Ключевые слова: основные линии треугольника, медиана, биссектриса, высота, средния линия, серединные перпендикуляры
Рассмотрим произвольный треугольник ABC:
a, b, c — стороны треугольника
$$m_a$$ — медиана к стороне a угла A
$$h_a$$ — высота к стороне a угла A
$$l_a$$ — биссектриса к стороне a угла A
Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий верщину треугольника с серединой противолежащей стороны этого треугольника.
Свойства медиан треугольника
- Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади.
- Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.
- Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.
Биссектриса угла — это луч, который исходит из его вершины, проходит между его сторонами и делит данный угол пополам.
Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника.
Свойства биссектрис треугольника
- Биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон этого угла.
- Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилегажащим сторонам.
- Точка пересечения биссектрис треугольника является центром окружности, вписанной в этот треугольник.
Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону этого треугольника.
Свойства высот треугольника
- В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобные исходному.
- В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники.
- Если треугольник остроугольный, то все основания высот принадлежат сторонам треугольника, а у тупоугольного треугольника две высоты попадают на продолжение сторон
- Три высоты в остроугольном треугольнике пересекаются в одной точке и эту точку называют ортоцентром треугольника.
Свойства серединных перпендикуляров треугольника
- Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Верно и обратное утверждение: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.
- Точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника, является центром окружности, описанной около этого треугольника.
Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
Свойство средней линии треугольника
- Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.
Видео:Средняя линия. Теорема о средней линии треугольникаСкачать
Как найти среднюю линию треугольника?
О чем эта статья:
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).
Видео:Средняя линия треугольникаСкачать
Понятие треугольника
Треугольник — это геометрическая фигура, которая получилась из трех отрезков. Их соединили тремя точками, которые не лежат на одной прямой. Отрезки принято называть сторонами, а точки — вершинами.
- Прямоугольный. Один угол прямой, то есть равен 90 градусам, два других меньше 90 градусов.
- Остроугольный. Градусная мера всех углов больше 0, но меньше 90 градусов.
- Тупоугольный. Один угол тупой, два других — острые.
Треугольник считают равнобедренным, если две его стороны равны. Эти стороны называют боковыми сторонами, а третью — основанием.
Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним или правильным.
Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол, то есть угол в 90°. Сторона прямоугольного треугольника, которая лежит напротив прямого угла — гипотенуза, а две другие стороны — катеты.
Правильный (равносторонний или равноугольный) треугольник — это правильный многоугольник, в котором все стороны равны между собой, все углы также равны и составляют 60°. В равностороннем треугольнике высота является и биссектрисой, и медианой.
Свойства треугольников:
- В треугольнике против большего угла лежит большая сторона — и наоборот.
- Сумма углов треугольника равна 180 градусов.
- Все углы равностороннего треугольника равны 60 градусам.
- В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!
Видео:Средняя линия треугольника и трапеции. 8 класс.Скачать
Понятие средней линии треугольника
Определение средней линии треугольника подходит для любого вида этой фигуры.
Средняя линия треугольника — отрезок, который соединяет середины двух сторон. В любом треугольнике можно провести три средних линии.
Основанием считается сторона, которой параллельна средняя линия.
Как найти среднюю линию треугольника — расскажем дальше, а для начала еще немного разберемся со всеми определениями.
Видео:Средняя линия треугольника. Видеоурок 13. Геометрия 8 класс.Скачать
Понятие средней линии прямоугольного треугольника
Математики говорят: в любом треугольнике можно провести три средних линии. В прямоугольном треугольнике этот отрезок будет равен половине основания — это и есть формула средней линии прямоугольного треугольника.
Прямой угол помогает нам применить другие признаки равенства и подобия. Для углов в прямоугольном треугольнике можно использовать геометрические тождества без дополнительных построений, а любую из сторон можно найти по теореме Пифагора.
В прямоугольном треугольнике две средние линии перпендикулярны катетам, а третья равна медиане, проведенной к гипотенузе. Средние линии острого и разностороннего треугольника не обладают подобными свойствами.
Видео:8 класс, 25 урок, Средняя линия треугольникаСкачать
Свойства средней линии треугольника
Признак средней линии треугольника: если отрезок в треугольнике проходит через середину одной из его сторон, пересекает вторую и параллелен третьей — этот отрезок можно назвать средней линией этого треугольника.
Свойства:
- Средняя линия равна половине длины основания и параллельна ему.
- Средняя линия отсекает треугольник, подобный данному с коэффициентом 1/2; его площадь равна четверти площади данного.
- Три средние линии разделяют исходную фигуру на четыре равных треугольника. Центральный из них называют дополнительным.
- Три средние линии разделяют исходный прямоугольный треугольник на четыре равных прямоугольных треугольника.
Видео:Теорема о средней линии треугольникаСкачать
Теорема о средней линии треугольника
Теорема о средней линии треугольника звучит так:
Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине. А так выглядит формула нахождения средней линии треугольника:
Докажем теорему:
По условию нам дано, что MA = MB, NA = NC
Рассмотрим два образовавшихся треугольника ΔAMN и ΔABC.
(по второму признаку подобия треугольников).
△ABC, то Следовательно, ВС = 2МN. Значит, доказано, что средняя линия равна половине основания.
△ABC, то ∠1 = ∠2 . Так как ∠1 и ∠2 — соответственные углы, то по признаку параллельности прямых MN || BC.
Параллельность средней линии и соответствующего ей основания доказана.
Пример 1. В треугольнике ΔABC AB = 8, BC = 7, CA = 5, точки M, K, N — середины сторон AB, BC, CA соответственно. Найти периметр ΔMNK.
Соединим середины сторон треугольника ΔABC и получим его средние линии, которые образуют треугольник ΔMNK. Найдем их длины по теореме о средней линии:
Ответ: периметр треугольника ΔMNK равен 10.
Пример 2. В прямоугольном треугольнике АВС есть две средние линии: MN и NP, равные 3 и 4 соответственно. Найти площадь большого прямоугольного треугольника.
Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. Так как треугольник прямоугольный, то его площадь найдем как половину произведения катетов:
Так как MN — средняя линия, то по теореме о средней линии она равна половине катета AC:
Значит, AC = 2MN = 2 × 3 = 6.
Так как NP — средняя линия, то по теореме о средней линии она равна половине катета BC:
Значит, BC = 2NP = 2 × 4 = 8.
Тогда найдем площадь большого треугольника, используя формулу, указанную выше:
S = ½ × 6 × 8 = ½ × 48 = 24.
Ответ: площадь большого прямоугольного треугольника равна 24.
Видео:Задание 3 ЕГЭ по математике. Урок 41Скачать
Треугольник. Основные линии треугольника.
Треугольник — геометрическая фигура, сформированная тремя отрезками, которые объединяют три точки, не принадлежащие одной прямой. Три точки именуют вершинами треугольника, а отрезки – сторонами треугольника. Стороны треугольника формируют в вершинах треугольника соответственно три угла.
Когда называют треугольник, то указывают три заглавные буквы, стоящие при его вершинах. Для упрощения вместо термина «треугольник» применяют символом /. Треугольник, представленный ниже, указываем как / АВС:
Сторону треугольника общепринято называть одинаковой буквой с вершиной угла, противолежащего этой стороне, но используют при этом малую букву.
Так сторона ВС отмечена буквой а, поскольку она расположена напротив угла А; сторона СА отмечена буквой b, поскольку она расположена напротив угла В; сторона АВ отмечена буквой с, поскольку она лежит напротив угла С.
У треугольник выделяют три угла.
Угол — угол, сформированный сторонами АВ и АС, противолежащий стороне ВС;
Угол — угол, сформированный сторонами АВ и ВС, противолежащий стороне АС;
Угол — угол, сформированный сторонами ВС и АС, противолежащий стороне АВ.
Если продолжим какую-нибудь сторону треугольника, то получим угол, смежный с одним из внутренних углов треугольника. Такой угол называется внешним углом треугольника.
При каждой вершине треугольника может быть построено по два внешних угла:
🎬 Видео
Геометрия. Линии в треугольникеСкачать
В треугольнике ABC DE – средняя линия ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 12 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
№194. Начертите треугольник. Через каждую вершину этого треугольника с помощью чертежногоСкачать
МАТЕМАТИКА | Средняя линия треугольникаСкачать
Теорема о средней линии треугольника. Доказательство. 8 класс.Скачать
Математика 1 класс (Урок№10 - Точка. Кривая линия. Прямая линия. Отрезок. Луч. Ломаная линия.)Скачать
Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать
Средняя линия треугольника – 8 класс геометрияСкачать
Лекция 1. Точка на прямой. Метод прямоугольного треугольникаСкачать
64. Средняя линия треугольникаСкачать
Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать
СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ ТРЕУГОЛЬНИКА 8 класс Атанасян геометрияСкачать
Пересечение двух плоскостей. Плоскости в виде треугольникаСкачать