1/2 AD. Аналогично: ВСО равнобедр. COD — внешний, следовательно СВD= 1/2 CD. Следовательно, АВС=1/2 АС A O B C D»> AOD = 1 + 2 = 2 1 = AD, следовательно ABD = 1/2 AD. Аналогично: ВСО равнобедр. COD — внешний, следовательно СВD= 1/2 CD. Сл» title=»Рассмотрим 3 случай расположения луча ВО относительно АВС АВD равнобедренный, AOD — внешний, т.к. ABD — равнобедр. То 1 = 2 => AOD = 1 + 2 = 2 1 = AD, следовательно ABD = 1/2 AD. Аналогично: ВСО равнобедр. COD — внешний, следовательно СВD= 1/2 CD. Сл»>

16 РАССМОТРИМ 1 СЛЕДСТВИЕ ИЗ ТЕОРЕМЫ Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

17 Рассмотрим 2 следствие из теоремы Вписанный угол, опирающийся на полуокружность прямой.

Видео:9 класс, 8 урок, Взаимное расположение двух окружностейСкачать

Взаимное расположение прямой и окружности

Выясним количество общих точек прямой и окружности в зависимости от их взаимного расположения. Если прямая l проходит через центр O окружности (Рис.1), то она пересекает окружность в двух точках, которые являются концами диаметра окружности.

Пусть прямая не проходит через центр окружности. Проведем перпендикуляр OH к прямой l (Рис.2, Рис.3, Рис.4). Обозначим расстояние от центра окружности до прямой l буквой d. Рассмотрим сколько общих точек будут иметь прямая и окружность в зависимости от соотношения d и r.

Теорема 1. Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности, то прямая и окружность имеют две общие точки.

В этом случае прямая называется секущей по отношению к окружности.

Доказательство. Пусть расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности: d Теорема 2. Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют одну общую точку.

Доказательство. Пусть расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности: d=r (Рис.3). В этом случае OH=r, т.е. точка H лежит на окружности и является общей точкой прямой l и окружности. Возьмем на прямой l любую точку M отличной от H. Тогда расстояние от OM больше расстояния OH=r, поскольку наклонная OM больше перпендикуляра OH к прямой l. Следовательно точка M не лежит на окружности. Получили, что точка H единственная общая точка прямой l и окружности.

Теорема 3. Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общую точку.

Доказательство. Пусть расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности:d>r (Рис.4). Тогда ( small OH > r). Возьмем на прямой l любую точку M отличной от H. Тогда ( small OM > OH>r). Следовательно точка M не лежит на окружности. Таким образом, если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общую точку.

🔍 Видео

8 класс, 32 урок, Касательная к окружностиСкачать

Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

№632. Расстояние от точки А до центра окружности меньше радиуса окружности. Докажите, что любаяСкачать